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一个直角梯形的下底是8cm，如果把上底增加3cm，它就变成了一个正方形．这个梯形的面积是______cm2．
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如图：（8+8-3）×8÷2，=13×8÷2，=52（平方厘米）．答：这个梯形的面积是52平方厘米．故答案为：52．
请问怎么写?😁
其他类似问题
“一个直角梯形的下底是8cm，如果把上底增加3cm，它就变成了一个正方形”，可知这个梯形的上底是8-3=5厘米，高是8厘米．然后再根据梯形的面积公式进行计算．
本题考点：
梯形的面积．
考点点评：
本题的主要考查了学生根据梯形的面积公式解答问题的能力．可画图帮助学生理解．
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小学生1年级数学奥数试题与答案
小学生 1 年级数学奥数 试题与答案第一讲 认识图形（一） 1．这叫什么？这叫“点”。 用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些。点在纸上占一个 位置。 2．这叫什么？这叫“线段”。 沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段。线段有两个端点。 3．这叫什么？这叫“射线”。 从一点出发， 沿着直尺画出去， 就能画出一条射线。 射线有一个端点， 另一边延伸得很远很远
，没有尽头。 4．这叫什么？这叫“直线”。 沿着直尺用笔可以画出直线。直线没有端点，可以向两边无限延伸。 5．这两条直线相交。两条直线相交，只有一个交点。 6．这两条直线平行。两条直线互相平行，没有交点，无论延伸多远都不相交。 7．这叫什么？这叫“角”。角是由从一点引出的两条射线构成的。这点叫角的顶点，射线叫角的 边。角分锐角、直角和钝角三种。 直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角。教室里天花 板上的角都是直角。 锐角比直角小，钝角比直角大。习题一1．点 （1）看，这些点排列得多好！（2）看，这个带箭头的线上画了点。 2．线段 下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！ （1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖 摆。（3）三根小棍。可以像下面这样摆。3．两条直线哪两条直线相交？ 哪两条直线垂直？ 哪两条直线平行？ 4．你能在自己的周围发现这样的角吗？今天是本站新 论坛下载 中心本站 淘宝在线五 子棋黄金 矿工暴力 摩托让子 弹飞山寨 股市第二讲 认识图形（二） 一、认识三角形 1．这叫“三角形”。三角形有三条边，三个角，三个顶点。 2．这叫“直角三角形”。直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角。它的三条边中 有两条叫直角边，一条叫斜边。 3．这叫“等腰三角形”。它也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长（相等），相等的两条 边叫“腰”，另外的一条边叫“底”。 4．这叫“等腰直角三角形”或叫“直角等腰三角形”。它既是直角 三角形，又是等腰三角形。5．这叫“等边三角形”。它的三条边一样长（相等），三个角也一样大（相等）。 二、认识四边形 1．这叫“四边形”。四边形有四条边，内部有四个角。 2．这叫“等腰梯形”。它是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等。平行的 两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰。 3．这叫“平行四边形”。它的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等。 4．这叫“长方形”。它的两组对边分别平行而且相等，四个角也都是直角。 5．这叫“菱形”。菱形的四条边都相等，对角分别相等。 6．这叫“正方形”。正方形的四条边都相等，四个角都是直角。 三、认识圆和扇形 1．这叫“圆”。圆是个很美的图形。 圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫 圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径。直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫“半圆”。 2．这叫“扇形”。圆的一部分叫 “圆弧” 由一条圆弧和两条半径构成的图形叫 。 “扇形” 。 习题二 1．用橡皮筋在钉子板上套出各种图形。2．观察周围的物体，你还能发现哪些图形？如：第三讲 认识图形（三） 1．这叫“长方体”。长方体有六个面，十二条棱，八个顶点。长方体的面一般是长方形， 也可能有两个面是正方形。互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、 高。 2．这叫“正方体”。正方体有六个面，十二条棱，八个顶点。正方体的每个面都是同样大 的正方形，所以它的十二条棱长都相等。 3．这叫“圆柱”。圆柱的两个底面是完全相同的圆。 4．这叫“圆锥”。圆锥的底面是圆。 5．这叫“棱柱”。这个棱柱的上下底面是三角形。它有三条互相平行的棱，叫三棱柱。 6．这叫“棱锥”。这个棱锥的底面是四边形。它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥。 7．这叫“三棱锥”。因为它有四个面， 所以通常又叫 “四面体” 它的每个面都是三角形。 。 8．这叫“球体”。简称“球”。球有球心，球心到球面上一点的连 线叫球的半径。习题三 看看摸摸，并在自己周围寻找具有这些形状的物体。1．长方体2．正方体3．圆柱4．圆锥5．棱锥6．球第四讲 数一数（一） 例 1 数一数，下图中有几个正方形、几个等边三角形、几个圆？例 2 数一数，下图中共有多少点？1+3+6+9+12=31 共有 31 个点。 例 3 数一数，下图中有几条线段？ 照下面的方法数：3+2+1=6（条）。 例 4 数一数，下图中有几个锐角？照下面的方法数：3+2+1=6（个）。 习题四 1．数一数，下图中有几个锐角？几个直角？几个钝角？2．数一数，下图中有几个等边三角形？有几个等腰三角形？有几个 直角三角形？有几个等腰直角三角形？3．数一数，下图中有几个正方形？有几个长方形？有几个平行四边 形？几个四边形？4．数一数，下图中共有多少点？5．数一数，下图中共有几条线段？ 6．下图中共有 10 条线段，你能把它们都找出来吗? 7．数一数，下图中有几个锐角？8．下图中共有 10 个角，你能把它们都找出来吗？习题四解答 1．图中有 3 个锐角、3 个直角、3 个钝角。 2．图中有 1 个等边三角形、4 个等腰三角形、2 个直角三角形、1 个 等腰直角三角形。 3．图中有 2 个正方形、3 个长方形、5 个平行四边形、6 个四边形。 4．图中共有 41 个点。1+4+8+12+16=41（个）。 5．图中共有 3 条线段。2+1=3（条）。 6．数线段的方法如下：4+3+2+1=10（条）。 7．图中共 3 个锐角。8．数角的方法如图：4+3+2+1=10第五讲 数一数（二） 数复杂的图形需要较强的观察能力，要细心，做到不重不漏。例 1 数一数，右图中有多少个三角形？照书上的方法数，共 4 个三角形。例 2 数一数，右图中共有多少个三角形？照书上的方法数，共 8 个三角形。例 3 数一数，右图中共有多少个正方形？照书上的方法数，共有 10 个正方形4+5+1=10（个）。 例 4 数一数，右图中共有多少个长方形？照书上的方法数共有 5 个长方形。习题五 1．数一数，右图中有几个三角形？2．数一数，右图中有几个三角形？3．右图中有 8 个三角形，请你把它们都找出来。4．数一数，右图中有几个长方形？5．下图有 7 个长方形，请你都找出来。6．数一数，右图中有几个正方形？7．左图中共有 14 个正方形，请你都找出来。8．数一数，右图中共有几个正方形，几个三角形？9．数一数，左图中有几个圆？10．右图中共有 27 个三角形，请你都找出来。11．数一数，右图中共有多少个三角形？习题五解答 1．图中有 2 个三角形。2．图中有 3 个三角形。3．可以像下面这样找。4．图中有 3 个长方形。5．6．图中有 5 个正方形。7．8．图中有 5 个正方形、16 个三角形。 9．图中有 6 个圆。 10．图中共 27 个三角形。 11．图中共有 44 个三角形。其中最大的 2 个、次大的 6 个、次小的 12 个、最小的 24 个。第六讲 动手画画 例 1 画点 用铅笔在纸上画点。例 2 画线段 先画两个端点， 再使尺子的一边与两点靠近。 左手按住尺子， 右手拿铅笔沿着尺子边从一点画到另一点。例 3 画直线 把尺子放在纸上，用左手按住，用右手拿着笔从左往右画。 （虽然画出的只是一段，但可以把它想像成是向两端延伸得很远很远）例 4 画直角 左手按住三角板，右手拿着铅笔沿三角板的两条直角边可画 出直角。例 5 画圆习题六 1．画点 （1）随意画（2）照图画2．画线 （1）随意画（2）用尺比着画线段（看成线段）3．画角 （1）随意画（2）用三角板画一个直角、三个锐角。 4．画长方形和正方形（在方格纸上画）。5．使用三角板和圆规画出各种图样。6．同学们合作，利用小棍（或粉笔）和细绳，在地面上画大圆。一 人把线的一端按在地上不动，另一人把小棍（或粉笔）捆在细绳上，让细 绳时刻拉紧转圈，这时小棍（或粉笔）就能在地上画出一个大圆。第七讲 摆摆看看 例 1 用两根火柴棍，摆成一个锐角、一个直角、一个钝角。