a,b,c∈R a/(a+b)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-05-14 16:12 标签： gt b9120
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已知a、b、c∈R+,证明:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.
证：a,b,c都是正实数
∴(a+b)+(b+c)+(c+a)&=3[(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3)(*)
1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)&=3/[(a+b)(b+c)(c+a)]^(1/3)(**)
(*)*(**):2(a+b+c)*1/[(a+b)(b+c)(c+a)]&=9
---&(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)&=9/2
---&[1+c/(a+b)]*[1+a/(b+c)]*[1+b/(c+a)]&=9/2
---&a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)&=3/2 证完
春天的菠菜
开了眼界。确实是因为齐次故可设三数和为1，利用詹森不等式，妙了！！
哦,谢谢!证法上应当没错.
而是齐次性
这不是依对称性，
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大家还关注a、b、c为△ABC三边，x∈R，求证：a2x2+（b2-a2-c2）x+c2=0根的情况．（提示：△=…=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c（a-b-c）＜0）【考点】；．【专题】证明题；判别式法．【分析】首先分析题目要证明方程根的情况的问题，考虑到应用判别式法，又a、b、c为△ABC三边，根据三角形两边之和大于第三边，可以判定出判别式小于0，即无实数根．【解答】解：已知a、b、c为△ABC三边，x∈R，和方程a2x2+（b2-a2-c2）x+c2=0根据根的判别式可知：△=（b2-a2-c2）2-4a2c2=（b2-a2-c2+2ac）（b2-a2-c2-2ac）=（b-a+c）（b+a-c）（b-a-c）（b+a+c）又因为a b c 是三角形△ABC的三边故：b-a+c＞0，b+a-c＞0，b-a-c＜0，b+a+c＞0 所以△=（b-a+c）（b+a-c）（b-a-c）（b+a+c）＜0 故方程a2x2+（b2-a2-c2）x+c2=0没有实数根．【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况的问题，其中涉及到判别式法求根的存在性和三角形中两边之和大于第三边的问题．计算量小属于基础题目．同学们需要掌握．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：zhiyuan老师　难度：0.60真题：1组卷：13
解析质量好中差a.b.c∈R+,且a+b&c,证明：a/(1+a) +b/(1+b) & c/(1+c)_百度知道
a.b.c∈R+,且a+b&c,证明：a/(1+a) +b/(1+b) & c/(1+c)
提问者采纳
a/(1+a) +b/(1+b) &a/(1+a+b) +b/(1+a+b) =(a+b)/(1+a+b) 因为a+b&c所以(a+b)/(1+a+b) & c/(1+c)故a/(1+a) +b/(1+b) & c/(1+c)
所以(a+b)/(1+a+b) & c/(1+c)？？？
(a+b)/(1+a+b) & c/(1+c)展开就是(a+b)(1+c)&c(1+a+b)即a+b+c(a+b)&c+c(a+b)即a+b&c,成立！也可以从函数角度看f(x)=x/(1+x)是单调递增函数，所以(a+b)/(1+a+b) & c/(1+c)
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出门在外也不愁设a,b,c∈R_，则a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)的最小值为_百度知道
设a,b,c∈R_，则a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)的最小值为
设a,b,c∈R_，则a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)的最小值为
提问者采纳
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=c/(a+b)+1+a/(b+c)+1+b/(c+a)+1-3=(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)-3=0.5*(a+b+b+c+c+a)*[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]-3利用三元基本不等式≥0.5*{3*[(a+b)(b+c)(c+a)]^1/3}*{3*[1/(a+b)*1/(b+c)*1/(c+a)]^1/3}-3=0.5*3*3-3=3/2,a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)的最小值为3/2.
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已知a,b,c∈R,求证:∫a2+b2 +∫b2+c2 +∫c2+a2≥∫2(a+b+c)
a^2+b^2&=2ab,所以2(a^2+b^2)&=(a+b)^2,sqrt(a^2+b^2)&=(a+b)/sqrt(2),同理可证：sqrt(b^2+c^2)&=(b+c)/sqrt(2),sqrt(c^2+a^2)&=(c+a)/sqrt(2)，三个不等式相加即得到所求证的结果（当且仅当a=b=c时取等号）
59.52.125.*
写错了(a^2+b^2)≥[(a+b)^2]/2
应该小于等于
115.229.111.*
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