76平面机构自由度计算思考题和习题
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76平面机构自由度计算思考题和习题
平面机构自由度计算思考题和习题；1、思考题；?什么是构件、运动副、运动链自由度？它们有何异同；?什么是运动副约束？平面运动副中最多约束数为多少；?试写出计算平面运动链自由度公式，并从物理概念简；?计算运动链自由度的目的何在？；?机构具有确定运动的条件是什么？如果不满足该条件；况；2、习题；1）通过自由度计算判断图示运动链是否有确定运动；（图中箭头所示构件为原
平面机构自由度计算思考题和习题1、 思考题? 什么是构件、运动副、运动链自由度？它们有何异同点？? 什么是运动副约束？平面运动副中最多约束数为多少？为什么？? 试写出计算平面运动链自由度公式，并从物理概念简述其推演过程。? 计算运动链自由度的目的何在？? 机构具有确定运动的条件是什么？如果不满足该条件可能会出现哪些情况？
? 什么是虚约束？总结归纳出现虚约束的几种情况。2、 习题1） 通过自由度计算判断图示运动链是否有确定运动（图中箭头所示构件为原动件）。如果不满足有确定运动的条件，请提出修改意见并画出运动简图。 2）计算下列各运动链的自由度，并指出其中是否有复合铰链、局部自由度、虚约束。最后判断该机构是否有确定运动（图中箭头所示构件为原动件），为什么？ （A）(B) (C)
(D) 3、习题答案1）计算自由度：n=4, PL=6, PH=0,
F= 3n-2PL -PH=3×4-2×6-1×0=0，运动链不能动。修改参考方案如图所示。 2）答案(A）没有复合铰链、局部自由度、虚约束。n=4, PL=5, PH=1,
F= 3n-2PL -PH=3×4-2×5-1=1。运动链有确定运动，因为原动件数 = 自由度数。（B）A处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。无虚约束。n=6, PL=8, PH=1,
F= 3n-2PL -PH=3×6-2×8-1=1。运动链有确定运动，因为原动件数 = 自由度数。(C) F处为复合铰链，因为有3个构件在此处组成成转动副，所以应算2个转动副。 B处为局部自由度，假设将滚子同构件CB固结。移动副M、N中有一个为虚约束，属于两构件在多处组成运动副。n=7, PL=9, PH=1,
F= 3n-2PL -PH=3×7-2×9-1=2。运动链没有确定运动，因为原动件数 & 自由度数。(D) B处有复合铰链，有2个转动副。无局部自由度。B点左侧所有构件和运动副带入的约束为虚约束，属于与运动无关的对称部分。n=5, PL=7, PH=0,
F= 3n-2PL -PH=3×5-2×7-1×0=1。运动链有确定运动，因为原动件数 = 自由度数。 包含各类专业文献、应用写作文书、行业资料、中学教育、高等教育、文学作品欣赏、各类资格考试、幼儿教育、小学教育、76平面机构自由度计算思考题和习题等内容。
　3、机构自由度数和原动件数之间具有什么关系? 4、用机构运动简图表示你家中的缝纫机的踏板机构。 5、计算平面机构自由度时,应注意什么问题? 二、填空题 1、 ... 　第一章 平面机构的运动简图和自由度习题_理学_高等教育_教育专区。第一章 平面...9.计算平面机构自由度的公式为F= ,应用此公式时应注意判 断:(A) 铰链,(B... 　第一章 平面机构的运动简图及自由度判断题(认为正确的,在括号内画√ 反之画× 一、判断题(认为正确的,在括号内画√,反之画×) 1.机构是由两个以上构件组成... 　个约束。 个约束, 而引入一个低副将带入 图1 2)计算图 2 所示平面机构的自由度,指出复合铰链、局部自由度和虚约束,在进行高副低代 后,分析机构级别 图2 3... 　8.在平面机构中,具有两个约束的运动副是 副,具有一个约束的运动副是 副。 9.计算平面机构自由度的公式为F= ,应用此公式时应注意判断: A. 铰链,B. 自由度... 　机架和原动件 (9) 有两个平面机构的自由度都等于...在计算自由度时,若存在 由 m 个构件组成的复合...机械原理运动分析习题课... 25页 免费 机械制图基础... 　第一章 平面机构的运动简... 4页 免费 平面机构自由度计算思考题... 2页 ...1.有两个平面机构的自由度都等于 1,现用一个带有两铰链的运动构 件将它们串... 　B 产生任何相对 D、从动件 2 机械原理习题集 第二章 平面机构的结构分析 判断题 1 、具有局部自由度的机构,在计算机构的自由度时,应当首先除去局部自由度。 ... 　01-02 2013机构自由度计算试题答案_IT认证_资格考试/认证_教育专区。机械原理2013版答案一、填空题 1. 平面运动副的最大约束数为___2___,最小约束数为___...急求导弹6自由度弹道仿真程序，C语言及Matlab语言均可。有重谢，谢谢了！
