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隐形眼镜度数
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2012全国初中数学竞赛试题汇编重排版(word版)
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2012全国初中数学竞赛试题汇编重排版(word版)
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2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版目录一 2012广东初中数学竞赛预赛2二 2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）2三 2012年北京市初二数学竞赛试题2四 2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）2五 2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案2六 2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）2七 2012年全国初中数学竞赛试题2八 2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷2九 2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案2十 2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷2十一 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】2十二 2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题2十三 2012年全国初中数学竞赛试题（副题）2十四 2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案2十五 2012年全国初中数学竞赛试题（正题）2十六 2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案2小贴士：word目录发生下列问题ctrl 左键显示“由于本机的限制，该操作已被取消，请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决1.开始，运行里输入regedit,回车 2.在注册表中，找到HKEY_CURRENT_USER\Software\Classes\.html 项3.在默认项上点右键选择修改 4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile，确认，然后退出注册表 5.重启正在使用的Office程序，然后再次点Office里面超链接，ok了2012广东初中数学竞赛预赛2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（河南赛区）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【
】（A）2,3,1
（B）2,2,1
（C）1,2,1
（D）2,3,2【答】A．解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【
（D）【答】C．解：一次函数的图象经过一、二、三象限，说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，且y随x的增大而增大，所以 解得．3．如图，在⊙O中，，给出下列三个结论：（1）DC=AB；（2）AO⊥BD；（3）当∠BDC=30°时，∠DAB=80°．其中正确的个数是【
（B）1 （C）2
（D）3【答】D．解：因为，所以DC=AB；因为，AO是半径,所以AO⊥BD；设∠DAB =x度，则由△DAB的内角和为180°得：，解得．4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【
（D）【答】B．解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是.5．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是y轴上一动点，要使△ABC为等腰三角形，则符合要求的点C的位置共有【
】（A）2个
（D）5个【答】D．解：由题意可求出AB=5，如图，以点A为圆心AB的长为半径画弧，交y轴于C1和C2，利用勾股定理可求出OC1=OC2=，可得，以点B为圆心BA的长为半径画弧，交y轴于点C3和C4，可得，AB的中垂线交y轴于点C5，利用三角形相似或一次函数的知识可求出．6．已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是【
（B）（C）
（D）【答】A．解：的顶点坐标是，设，，由得，所以．二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．若，则的值为
．【答】7．解：．8．方程的解是
．【答】．解：.∴，解得 .9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（1,0），若点A的坐标为（a，b），将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标是
．【答】．解：分别过点A、作x轴的垂线，垂足分别为C、D．显然Rt△ABC≌Rt△BD． 由于点A的坐标是，所以，，所以点的坐标是．10．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，AM=1，是以点A为圆心2为半径的圆弧，是以点M为圆心2为半径的圆弧，则图中两段弧之间的阴影部分的面积为
．【答】2．解：连接MN，显然将扇形AED向右平移可与扇形MBN重合，图中阴影部分的面积等于矩形AMND的面积，等于．11．已知α、β是方程的两根，则的值为
．【答】．解：∵α是方程的根，∴．∴ ，又 ∵∴ =．12．现有145颗棒棒糖，分给若干小朋友，不管怎样分，都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上，这些小朋友的人数最多有
个．【答】36．解：利用抽屉原理分析，设最多有x个小朋友，这相当于x个抽屉，问题变为把145颗糖放进x个抽屉，至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145，解得≤36，所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分，第14题15分，第15题18分，共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了，今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁？解：设王亮出生年份的十位数字为，个位数字为（x、y均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了，∴王亮出生年份可能在2000年后，也可能是2000年前．故应分两种情况：