例 2 用四根火柴棍摆出两条平行直线，再摆出两条相交直线。例 3 用火柴棍摆出一个三角形、一个正方形、一个菱形、一个长方形、 一个平行四边形、 一个等腰梯形、 一个五边形、 一个六边形、 一个八边形。例 4 用三根火柴棍可以摆出一个三角形，如图。（1）再加两根火柴棍，摆出两个三角形。 （2）再加两根，摆出三个三角形来。 （3）再加两根，摆出五个三角形来。 解 摆一个三角形必需三根火柴棍，这样计算， 摆两个三角形就需要六根。 但是现在只给你增加两根，却要求你用五根摆出两个三角形，可见必有一根火柴棍要供两个三角形公用才行。同样道理，再加两根后共七根要摆三 个三角形还差两根，所以必须有两根公用。再给两根后共九根火柴棍，要摆五个三角形。摆法如图所示。可以看 出九根火柴棍摆出了三个 “正立” 的小三角形， 同时中间还出现了一个 “倒 立”的小三角形，它并没有额外需要增加火柴棍。而且最外面的六根火柴 棍又形成了一个大三角形。所以这九根火柴棍共摆出了五个三角形。 习题七 1．用两根小木棍，摆成一个很小的锐角，然后慢慢地挪动一根，使 锐角渐渐变大。如果继续转动小棍，将会出现什么角？2．如右图所示，用火柴棍摆了五个三角形。 （1）拿掉哪三根，就可以变成一个三角形？（2）拿掉哪两根，就可变成两个三角形？ （3）拿掉哪一根，就可变成三个三角形？ 3．如右图所示，用火柴棍摆了五个正方形。（1）请你拿掉两根，剩下三个正方形。 （2）请你拿掉两根，剩下两个正方形。 4．如下图所示，用火柴棍摆了六个三角形。如果拿掉三根火柴棍就 变成了三个三角形，应该拿掉哪三根？试试看。5．如右图所示，用 16 根火柴棍摆了四个正方形。你能用 15 根、14 根、13 根火柴棍也分别摆成四个小正方形吗？摆摆看。习题七解答 1．慢慢转动小棍的过程中锐角逐渐变大，之后出现直角，直角再变 大随之出现钝角。 2．3．4．5．今天是本站新 论坛下载 中心本站 淘宝在线五 子棋黄金 矿工暴力 摩托让子 弹飞山寨 股市第八讲 做做想想 例（1）用下图中那样的三根小木棍，摆出一个三角形，并用橡皮泥 粘住。（2） 再用如下图中那样长的三根小木棍， 看能不能摆出一个三角形？（3）想想：随便拿三根小棍就能摆出一个三角形来吗？什么样的三 根小棍才一定能摆出一个三角形？ 解（1）图中给的三根小棍，可以摆出一个三角形。 （2）图中给的三根小棍，不能摆出三角形。 （3）得出结论：①三根小棍中，如果其中两根较短的小棍接起来还 没有余下的那根长棍长，就摆不成三角形。②三根棍中，如果两根较短的 接起来比最长的那根棍还长，用它们就能摆成一个三角形。③可见在一个 给出的三角形中，两边之和必大于第三边。 习题八 1．（1）用三根一样长的小棍，摆成一个等边三角形，再用橡皮泥粘 住。 （2）用两根一样长的小棍和一根较短的小棍，摆成一个等腰三角形， 再用橡皮泥粘住。（3）想想：一个等边三角形必定是一个等腰三角形，对吗？反过来 说，每个等腰三角形都是等边三角形，对吗？ 2．（1）用图示的三根小棍摆成一个直角三角形，再用橡皮泥粘住。 （注意，这三根小棍的长度不是随意的，若用半根火柴棍当尺子去量，它 们的长度数，即量的次数分别是 3、4 和 5） 第一根： 第二根： 第三根： （2） 若改用长度数是 2、 和 5 的三根小棍， 4 还能摆成直角三角形吗？ （3）再改用长度为 4、4 和 5 的三根小棍，还能摆成直角三角形吗？再改用三根长度分别是 3、 和 6 的小棍， 4 能摆成一个直角三角形吗？（4）想想：通过动手做，你是否看出：在这三种情况中，只有长度 数是 3、4 和 5 的小棍才能摆出一个直角三角形，你对此感到奇妙吗？ 3．如图所示，这里的四根小棍中两根较长的长度相等，两根短的长 度也相等。（1）用这四根小棍摆出一个长方形。 （2）再用它们摆成一个平行四边形。 （3）先想想：长方形和平行四边形的相同点是什么？不同点又是什 么？ 再判断： “一个长方形必定也是一个平行四边形，而一个平行四边形 就不一定是一个长方形。”对不对？ 4．这里的四根小棍一样长，请你用它们摆出：（1）一个正方形。 （2）一个菱形。 （3）先想想：正方形和菱形的相同点是什么？不同点是什么？再判 断：“一个正方形必定是一个菱形，而一个菱形不一定是一个正方形。” 对吗？ 习题八解答 1．（3）在一个等边三角形中，它的三条边都相等，当然其中的两条边 也必相等，所以说每一个等边三角形都必定是一个等腰三角形是对的。 但反过来说就不对了，因为等腰三角形只是两边相等，对第三条边的 长度没有限制。 2．（5）我国古代数学家，把直角三角形中较短的直角边叫“勾”，较 长的直角边叫“股”，把斜边叫“弦”。他们已经发现了直角三角形三边 长度的“勾三股四弦五”的关系。 3．（略） 4．（3）长方形和平行四边形的相同点是：都是两组对边平行且相等； 不同点是： 长方形的四个角都是直角， 而平行四边形的四个角都不是直角， 有两个为锐角、两个为钝角。 5．（3）正方形和菱形的相同点是：它们都是四条边相等的四边形。不 同点是：正方形的四个角都是直角，而菱形的四个角都不是直角（其中两 个锐角，两个钝角）。第九讲 区分图形 例 1 下图中的两个三角形，有哪些相同点，有哪些不同点？相同点：都有一个直角，都是直角三角形。 不同点：（1）中两条直角边不相等，是一般的直角三角形。（2）中 两条直角边相等，是个等腰直角三角形。 例 2 下图中的两个图形，有哪些相同点，有哪些不同点？请你仔细观察、 分析。相同点：都可以看成是一个大图形里面内接（套着）一个同样形状的 小图形组成。 不同点：（1）的大小两个图形都是正方形，（2）的大小两个图形都 是等边三角形。 例 3 下图的五个图形中，哪一个与众不同？图（3）与其他四个不同。 因为图（3）只有三条边，是三角形，而其他四个图形都是四边形。例 4 从下面的五个图形中选出与众不同的一个。图（4）与其他四个不同。 除图（4）外其他四个都是正多边形，也就是各边都相等的多边形； 而图（4）的四条边长短不同，所以不是正多边形。 习题九 从下列每题的五个图形中选出与其他四个不相同的一个， 把答案序号 填在括号里。 1．答：（）。 2．答：（）。 3．答：（）。 4．答：（）。 5．答：（）。 6．答：（）。7．答：（）。 8．答：（）。 9．答：（）。 习题九解答 1．（4）。其他图形都是直角，而第（4）个图形不是直角。 2．（4）。其他图形中的虚线都把图形分为相等的两部分，而第（4） 个图形则不是。 3．（4）。其他图形都是两组对边分别平行且相等，而第（4）个图 形不是这样，它的上下两边平行但不相等，左右两边相 等但不平行。 4．（3）。其他图形均被分成大小相同的四份，阴影部分占其中的一 份，而第（3）个图形则不是。 5．（4）。其他图形都是由正方形和圆形构成，而第（4）个图形是 由三角形和圆形构成。 6．（3）。其他图形中的圆点都处于划线的阴影三角形的左侧，而第 （3）个图形中则不是。 7．（4）。其他图形中的三条线是这样配置的：伸出右手，四指由带 箭头的一条线从直角内部握向带圆点的一条线时， 大拇指指向带圆圈的一 条线。但第（4）个图形不这样的。 8．（4）。其他图形中涂黑部分是两个小图形的重叠部分，而第（4） 个图形中有两个涂黑部分。 9．（4）。其他图形中，由大圆→中圆→次小圆→小圆顺时针旋转， 而第（4）个图形中按这个顺序走却是逆时针旋转。第十讲 立体平面展开例 1 像下图那样，把正方体盒子剪开，铺展在平面上加以描画而成的图 形叫做“展开图”。请你试试做。例 2 把厚纸盒沿右图的粗线剪开，展平成“展开图”。想一想，剪开前 哪个面和哪个面相对？把原来的立体图和平面展开图对照可知：1 和 3 相对；2 和 4 相对；5 和 6 相对。 例 3 把冷饮食品“蛋卷”的包装皮（圆锥）切开后，形成下面右图那样 的形状。这个展开图就是扇形。 习题十 1．下图中的（1）、（2）、（3）号盒子剪开铺平后，展开图是哪一 个，请你用线连起来。2．将下图中（1）、（2）号棱锥剪开铺平后，哪一个是它对应的展 开图，请用线连起来。3．请你将能找到的包装盒如：火柴盒、月饼盒、冷饮盒、鞋盒等等， 用剪刀剪开，平铺在桌面上观察并画出展开图。第十一讲 做立体模型 动手折叠， 把一个平面展开图变成一个立体模型，这样不但可以培养 动手能力，而且可以增强空间想像能力。 例 1 把下面的平面展开图剪下来，沿着折线能折叠成什么样的立体模 型？自己动手试一试。例 2 将下面的平面展开图剪下来，沿着折线折叠，能折成什么样的立体 图形？例 3 把下面的平面展开图剪下来，可做成什么立体图形？例 4 把下面的平面展开图剪下来，能折叠成什么样的立体图形？由四棱柱和四棱锥组成的立体图形 习题十一 用剪刀将平面展开图剪下来，沿折线折叠成立体图形。5．用剪刀将下面的平面展开图剪下来，看看能不能折叠成正方体。第十二讲 图形的整体与部分 例 1 把一条长方形纸带剪成长短相同的两条，摆在桌面上，仔细地看看。 再把剪开的两条纸带接起来，变回原来的长度，再仔细地看看。把一个图形分成大小相同的两份，其中每 1 份都是原来的二分之一， 写 例 2 把一张正方形的纸片剪成大小相同的 4 块。请你仔细看看下面画出 的三种剪法。把一个图形分成大小相同的 4 份，其中每 1 份都是原来的四分之一， 写于原来小纸条的 3 倍。 原来的： 新做的： 例 4 下图中阴影部分是整个图形大小的几分之一？例 5 下图中的阴影部分占整个图形的几分之几？图中每个圆都被分成了四个相同的部分。例 6 下面图形中阴影部分占整个图形的几分之几？（1）中的大等边三角形被分成了四个相同的小三角形，带阴影的小 三（2）中的垂线将大三角形分成了相同的两部分，带阴影的小三角形 占（3）中的大等边三角形先被分成了相同的四部分，阴影小三角形又 是 习题十二 1．下图中哪个图形是整个长方形的二分之一？2．下图中阴影部分的长度是全长的几分之一？3．下图中的三个长方形纸带，哪一个是带阴影图形长度的 4 倍？4．下图中阴影部分占整个图形的几分之几？5．下图中阴影部分占整个图形的几分之几？6．下图中阴影部分占整个图形的几分之几？