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比方说，有350个企业， 10年观测值。 现在有4个变量作分析。 那么自由度是多少呢？
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做什么分析啊？
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论坛法律顾问：王进律师一种计算平面机构自由度的新方法51
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一种计算平面机构自由度的新方法51
机械工程学报；CHINESEJOURNALOFMECHANIC；一种计算平面机构自由度的新方法；郭卫东于靖军；(北京航空航天大学机器人研究所北京100191)；摘要：计算平面机构自由度的契贝谢夫-克鲁伯（Gr；ANewMethodofMobilityCalc；GUOWeidongYUJingjun；(RoboticsInstitute,Beiha；Abstr
报CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING 一种计算平面机构自由度的新方法 郭卫东
于靖军(北京航空航天大学机器人研究所
100191) 摘要：计算平面机构自由度的契贝谢夫-克鲁伯（Grübler-Kutzbach）经典公式看似简单，但使用起来却经常出错。在对现行多数《机械原理》和《机械设计基础》等教材中关于平面机构自由度计算中存在问题进行深入分析的基础上，也可得到相似的结论。为此提出了一种计算平面机构自由度的新方法，并对相应的Grübler-Kutzbach公式进行了变异。即通过引入实约束高副、虚约束高副、全约束低副和半约束低副等新概念，解决了目前在平面机构自由度计算中存在的问题，为平面机构自由度计算的严谨性和科学性进行了有益的探索。 关键词：机械原理
虚约束 中图分类号：TH112*A New Method of Mobility Calculation for Planar Mechanisms GUO Weidong
YU Jingjun(Robotics Institute, Beihang University, Beijing 100191) Abstract：The Classical Grübler-Kutzbach formula for calculating mobility of planar mechanisms seems very simple, however, it is not easy to obtain a correct result for some special mechanisms. In particular, by making an investigation of some cases existing in dozens of current-use textbooks relating to “Theory of Machines and Mechanisms” and “Fundamental to Machine Design”, it is found that some results derived from the well-known formula are not correct. For this reason, a new method of mobility calculation for planar mechanisms is proposed, which is establishing upon a derived Grübler-Kutzbach formula. In the proposed method and formula, the new concepts of real-constraint higher pair, redundant-constraint higher pair, full-constraint lower pair and half-constraint lower pair are introduced, thus the puzzle existing in the Grübler-Kutzbach formula can be solved effectively. The research is helpful for making the formula for calculating mobility of planar mechanisms more rigid and scientific. Key words：Theory of machines and mechanisms