…………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后，则王亮的出生年份为，依题意，得
，整理，得 x、y均为0 ~ 9的整数，∴ 此时∴王亮的出生年份是2005年，今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前，则王亮的出生年份为，依题意，得
，整理，得 ，故x为偶数，又∴ ∴ 此时∴王亮的出生年份是1987年，今年25周岁． …………………14分综上，王亮今年可能是7周岁，也可能是25周岁．……………15分14．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、，点D在线段OA上，BD=BA， 点Q是线段BD上一个动点，点P的坐标是，设直线PQ的解析式为．（1）求k的取值范围；（2）当k为取值范围内的最大整数时，若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部，求a的取值范围．解：（1）直线经过P，∴ ．∵B，A，BD=BA，∴ 点D的坐标是，∴ BD的解析式是,
依题意，得 ，∴∴ 解得……………………………………………7分
（2）且k为最大整数，∴.则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分又因为抛物线的顶点坐标是，对称轴为．解方程组得
即直线PQ与对称轴为的交点坐标为，∴．解得 ．……………………………………15分15. 如图，扇形OMN的半径为1，圆心角是90°．点B是上一动点，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．（1）求证：四边形EPGQ是平行四边形；（2）探索当OA的长为何值时，四边形EPGQ是矩形；（3）连结PQ，试说明是定值．解：（1）证明：如图①，∵∠AOC=90°，BA⊥OM，BC⊥ON，∴四边形OABC是矩形．∴．∵E、G分别是AB、CO的中点，∴∴四边形AECG为平行四边形.∴
……………………………4分连接OB，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴ GF∥OB，DE∥OB， ∴ PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形．………………………………………………6分（2）如图②，当∠CED=90°时，□EPGQ是矩形．此时 ∠AED ∠CEB =90°．又∵∠DAE=∠EBC =90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE．………………………………8分∴．设OA=x，AB=y，则∶=∶，得．…10分又 ，即．∴，解得．∴当OA的长为时，四边形EPGQ是矩形．………………………………12分（3）如图③，连结GE交PQ于，则．过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、．由△PCF∽△PEG得，∴ ==AB， =GE=OA，∴ ．在Rt△中，，即 ， 又 ，∴ ，
∴ ．……………………………………18分2012年北京市初二数学竞赛试题．选择题(每小题5分，共25分)．方程|2x－4|＝5的所有根的和等于( )．A．－0.5B．4.5C．5D．4．在直角坐标系xOy中，直线y＝ax＋24与两个坐标轴的正半轴形成的三角形的面积等于72，则不在直线y＝ax＋24上的点的坐标是( )．A．(3，12)B．(1，20)C．(－0.5，26)D．(－2.5，32)．两个正数的算术平均数等于，它们乘积的算术平方根等于，则期中的大数比小数大( )．A．4B．C．6D．3．在△ABC中，M是AB的中点，N是BC边上一点，且CN＝2BN，连接AN与MC交于点O，四边形BMON的面积为14cm2，则△ABC的面积为( )．A．56cm2B．60cm2C．64cm2D．68cm2．当a＝1.67，b＝1.71，c＝0.46时，等于( )．A．20B．15C．10D．5.55．填空题(每小题7分，共35分)．计算：1×2－3×4＋5×6－7×8＋…＋－＝＿＿＿．．由1到10这十个正整数按某个次序写成一行，记为a1，a2，…，a10，S1＝a1，S2＝a1＋a2，…，S10＝a1＋a2＋…＋a10，则在S1，S2，…，S10中，最多能有＿＿个质数．．△ABC中，AB＝12cm，AC＝9cm，BC＝13cm，自A分别作∠C平分线的垂线，垂足为M，作∠B的平分线的垂线，垂足为N，连接MN，则＿＿＿＿．．实数x和y满足x2＋12xy＋52y2－8y＋1＝0，则x2－y2＝＿＿＿．．P为等边△ABC内一点，AP＝3cm，BP＝4cm，CP＝5cm，则四边形ABCP的面积等于＿＿cm2．(满分10分)．求证：对任意两两不等的三个数a，b，c，是常数．(满分15分)．已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和，同时也能表示为2012个数字和相同的自然数之和，试确定n的最小值．(满分15分)．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝70°，P为形内一点，∠PAB＝40°，∠PBA＝20°，求证：PA＋PB＝PC．2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初 赛 试 卷（本试卷共4页，满分120分，考试时间：3月11日8:30――10:30）一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）1、下列运算正确的是（
） A．x2?x3=x6
B． 2x(3x=5x2
C．(x2)3=x6
D． x6(x2=x32、有大小两种游艇，2艘大游艇与3艘小游艇一次可载游客57人，3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人，则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为（
D．963、实数a＝2，下列各数中不能整除a的是（
D．20104、如图1所示的两个圆盘中，指针落在每一个数所在的区域上的机会均等，则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是（
5、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的图象是（
）6、要使有意义，则的取值范围为A．
B． C．
D． 7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S，则它的边长为（
D．8、如图2，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（
）①△CEF是等腰三角形
②四边形ADFE是菱形③四边形BFED是平行四边形
④∠BDF ∠CEF＝2∠AA．1
D．49、如图3，直线x＝1是二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴，则有(
)A．a＋b＋c＝0
B．b＞a＋c
