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设a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程c（x2+n）+b（x2-n）-2nax=0（n＞0）有两个实数根，求证：△ABC是直角三角形．
题型：解答题难度：中档来源：山西
证明：关于x的方程c（x2+n）+b（x2-n）-2nax=0（n＞0）可化为（c+b）x2-2anx+（c-b）n=0，∵方程有两个相等的实数根，∴△=（-2an）2-4n（c+b）（c-b）=0，即a2=b2+c2，∵a，b，c是△ABC三边的长，∴△ABC是直角三角形．
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据魔方格专家权威分析，试题“设a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程c（x2+n）+b（x2-n）-2nax=0..”主要考查你对&&一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次方程根的判别式勾股定理的逆定理
根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac。定理1& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＞0方程有两个不等实数根；定理2& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△=0方程有两个相等实数根；定理3& ax2+bx+c=0（a≠0）中，△＜0方程没有实数根。根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。定理4& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根△＞0；定理5& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根△＝0；定理6& ax2+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根△＜0。注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。（4）根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。根的判别式有以下应用：①不解一元二次方程，判断根的情况。②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。③证明字母系数方程有实数根或无实数根。④应用根的判别式判断三角形的形状。⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。⑧利用根的判别式解有关抛物线（△&0）与x轴两交点间的距离的问题。勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形。如果a2+b2&c2，则△ABC是锐角三角形。如果a2+b2&c2，则△ABC是钝角三角形。由于余弦定理是由勾股定理推出的，故可以用来证明其逆定理而不算循环论证。勾股定理的逆定理是判定三角形是不是直角三角形的重要方法。 勾股定理的来源：毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。　常用勾股数组（3,4,5）；（6,8,10）；（5,12,13）；（8,15,17） ；（7,24,25）有关勾股定理书籍 ：《数学原理》人民教育出版社；《探究勾股定理》同济大学出版社；《优因培教数学》北京大学出版社；《勾股书籍》新世纪出版社；《九章算术一书》《优因培揭秘勾股定理》江西教育出版社；《几何原本》（原著：欧几里得）人民日报出版社。毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后 的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。　直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。利用不等式A2+B2≥2AB可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。
发现相似题
与“设a，b，c是△ABC三边的长，且关于x的方程c（x2+n）+b（x2-n）-2nax=0..”考查相似的试题有：
237612548956460362419255202283438426教师讲解错误
错误详细描述：
（济南中考）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（－3，0），C（1，0），·（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
【思路分析】
（1）设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，利用待定系数法可解得k＝ ，b＝ ，即直线AB的函数表达式为y＝ x+ ；（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，D点为所求．又tan∠ADB=tan∠ABC= ，CD=BC÷tan∠ADB=3÷＝ ，可求OD=OC+CD= ，所以D（ ，0）；（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，解得m＝ ；当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则解得m＝ ．
【解析过程】
：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B点坐标为（1，3），设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，由得k＝，b＝，∴直线AB的函数表达式为y＝ x+ ；（2）如图，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，在Rt△ABC和Rt△ADB中，∵∠BAC=∠DAB，∴Rt△ABC∽Rt△ADB，∴D点为所求，又tan∠ADB=tan∠ABC=，∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷＝，∴OD=OC+CD=，∴D（，0）；（3）这样的m存在．在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，则，解得m＝，如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，则，解得m＝．
(1) y＝ x+ ；(2) D（，0）；(3) m＝.