Planar mechanisms
Redundant constraints0
前言在应用Grübler-Kutzbach公式F=3n-2pL-pH（n为活动构件数，pL为低副数，pH为高副数）计算平面机构的自由度时，会遇到以下问题。图1a所示为一齿轮机构。当啮合传动时，相当于它们的节圆相切纯滚[1]，其机构运动简图如图1b所示。该齿轮机构的活动构件数n =2，低副数pL=2，高副数pH=1，计算得到机构的自由度F=1，结果正确。对于如图2a所示的机构，活动构件数n=2，低副数pL=2，计算得机构的自由度为F=2，结果正确。但当构件1和构件2接触相切后，如图2b所示，活? 北京航空航天大学教改重点项目资助。********收到初稿，********收到修改稿动构件数n=2，低副数pL=2，高副数pH=1，计算得机构的自由度计算为F=1，这与实际情况不符。对图2b所示的机构，高副实质并未起到约束的作用。 (a)
齿轮机构及其运动简图 (a)
两自由度齿轮机构及其运动简图虽然图1b和图2b具有完全相同的机构构型，但应用Grübler-Kutzbach公式计算出的图1b机构的自由度是正确的，而计算图2b的机构的自由度却是错误的。再比如对周转轮系进行区分时，自由度为2的周转轮系称为差动轮系（如图3所示），自由度为1的周转轮系称为行星轮系。 图3
差动轮系机构运动简图 有些教程[2]（查阅了20本教科书）对如图3所示的差动轮系的自由度计算过程是：活动构件数n =4，低副数pL=4，高副数pH=2，计算得机构的自由度F=2，与实际情况相符合。但此计算过程中忽略了一个问题，就是行星轮2的中心O2到中心轮1或中心轮3的中心O1的距离始终保持不变（即为转臂H的长度），那么用1个构件（转臂H）和2个转动副O1和O2将行星轮2与机架相关联，将引入一个虚约束。如果考虑此虚约束，则其机构的自由度为F=1，与实际不符。避开机构虚约束的存在，在理论上又无法解释清楚，导致对此轮系进行自由度计算时不够严谨，也不够科学。因此很多教程就没有提及周转轮系自由度计算的过程[3]（查阅了72本教科书），只给出按自由度区分轮系的结论和方法。有学者基于螺旋理论对包括刚性机构[4]、柔性机构[5]、变胞机构[6]等在内的各种机构[7] [8]的自由度问题进行了深入的研究，解决了一些机构应用Grübler-Kutzbach公式计算存在错误的问题，但此种方法需要以螺旋理论为基础，掌握的难度很大，特别是对不了解螺旋理论的人们，就更觉得此方法的深奥和难以理解。有关柔顺机构自由度的计算研究[9]和对目前所应用的机构自由度计算公式研究[10]虽然解决了有些机构的自由度计算问题，但还无法合理回答论文开头所提出的问题。鉴于此，论文给出了一种通俗易懂的方法，从机构运动相关联特性分析入手，探讨解决平面机构自由度计算中遇到的上述问题。 1
平面机构自由度计算新方法从运动上来看，运动副就是一个构件给另一个构件的运动限制，也就是运动约束。真正起到约束作用的运动副，本文称为实约束运动副，有些运动副不起约束作用，称为虚约束运动副（也即虚约束）。在计算机构的自由度时，对虚约束运动副的处理方法，任何1本《机械原理》教材都有论述，本文的处理方法也不例外，这里不再赘述。对于实约束运动低副（即转动副和移动副），有些运动低副起到全部约束作用，称为全约束运动低副，简称全约束低副；而有些运动低副只起到一半的约束作用，称为半约束运动低副，简称半约束低副。再考虑到机构中存在的运动附加条件约束，例如构件之间的相对运动为纯滚动等，平面机构的自由度可按下式进行计算F?3n?2pLA?pLH?pH?C
（1）式中：n为活动构件数；pLA为全约束低副数；pLH为半约束低副数；pH为实约束高副数；C为运动附加条件数。同应用Grübler-Kutzbach公式计算机构的自由度一样，要能正确计算得出机构的自由度，关键是要能正确得到计算公式中的各参数值，也即能准确得出活动构件数n、全约束低副数pLA、半约束低副数pLH、实约束高副数pH和运动附加条件数C。下面针对实约束高副，虚约束高副、全约束低副和半约束低副，以及运动附加条件进行分析，给出判断它们的具体方法――运动副约束特性分析。2
运动副约束特性分析2.1
实约束高副和虚约束高副如图4所示的平面高副中，不考虑构件1和2在P点接触的约束，即假设两构件没有在P点接触，设机构1在P点的速度为vP1，在接触点处廓线的公法线nn方向的分速度为vnP1，构件2在P点的速度为vnnP2，在nn方向的分速度为vP2。如果vP1?vnP2，则此高副就是实约束高副。如果vnnP1?vP2，则此高副就是虚约束高副。这里要再一次强调的是，判断vnnnvnP1?vP2或者vP1?P2的前提是：假设构件1和构件2在接触点P处没有接触，即没有接触约束情况下的“接触点”处公法线方向的速度。 图4