D．abc＞010、铁板甲形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；铁板乙形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm ．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是（
A．甲板能穿过，乙板不能穿过
B．甲板不能穿过，乙板能穿过C．甲、乙两板都能穿过
D．甲、乙两板都不能穿过二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、x与y互为相反数，且，那么的值为__________.12、一次函数y=ax b的图象如图4所示，则化简得________.13、若x=－1是关于x的方程a2x2 2011ax－2012=0的一个根，则a的值为__________.14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时，由B码头逆水航行到A码头需8小时，则一块塑料泡沫从A码头顺水漂流到B码头要用______小时（设水流速度和船在静水中的速度不变）．15、如图5，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是
．16、如图6，直线l平行于射线AM，要在直线l与射线AM上各找一点B和C，使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_______个．17、如图7，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB=145°，则∠DBE的度数是________.18、如图8所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折，点B、D分别落在对角线AC的点B＇和D＇上，则线段EG的长度是________.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要30天完成，如果让乙工程队单独工作，则需要60天方可完成；甲工程队施工每天需付施工费2.5万元，乙工程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题：（1）甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程？（2）甲、乙两个工程队一起合作10天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，请问共需多少天才能完成此项工程？（3）如果要使整个工程施工费不超过65万元，甲、乙两个工程队最多能合作几天？（4）如果工程必须在24天内（含24天）完成，你如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费.20、如图9，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：（1）如图9（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；（2）如图9（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2 PC2=PB2 PD2；（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图9（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．2012年全国初中数学竞赛（海南赛区）初赛试卷参考答案一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）题号12345678910答案CDDACBABDB7、提示：可设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用对角线互相垂直进行解答.9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a＋b＋c＜0,当x=-1时有a-b＋c＞0,即a＋c＞b,即b＜a＋c，函数的对称轴为，则b＝－2a，因为抛物线的开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴的交点在负半轴，所以c＜0，由b＝－2a可得b＜0．所以abc＞0，因而正确答案为D10、分析：分别计算铁板的最窄处便可知，如图Ａ，直角梯形，AD=4cm，BC=10cm，∠C=60°，过点A过AE//CD，交BC于点E，过点B作BE⊥CD于点F，可求得AB=cm＞8.5cm，BE=cm＞8.5cm
铁板甲不能穿过，如图Ｂ，等腰三角形ABC中，顶角∠A=45°，作腰上的高线BD，可求得BD=cm＜8.5cm，所以铁板乙可以穿过； 所以选择Ｂ二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11、
13、 a1=2012,
14、4815、单位面积
18、17、分析：易证△CEA与△CDB全等，从而有∠DBC=∠EAC，因为，∠ABE ∠BAE=180°-145°=35°所以有∠EAC ∠EBC=120°-35°=85°，所以∠EBD=∠EBC ∠DBC=85°18、分析：AB＝4cm，BC＝3cm，可求得AC=5cm，由题意可知C B＇=BC=3cm，A B＇=2cm设BE=x，则AE=4-x，则有(4-x)2-x2 =22,x=1.5cm，即BE=DG=1.5cm，过点G作GF⊥AB于点F，则可求出EF=1 cm，所以EG=三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)19、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分，第（4）小题3分.解：（1）设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成此项工程，依题意得：，解得：x=20
答：甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.（2）设完成这项道路改造工程共需y天，依题意得：，解得y=40 。
答：完成这项道路改造工程共需40天.另：也可列方程：
（3）因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，要想使施工费尽可能少，甲工程队要少参与，即合作的时间要尽可能少，剩下的由乙单独完成，设甲、乙两个工程队合作a天，则由题意可知乙工程队还需单独做（60-3a）天，得：（1 2.5）a ＋1×（60-3a）≤653.5 a＋60-3 a≤65
答：甲、乙两个工程队最多能合作10天.（4）由题意知，甲、乙两个工程队单独做都不可能在规定时间内完成，必须合作，又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元，乙工程队单独完成工程需1×60=60万元，75＞60，因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做，即做满24天。设应安排他们合作m天，由题意可得：
解得：m=18.
即，安排甲、乙两工程队合作18天，剩下的部分乙工程队单独做6天.