7．下图中阴影部分占整个图形的几分之几？习题十二解答3．（2）是阴影部分长度的 4 倍。第十三讲 折叠描痕法 如何将一个图形分成相同的几部分呢？这里介绍一种简单易行的方 法――折叠描痕法。 例 1 把正方形分成相同的四部分。第一步：对角折 第二步：再对角折 第三步：展开，描痕。 例 2 把大等边三角形分成相同的四部分，使每部分的形状都与原图形一 样。第一步：左右对角折，然后展开，描痕成虚线，虚线与底边交点就是 底边中点。 第二步：将上角折下，使角顶与底边中点重合。 第三步：折左角、折右角，如图示。 第四步：展开，描痕。 例 3 用折叠描痕法等分一个长方形纸条。 （1）对折 1 次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？ （2）对折 2 次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？ （3）对折 3 次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？ （4）对折 4 次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？ （5）对折 5 次，展开描痕，数一数，纸条被等分成几份？ 解：习题十三 用折叠描痕法等分图形： 1．把一张正方形的纸分成四等份，你能想出三种折叠方法来吗？ 2．把一张长方形的纸分成八等份，你能想出多少种不同的折叠方法 来？ 3．把一张圆形的纸分成二等份、四等份、八等份和十六等份。4．把一张平行四边形的纸分成二等份、四等份。 5．把一个等腰三角形的纸，用折叠描痕法等分成二等份后，再用剪 刀剪开，拼成一个长方形。 6． 把一个等腰梯形先折叠两次 （一次找腰的中点， 一次折出三角形） ， 再沿折痕剪下，拼成一个大三角形。 7．把一个平行四边形纸，先折叠一次（折出一个直角三角形）再沿 折痕剪下，拼成一个长方形。 习题十三解答 下面是折叠后，再展开描痕的结果。 1．2．3．4．5．折叠、展开、描痕、剪开，重新拼成长方形。6．（1）折叠、打开――找腰的中点 （2）再折叠、再打开、描痕 （3）剪开、旋转、拼成三角形7．今天是本站新 论坛下载 中心本站 淘宝在线五 子棋黄金 矿工暴力 摩托让子 弹飞山寨 股市第十四讲 多个图形的组拼 例 1 用下图的同样大小的三个等边三角形拼成一个等腰梯形。解：因为等腰梯形的两腰相等，上底和下底平行，而等边三角形的三条边 是相等的，经试验，可以拼成如下的等腰梯形。例 2 用两个同样大小的直角三角形拼成一个平行四边形。解：注意平行四边形的两组对角相等、两组对边平行且相等的特点，经试 验，可以拼成如下的平行四边形。例 3 如下图所示，用四个形状和大小完全相同的直角三角形，可以拼出 一个“空白”正方形（空白处形成的图形是个正方形）。请你仍用这四个 直角三角形，再拼出其他边长不同的“空白”正方形出来。 解：（l）可以利用直角边拼出正方形来（2）也可以利用斜边拼出正方形来习题十四 1．请用两个同样的直角三角形拼成：2．请用两个同样的等腰直角三角形拼成：3．请用两个同样的一般三角形拼成一个平行四边形。4．请用四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形。5．请用四个同样的直角三角形和一个正方形拼成一个大正方形。6．请用一个五边形和五个等腰三角形拼成一个“五角星”。7．请用八个等腰直角三角形拼成一个大正方形。8．请用四个一样的等边三角形拼成一个大等边三角形。9．请用六个一样的等边三角形拼成一个正六边形。10．请用七个正六边形（右面只画了一个）拼出一个蜂窝状的图形。习题十四解答10．第十五讲 一个图形的等积变换 把一个图形切开后组拼成另一个图，它的形状变了但（面积）大小未 变，这样的过程叫做图形的等积变换。 例 1 把下面的长方形剪一刀，将它分成两个同样的直角三角形。然后用 这两个直角三角形拼成另外形状的图形。试试看。 解：例 2 给你一个梯形，先将它折叠两次（如图示），再沿三角形一边的那 条折痕剪开，拼成一个三角形。 解：例 3 右图由五个小正方形组成，请先用剪刀把它剪开，然后重新拼成一 个大正方形。解：此题有很多种不同的切拼方法，这里只举一种。把小正方形剪下来， 再将剩下的大正方形等分成四个直角三角形， 再像下面的右图那样拼成一 个大正方形。习题十五 1．把一个平行四边形折叠展开描痕分成二等分，沿折痕剪开后，再 拼成另一个平行四边形。2．把下图中的长方形纸片先剪成两个大小相同的正方形，再把每个 正方形纸片剪成两块，然后拼成一个大正方形。怎样剪，怎样拼？3．下图所示这块木料可看成由五个小正方形组成。聪明的木工只据 了两次，就拼出了一个正方形桌面。想一想，他是怎样锯、怎样拼的？4．请把下图中的长方形分成形状相同、大小相等的两块，然后再拼 成一个正方形。5．请把下图中的正方形分成形状相同、大小相等的四块，然后再拼 成一个等腰直角三角形。6．把下面的图形剪两刀变成三块，再把这三块拼成一个正方形。习题十五解答第十六讲 一个图形的等份分划 把一个图形划分为大小相等、形状相似的几部分叫做图形的等份分 划。 例 1 在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。解：图中共有 18 个正方形小格，若分成大小相等的两部分时，每一部分 应包含有 9 个正方形小格。还可以看出，此图中有一条“斜线”边缘。经 尝试可做出如虚线所示的划分。 例 2 下面左图是由五个同样的正方形组成，请把它们分成形状相同、大 小相等的四块。解：要求把五个正方形分成大小相等的四块，不难算出，每块应当包含有 一个正方形，另外还应当再加一个正方形的四分之一。经尝试，划分方法 如上面右图。 例 3 如下图所示，一个长方形由 28 个小正方形组成。请把它划分成形状 相同、大小相等的四块，你能做出多少种划分方法？解：划分方法很多，如下图：例 4 将右图所示正方形用两条直线划分成形状相同、大小相等的四块， 有多少种方法？解： 由画出的 4 个图可见， 两条对角线一同旋转， 可做出无数种划分方法， 如下图所示。习题十六 1．右图是由 3 个大小相同的正方形组成，要把它分成大小、形状都 一样的 4 块，该怎样分？2．你能把右边的图形分成 2 块，使它们的大小、形状都一样吗？试 试看。3．把一块地（如右图）分给 5 个种植小组，每组分得的土地的形状 和大小要相同，怎样分？4．3 个同样大小的等边三角形组成一个等腰梯形（如图所示）。现 在要将这个梯形分成大小相等、形状相同的四块，怎样分？5．请把右图划分成大小相等、形状相同的两部分（不允许用直线从 图形的中央竖直分开）。6．如右图所示，正方形的院中有 12 棵树。现在要把这院分成大小相 等、形状相同的 4 个小区，每个小区要有 3 棵树，如何分？习题十六解答 1．3 个正方形要分成大小相等的 4 块，必须每个正方形分出四分之 一小块，4 个四分之一小块再凑成一块。再考虑到 4 块形状相同的要求， 经尝试可做如右图中的划分。2．可以这样想：因为原图中有弯曲线，所以将要分成的两块的分界 线一定也是这样的弯曲线，它可使一块成为凸的，使另一块成为凹的。如 图所示。3．先计算一下，图中共有 25 个小正方形。题目要求把它分成大小相 等的五块，每块就应含有 5 个小正方形。再考虑到每块形状相同的要求，经尝试可按右图所示方法划分。 4．把 3 个等边三角形组成的图形分成 4 块，就需要从每个等边三角 形中划出一块， 共划出 3 块，使其组成的图形和每个三角形剩下的部分形 状相同，大小相等。经尝试，得到如右图所示的划分。第十七讲 发现图形的变化规律 这是一种综合训练。通过对图形的仔细观察、反复比较、大胆猜测、 严格检验和不断修正等思考程序，就能发现下列图形的变化规律，得出正 确的答案。 例 1 下图是按一定规律排列的。找出它的变化规律后，试填出所缺少的 图形。解：通过观察、比较可以发现，第一行和第二行的三个小图形是相同的， 所不同的只是它们的排列顺序。还可以发现，从第一行变到第二行，每个 小图形都往右移动了一个图形的位置， 而且第一行最左边的图形占了第二 行最右边的位置。所以第三行“？”处应填：例 2 在下图的一组图形中，“？”处应填什么样的图形？解：仔细观察可发现， 第一行和第二行中的最右边的完整图形是这样变来 的：将最左边的半个图形，往右平移到中间图形位置，然后再去掉两个图 形的重合部分。按这个规律可知“？”处就填：例 3 下图的一组图形的“？”应填什么样的图形？解：每行的第一和第二个平移重叠后变成第三个图形。可见第三行“？” 处为：习题十七 下列各题中的图形都缺少一个，试根据对已给出的图形的观察思考， 找出图形的变化规律，将所缺的图形补上。 1．
