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奥数专题：简单的抽屉原理(鸽笼原理),利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题.doc3页
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奥数专题：简单的抽屉原理
　　把3个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或3个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把5个苹果任意放到4个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1个），那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：
　　抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
　　如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。
　　比如，我们从街上随便找来13人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、…等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13人看成13个“苹果”，把12种属相看成12个“抽屉”）。
　　应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。
分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：
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小学数学《抽屉原理》题解（供教师们参考）
（1）例1把4枝铅笔放进3个文具盒中。不论怎么放总有一个文具盒里至少放进 2枝铅笔。为什么？
解：假如每个文具盒只放进1枝铅笔，最多放3枝。剩下的 1枝还要放进其中的一个文具盒里。所以至少有2枝铅笔 放进同一个文具盒里。
（2）做一做 6只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2 只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
解：假如每个鸽舍里只飞回1只鸽子，最多飞回5只鸽子。剩下1只还要飞进其中的一个鸽舍里。所以至少有2只鸽子要进同一个鸽舍里。
由（1），（2）你有什么发现？
抽屉原理1：将n+1件物品任意放到n个抽屉里，那么至少有一个
抽屉中的物品不少于2件。
（3）例2把5本书放进2个抽屉里。不论怎么放总有一个抽屉至少放进
3本书。为什么？
解：假如每个抽屉里放2本书，最多放4本书。剩下的1本书还要放进
其中的一个抽屉里。所以不论怎么放总有一个抽屉至少放3本书。
考虑：假如一共有7本书，会怎样呢？9本呢？
解：假如每个抽屉里放3本书，最多放6本书。剩下的1本书还要放进
其中的一个抽屉里。所以不论怎么放总有一个抽屉至少放4本书。
假如每个抽屉里放4本书，最多放8本书。剩下的1本书还要放进
其中的一个抽屉里。所以不论怎么放总有一个抽屉至少放5本书。
你有什么发现？
5÷2=2……1，2+1=3 7÷2=3……1，3+1=4
9÷2=4……1，4+1=5
抽屉原理2：将多于m n件物品任意放到n个抽屉里，那么
至少有一个抽屉中的物品不少于m+1件.
(4) 做一做 8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3 只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
解：因为8÷3=2……2，根据抽屉原理2，至少有2+1=3
只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
（5）例3盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要想摸出的球一定
有2个同色的，最少要摸出几个球？
解：把红球和蓝球看成2个抽屉，把摸出的球看作物品，本题就 2个抽屉中至少有一个抽屉有2件物品，求至少有多少件物品。反用抽屉原理1，那么至少有2+1=3 答：最少要摸出3个球。
（6）向东小学六年级共有370名同学，其中六（2）班有49 名同学。甲说：六年 级一定有两人的生日是同一天。乙说：六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。他们说得对吗？
解：一年有365天（闰年由366天），把365天看作365个抽屉把370名同学看作370个物品。根据抽屉原理1，把370个物品放进365个抽屉里，至少有一个抽屉里放2个物品。因此，六年级一定两人的生日是同一天。
