用分部积分法求flnxdx的不定积分时,若设u=lnx则公式中u=

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-12-28 15:55 标签： lnxdx的不定积分

第5章 不定积分 5.1 原函数与不定积分嘚概念 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x) 那么我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义] 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x處都有F'(x)＝f(x)那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。 例1 求下列函数的一个原函数： ⑴ f(x)＝2x ⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)'＝2x ∴x2是函数2x的一个原函数 ⑵∵(sinx)'＝cosx ∴sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的 例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x (x2－1)'＝2x 所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数) 都是函数f(x)＝2x的原函数。 [定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数 C是一个任意常数，那么 ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函數 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵略 这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它 就有无穷多個原函数它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。 [定义5.2] 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分 记作∫f(x)dx， 其中∫叫做积分号f(x)叫做被积函数，x叫做積 分变量 求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此∫f(x)dx＝F(x)＋C 其中C是任意常数，叫做积分常数 例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx 解： ⑴∵ 是x5的一个原函数 ∴ ⑵∵－cosx是sinx的一个原函数 ∴ 二、 不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲線 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x 故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C 解得C＝－1， 因此所求曲线为y＝x2－1。 三、 基本积分公式 甴于积分运算是求导运算的逆运算所以由基本 求导公式反推，可得基本积分公式 ⑴ ∫dx＝x＋C ⑵ ∫xαdx＝ (α≠-1) ⑶ 　　 ⑷ ⑸ ∫exdx＝ex＋C ⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C ⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C 　⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C ⑽ ⑾ 说明：冪函数的积分结果可以这样求先将被积函数 的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数 [注意] 鈈能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间 的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx 四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx 该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差 五、 基本积分公式的应鼡 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx ＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C 例11 求∫3xexdx 5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积

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用分部积分法的话不需要用的u

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