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半线性双温度热传导方程柯西问题
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于用mathematica解偏微分方程的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：用mathematica解偏微分方程 72第七章数学物理问题的 Mathematica 求解§7.1 偏微分方程的解析解1.一阶偏微分方程的通解Mathematica 中的 DSolve 命令也可以用来求偏微分方程的通解,使用格式为 DSolve[偏微分方程,未知函数,{自变量}]。例如,求一阶偏微分方程 0x yu u+ = 的通解,命令语句为DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] 0,u[x,y],{x,y}]输出结果为{{u[x,y]→C[1][-x+y]}}注意其中的 C[1]是一个任意函数,而不是常微分方程通解中的任意常数。上面的结果可以写成我们更习惯的方式1( , ) ( )u x y C y x= 上例中的一阶偏微分方程是线性齐次的,现在我们再看一个线性非齐次的偏微分方程1/( )x yu u xy+ = ,求解的命令语句为DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] 1/(x y),u[x,y],{x,y}]输出结果为::u@x, yD →Log@xD + Log@yD+ x C@1D@x + yD y C@1D@x + (来源：淘豆网[/p-6907557.html])yDx
y&&上面的结果可以写成1 11ln ln ( ) ( ) ln ln( , ) ( )x y x C y x y C y x x yu x y C y xx y x y + +
结果中的第一项为对应齐次方程的通解,第二项为非齐次方程的特解。下面再看一个非线性的一阶偏微分方程2x yu u u+ = ,求解的命令语句为DSolve[D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] u[x,y]^2,u[x,y],{x,y}]输出结果为::u@x, yD →1x
C@1D@x + yD&&上面的结果可以写成11( , )( )u x yx C y x=
732.二阶偏微分方程的通解现在,我们来看二阶偏微分方程的求解。例如求波动微分方程2tt xxu a u= 的通解,命令语句为DSolve[D[u[t,x],t,t] a^2 D[u[t,x],x,x],u[t,x],{t,x}]输出结果为::u@t, xD → C@1DB&##(来源：淘豆网[/p-6907557.html])###a2 t + xF+ C@2DB&#####a2 t+ xF&&注意现在通解中有 C[1]和 C[2]二个任意函数,由于 Mathematica 不知道参数 a 的性质,因而未对2a 进行化简。设 a&0,写成习惯的形式为1 2( , ) ( ) ( )u x t C x at C x at=
+ +按照方程的要求,这两个任意函数都应该存在二阶偏导数。我们也可以用 DSolve 来求拉普拉斯方程 0xx yyu u+ = 的通解,命令语句为DSolve[D[u[x,y],x,x]+D[u[x,y],y,y] 0,u[x,y],{x,y}]输出结果为{{u[x,y]→C[1][ x+y]+C[2][- x+y]}}注意现在通解中的二个任意函数 C[1]和 C[2]都应该是解析函数。不是所有的偏微分方程都可以用 DSolve 来求出通解的,例如,我们所熟悉的热传导方程2t xxu a u= 虽然存在形式上的通解2( )41( , ) ( )2x satu x t(来源：淘豆网[/p-6907557.html]) s e dsa tπ∞∞= ∫,但是用 DSolve 命令DSolve[D[u[t,x],t] a^2 D[u[t,x],x,x],u[t,x],{t,x}]得到的结果为DSolve@uH1,0L@t, xD a2uH0,2L@t, xD, u@t, xD, 8t, x&DMathematica 把输入的内容原样输出,表明它无法按要求执行。DSolve 通常也不能求出非齐次二阶线性偏微分方程的通解。例如,非齐次波动方程2tt xxu a u x = 的求解命令为DSolve [ D[u[x,t],x,x]+D[u[x,t],t,t] x , u[x,t] , {x,t} ]输出结果为DSolve@uH0,2L@x, tD + uH2,0L@x, tD x, u@x, tD, 8x, t&D3.特解的计算74一般来说,DSolve 命令也不能求出偏微分方程的特解,例如,对于波动方程的柯西问题2 20 00,| , | 2tt xxx xt t tu u xu e u xe = = (来源：淘豆网[/p-6907557.html])=