施工费为：2.5×18 1×24=69（万元）.20、本题满分15分，第（1）、（2）、（3）小题各5分.解：（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD，如图9（1）所示，∵MN是BC的中垂线，所以有PA=PD，PC=PB，又四边形ABCD是矩形，∴AC=DB∴△PAC≌△PDB（SSS）（2）证明：过点P作KG//BC ，如图9（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2 PK2同理，PC2=CG2 PG2 ；PB2= BK2
PK2，PD2= DG2 PG2PA2 PC2= AK2 PK2
CG2 PG2， ，PB2
DG2 PG2AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB ，可证得四边形ADGK是矩形，∴AK=DG，同理CG=BK ，∴AK2=DG2，CG2=BK2
∴PA2 PC2=PB2 PD2（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）∴BC=4，AB=2
∴=4×2=8作直线HI垂直BC于点I，交AD于点H①当点P在直线AD与BC之间时即x y=4，因而y与x的函数关系式为y=4-x②当点P在直线AD上方时，即y -x =4，因而y与x的函数关系式为y=4 x③当点P在直线BC下方时， 即x - y =4，因而y与x的函数关系式为y=x-42012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ C ） A．
D．解：由实数，，在数轴上的位置可知，且，所以2．在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（ B ）A．10
D．5解：由题设，得．因为，均为整数，所以有，，，解得，，，，，，，，,以上共计9对3．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ B ）A．
D．解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE．由于AC = BC，CD = CE，．所以 △BCD≌△ACE， BD = AE．又因为，所以．在△中，，于是DE=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ D ）A．1
D．4解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数．由题设可得 ．消去x得，，．因为为正整数，所以的值分别为1，3，5，15．y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1．所以 x的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A．2012
D．99解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，，．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是
．解：前四次操作的结果分别为，，，．由已知得，．解得．容易验证，当，，，故x的取值范围是．7．如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于
．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．．8．如果关于x的方程的两个实数根分别为，，那么 的值为
．解：根据题意，关于x的方程有，由此得．又，所以 ，．此时方程为，解得．故9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为
．解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 ．由此得．又，所以．于是，．由此得或．当时，，；当时，，，．不合题设．故．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，．分别延长，，交点为．作，并与的延长线交于点．若，，则的长为
．解：如图，连接，，． 由是⊙O的直径知．依题设，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以．所以，因此 ．因为是⊙O的半径，，所以垂直平分，，于是 ．因此．由，知．因为，所以 ，．故．三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10．由勾股定理，得．易知，因此 CO = BO = 6． 于是，，．设点D的坐标为．由，得．所以 ，．解得 ．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为．因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为．
设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）．解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知，．所以， CI = CD． 同理，CI = CB ．故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．故OI是△IBD外接圆的切线．
（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．由，知OC⊥BD．因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE．
又因为I是△ABD的内心，所以．故．
13．已知整数，满足：是素数，且是完全平方数．当时，求的最小值．【解答1】设（是素数），（n是正整数）． 因为 ，所以 ，．因为与都是正整数，且（m为素数)，所以 ，．解得， ． 于是．又，即．又因为m是素数，解得． 此时，=2025．
当时，，，．因此，a的最小值为2025．【解答2】设（是素数），（n是非负整数）。 由于，，，，，因此，，，，，都不是质数。
5分由于，且不能被2，3，4，…，44整除，因此，是质数。………… 10分（1）当，即时，由以及是素数知，的最小值为。………… 15分（2）当时，，，由于，，，都不是质数，而2017是质数。当时，，不是完全平方数。所以，此时。由（！）、（2）可知，的最小值为。
…………… 20分14．将（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得． 所以，．
下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组． 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 1．如果那么的值为（
）． （A）
（D）2．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式≤2x 2y的整数点坐标（x , y）的个数为（
（C）8 （D）73．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（
（D）4．如果关于x的方程（p、q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（
）．（A）5
（D）85．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（
）．（A）
（D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．如果a、b、c是正数，且满足，，那么的值为
.7．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是
.8．如果关于x的方程x2 kx k2－3k = 0的两个实数根分别为，，那么 的值为
．9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为
.10．已知n 是偶数，且1≤n≤100，若有唯一的正整数对（a，b）使得成立，则这样的n的个数为
.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的范围．12．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心.求证：（1）OI是△IBD的接圆的切线；（2）AB AD=2BD. 13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.14．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b,c(可以相同)使得，求n的最小值. 2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷一、选择题⑴若四个互不相等的正实数满足，，则的值为（）
⑵一个袋子中装有个相同的小球，它们分别标有号码.摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（）
⑶如图，矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，得折痕，则的长为（）（A）
（D）⑷在正就变形中，若对角线,则的值等于（）（A）
（D）⑸有个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1 项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有20个人报名，则的最小值等于
() 181二、填空题⑹若，则的值为
⑺若四条直线所围成的凸四边形的面积等于，则的值为__________.⑻如图，半径为的沿折线作无滑动的滚动，如果，，那么，自点至点转动了__________周.(9)如图，已知中，为中点，为边三等分点，分别交于点，则等于 _______.(10)若平面内有一正方形，是该平面内任意点，则的最小值为______.三、解答题⑾已知抛物线经过点，且与轴交于两点，若点为该抛物线的顶点，求使面积最小时抛物线的解析式。⑿如图，分别以边长1为的等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点，连接交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，求的长。⒀已知与同为质数，求的值。⒁已知关于的不等式组的解集中的整数恰好有2个，求实数的取值范围。答案及详解答案：。可将与看做方程的两个解，则化为，因为，所以原式答案：D。可以分四种情况讨论：若第一次抽出1号球，则第二次抽出任一球都可满足条件，概率为；若第一次抽出2号球，则第二次抽出号球可满足要求，概率为；若第一次抽出3号球，则第二次抽出号球可满足要求，概率为；若第一次抽出4号球，则第二次抽出4号球可满足要求，概率为；加和得到最后概率为答案：。因为，所以，根据勾股定理得到，得到，易得，过点作于，，答案：。如图，设为正九边形的中心，连结，则，，又易得，，在上截取连结，，，，又，，，又答案：。对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项。报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有种，每个人报名方式有9种，要求有20人相同，可以让每一种方式都有19个人，然后只要任意一种再加一个人即可。所以应该为答案：。，展开后，，即，，答案：或。无论为正或负，围成的图形均为直角梯形或直角三角形，面积都等于中位线乘以高，高为4，则中位线为3。中位线一定在这条直线上，则可得到中点坐标为或，则代入得到或答案：。的长度刚好为圆的一个周长，4段线段长度和为4倍周长，也就是圆转了4周，但经过点从到时，从与相切到与相切转动了一个补角的度数，同理两点都要转一个补角度数，总共转了，即周长答案：。如图，作，，，，，，，，,答案：。如图，通过勾股定理易得，，，，，，又，所以当最小时，这个值最小，所以当时最小，即点与点重合时因为经过，代入得，，，点纵坐标为，，当时最小，解析式为如图，过点作，连结，易得为正三角形，所以，又，，，，，①当，即时，，即为合数，不符合题意；②当，即时，，即为合数，不符合题意；③当时，为合数，不符合题意；此时只能取，当时，为合数符合题意，所以2012年全国初中数学联赛（浙江赛区）试题及参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是
D.2.方程的整数解的组数为
D．6.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为
D．4．已知实数满足，则的最小值为
D．.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为
D．.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有
）A．36个.