主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
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京ICP备号 京公网安备如图,已知等腰三角形ABC的直角顶点C在X轴上,B在Y轴上.&br/&&br/&(1)若点C的坐标为(2,0),点A的坐标为(-2,-2),求点B的坐标.(2)在(1)的条件下,AB交x轴于F点,边AC交y轴于E点.连EF ①求证:CE=AE ②求证:∠CEB=∠AEF(3)如图②,直角边BC在
如图,已知等腰三角形ABC的直角顶点C在X轴上,B在Y轴上.(1)若点C的坐标为(2,0),点A的坐标为(-2,-2),求点B的坐标.(2)在(1)的条件下,AB交x轴于F点,边AC交y轴于E点.连EF ①求证:CE=AE ②求证:∠CEB=∠AEF(3)如图②,直角边BC在 5
不区分大小写匿名
解：设B的坐标为（X,Y)据：直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1) 设AC的斜率为k1=(-2-0)/(-2-2)设BC的斜率为k2=(0-y)/(2-x)因为角BCA为直角则BC垂直于AC所以k1*k2=-1由上式可得XY的关系：y=4-2x又因为B在y轴上则X=0易得Y=4所以B（4，0）
第二题开头部分多余写。请忽略
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数学领域专家已知点A（1，4），B（6，2），试问在直线x-3y+3=0上是否存在点C，使得三角形△ABC的面积等于14？若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由．考点：．专题：．分析：求出AB的方程，AB的距离，设出C点的坐标，C在AB的垂线上，以及C到AB的距离和面积，求出C的坐标．解答：解：AB=2+(4-2)2=29，直线AB的方程为，即2x+5y-22=0，假设在直线x-3y+3=0上存在点C，使得三角形ABC的面积等于14，设C的坐标为（m，n），则一方面有m-3n+3=0①，另一方面点C到直线AB的距离为，由于三角形ABC的面积等于14，则，|2m+5n-22|=28，即2m+5n=50②或2m+5n=-6③．联立①②解得，；联立①③解得m=-3，n=0．综上，在直线x-3y+3=0上存在点C或（-3，0），使得三角形ABC的面积等于14．点评：本题考查点到直线的距离，考查计算能力，是基础题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：☆☆☆☆☆推荐试卷
解析质量好解析质量中解析质量差当前位置：
＞＞＞设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与..
设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上．若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（　　）A．1B．3C．2D．3
题型：单选题难度：中档来源：不详
设y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2=（-x1）x2=-x1x2（射影定理的逆定理），由根与系数的关系得，x1+x2=-ba，x1ox2=ca，所以c2=-ca，c=-1a，又4ac-b24a=-1，即4a=4+b2，且a≥1，所以S△ABC=12|c|o|x1-x2|=12a(x1+x2)2-4x1x2，=12ab2a2+4a2，=1aa≤1，当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．故选A．
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据魔方格专家权威分析，试题“设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与..”主要考查你对&&一元二次方程根与系数的关系，二次函数与一元二次方程，三角形的周长和面积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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一元二次方程根与系数的关系二次函数与一元二次方程三角形的周长和面积
一元二次方程根与系数的关系：如果方程&的两个实数根是那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。一元二次方程根与系数关系的推论：1.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么x1+x2=-p&， x1`x2=q2.以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0提示：①运用根与系数的关系和运用根的判别式一样，都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值。②有推论1可知，对于二次项系数为1的一元二次方程，他的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。③推论2可以看作推论1的逆定理，利用推论2可以直接求出以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项系数是1）是x2-(x1+x2)x+x1x2=0二次函数与一元二次方程的关系：函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。那么一元二次方程的解就是二次函数图像与x轴焦点的横坐标，因此，二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。1、从形式上看：二次函数：y=ax2＋bx＋c& (a≠0)一元二次方程：ax2＋bx＋c=0& (a≠0)2、从内容上看：二次函数表示的是一对(x，y)之间的关系，它有无数对解；一元二次方程表示的是未知数x的值，最多只有2个值3、相互关系：二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根。 如：y=x2－4x＋3与x轴的交点是(1，0)、(3，0)，则一元二次方程x2－4x＋3=0的根是x=1或x=3二次函数交点与二次方程根的关系：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、若△＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点---相交；2、若△=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点---相切（顶点）；3、若△＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点--相离。若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=-，x1x2=。点拨：①解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。②若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1,x2(x1&x2),则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1,0）,(x2,0),对称轴为x=x1+x2/2。③若a&0,当x&x1,或x&x2时，y&0;当x1&x&x2时，y&0。若a& 0,当x1&x&x2时，y&0;当x&x1或x&x2时，y&0。④如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M（x1，0），N(x2，0)，则MN=√b2-4ac/|a|。三角形的概念：由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。构成三角形的元素：边：组成三角形的线段叫做三角形的边；顶点：相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；内角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段；（2）三条线段不在同一直线上；（3）首尾顺次相接。三角形的表示：用符号“△，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作ABC”。三角形的分类：（1）三角形按边的关系分类如下：；（2）三角形按角的关系分类如下：把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。三角形的周长和面积：三角形的周长等于三角形三边之和。三角形面积=（底×高）÷2。
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与“设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与..”考查相似的试题有：
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