∞& & ∞= =其特解可以用达朗贝尔公式得到,结果为2( )( , ) x tu x t e =然而用 DSolve 命令DSolve[{D[u[t,x],t,t] D[u[t,x],x,x],u[0,x] Exp[-x^2], Derivative[1,0][u][0,x] 2 xExp[-x^2]},u[t,x],{t,x}]得到的结果为DSolveB:uH2,0L@t, xD uH0,2L@t, xD, u@0, xD x2, uH1,0L@0, xD 2 x2x&, u@t, xD, 8t, x&FMathematica 也是把输入的内容原样输出。又如,对于拉普拉斯方程问题200| 2xx yyyu uu x=+ ==用 DSolve 命令DSolve[{D[u[x,y],x]+D[u[x,y],y] 0,u[x,0] 2x^2},u[x,y],{x,y}]得到的结果为DSolve@8uH0,1L@x, yD + uH1,0L@x, yD 0, u@x,(来源：淘豆网[/p-6907557.html]) 0D 2 x2&, u@x, yD, 8x, y&D§7.2 数学物理问题的数值求解1.典型案例虽然 Mathematica 的 DSolve 命令在求偏微分方程的通解或者特解中表现不佳,但是数值求解微分方程的命令 NDSolve 却可以较好地处理偏微分方程的定解问题。例如,在时间范围[0,0.3]t ∈内数值求解热传导方程的定解问题0 10, 0 1| 0, | 0| (1 )t xxx xtu u xu uu x x= === & &= = = 命令语句为NDSolve[{D[u[x,t],t]==D[u[x,t],x,x],u[x,0] x(1-x),u[0,t] 0,u[1,t]==0},u,{x,0,1},{t,0,0.3}]输出的结果为75{{u→InterpolatingFunction[{{0.,1.},{0.,0.3}},&&]}}这表明 Mathematica 得到了一个在[0,1], [0,0.3]x t∈∈范围内的插值函数(来源：淘豆网[/p-6907557.html]) u(x, t)。在此基础上,我们可以用三维作图命令 Plot3D 来画出插值函数的图像,命令语句为Plot3D[Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,1},{t,0,0.3}]输出结果为00.250.50.751 00.10.200.10.200.250.50.75我们也可以用一系列的时间抽样图像来显示温度 u 随着时间的演化情况,如果抽样的间隔为 0.1,命令语句如下Table[ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,1}],{t,0,0.3,0.1}]输出结果为0.2 0.4 0.6 0.8 10.050.10.150.20.25t=0.2 0.4 0.6 0.8 10.020.040.060.08t=760.2 0.4 0.6 0.8 10.0.020.t=0.2 0.4 0.6 0.8 10.60.t=虽然所显示的温度分布的图(来源：淘豆网[/p-6907557.html])形相似,但是数值的标度范围在迅速变小,这说明物体中的温度随时间迅速下降。我们可以调整 Plot 中的参数来保持标度范围不变,如果要取作图的纵坐标范围固定为[0,0.25],可以设置参数为 PlotRange-&{0,0.25},命令语句为Table[ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{x,0,1},PlotRange-&{0,0.25}],{t,0,0.3,0.1}]输出的结果为0.2 0.4 0.6 0.8 10.050.10.150.20.25t=0.2 0.4 0.6 0.8 10.050.10.150.20.25t=770.2 0.4 0.6 0.8 10.050.10.150.20.25t=0.2 0.4 0.6 0.8 10.050.10.150.20.25t=这样就可以明显地看出不同时刻的温度分布情况的变化,即温度分布随着时间的演化情况。我们也可以固定某个位置,观察温度随着时间变化的规律。如果固定位置的坐标为{0.1, 0.5,0.9(来源：淘豆网[/p-6907557.html])},对应的命令语句为Table[ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[%]],{t,0,0.3},PlotRange-&{0,0.25}],{x,0.1,0.9,0.4}]输出的结果为0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.050.10.150.20.25x=0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.050.10.150.20.25x=780.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.050.10.150.20.25x=上面的%表示引用刚刚结束的操作结果,因此对应的命令必须紧邻,如果隔开了就会出错。为了提高用 Mathematica 解题的灵活性,我们可以给操作结果起一个名,以后可以在任何时候按名引用。例如,上面的命令组可以改写为Solution = NDSolve [ { D[u[x,t],t]==D[u[x,t],x,x] , u[x,0] x(1
