数学一考不考常微分方程解法的幂级数解法?

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关于微分方程的幂级数解法里的正则奇点,解指标方程当ρ1-ρ2=整数时,要分情况讨论∑[Am-l(l+ρ1-m)+Bm-l]Cl(2)是否等于0,来讨论方程的解是否含有对数项注这里的Cl(2)是相对于ρ2的第l项的系数!既然想要知道这个求和是否为零,那么就需要利用初始条件知道C0,C1来推导比如说方程在奇点z=0处解的形式为f(x)=z^ρ∑Ck*z^k我想问的是初始条件是否是f(0)和f'(0)呢?如果那样的话f(0)必然等于0,f'(0)=0或者无穷,得不到任何关于系数C0和C1的东西呀?如果初始条件给的不是z=0处的初始条件,那么我们又何必在Z=0处作展开呢?我知道我这的想肯定是错了,哪位能告诉我下,到底这是怎么回事?不胜感激!
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来个高手给看下呗,我就想知道对于这种正则奇点的常微分方程的初始条件是怎么给的,既然奇点也有可能是解的奇点,说明初始条件肯定不是关于这个奇点的吧?
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关于微分方程的幂级数解法问题书上说当微分方程的解不能用初等函数或其积分式表达时,可用幂级数解法.可是什么样的微分方程的解不能用初等函数或积分表达?请举个例子,并说明为什么不能用初等函数或积分表达?
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