习题十七解答第一讲 速算与巧算（一） 一、凑十法： 同学们已经知道，下面的五组成对的数相加之和都等于 10： 1+9=10 2+8=10 3+7=10 4+6=10 5+5=10 巧用这些结果，可以使计算又快又准。 例 1 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 解：对于这道题，当然可以从左往右逐步相加： 1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28 28+8=36 36+9=45 45+10=55 这种逐步相加的方法， 好处是可以得到每一步的结果， 但缺点是麻烦、 容易出错；而且一步出错，以后步步都错。若是利用凑十法，就能克服这 种缺点。二、凑整法 同学们还知道，有些数相加之和是整十、整百的数，如： 1+19=20 11+9=30 2+18=20 12+28=40 3+17=20 13+37=50 4+16=20 14+46=60 5+15=20 15+55=70 6+14=20 16+64=80 7+13=20 17+73=90 8+12=20 18+82=100 9+11=20 又如： 15+85=100 14+86=100 25+75=100 24+76=100 35+65=100 34+66=100 45+55=100 44+56=100 等等 巧用这些结果，可以使那些较大的数相加又快又准。像 10、20、 30、 40、50、60、70、80、90、100 等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。 例 2 计算 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：这是求 1 到 19 共 10 个单数之和，用凑整法做：例 3 计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：这是求 2 到 20 共 10 个双数之和，用凑整法做：例 4 计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解：用凑整法：三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认 识事物的一般过程，凑十法、凑整法的实质就是这个道理，可见把这种认 识规律用于计算方面，可使计算更快更准。下面再举两个例子。 例 5 计算 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例 2 和例 3，已经知道从 1 开始的前 10 个单数之和以及从 2 开始 的前 10 个双数之和，巧用这些结果计算这道题就容易了。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20） =100+110（这步利用了例 2 和例 3 的结果） =210 例 6 计算 5+6+7+8+9+10 解：可以利用前 10 个自然数之和等于 55 这一结果。 5+6+7+8+9+10 =（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4） （熟练后，此步骤可省略） =55-10=45 四、改变运算顺序 在只有加减运算的算式中，有时改变加、减的运算顺序可使计算显得 十分巧妙！ 例 7 计算 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：这题如果从左到右按顺序进行加减运算，是能够得出正确结果的。但 因为算式较长，多次加减又繁又慢且容易出错。如果改变一下运算顺序， 先减后加，就使运算显得非常“漂亮”。下式括号中的算式表示先算， 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 =（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1） =1+1+1+1+1=5 五、带着“+”、“-”号搬家 例 8 计算 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 解：这题只有加减运算，而且 1-2 不够减。我们可以采用带着加减号搬家 的方法解决。要注意每个数自己的符号就是这个数前面的那个“+”号或 “-”号，搬家时要带着符号一起搬。 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 =1+3-2+5-4+7-6+9-8+11-10 =1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先减后加] =1+1+1+1+1+1 =6在这道题的运算中， “+3” 把 搬到“-2” 的前面， “+5” 把 搬到了“-4” 的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，这就叫带着符号搬家。巧 妙利用这种搬法，可以使计算简便。 习题一 1．计算：13+14+15+16+17+25 2．计算：2+3+4+5+15+16+17+18+20 3．计算：21+22+23+24+25+26+27+28+29 4．计算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 5．计算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 6．计算：10-20+30-40+50-60+70-80+90 7．计算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9） 8．计算：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19） 9．计算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99） 习题一解答 1．解：见下图：2．解：见下图：3．解：见下图：4．解： 5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20-(1+2+3+4) =210-10（利用例 5 的结果） =200 5．解： 22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 =（22-20）+（18-16）+（14-12）+（10-8）+（6-4）+（2-0） =2+2+2+2+2+2 =12 6．解： 10-20+30-40+50-60+70-80+90 =10+30-20+50-40+70-60+90-80 =10+（30-20）+（50-40）+（70-60）+（90-80） =10+10+10+10+10=50 7．解： （2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9） =（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）+（10-9） =1+1+1+1+1 =5 8．解： （2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）=10 9．解： （2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）=50第二讲 速算与巧算（二） 例 1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿 1 块，妹妹拿 2 块；哥哥拿 3 块，妹妹拿 4 块；接着哥哥拿 5 块、7 块、9 块、11 块、13 块、15 块，妹妹拿 6 块、8 块、10 块、12 块、14 块、16 块。你说谁拿得多，多几块？ 解：方法 1：先算哥哥共拿了多少块？再算妹妹共拿了多少块？72-64=8（块） 方法 2：这样想：先算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少 块。 (2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15) =1+1+1+1+1+1+1+1 =8（块）可以看出方法 2 要比方法 1 巧妙！ 平时注意积累， 记住一些有趣的和重要的运算结果， 非常有助于速算。 比如，请同学记住几个自然数相加之和： 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28 1+2+3+4+5+6+7+8=36 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 例 2 星期天，小明家来了 9 名小客人。小明拿出一包糖，里面有 54 块。 小明说：“咱们一共 10 个人，每人都要分到糖，但每人分到的糖块数不 能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？ 解：按小明提的要求确实无法分。 因为要使得每个人都得到糖，糖块数人人不等，需要糖块数最少的分 法是：第一人分到 1 块，第二人分到 2 块，…第十人分到 10 块。但是， 这种分法共需要有 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（块） 而小明这包糖一共才 54 块，所以按这种方法无法分。如果改变一下， 有一人少得 1 块糖，比如说，应该得 10 块糖的小朋友只分到了 9 块，但 是这样一来， 他就和另一个先分得 9 块糖的那个小朋友一样多了，这又不 符合小明提出“每人分到的糖块数不能一样多”的要求。 （注意：“按小明提的要求无法分”就是此题的答案。在数学上“无 解”也叫问题的答案。） 例 3 时钟 1 点钟敲 1 下，2 点钟敲 2 下，3 点钟敲 3 下，……照这样敲下 去，从 1 点到 12 点，这 12 个小时时钟共敲了几下？ 解：这是一道美国小学奥林匹克试题，要求在 3 分钟内就要得出答案。 方法 1：凑十法方法 2： 如果能记住从 1 到 10 前十个自然数之和是 55，计算会更快。 （1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12 =55+11+12=78（下） 习题二 1．三个小朋友分 5 块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数 不能一样多，你能分吗？ 2．①把 16 只小鸡分别装进 5 个笼子里，每个笼子里都要有鸡，而且 每个笼子里的鸡的只数也不能相同，如何分装？ ②按同样要求，把 15 只小鸡装进 5 个笼子能办得到吗？ ③按同样要求，把 14 只小鸡分装到 5 个笼子能办得到吗？3．①把 100 块糖分给 10 个小朋友。要求每人都分到单数块糖，而且 每人分到糖块数都不一样，如何分？ ②把 99 块糖按同样要求分给 10 个小朋友，你能分吗？ 