-x) , u[0,t] 0 , u[1,t]==0 } , u , {(来源：淘豆网[/p-6907557.html])x,0,1} , {t,0,0.3} ]Table [ Plot [Evaluate[u[x,t]/.First[Solution]],{t,0,0.3},PlotRange-&{0,0.25}] , { x,0.1,0.9,0.4} ]2.其它热传导定解问题下面,我们再考虑几个热传导方程的定解问题。例 1 在时间范围[0,1]t ∈内数值求解第二类边界条件齐次泛定方程问题020, 0| 0, | 0| sint xxx x x xtu u xu uu xππ= == = & &= ==命令语句为solution=NDSolveA9tu@x, tD == x,xu@x, tD, u@x, 0D Sin@xD2, uH1,0L@0, tD == 0,uH1,0L@π, tD == 0=, u, 8x, 0, π&, 8t, 0, 1&E;Plot3D@Evaluate@u@x, tD ê. First@solutionDD, 8x, 0, π&, 8(来源：淘豆网[/p-6907557.html])t, 0, 1&D输出的结果为.40.60..例 2 在时间范围[0,1]t ∈内数值求解第一类边界条件非齐次泛定方程问题12020sin 2 , 0| 0, | 0| sint xxx xtu u t xu uu xππ= == = + & &= ==命令语句为solution=NDSolveA9tu@x, tD == x,xu@x, tD+ Sin@2tDê 2, u@x, 0D Sin@xD2, u@0, tD == 0,u@π, tD == 0=, u, 8x, 0, π&, 8t, 0, 1&E;Plot3D@Evaluate@u@x, tD ê. First@solutionDD, 8x, 0, π&, 8t, 0, 1&D输出的结果为.40.60..7510123.波动问题中的应用同样地,我们可以 Mathematica 的数值求解微分方程的 DSolve 命令来求解波动方程的定解问题。例如,在时间范围[0,1]t ∈内数值求解第一类边界条件波动问题00 0, 0| 0, | 0| sin 2 , | 0tt xxx xt t tu u xu uu x uππ= == == & &= = = =的命令语句组为solution=NDSolveA9t,tu@x, tD == x,xu@x, tD, u@x, 0D Sin@2xD,uH0,1L@x, 0D 0, u@0, tD 0, u@π, tD == 0=, u, 8x, 0, π&, 8t, 0, 1&E;Plot3D@Evaluate@u@x, tD ê. First@solutionDD, 8x, 0, π&, 8t, 0, 1&D;输出的结果为.20.40.60.81-1-0.500.51012又如,在时间范围[0,1]t ∈内数值求解第二类边界条件下的波动问题00 0, 0| 0, | 0| cos2 , | 0tt xxx x x xt t tu u xu uu x uππ= == == & &= = = =的命令语句组为solution=NDSolveA9t,tu@x, tD == x,xu@x, tD, u@x, 0D Cos@2xD, uH0,1L@x, 0D 0,uH1,0L@0, tD == 0, uH1,0L@π, tD == 0=, u, 8x, 0, π&, 8t, 0, 2&E;Plot3D@Evaluate@u@x, tD ê. First@solutionDD, 8x, 0, π&, 8t, 0, 2&D;输出的结果为.52-1-0.500.51012再如,在时间范围[0,6]t ∈内数值求解周期性边界条件下的波动问题, 6 6| || , | 0tt xxx xxt t tu u xu uu e u= == = =
& &== =的命令语句组为solution=NDSolve[{D[u[t, x], t, t] == D[u[t, x], x, x], u[0, x] == Exp[-x^2], Derivative[1,0][u][0, x]== 0, u[t, -6] == u[t, 6]}, u, {t, 0, 6}, {x, -6, 6}];Plot3D[Evaluate[u[t,x]/.First[solution]],{t,0,6},{x,-6,6}]结果得到.502..751024如果对图像的精度不满意,可以通过改变默认的插值点数来提过精度。例如,上面问题中可以插入参数 PlotPoints→50NDSolve[{D[u[t, x], t, t] == D[u[t, x], x, x], u[0, x] == Exp[-x^2], Derivative[1,0][u][0, x] == 0, u[t,-6] == u[t, 6]}, u, {t, 0, 6}, {x, -6, 6}];Plot3D[Evaluate[u[t,x]/.First[%]],{t,0,6},{x,-6,6}, PlotPoints→50]得到的结果成为.502..751024播放器加载中，请稍候...