D．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则
． 2．使得是完全平方数的整数的个数为
．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝
．4．已知实数满足，，，则＝
．答案：选择题：1.C
填空题：1.2.
3. 4.第二试 （A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解
设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.证明：连接OA，OB，OC. ∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，. 又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴. 三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.解
易求得点P，点C.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.
又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.
又因为AM//BC，所以，即.
把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为.
2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷．选择题(每小题7分，共42分)．若x＜1，则化简|x－1|得( )．A．x－1B．x＋1C．－x－1D．－x＋1．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( )．A．－2B．－1C．1D．2．若a＜0，p＞q＞0，则( )．A．|pq|＞|qa|B．|pq|＜|qa|C．D．．已知凸四边形ABCD对角线交于O，满足AO＝OC，BO＝3OD，若△ADO的面积为1，则凸四边形ABCD的面积为( )．A．4
B．6C．8D．10．若|a－1|＋|a－2|＜3，则a的取值范围是( )．A．a＜0B．0＜a＜3C．3＜aD．1＜a＜2在凸四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，AD＝2CD＝2，则AB＝( )．A．4B．3C．6D．4．填空题(每小题7分，共28分)．如果每人工作效率相同，a个人b天共做c个零件，那么要做a个零件，b个人需要的天数是＿＿＿．(用含a、b、c的代数式表示)．若，则的值为＿＿＿＿＿．．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．．P为矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD的长等于＿＿＿＿．．计算与应用(本题满分20分)．已知直线y＝kx＋b经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x轴、y轴的交点分别为C、D．设O为坐标原点，求△COD的面积．．(本大题满分25分)．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了．求两组数原来的平均数．2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、如果，那么的值为【
（D）解：B∵∴，，因此原式=在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标（x，y）的个数为【
（D）5解：B解法一：化为因为x、y均为整数，因此或或分别解得或或所以共有9个整点解法二：化为它表示以点（1,1）为圆心，为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3、如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为【
（D）4.5解：图，以CD为边作等边△CDE，连接AE． 由于AC = BC，CD = CE，．所以 △BCD≌△ACE， BD = AE．又因为，所以．在△中，，于是DE=，所以CD = DE = 4．4、如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【
（D） 8解：C∵p、q是正整数∴，∴正根为解得∴，，，，，，5、黑板上写有，，，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【
】（A）2012
（D）99解：C
∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：，，，……二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为
． 解：7在两边乘以得即7、如图，⊙的半径为20，是⊙上一点．以为对角线作矩形，且．延长，与⊙分别交于两点，则的值等于
．解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以，．．8、设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为
.解：1600因此，所以，因此所以共有0个数9、如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是
.解：依题意得：，所以，代入（2）得，两边乘以a得即化简得，两边除以得所以另一方面：a≤b≤c，所以综合得10、已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为
．解：依题意得由于是偶数，a b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数当1≤≤100时，4的倍数共有25个但是，，，，，，，，，这些不符合要求，因此这样的n有25-12=13个三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且．已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin∠ABC =，，所以AB = 10．由勾股定理，得．易知， 因此 CO = BO = 6． 于是，，．设点D的坐标为．由，得．所以 ，．解得 ．
因此D为AB的中点，点 D的坐标为． 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为．
设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．将点E的坐标代入，解得a =． 故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为．12、如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD.（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知，．所以， CI = CD． 同理，CI = CB ．故点C是△IBD的外心．连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．故OI是△IBD外接圆的切线．
（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．由，知OC⊥BD．因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以．所以BF = AE．
又因为I是△ABD的内心，所以．故．
13、给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．解：14、将，，…，（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．解：当时，把分成如下两个数组：和．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．在数组中，由于，所以其中不存在数，使得． 所以，．