4．从 1 到 20 这 20 个数中，所有的双数之和与所有的单数之和的差 是多少？ 5．小方家的钟除了几点钟敲几下外，每半点钟也敲一下。比如说，0 点半敲 1 下， 点钟敲 1 下， 点半敲 1 下， 点敲 2 下， 点半敲 1 下， 1 1 2 2 …… 照这样敲下去，从夜里 0 点开始，计到白天中午 12 点钟，在这 12 个小时 之内时钟共敲了多少下？ 习题二解答 1．答案是不能分。 所需糖块数最少的一种分法是：第 1 个人分 1 块，第 2 个人分 2 块， 第 3 个人分 3 块，这样三个人共需要有 1+2+3=6（块），但总的糖块数只 有 5 块，不够分。如果第 3 个人也分得 2 块，这样糖是够分了，但是这样 就有 2 个人分得糖块数一样多了，又不符合分糖的要求了。 2．①5 只笼子装 16 只小鸡的装法是 1，2，3，4，6。 1+2+3+4+6=16（只） ②5 只笼子装 15 只小鸡的装法是 1，2，3，4，5。 1+2+3+4+5=15（只） ③5 只笼子装 14 只小鸡，要求每笼都有鸡，而且笼笼鸡数不等，无 法分装。 3． ①记住 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 立即可知 100 块糖按要求 分给 10 个人的分法是：各人所得糖块数分别为 1，3，5，7，9，11，13， 15，17，19。 ②99 块糖按要求分给 10 个小朋友无法分。 4．解：方法 1： 单数之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 双数之和：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110 差：110-100=10 方法 2：改变运算顺序 (2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19) =(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17) +(20-19) =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 =10 5．解：先记录时钟敲的整点数和半点数如下：列算式求和，并改变运算顺序：1+1+1+2+1+3+1+4 十 1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) =78+12 =90（下）今天是 本站新 论坛 下载 中心 本站 淘宝 在线五 子棋 黄金 矿工 暴力 摩托 让子 弹飞 山寨 股市第三讲 数数与计数（一） 例 1 请你数一数，下图中共有多少个“×”?解：①分层数②先按“实心”三角形计算，再减去“空白”三角形中“×”的个数 （1+3+5+7+9+11+13+15+17）-（5+3+1）例 2 下图所示的“塔”由 4 层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多 少小立方块？从顶层开始数，各层小立方块数是： 第一层：1 块； 第二层：3 块； 第三层：6 块； 第四层：10 块； 总块数 1+3+6+10=20（块）。 从上往下数，第一层：1 块； 第二层： 第一层的 1 块加第二层 “看得见” 2 块等于第二层的块数： 的 1+2=3 块；第三层： 第二层的 3 块加第三层 “看得见” 3 块等于第三层的块数： 的 3+3=6 块； 第四层： 第三层的 6 块加第四层 “看得见” 4 块等于第四层的块数： 的 6+4=10 块。 总块数 1+3+6+10=20（块） 例 3 右图是由小立方体码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见。 请你数一数共有多少小立方体？解：从右往左数，并且编号 第一排：1 块； 第二排：7 块； 第三排：5 块； 第四排：9 块； 第五排：16 块； 总数：1+7+5+9+16=38（块）。 例 4 数一数下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？面数：4 棱数：6 顶点数：4 面数：5 棱数：8 顶点数：5习题三 1．请你数一数，下图中共有多少×？2．如下图所示，一单层砖墙下雨时塌了一处，请你数一数，需要多 少块砖才能把墙补好？3．如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共 有多少块。4． 如右图所示是由小立方体构成的 “宝塔” 请你数一数共多少块？ ，5．右图所示是由小立方体堆起来的，请你数一数，共有多少小立方 体？6．数一数，下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？习题三解答 1．解： 方法 1：从最上边的一行往下数方法 2：假设“×”填满整个长方形的图形，应该共有“×”：20× 8=160（个）。 “空白”三角形处应有“×”： 2+4+6+8=20（个）。 “空白”长方形处应有“×”: 5×4=20（个）。 实际上“×”的总数是： 160-20-20=120（个）。 2．解：从下往上数，墙洞所缺少的砖块数是： 1+2+2+1+2+2=10（块）。 3．解：从上往下数，注意：不要漏掉那些看不见的小立方体。 第一层：1 块； 第二层：4 块；第三层：9 块； 第四层：16 块； 总数：1+4+9+16=30（块）。 4．解：从上往下数 第一层：1 块； 第二层：9 块； 第三层：25 块； 总数：1+9+25=35（块）。 5．解：由前往后数，并进行编号第一排：5 块； 第二排：6 块； 第三排：8 块； 总数：5+6+8=19（块）。 6．解：图（1）是六棱柱； 面数 8，棱数 18，顶点数 12。 图（2）是由两个四面体组成； 面数 6，棱数 9，顶点数 5。 图（3）是五棱柱；面数 7，棱数 15，顶点数 10。 图（4）是由两个四棱锥和一个四棱柱组成；面数 12，棱数 20，顶点 数 10。第四讲 数数与计数（二） 数数与计数时，注意不应漏掉，不应重复。如果漏掉了，要加上；如 果重复了，要减掉。 例 1 小朋友排队，小红前面 4 个人，后面 3 个人，问这队共有几个人？ 解：这队的总人数要数上小红，所以是 4+3+1=8（人）。 例 2 排好队，来报数， 正着报数我报七， 倒着报数我报九， 一共多少小朋友？解：见下图正着报数“我”报了一次，倒着报数“我”又报了一次，所以把两次 报数加起来时，“我”被加了两次。因此算这队的总人数时，应从两次报 数之和减 1。 7+9-1=15（人）。 也可以这样想：正着报数报到我为止，倒着报数时，我就不报了，只 报到我的后面相邻的那个人他应该报 8，所以全队总人数是： 7+（9-1）=15（人）。 例 3 少先队员排成队去参观科技馆。从排头数起刘平是第 20 个；从排尾 数起，张英是第 23 个。已知刘平的前一个是张英。问这队少先队员共有 多少人？ 解：画示意图，用点代表少先队员。由图可见，从排头数起时，把张英和刘平数了一次。由排尾数起时， 又把刘平和张英数了一次，可见把他两人多数了一次，所以点总人数时， 应减去多数的那一次才对。 20+23-2=41（人）。 例 4 45 个小朋友排成一队去春游。从排头往后数，小刚是第 19 个；从排 尾往前数，小莉是第 12 个，问小刚和小莉中间有几个人？ 解：画示意图。用点“?”代表人由图可见，小刚和小莉中间的人数是： 45-（19+12）=14（人）。 例 5 一班同学做花，做红花的有 38 人，做黄花的有 39 人，没有做花的 有 3 人。如果全班 55 人，那么既做红花又做黄花的有多少人？ 解：画图如下：由图可见，做花的人：55-3=52（人）。 图中阴影部分表示两色花都做的人： 38+39-52=25（人）。 习题四1．学生排成一队，在小进的前面有 6 人，后面有 8 人，问这队共有 多少人？ 2．12 辆汽车组成一列车队向前行进。从前面数起，红色的小轿车是 第 7 辆。问从后面数它是第几辆？ 3．游泳池里男生都戴蓝帽，女生都戴红帽。池中一个男生小强边看 边数，他看见蓝帽 4 个，红帽 5 个。问池中男女生共多少人？ 4．说稀奇、道稀奇，鸭子队里有只鸡。正着数它第六，倒着数它第 七。请你帮助算一算，小鸭一共有几只？ 5．一个小组的小学生共有 5 人，已知他们都做了语文作业或数学作 业。又知做完语文作业的有 3 人，做完数学作业的有 4 人。问语文和数学 作业都做完的有几人？ 6．在 100 名学生中统计，有 65 人会骑自行车，有 73 人会游泳，有 10 人既不会骑自行车又不会游泳。问既会骑自行车又会游泳的人有多 少？ 7．某班有学生 45 人，订阅《中国少年报》的有 29 人，订阅《小朋 友》的有 28 人，其中两种都订阅的有 16 人，问两种刊物都没有订阅的人 有多少？ 习题四解答 1．解由图可知：总人数是 6+8+1=15 人。 2．解：方法 1：数一数；先画示意图如下，用●代表红色小轿车， 用○代表其他车。从后面往前数一数，红色小轿车是第 6 辆。 方法 2：算一算；这队车共有 12 辆，从前面往后数，红色小轿车是 第 7 辆，所以红色小轿车前面有 7-1=6 辆车，因此从后面往前数，红色小 轿车是第 12-6=6 辆。 3．解：画示意图如下：因为男生小强边看边数时，没有看见自己的蓝帽，他把自己漏数了。 所以算总人数时，要把他加上，即 4+5+1=10（人）。 4．解：画示意图，用○代表小鸭，用●代表小鸡。由图可见，正数算上了小鸡，倒数也算上了小鸡。这样两数之和 6+7=13 中，把小鸡计算了两次。所以求小鸭的数目时就要减去两个小鸡。 6+7-2=11（只）。 5．解：画示意图如下：两种作业都做完的人既算在了做完语文作业的 3 人中， 又算在了做完 数学作业的 4 人中， 因此这部分人被多算了一次， （如图中阴影部分所示） 所以两种作业都做完的人数是： 3+4-5=2（人）。 