一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把49名同学看作49个物品。根据抽屉原理2，49÷12=4……1，至少有一个抽屉里放4+1=5个物品。因此，六（2）班中至少有5人是同一个月出生的。
（7）把红，黄，蓝，白四种颜色的球各10个放到一个袋子里，至少取多少球 可以保证取到两个颜色相同的球？
解：把四种颜色看作4个抽屉，把取出的球看作物品，本题就变成：已知4个抽屉中至少有一个抽屉有2件物品，求至少有多少件物品？反用抽屉原理1，那么至少取4+1=5个球可以保证取到两个颜色相同的球。
（8）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张牌是 同一 花色的。试一试，并说明理由。
解：把扑克牌有黑桃，红桃，方块，梅花四种花色看作4个抽屉，把任意抽出的5张牌看作5个物品。根据抽屉原理1，至少有一个抽屉里放两个物品。所以，任意抽取5张至少有2张是同花色的。
（9）张叔叔参与飞镖竞赛，投了5镖，成果是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？
解：把投了的5镖看作5个抽屉，把成果41环看作41个物品。41÷5=8……1，根据抽屉原理2，至少有一个抽屉里放了8+1=9个物品。所以，张叔叔至少有一镖不低于9环。
（10）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。如3，82，103，3+103=106，106是偶数。你能说出其中的道理吗？
解：因为自然数可以分成奇数，偶数两类。把奇数，偶数看作两个抽屉，把任意给出的3个不同自然数看作3个物品。根据抽屉原理1，至少有一个抽屉里放了两个数。又因为奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以，任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。
（11）给一个正方形木块的六个面分别涂上蓝，黄两种颜色，无论怎么
涂至少有3个面涂的颜色相同。为什么？
解：把正方形的6个面看作6个物品，把红，黄两种颜色看作2个抽屉，6=2×3+0根据抽屉原理2，至少有3个物品在同一个抽屉里。所以，无论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。
说明：只有当我们用蓝色，黄色各涂3个面时，两种颜色恰好在3个面出现。其余涂法至少有4个面涂有相同的颜色。
（12）把红，蓝，黄三种颜色的小棒各10根混在一起。假如让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才干保证一定有2根同色的小棒？保证有2对同色的小棒呢？
解：把红，蓝，黄三种颜色看作3个抽屉，把30根小棒看作物品。反用抽屉原理1，每次最少拿出3+1=4根小棒，才干保证一定有2根同色的小棒。
解：把红，蓝，黄三种颜色看作3个抽屉，把30根小棒看作物品。反用抽屉原理2，每次最少拿出3×3+1=10根小棒，才干保证一定有2对同色的小棒。
（13）给下面每个格子涂上红色或蓝色。观察每一列，你有什么发现？
有3行9列（表格略）无论怎么涂，至少有两列的涂法相同？
假如只涂两行的话，结论有什么变化？
解：涂色方式共有8种情况。
红 红 红 蓝 红 蓝 蓝 蓝
红 红 蓝 红 蓝 红 蓝 蓝
红 蓝 红 红 蓝 蓝 红 蓝
把9列小方格看作9件物品，每列小方格不同涂色方式看作不同的抽屉，即有8个抽屉。根据抽屉原理1，至少有一个抽屉里有2件物品。所以，无论怎么涂，至少有两列的涂法相同。
只涂两行的涂色方式有4种情况。
红 红 蓝 蓝
红 蓝 红 蓝
把9列小方格看作9件物品，把4种不同涂色方式看作4个抽屉。根据抽屉原理2，9÷4=2……1，至少有一个抽屉里有3件物品。所以，假如只涂两行的话无论怎么涂，至少有三列的涂法相同。
（14）任意给出5个非0的自然数。甲说：我能找到3个数，让这3个数的和是3的倍数。你信不信？乙说：我不信。两个人一组先试一试，然后互相说一说这其中的奥妙。
解：任何整数除以3的余数只能是0，1，2三种情况。即看成3个抽屉，假如给定的5个数中，至少有3个数在同一个抽屉里，那么由于这3个数除以3得到相同的余数a，所以它们的和能被3整除（3a能被3整除）。假如每个抽屉至多有2个给定的数，那么3个抽屉中都有给定的数，在每个抽屉中各取1个，这3个数除以3得到余数分别为0，1，2，因此，它们的和被3整除（0+1+2=3被3整除）。综上所述，在任意给出5个非0的自然数中，其中必有3个数的和是3的倍数。
（15）把1——8这8个数任意围成一个圆圈，在这个圈上一定有3个
相邻的数之和大于13。你知道其中的奥妙吗？
解：设放在圆圈上的数依次为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,相邻3个数组
共有8种..a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5,……a8+a1+a2.