下面证明当时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组． 同理可设在第一组，在第二组．
此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．综上，满足题设条件．所以，的最小值为．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题一、选择题（每题5分，共25分）1、已知三个关于x的一元二次方程ax2 bx c=0,bx2 cx a=0,cx2 ax b=0恰有一个公共根，则的值为（
）A、0B、1C、2D、32、设a、b是整数，方程x2 ax b=0的一根是，则的值为（
）A、2B、0C、-2D、-13、正实数a1,a2,….，a2011满足a1 a2 ….. a2011=1,设P=，则（
）A、p>2012B、p=2012C、p<2012D、p与2012的大小关系不确定4、如图，一次函数y=ax b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于，其中正确的个数有（
）A、2B、3C、4D、55、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（
）A、B、C、D、二、填空题（每题5分，共25分）6、已知实数x，y满足，则3x2-2y2 3x-3y-2012=
7、已知实数a,b,c满足a b c=10,且,则的值是
8、 如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线L的函数表达式是
9、如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN的长为
10、的最小值为
三、解答题11、边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-(k 2)x 4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。（10分）12、如图1，等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CF>BC，取线段AE的中点M 。（1）求证：MD=MF,MD⊥MF(6分)（2）若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分）13、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时间x（周）之间的函数关系式为Z=(1≤x≤16且x为整数) （1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）（2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）（3）求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）14、如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，3），直线x=-3交x轴于点B，P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交于直线x=3于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于M，交直线x=3于点N。（1）当点C在第二象限时，求证：△OPM≌△PCN；（4分）（2）设AP长为m，以P、O、B、C为顶点的四边形的面积为S，请求出S与M之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（6分）（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=-3上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标，如果不可能，请说明理由。（4分）九年级数学答案1、D2、C3、A4、C5、A6）-17）8）9） 10）11、设直角边为a，b（a<b），则a b=k 2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k 2）2-16k为完全平方数。设(k 2)2-16k=n2
∴k2-12k 4=n2 ∴(k-6)2-n2=32∴(k n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8∵k n-6>k-n-6
∴解得，k2=15,k3=12 当k2=15时，a b=17,ab=60
∴a=15 ， b=12
， c=13；当k=12时，a b=14,ab=48∴a=6 ， b=8
，c=1012、略13、（1）（2）（3）由（2）化简得①当时
∴当x=6时，w有最大值，最大值为18.5②当
∵6≤x≤11，故当x=11时，w有最大值，最大值为③当
∵12≤x≤16 ∴当x=12时，w有最大值为18综上所述，当x=11时，w有最大值为答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为14、（1）略(2)（3）P1（0，3） P22012年全国初中数学竞赛试题（副题）一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 1. 小王在做数学题时，发现下面有趣的结果：由上，我们可知第100行的最后一个数是（
）．（A）10000
（B）10020
（C）10120
（D）102002. 如图，在3×4表格中，左上角的1×1小方格被染成黑色，则在这个表格中包含黑色小方格的矩形个数是（
）．（A）11
（D）143．如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是（
）．（A）1
（D）44. 若函数y=（k2－1）x2－（k 1）x 1（k为参数）的图象与x轴没有公共点，则k的取值范围是（
）．（A）k＞，或k＜－1
（B）－1＜k＜，且k≠1（C）k＞，或k≤－1
（D）k≥，或k≤－15. △ABC中，，分别为上的点，平分，BM=CM，为上一点，且，则与的大小关系为（
（B） （C）
（D）无法确定二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6. 如图，正方形ABCD的面积为90．点P在AB上， ；X，Y，Z三点在BD上，且，则△PZX的面积为
．（第6题）7．甲、乙、丙三辆车都匀速从A地驶往B地．乙车比丙车晚5分钟出发，出发后40分钟追上丙车；甲车比乙车晚20分钟出发，出发后100分钟追上丙车，则甲车出发后
分钟追上乙车．8. 设an=（n为正整数），则a1 a2 … a2012的值
1. （填“＞”，“＝”或“＜”）9．红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等， 那么共有
种放法．10. △ABC中，已知，且b=4， 则a c=
.三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11. 已知c≤b≤a，且，求的最小值． 12. 求关于a，b，c，d的方程组
的所有正整数解. 13. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC，BD相交于点O．P，Q分别是AD，BC上的点，且，．求证：OP＝OQ．（第13题） 14.（1）已知 三个数中必有两个数的积等于第三个数的平方，求的值.（2）设为非零实数，为正整数，是否存在一列数 满足首尾两项的积等于中间项的平方？（3）设为非零实数，若将一列数中的某一项删去后得到又一列数（按原来的顺序），满足首尾两项的积等于中间项的平方. 试求的所有可能的值. 2012年全国初中数学竞赛试题（副题）参考答案 一、选择题1．D 解：第k行的最后一个数是，故第100行的最后一个数是． 2.