6．解：画图如下：由图可知：会骑车或是会游泳的总人数是 100-10=90（人）。 两种都会的人数是 65+73-90=48（人）。（图中阴影部分所示） 7．解：画示意图如下：因为至少订 1 份刊物的人： 28+29-16=41（人）。 两种刊物都没有订的人： 45-41=4（人）。第五讲 数数与计数（三） 例1 小朋友，张开手， 五个手指人人有。 手指之间几个“空”， 请你仔细瞅一瞅？（注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：见右图看一看、数一数可知：5 个手指间有 4 个“空”。“空”又叫 “间隔”，也就是，人的一只手有 5 个手指 4 个间隔。例 2 小朋友在一段马路的一边种树。每隔 1 米种一棵，共种了 11 棵，问 这段马路有多长？ 解：画示意图如下：由图可见，这段马路的 11 棵树之间有 10 个“空”，也就是 10 个间 隔。每个间隔长 1 米，10 个间隔长 10 米。也就是说这段马路长 10 米。 像这类问题一般叫做 “植树问题” 可以得出一个公式： 。 当两头都种树时：例 3 把一根粗细一样的木头锯成 5 段，需要 4 分钟。 ①如果把这根木头锯成 10 段，需要几分钟？ ②如果把这根木头锯成 100 段，需要几分钟？ 解：画出示意图： 由图可见，把木头锯成 5 段，只需锯 4 次。 所以锯一次需 1 分钟。 ①同样道理，把这根木头锯成 10 段，只需锯 9 次，所以需 9 分钟。 ②同理，把这根木头锯成 100 段，只需锯 99 次，所以需 99 分钟。 例 4 鼓楼的钟打点报时，5 点钟打 5 下需要 4 秒钟。问中午 12 点时打 12 下需要几秒钟？ 解：画示意图。钟打一下用一个点代表，打 5 下画 5 个点。由图可见，钟打 5 下中间有 4 个时间间隔，4 个间隔是 4 秒钟，每个 间隔就是 1 秒钟。由此推理钟打 12 下时有 12-1=11 个时间间隔，故用 11 秒钟。 习题五 1．一队男生 8 人。老师要求在 2 名男生中间插进 1 名女生，问可插 进多少女生？2． 小冬用 12 张纸订成一个本子。 从头数起， 每隔 3 纸夹进一片树叶， 问这个本子内共放进多少片树叶？ 3．在一条 20 米长的小路两旁种小松树，如果每隔 5 米种一棵，而且 两头都种树，问这段小路上共种多少棵？ 4．一根钢管长 6 米，每分钟锯下 1 米，几分钟锯完？ 5．一根木头锯成 4 段，要付锯工费 1 元。如果要把这根木头锯成 13 段，要付锯工费多少元？ 6．小明与爸爸一同上楼。小明上得快、爸爸上得慢，小明上 2 层， 爸爸上 1 层。问小明上到五楼时，爸爸上到几楼？ 7．沿着跑道插着 11 面旗，旗与旗离得一样远，第一面旗插在起点。 运动员从起点起跑经过 6 秒钟到达第 6 面旗， 问运动员到达第 11 面旗时， 需要跑 11 秒钟吗？ 8．三点钟时，挂钟打响三下，用了 12 秒。到六点钟时，挂钟打响六 下，要用几秒钟？ 习题五解答 1．解： 方法 1：按老师要求，在 2 名男生中间插进 1 名女生后，写出队伍的 排外情况是： 男女男女男女男女男女男女男女男 数一数，可知插进的女生共 7 人。 方法 2：也可以这样想：这道题中，把男生看成“树”，把女生看成 “间隔”，就能按植树问题的公式解这道题。因为两头都是男生，就像两 头都有树一样，女生数应等于男生数减 1，即 8-1=7（人）。 2．解：画示意图如下：可以这样想：把每 3 张纸粘在一起成为一张“厚纸”，12 张纸共粘 成 4 张厚纸。按题目要求，相当于每两张厚纸之间放入一片树叶，可知共 放入 3 片树叶。 3．解：画示意图如下：（只画一旁种树情况）由图可见，每 5 米为一段，20 米长的路可分为 4 段，由于路两端都 要种树，所以种的棵树等于段数加 1，即一旁种树 4+1=5（棵），两旁共 种 5+5=10（棵）。 4．解：画示意图如下：由图可见，把 6 米长的钢管锯成 1 米长的 6 段，只需锯 6-1=5（次）， 题中说，每分钟锯下 1 米，就是说锯 1 次需要 1 分钟，所以锯 5 次需 5 分钟即 5 分钟把钢管锯完。 5．解：把一根木头锯成 4 段只需锯 4-1=3 次，按题意付锯工费 1 元。 当把这根木头锯成 13 段时只需锯 13-1=12 次，每锯 3 次付费 1 元，锯 12 次应付锯工费 4 元。 6．解：见右图当小明跑五楼时，实际上跑过了 4 层楼梯，所以爸爸 此时只走过了 2 层楼梯，即走到了三楼。7．解：画出示意图：在起点插着第一面旗，但在起点运动员起跑时，时间是从 0 秒开始计 时的。运动员跑到第六面旗时，实际上是跑了 5 段间隔，这时他用了 6 秒钟的时间；当他跑到第 11 面旗时，实际上又跑了 5 段间隔，所以又用 了 6 秒钟，总起来共用了 12 秒钟，而不是 11 秒钟。 8．解：“当―当―当”钟打响了三下，三响之间的间隔是两次，两 个时间间隔用 12 秒，一个时间间隔就是 12÷2=6（秒）。如果钟打六下， 六响之间的间隔是 5 次，因而钟打六下要 6×5=30（秒）。第六讲 数数与计数（四） 本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心 翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光 了，有多少个鸡蛋也就数出来了。 这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。 例 1 用分别写有数字 1 和 2 的两张纸片， 能够排出多少个不同的二位数？ 解：用 代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：例 2 用分别写有数字 0， 2 的三张纸片 1，能排出多少个不同的二位数？ 解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出 4 个二位数，它们是： 1 作十位数字，0 或 2 作个位数字：2 作十位数字，0 或 1 作个位数字：例 3 用分别写有数字 1，2，3 的三张纸片能排出多少不同的三位数？ 解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共 有多少个。共 6 个不同的三位数。 例 4 小明左边抽屉里放有三张数字卡片 三张卡片 右边抽屉里也放有。 如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。 然后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去，问他一共可能组 成多少个不同的二位数？ 解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右 边抽屉拿， 把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位 数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共 9 个不同的二位数。 例 5 有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共 握多少次手？假设这群人是： ①两个人，②三个人，③四个人 解：画图。用点“?”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条 线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。 ①两个人： 两点之间只能连一条线，表示两个人共握 1 次手。 ②三个人：三点之间有三条连线，表示三个人共握 3 次手。 ③四个人：四点之间有六条连线，表示四个人共握 6 次手。 例 6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价 愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段 铁路上的火车票价共有多少种？ 解： 如图所示， 用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车 站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。 数一数，票价种数是：4+3+2+1=10 种。 例 7 小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有 a，b，c 三条路（如 下图所示） 小明经过小华家去找小英， 。 他想每次都不走完全重复的路线， 问有多少种不同的走法？解：共有 6 种不同的走法，见下图。习题六 1．用三张数字卡片 其中最大的比最小的大多少？ ，可以排出多少个不同的三位数？2．有四张数字卡片 这些卡片可能组成多少个不同的三位数？ 3．用两套数字卡片 数？从中抽出三张组成三位数，问可组成多少个不同的二位4．在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两 个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？ 5．全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规 定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场？ 6．右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少 种不同的走法？（不准故意绕远走）7．如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的 A 点沿着棱爬向 B 点，如 不故意绕远，一共有几种不同的走法？