这8组数的和为(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+……+(a8+a1+a2)
=3(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8)=3×36=108 108÷8=13……4，根据抽屉原理2，在这个圈上一定有3个相邻的数之和大于13。
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巧解数学运算中构造问题
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　一、抽屉原理的构造问题　　识别：有若干种不同的事物，从中至少抽出几个，才能保证在抽出的事物符合问题的要求。这类问题 的识别往往不是靠“至少”去识别，而是有“保证”或隐藏“保证”含义这样的关键字。
　　解法：确定问题的要求(取N个)，运用最不利的原则，每种事物最多取(N-1个)，某种事物不满足问 题要求或者数量不够(N-1个)，则全取，把所有数量相加以后，再加1，即可。
　　【例题1】有300名求职者参加高端人才专场招聘会，其中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人 力资源管理类分别有100、80、70和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有70名找到工作的人 专业相同?()
　　A. 71 B.119
　　C. 258 D.277
　　【答案】C
　　【解析】先确定目标“有70名找到工作的人专业相同”。但是我们发现有的专业能满足70个;有的不 能满足70个。
　　运用最不利原则，能满足的取70个，则需要取69×3=207个，不能满足的，全部取完，就去50个，一 共需要207+50+1=258个，故答案为C。
　　二、数列型构造问题
　　识题：题目中有若干个雷同事物且数量的和为定值，求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小 值。
　　解法：将问题中所需要的变量设为X，如果其为最大，则只需要让其它量最小即可;反之，要求X最小 ，则考虑其它量尽可能大，相加等于总量，解方程就可以得出结论。
　　【例题2】一次数学考试满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95分，排名第六的同学的得分 是86分，假如每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分?
　　A. 94 B. 97
　　C. 95 D. 96
　　【答案】D
　　【解析】6个人总分为570分，排名第三要最少，则其他部分需要尽可能大。那么第一名为100，第二 名为99。设第三名为X，第4，5名次需要尽可能大，设为x-1，x-2，根据题意列方程为：
　　100+99+x+x-1+x-2+86=570，解方程为x=96。故答案选D。
　　三、集合型构造问题
　　识题：在一个总集合里，包含有多个子集合，，每个子集合存在相同的两种相反的属性，求这些子集 合一种属性在什么情况下总量最大。
　　解法：当需要求解某种属性之和最大问题，正面难以求解的情形下，我们可以求解这种属性的相反属 性。再用总数减去反面的极值，就可以得到问题中的极值。
　　【例题3】某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这 个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?( )
　　A. 5 B. 6
　　C. 7 D. 8
　　【答案】A
　　【解析】在这个问题中每个子集合都包含了喜欢与不喜欢这样的相反属性。问题要求的是四项都喜欢 的和的极值，相对来说比较难求解，但是我们可以去求解每种活动不喜欢的人数，进行反面求解更加方便 。不喜欢这四项活动的人数分别为46-35=11人，46-30=16人，46-38=8人，46-40=6人。有一种活动不喜 欢一样的人数最多，则四个都喜欢的人数就最少。4个集合均无交集，不喜欢的人数就最多，为 11+16+8+6=41人，所以四种活动都喜欢的人数最少为46-41=5人，答案选A。
　　四、几何型构造问题
　　识题：在集合问题中，问题中所求的线，面，体相关的属性的量为最大最小的问题。
　　解法：尽可能寻找所求的“线，面，体相关的属性的量”的区间范围，确定所求的最大最小问题的极 端情况，根据几何问题的解法求解。
　　【例题4】将边长为1的正方体一刀切割为2个多面体，其表面积之和最大为：( )
　　A. 6+2√2 B. 6+2√3
　　C. 6+√2 D. 6+√3
　　【答案】A
　　【解析】所求两个多面体的面积，只需要将立方体的外表面面积加上切割出现的面积即可。但是所求 面积要最大，立方体外表面积不变，需要要让切割出现的面积最大即可。切割出现的面积最小为2个正方 形的面积，最大的情形就是变长为1和√2的长方形，面积为。因此表面积最大为6+2√2。答案为A。
　　这类问题几乎是省考的必考题型，有的题目难度比较大，但是只要将题目分好类，掌握好每类题目的 解题思路，这样的难题也就变得不再难。
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