平面高副约束特性分析 例如图5所示的平面高副中，当不考虑构件1和构件2在P点接触的约束作用时，构件1在P点的速度vP1由构件本身的运动所决定（例如在重力作用下向下运动），其在nn方向将存在分速度，即vnP1?0，而构件2在接触点P处nn方向的速度vnP2?0，因vnnP1?vP2，所以此高副为实约束高副。而对于图6所示的机构，构件1和构件2在P点的速度方向是过接触点P的两廓线公切线方向，即vnnP1?vP2?0，所以P点处的高副为虚约束高副。 图5
实约束平面高副 对于齿轮啮合传动，当考虑实际廓线啮合接触时，两轮齿廓线为高副接触，相当于图4的平面高副约束情况，是实约束高副，而将齿轮啮合传动等效为两个节圆相切纯滚动时，就相当于图6所示的平面高副约束情况，为虚约束高副，但此虚约束高副中隐含了一个附加运动约束条件―在P点处相切且纯滚动。 图6
虚约束平面高副 2.2
全约束低副和半约束低副如图7所示的双平行四边形机构，假设构件2和构件5在E点处没有构成转动副，则此时构件2上E点 的速度在mm方向（沿杆EF方向）的分速度vmE2?0，而构件5上E点的速度在mm方向的分速度vmE5?0，因此转动副E在mm方向上不起到约束的作用，而在垂直于mm方向的运动速度是不相等的（这里进一步要强调的是，所谓在垂直于mm方向的运动速度不相等，是假设构件2和构件5在E点处没有构成转动副的条件下而言的），所以在垂直于mm方向上，转动副E具有约束作用，因此称此转动副为半约束转动副。 图7
双平行四边形机构 再比如图8所示的椭圆仪机构中，假设滑块3和机架5在B处没有构成移动副，证明发现，滑块3只有相对机架5绕B点的转动，不可能产生垂直于导路方向（即水平方向）的相对移动[8]，所以移动副B处机架5对滑块3在垂直于导路方向的移动约束不起作用，只有1个转动的约束起作用，因此称此移动副为半约束移动副。半约束转动副和半约束移动副统称为半约束低副。如果运动低副的2个约束都起作用，则称为全约束低副，如图7所示机构中除了半约束转动副E以外的其它运动副和图8所示机构中除了半约束移动副B以外的其它运动副都是全约束低副。 图8
椭圆仪机构 2.3
运动约束条件有学者指出，在计算机构自由度时，如两个构件作纯滚动，则在接触点切线方向的相对移动受限制，存在一个约束，在计算自由度时，应该减去该约束 [11]。例如图8所示平面高副，如果要求构件1和构件2为相切纯滚，则有运动附加约束条件为vP1?vP2，在计算机构自由度时要给予考虑，即在自由度计算时，减去运动附加条件数。3
计算实例3.1
齿轮机构的自由度计算如图1b所示，如果把齿轮机构的啮合传动等效成2个相切纯滚的圆柱体传动，则有：活动构件数n =2，全约束低副数pLA =2，半约束低副数pLH =0，实约束高副数pH =0，运动附加条件数C =1，则机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?2?2?2?0?0?1?1 若按实际齿轮传动中轮齿齿廓曲线的啮合状况来考虑，即齿廓接触处的高副为实约束高副，则活动构件数n =2，全约束低副数pLA=2，半约束低副数pLH=0，实约束高副数pH =1，运动附加条件数C =0，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?2?2?2?0?1?0?1 3.2
非纯滚动机构自由度计算如图2b所示，如果2个相切的圆柱体运动中，不存在运动相关性，即两构件不存在在接触点处纯滚动的情况，则运动附加条件数C =0，由前面的分析得知，P点处的高副为虚约束高副，计算机构自由度时不计算在内，所以该机构的活动构件数n =2，全约束低副数pLA =2，半约束低副数pLH =0，实约束高副数pH =0，运动附加条件数C =0，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?2?2?2?0?0?2 3.3 双平行四边形机构的自由度计算如图7所示的双平行四边形机构，转动副E为半约束低副，所以该机构的活动构件数n =4，全约束低副数pLA =5，半约束低副数pLH =1，实约束高副数pH =0，运动附加条件数C =0，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?4?2?5?1?0?0?1 3.4