习题六解答 1．解：注意，0 不能当作首位数字。所能排出的三位数字共有 4 个。 它们是：407，470，704，740。 最大的数是 740，最小的数是 407。 最大的数比最小的数大 740-407=333。 2．解：注意 0 不能当作首位数字。所能排出的三位数字共 18 个。 102，104，120，124，140，142； 201，204，210，214，240，241； 401，402，410，412，420，421。 3．解：共组成 25 个不同的二位数。 11，12，13，14，15； 21，22，23，24，25； 31，32，33，34，35； 41，42，43，44，45； 51，52，53，54，55。 4．解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个人的一次握 手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次数。数一数，共有 10 条连 线，所以共握手 10 次。5．解：共赛 15 场。见下图。 ①方法 1：如右图所示这样数：一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛 5 场； 二小再和三小、四小、五小、六小共赛 4 场； （二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同） 三小再和四小、五小、六小共赛 3 场； 四小再和五小、六小共赛 2 场； 五小再和六小共赛 1 场。 比赛场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。 ②方法 2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共 5 场。因而 六个学校所赛的场次是 5×6=30 场。但是这样计算还有个问题，比如说一 小和二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次 里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校 实际赛的总场次数是 30÷2=15（场）。 6．解：小英由家到学校共有 6 种走法，见下图粗黑线所示。 7．解：蚂蚁沿着棱由 A 点爬到 B 点有 6 种不同的走法，见下图粗黑 线所示。第七讲 填图与拆数（一） 例 1 如右图，把 3、4、6、7 四个数填在四个空格里，使横行、竖行三个 数相加都得 14。怎样填？解：先看竖行，最上格中已有个 5。要使 5+（ ）=14，括号里的数就要填 9。把 9 拆成两个数：9=3+6，（因为 3 和 6 是题中给出的数）分别填在竖 行的两个空格里。 但进一步想，应该把哪一个填在中间空格里呢？这就需 要看横行。横行两头的空格应填剩下的两个数 4 和 7，因为 4 和 7 相加和 为 11，而 11+3=14，可见中间空格应填 3。例 2 如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上三个数相加之和 都等于 12。 解：见下图（1）、（2）、（3）。把 12 分拆成三个不同的数相加之和， 得七种分拆方式： 12=9+2+1 12=8+3+1 12=7+4+1 12=7+3+2 12=6+5+1 12=6+4+2 12=5+4+3从各式中选择有一个相同加数的两个式子。12=1+5+6 和 12=1+4+7 两 式， 将相同的加数 1 填在中间圆圈里，不同的加数分别填在横行和竖行的 其他圆圈里。答案有很多种不同的填法，这里只填了三种，同学们还可以 自己选择另外的填法。 例 3 如右图所示。把 1、2、3、4、5 五个数填入五个圆圈里，要求分别 满足以下条件：（1）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于 8； （2）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于 9； （3）使横行、竖行圆圈里的数加起来都等于 10。解：见下图（1）、（2）、（3）（1）将 8 分拆成三个数之和（注意，这三个数要从 1、2、3、4、5 中选取） 8=1+2+5 8=1+3+4 因为中间圆圈里的数是要公用的，所以应把“1”填在中间圆圈里其 他四个数填在边上； （2）解法思路与（1）相同，分拆方式如下： 9=1+3+5 9=2+3+4 （3）解法思路与（1）相同 10=1+4+5 10=2+3+5。 习题七 1．如右图所示。在正方形的空格里填上适当的数，使每一横行、竖 行、斜行的三个数相加得数都是 18。2．如右图所示。在正方形空格里填上适当的数，使每一横行、竖行、 斜行的四个数相加都得 34。3．如右图所示。把适当的数填到三角形的空圈里，使每条直线上 3 个圈中的数相加都是 10。4．如图所示。从 2、3、4、5、6 中选取适当的数填入小圆圈，使同 一个大圆上的小圆圈中的四个数的和①都等于 15，②都等于 16。5．如右图所示，圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加 之和都等于 10。6．如图所示。在圆圈里填上不同的数，使每条直线上的三个数相加 之和都是 15。7．如下页图所示。把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分为三组，填到 三个小三角形的各个角上的圆圈里， 使每个小三角形的三个角的圆圈里的 数之和都是 15。同时使大三角形三个角的圆圈里的数之和也是 15。习题七解答 1．在图中，用较大的黑体字表示方格中原有的已知数，如 10、6、7 三个数。仔 细观察可知，可以先在第二横行右边空格里填 2，因为要使横行三个空格 里的数之和是 18， （已有的两个数之和是 10+6=16）就需要在这个空格中 填上 18-16=2。当然，也可以先填左下角空格的那个数，因为它所在的斜 行中已有两个数 7 和 6，而 7+6=13，所以应在这个空格里填 18-13=5。接 着用同样的思考方法就可以填出其他空格里的数了。 2．见图。解法思路与第 1 题相同。因为要求每行的四个数之和是 34，而第三 横行已有的三个数之和为 9+7+12=28，所以此行空格中可填 6。也可先填 图中另一斜行，因这斜行中已有的三个数之和是 13+10+7=30，所以，这 斜行的空格，也就是图的左下角的空格中应填 4。接着，用同样的思考方 法填出其余所有空格。3．见图。解法与第 1 题相同。因为三角形的一边已有两个数 3 和 2，其和为 3+2=5， 要使这边的三数之和是 10， 可知这边的右下角圆圈中应填 10-5=5。 其余两圆圈中的数可按同样方法填出。 4．见图。①和是 15：因为大圆上有两个小圆圈中已有了 1 和 7，它们的和是 1+7=8，所以同一个大圆上另外的两个小圆圈中应填的两个数之和应是 15-8=7，将 7 分拆成两个数有两种分拆方式：将 2 和 5 填入一个大圆上的两个空圈中， 3 和 4 填入另一个大圆上 将 的两个空圈中。②见右图。和是 16，解法思路和①相同。因为1+7=8， 16-8=8 将 8 分拆成两个数，有两种分拆方式：将 2 和 6、3 和 5 分别填入大圆上的空圈中。 5．解：见下图（1）～（4）把 10 分拆成三个不同的数的和，共有 4 种分拆方式：10=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+3+5 选择有一个共同加数的两个式子，把共同的加数填在中间的圆圈里， 其他四个加数分别填在两头的圆圈里就构成一种填法。 本题有 6 种符合题 目要求的填法，这里只举其中 4 种填法，还有 2 种填法你能找出来吗？ 6． 解见下图。 15 分拆成三个不同的数相加之和，共有 12 种分拆 把 方式：15=1+2+12 15=1+3+11 15=1+4+10 15=1+5+9 15=1+6+8 15=2+3+10 15=2+4+9 15=2+5+8 15=2+6+7 15=3+4+8 15=3+5+7 15=4+5+6 因为题目中已有 2、3、8 三个数填在 3 个圆圈里，观察上面各式，既 用到 2、3、8 这三个数，又要有另一个数是共同的，这样的式子有如下三 个：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，将三式中共用的加数“1”写在 中间圆圈里，再在其他三个圆圈里填上适当的数。 7．解：见下面两图，将 15 分拆，采取两步分拆法如下：适当选取四组数， 填入四个三角形中 个小三角形与 1 个大三角形） （3 ， 可以得到一些不同的填法。选法的窍门是：先任选一组数如 3、5、7，将 它们分别填在大三角形的三个角顶圆圈中，再找分别包含 3、5、7 的三组 数填在小三角形中，它们是 3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上图所示。第八讲 填图与拆数（二） 本讲主要介绍在填图与拆数中找关键数的思考方法。 例 1 如右图所示。把三个 1、三个 2、三个 3 分别填在九个格内，使横行、 竖行、斜行三个数加起来的和都等于 6。解：找关键数先填。因为中间格的数和横行、竖行、斜行都有关，所以它 是关键数，确定了它，其他各格就容易填了。（1）尝试法：若中间填“1”，再填其他格，如右图。结果有一条斜 线上的数都是 1，其和为 3，不合题目要求。 若中间格填“3”，再填其他格，如右图结果有一条斜行上的数都是 3，其和为 9，不合题目要求。若中间格填“2”，再填其他格，经检查，符合题目要求，如图。（2）分析法：显然在每一横行、竖行和斜行只能填一个“1”或一个 “3”。