B解：这个表格中的矩形可由对角线的两个端点确定，由于包含黑色小方格，于是，对角线的一个端点确定，另一个端点有3×4=12种选择.3．B解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数． ≥0，又2≥，所以， 当时，解得
； 当时，解得
C解：当函数为二次函数时，有
k2－1≠0，
=(k 1)2－4(k2－1)＜0.
解得k＞，或k＜－1．
当函数为一次函数时，k=1，此时y=－2x 1与x轴有公共点，不符合题意．
当函数为常数函数时，k=－1，此时y=1与x轴没有公共点.
所以，k的取值范围是k＞，或k≤－1.
B （第5题） 解：如图，设，作BKCE，则 ， 于是A，B，E，C四点共圆. 因为是的中点，所以，从而有 ， 即平分.二、填空题6.
30 （第6题） 解：如图，连接PD，则 ． 7．180 解：设甲、乙、丙三车的速度分别为每分钟x，y，z米，由题意知 ，
． 消去z，得． 设甲车出发后t分钟追上乙车，则，即 ， 解得． 8．＜ 解：由an==， 得 a1 a2 … a2012= =＜1. 9．25 解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有 1≤≤9， 且 ，
（2） 于是 ．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到 ． 此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y=5，或者z=5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有 9×3－2 = 25种放法． 10.
6 （第10题） 解：如图，设△ABC内切圆为⊙I，半径为r，⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接IA，IB，IC，ID，IE，IF. 由切线长定理得
AF=p－a，BD=p－b，CE=p－c，其中p=(a b c). 在Rt△AIF中，tan∠IAF=，即 tan. 同理，
tan， tan. 代入已知等式，得
. 因此 a c=. 三、解答题 11. 解：已知，又，且，所以b，c是关于x的一元二次方程
的两个根. 故
≥0， ≥0， 即
≥0， 所以≥20． 于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故 ≥30， 当时，等号成立． 12. 解：将abc=d 代入10ab 10bc 10ca=9d得 10ab 10bc 10ca=9abc. 因为abc≠0，所以，. 不妨设a≤b≤c，则 ≥≥＞0. 于是，
＜≤， 即
＜≤， ＜a≤. 从而，a=2，或3. 若a=2，则. 因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤5.
从而，b=3，4，5. 相应地，可得 c=15，(舍去)，5. 当a=2，b=3，c=15时，d=90； 当a=2，b=5，c=5时，d=50. 若a=3，则. 因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.
从而，b=2（舍去），3. 当b=3时，c=(舍去). 因此，所有正整数解为 (a，b，c，d)=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)， (3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)， (2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50). 13. 证明：延长DA至，使得，则，于是 △DPC∽△， 故 ， 所以PO∥． （第13题） 又因为△DPO ∽△，所以 ． 同理可得
， 而AB∥CD，所以，故OP＝OQ． 14. 解：（1）由题设可得 ，或，或 .
由，解得 ；
由，解得 ；
由，解得 .
所以满足题设要求的实数.
（2）不存在. 由题设（整数≥1）满足首项与末项的积是中 间项的平方，则有
， 解得 ，这与矛盾.
故不存在这样的数列.
（3）如果删去的是1，或者是，则由（2）知， 或数列均为1，1，1，即，这与题设矛盾. 如果删去的是，得到的一列数为，那么 ，可得.
如果删去的是，得到的一列数为，那么
所以符合题设要求的的值为1，或.2012年全国初中数学竞赛试题（正题） 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）． （第1（甲）题）（A）2c?a （B）2a?2b （C）?a （D）a1（乙）．如果，那么的值为（ ）．（A） （B） （C）2 （D）2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）2（乙）． 在平面直角坐标系中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．（A）1 （B） （C） （D）3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．，AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ ）．（第3（乙）题）（A） （B）4 （C） （D）4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）44（乙）．如果关于x的方程 是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）．（A） （B） （C） （D）5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）．（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .（第6（甲）题）6（乙）. 如果a，b，c是正数，且满足，，那么的值为 ． 7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . （第7（甲）题） （第7（乙）题）7（乙）．如图，的半径为20，是上一点.以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于 ．8（甲）．如果关于x的方程x2 kx k2－3k = 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．8（乙）．设为整数，且1≤n≤2012. 若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是 .10（甲）．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .（第10（甲）题）10（乙）．已知是偶数，且1≤≤100．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）． 如图，在平面直角坐标系xOy中， AO = 8，AB = AC，sin∠ABC=．CD与y轴交于点E，且S△COE = S△ADE. 已知经过B，C，E三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式.（第11（乙）题）12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：△BOC∽△．（第12（甲）题）12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线， AC的中点I是△ABD的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB AD = 2BD.（第12（乙）题）13（甲）．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）．将（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值． 人教网2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案
一、选择题 1（甲）．C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ，且， 所以
1（乙）．B 解：． 2（甲）．D 解：由题设知，，，所以. 解方程组得
所以另一个交点的坐标为（3，2）. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤≤2. 因为均为整数，所以有 解得 以上共计9对. 3（甲）．D
解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为 ， 中位数为
. 3（乙）．B 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.