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数学物理方程
作者：申建中
出版：西安交通大学出版社
数学物理方程《数学物理方程》是在编者2008年出版的《数学物理方法》一书中后半部分内容的基础上，为适应高等学校非数学类理工科专业数学物理方程课程的教学需要而编写的。《数学物理方程》主要包括偏微分方程定解问题的建立、分离变量法、积分变换法、格林函数法和特征线法等内容。除了在原有内容上做了较大的修改和完善外，还增加了勒让德多项式一章。《数学物理方程》以解的结构为主线，比较系统地介绍了求解偏微分方程定解问题的基本思想和主要方法。它既可以作为高等学校相关专业本科生和研究生的教材或参考书，也可供教师和科学技术工作者阅读参考。第1章数学建模和基本原理介绍1.1数学模型的建立1.1.1弦振动方程和定解条件1.1.2热传导方程和定解条件1.1.3泊松方程和定解条件1.2定解问题的适定性1.2.1一些基本概念1.2.2适定性概念1.3叠加原理1.3.1叠加原理1.3.2叠加原理的应用1.4齐次化原理1.4.1由含参变量积分或无穷级数表示的变换1.4.2常微分方程中的齐次化原理1.4.3偏微分方程中的齐次化原理1.5二阶线性方程分类和化简1.5.1二阶偏微分方程的分类1.5.2两个自变量二阶偏微分方程的化简习题1第2章分离变量法2.1特征值问题2.1.1矩阵特征值问题2.1.2一个二阶线性微分算子的特征值问题2.2分离变量法2.2.1弦振动方程定解问题2.2.2热传导方程定解问题2.2.3平面上位势方程边值问题习题2第3章贝塞尔函数3.1二阶线性常微分方程的幂级数解法3.1.1常系数线性方程的基解组3.1.2变系数线性方程的幂级数解法3.2贝塞尔函数3.2.1函数3.2.2贝塞尔方程和贝塞尔函数3.2.3贝塞尔函数的性质3.2.4贝塞尔方程的特征值问题3.2.5圆域上拉普拉斯算子的特征值问题3.2.6一些例子3.3多个自变量分离变量法举例3.3.1矩形域上定解问题3.3.2圆柱体或圆域上定解问题习题3第4章积分变换法4.1热传导方程柯西问题4.1.1一维热传导方程柯西问题4.1.2二维热传导方程柯西问题4.2波动方程柯西问题4.2.1一维波动方程柯西问题4.2.2二维和三维波动方程柯西问题4.2.3解的物理意义4.3积分变换法举例习题4第5章格林函数法5.1格林公式5.2拉普拉斯方程基本解和格林函数5.2.1基本解5.2.2格林函数5.3半空间及圆域上的狄利克雷问题5.3.1半空间上狄利克雷问题5.3.2圆域上狄利克雷问题5.4一维热传导方程和波动方程半无界问题5.4.1一维热传导方程半无界问题5.4.2一维波动方程半无界问题习题5第6章特征线法6.1一阶偏微分方程特征线法6.1.1特征线法6.1.2特征线法的应用举例6.1.2.1交通流问题6.1.2.2人口发展方程6.2一维波动方程的特征线法习题6第7章勒让德多项式7.1勒让德多项式7.1.1勒让德方程及勒让德多项式7.1.2勒让德多项式的生成函数和递推公式7.1.3勒让德多项式的微分表示形式7.1.4勒让德方程特征值问题7.2球面调和函数和球形贝塞尔函数7.2.1拉普拉斯算子的其他表示形式附录1测验题附录2部分习题答案。提示或解答附录3参考文献
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作者：车向凯
出版：高等教育出版社
数理方程《数理方程》共分六章，内容包括经典数学物理方程的建立，偏微分方程的分类，特殊函数及定解问题的求解。本书着重讨论了求解数学物理问题的典型方法及与之相应的各种定解问题。　　《数理方程》可作为非数学专业的理工科本科生及研究生的教学用书或教学参考书，也可作为科研及工程技术人员的参考书或自学用书。第1章 方程的建立与方程的一般概念1.1 方程的一般概念1.2 经典方程的导出1.3 定解条件与定解问题1.4 二阶线性偏微分方程的分类习题1第2章 行波法2.1 一维齐次波动方程的Cauchy问题2.2 反射波法2.3 一维非齐次波动方程的Cauchy问题2.4 三维波动方程的Cauchy问题2.5 二维波动方程的Cauchy问题2.6 Poisson公式的物理意义习题2第3章 固有值问题与特殊函数3.1 二阶常微分方程的级数解3.2 正交函数系及广义Fourier级数3.3 Sturm-Liouville问题3.4 Bessel函数3.5 Legendre函数习题3第4章 分离变量法4.1 波动方程4.2 热传导方程4.3 非齐次问题的处理4.4 Laplace方程Dirichlet问题解的唯一性和稳定性4.5 二维Laplace方程及Poisson方程的边值问题4.6 三维Laplace方程的Dirichlet问题习题4第5章 积分变换法5.1 函数5.2 Fourier变换5.3 Fourier变换的应用5.4 Laplace变换5.5 Laplace变换的应用习题5第6章 Green函数6.1 Green公式6.2 Green函数6.3 Laplelce方程的Dirichkt问题6.4 波动方程的Cauchy问题的基本解6.5 热传导方程的cauchy问题的基本解习题6参考书目附录A Laurent级数 留数附录B Fourier变换表附录C Laplace变换表习题答案
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