椭圆仪机构的自由度计算如图8所示的椭圆仪机构，移动副B为半约束低副，所以该机构的活动构件数n =4，全约束低副数pLA =5，半约束低副数pLH =1，实约束高副数pH =0，运动附加条件数C =0，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?4?2?5?1?0?0?1 3.5
轮系机构的自由度计算如图9所示的差动轮系机构，其自由度计算的方法有2种。 图9
差动轮系 方法1：将齿轮的啮合传动等效成两圆柱体的接触纯滚动传动，设行星轮2和中心轮1在接触点（啮合节点）P处的高副为实约束高副，且有在P点速度相等的附加运动约束条件，因此机构中的实约束高副数pH =1，运动附加条件数C =1。假设行星轮2和转臂H在O2处没有构成转动副，分析可知，行星轮2中心O2处沿着两齿轮连心线方法的速度vnO22?0，转臂H在端点O2处速度沿着杆的方向的速度vnO2H?0，所以转动副O2为半约束低副，即pLH =1，活动构件数n =3，全约束低副数pLA =2，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?3?2?2?1?1?1?1 方法2：将齿轮的啮合传动等效成两圆柱体的接触纯滚动传动，设转动副O2为全约束低副，则易知中心轮1和中心轮2在接触点P处的速度方向都是过P点且垂直于两齿轮的连心线O1O2方向，因此高副P是虚约束高副，同样存在两齿轮在P点速度相等的附加运动约束条件，因此机构中的活动构件数n =3，全约束低副pLA =3，实约束高副数pH =0，运动附加条件数C =1。机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?3?2?3?0?0?1?1 对于如图10所示的差动轮系，其自由度计算也有2种方法。 图10
差动轮系 方法1：设行星轮2和中心轮1在接触点P12处的高副为实约束高副，则行星轮2和中心轮3在接触点P23处的高副就为虚约束高副（因为行星轮2和中心轮3在它们接触点P23处的速度在接触点公法线方向的分速度都为0），因此机构中的实约束高副数pH =1，行星轮2与中心轮1和中心轮3在接触点P12和P23处都为纯滚动，所以运动附加条件数C =2，转动副O2为半约束低副（原因同上例），即pLH =1，活动构件数n =4，全约束低副数pLA =3，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?4?2?3?1?1?2?2 方法2：设转动副O2为全约束低副，则中心轮1和中心轮2及中心轮3在接触点P12和P23处的2个高副都为虚约束高副，因此机构中的实约束高副数pH =0，行星轮2与中心轮1和中心轮3在接触点P12和P23处都为纯滚动，所以运动附加条件数C =2，机构中的活动构件数n =4，全约束低副pLA =4，机构的自由度F为F?3n?2pLA?pLH?pH?C?3?4?2?4?0?0?2?2 5
结论通过引入实约束高副、虚约束高副、全约束低副和半约束低副等概念，并对经典的Grübler-Kutzbach自由度计算公式进行了变异，在给出实约束高副、虚约束高副、全约束低副和半约束 低副定义和类型判断方法的基础上，给出了更为准确和严谨的平面机构自由度计算公式，通过实例证明本文提出的平面机构自由度计算方法适用性强，回答了应用Grübler-Kutzbach自由度计算公式无法解释的一些问题。作者也希望本文的探索能给读者一些启发，也期待广大机构学工作者的批评与指正。参
献[1] 郭卫东. 机械原理 [M]. 北京：科学出版社，2010 GUO Weidong. Theory of Machines and Mechanisms [M]. Beijing: Science Press, 2010[2] 张策. 机械原理与机械设计[M]. 北京：机械工业出版社, 2004ZHANG Ce. Principle and Design of Machines and Mechanisms (Edition 1) [M]. Beijing: China Machine Press, 2004[3] 申永胜. 机械原理教程（第二版）[M]. 北京：清华大学出版社，2006SHEN Yongsheng. Theory of Machines and Mechanisms (Edition 2) [M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2006[4] ZHAO Jingshan, ZHOU Kai., and FENG Zhijing. A theory of degrees of freedom for mechanisms
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