（第3（乙）题） 由于AC = BC，CD = CE， ∠BCD=∠BCA ∠ACD=∠DCE ∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE. 又因为，所以. 在Rt△中， 于是DE=，所以CD = DE = 4.
4（甲）．D 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得 消去x得
(2y－7)n = y 4，
2n =. 因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．
5（甲）．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大． 5（乙）．C 解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则 ， 解得
，． 二、填空题 6（甲）．7＜x≤19 解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80. 由已知得
27x－26≤487，
81x－80＞487. 解得
7＜x≤19. 容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19． 6（乙）．7 解：由已知可得 ． 7（甲）．8 解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以
， 由此得，所以. （第7（甲）题） 在Rt△ABF中，因为，所以 ， 于是
. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，
又，所以.
因为，所以. 7（乙）． 解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以 ， ． （第7（乙）题） 所以
. 8（甲）． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4≥0， 由此得
(k－3)2≤0．
又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2 3x =0，解得x1=x2=.
故==． 8（乙）．1610 解：因为==. 当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除； 当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除； 当被5除余数是0时， 不能被5整除. 所以符合题设要求的所有的个数为． 9（甲）．8 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 ， 由此得0≤b≤43.
又 ，所以. 于是
0≤≤43， 87≤≤130， 由此得 ，或. 当时，；当时，，，不合题设. 故． 9（乙）． ≤1
解：由题设得 所以
， 由二次函数的图象及其性质，得. 又因为 ≤1，所以≤1. 10（甲）． 解：如图，连接AC，BD，OD.
（第10（甲）题） 由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以 ∠BCF =∠BAD, 所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 . 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，
于是 . 因此 . 由△∽△，知．因为， 所以 ，BA=AD ，故 . 10（乙）. 12 解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25． （Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾． （Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足． （Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足． 因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个． 三、解答题 11（甲）．解： 因为当时，恒有，所以 ， 即，所以．
…………（5分） 当时，≤；当时，≤，即 ≤， 且
解得≤．
…………（10分） 设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得 ． 因为，所以 ， 解得，或． 因此．
…………（20分） 11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以 AB = 10． 由勾股定理，得 BO=. （第11（乙）题） 易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6.
于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）. 设点D的坐标为（m，n），由S△COE = S△ADE，得S△CDB = S△AOB.
， ， 解得n=－4.
因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）.
…………（10分） 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为. 设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x 6）. 将点E的坐标代入，解得a =.
故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为 .
…………（20分） 12（甲）． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形． （第12（甲）题）
…………（5分） 设与交于点，连接OM，则．又因为，所以 ．
…………（15分） 又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以 △BOC∽△．
…………（20分） 12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
（第12（乙）题） 所以
CI = CD． 同理，
CI = CB. 故点C是△IBD的外心. 连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI. 故OI是△IBD外接圆的切线.
…………（10分） （2） 如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.
由，知OC⊥BD. 因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以 Rt△BCF≌Rt△AIE， 所以BF = AE. 又因为I是△ABD的内心，所以 AB AD－BD = 2AE = BD. 故AB AD = 2BD．
…………（20分）
13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.
(a b)2－4ab = (a－b)2， 所以
(2a－m)2－4n2 = m2，
(2a－m 2n)(2a－m－2n) = m2.
…………（5分） 因为2a－m 2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m 2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以
2a－m 2nm 2，2a－m－2n1. 解得
= a－m.
…………（10分） 又a≥2012，即≥2012. 又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025. 当时，，，. 因此，a的最小值为2025.
…………（20分） 13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个． （1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；
…………（5分） （2）若，且≥13，由，可得，即≤11． 当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．
…………（10分） （3）若，且≤≤． 当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角． 由≤可得；由≥8可得，且．
…………（15分） （4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于． 综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11； 当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．
…………（20分） 14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以 ≥1，≥2，…，≥2012． 于是
≤．…………（10分） 当时，令，则
.…………（15分）
当时，其中≤≤，令 ，则
． 综上，满足条件的所有正整数n为．
…………（20分） 14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：
在数组中，由于，所以其中不存在数，使得． 在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．
所以，≥．
…………（10分） 下面证明当时，满足题设条件． 不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组． 此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时． 综上，满足题设条件． 所以，的最小值为．
…………（20分）免费下载完整版竞赛题：
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