因为若填两个 1 后，即使再填一个最大的 3，这一行的这三个数 之和才是 5，小于 6，不符合题目要求；同样，若填两个 3 后，即使再填 一个最小的数 1，这一行的三个数之和就是 7，大于 6，也不符合题目要 求。 如果在一行里填入两个“2”，即使在此行里再填一个 2，这一行的 三个数之和也可等于 6，符合题要求。 由此得出，中间方格必须填“2”。中间方格填好之后其他各格中的 数也就容易填出了。 例 2 如图。把 1、2、3、4、5 填入右图的圆圈中，使每条斜线上的三个 数相加之和都是 8。解：中间圆圈里的数是个关键数，应该首先确定它。如何确定它呢？这样 想：假如我们已经按题目要求把 1、2、3、4、5 填入了五个圆圈中，这样 每条斜线上的三个数相加都得 8。那么当我们把两条斜线上的数都加起 来，它们的和应为 8+8=16， 但是五个圆圈中所填数之和应为 1+2+3+4+5=15， 两个和数之差是 1，即：16-15=1。 这个差是如何产生的呢？这是因为把两条斜线上的和数相加时， 中间 圆圈中的数被加了两次， 即多加了一次。 把一个数多加了一次和就多了 1， 可见此数是 1。 然后， 再求每条斜线两端的数。可求出两数之和应为 8-1=7 把 7 分拆 成两个数，有两种分拆方式：把 2 和 5 填入一条斜线两端的圆圈中。把 3 和 4 填入另一条斜线两端的圆圈中。 例 3 如图所示。把 1、2、3、4、5、6、7 七个数填在右图中的七个圆圈 里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于 12。解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢？与例 2 的想法类似。 假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈，那么 每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得 12。我们如果进一步把三条直 线上的数都加起来，得数应为：12+12+12=36。不难看出， 这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它比七个圆圈 中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28 多了 36-28=8 也就是 8 应是中间圆圈里的数的 2 倍所以中间圆圈里的数应是 8 的一 半， 即 8÷2=4 下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方法如下：12-4=8例 4 如图所示。把 1、2、3、4、5、6 六个数分别填入右图的圆圈里，使三角形每条边上三个数之和都等于 9。解：见图。 三个角上圆圈里的数是关键数， 因为它们中的每个都是两条边上共有 的数。先确定关键数。这样想：六个数之和是 1+2+3+4+5+6=21 每条边上 三个数之和是 9， 9+9+9=27 这样算每个角上圆圈里的数都被加了两次，因 此角上三个圆圈中的数之和是 27-21=6 把 6 分拆成三个数之和：6=1+2+3； 把 1、2、3 分别填入三个角上的圆圈里，其余的圆圈里的数就容易填 了。 习题八 1．见图。把 2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 填入右图空白圆圈内，使每个大圆上四个小圆圈内的数的和都是 29。你能填吗？ 2．见图。把 2、3、4、6、7、10、11 分别填入大圆上的小圆圈内， 使每个圆上四个小圆圈中的数字和都是 24。你能填吗？3．见图。把 2、3、4、5、6 填入右图的五个方格里，使横行、竖行 的三个数之和等于：①11、②12、③13。4．见图。把 5、6、7、8、9、10 六个数分别填入右图中的六个圆圈 里，使三角形每条边上的三个数之和都等于 21。5．见图。把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这十个数分别填入圆 圈里，使每个正方形的四个数相加之和都等于 24。6．见图。把 1、2、3、4、5、6、7 填入右图圆圈中，使横行、竖行、 斜行三个圆圈中的数相加之和都等于 12。7．见图。把 11、12、13、14、15、16、17 七个数填入右图的圆圈中， 使横行、竖行的圆圈中的每三个数之和都是 42。8．见图。把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 这十一个数，分 别填入图中空格内，使相邻的两个或三个空格内的和等于①14、②15。9．把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 各数分别填入“七一”图形中的 九个空格内，使每一横行、竖行的四个、三个或两个空格中的数相加之和 都等于 13。（见下图）10．见下图。把 1、2、3、4、5、6、7 各数填入“十一”图形中的七 个空格里，使每一横行、竖行的三个或两个空格中的数相加之和都是 10。习题八解答 1．解：见图。找关键数先填。三个大圆相交处的小圆圈中的数是关 键数。仔细观察。图中一个大圆上已有 9 和 7 两个数，所以这个大圆上 A， 两个小圆圈 B （如图示） 所填的两数之和应为 29- 9+7） （ =13。把 13 分拆成两数之和（注意要选用题中已给的数）只有 11+2 和 8+5 两种分拆方式可供选用；经试验可知 8 和 5 这组数 不合用， 只能选用 11 和 2 这组数。最后可确定将 11 填入三个大圆相交处 的 A 圈中。接着可较容易地填上其他数了。2．解：见图。由中间的大圆圈上的三个已知数 1，5，8，可求出这 个大圆上的最后一个数：24-（1+5+8）=10，这样还剩下 2、3、4、6、7、 11 六个数未被选用。应把它们分别填入六个小圆圈。仔细观察可知：另外的两个大圆相交处的小圆圈（B 圈）中的数是关键数。而且有一 个大圆上已经给出了数 9，所以该大圆上其余三个小圆圈所填数之和应为 24-9=15。因而将 15 分拆成三个数之和（注意必须选用题中所给的数） 15=7+6+2 经尝试 B 圈中只能填 6。然后再确定左边大圆上三个小圆圈应填的数 是 11、4 和 3。 3．解：见下图，解题思路与例 3 相同，略写如下： 2+3+4+5+6=20。 ①11+11-20=2 即中间格填 2。 ②12+12-20=4 即中间格填 4。 ③13+13-20=6 即中间格填 6。4．解：见图解题思路与例 4 相同，略写如下：21+21+21=63 5+6+7+8+9+10=45 63-45=18（三个角上的三个数之和） 分拆 18=5+6+7 即三个角上的三个圆圈里应填 5、6、7。 5．解：见图，找关键数先填， 不难看出， 标有字母 A 和 B 的两圆圈中的数是关键数， 因为它们是正方形公用的数，解法：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 24+24+24=72 72-55=17 17=10+7=9+8（这就是两组关键数 10 和 7，以及 9 和 8）。 6．解：见图，找关键数先填。不难看出，中间圆圈里的数是关键数。 求关键数：1+2+3+4+5+6+7 =28 12+12+12=36 36-28=8（相当两个中间圆圈里的数之和） 8÷2=4（就是一个中间圆圈里的数） 12-4=8行三个数之和他是 12。 7．解：先求关键数：横行和竖行公用的两个圆圈的数是关键数。 11+12+13+14+15+16+17=98 42+42+42=126 126-98=28（28 是横行和竖行公用的两个圆圈里的数的和）将 28 分 拆：（见下面三个图）。8．解：先求关键数。六字的“点”和“横”公用的方格中的数是关 键数。 方法 1： 14×5=70 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66公用的方格中的数是 70-66=4 再适当选择其他的数填入其他空格。 方法 2：见下图15×5=75 75-66=9 公用的方格中填 9，再适当选择其他各数填入方格。 9．解：见下图，求关键数即共用方格中的数 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 13×4=52 52-45=710．解：见下图，先确定“十”字中间方格中的数 1+2+3+4+5+6+7=28 10×3=30 30-28=2（中间方格中的数）。今天是本站新 论坛下载 中心本站 淘宝在线五 子棋黄金 矿工暴力 摩托让子 弹飞山寨 股市第九讲 分组与组式课本上的算题， 多数是已经列好算式要求计算出结果。 但在这一讲里， 往往是知道结果或要达到的目标， 请你回答如何才能得出这种结果或达到 目标值。 为此就要求同学们在掌握好以前所学数学知识的基础上，还要进 一步做到：仔细地观察，发现题中给出的一些数中存在的规律，并且大胆 地进行尝试，培养思维的灵活性和敏捷性。 例 1 如下图所示把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 九个数字分成两部分， 再组成两个数，填入下面的两个方框里，使两个数的和等于 99999解：把九个数字分成两部分，组成两个数，要求相加之和由五个 9 组成， 可见一个数应是五位数，且 9 应在最高位，另一个是四位数。把除 9 之外 的其余八个数字分成四对，每对的和是 9，它们应是 1 和 8，2 和 7，3 和 6，4 和 5。它们可以组成以下算式，如：可见分组方法是多种多样的。 例 2 给你 1、2、3、4、16、17、18、19 这八个数，要求： ①把它们分成四组，使每组的两个数相加之和相等。 ②再用这八个数组成如下的两个算式。 □+□-□=□ □+□-□=□ ①解：仔细观察可发现：在这八个数中，前四个都是一位数，且后一 个数比前一个数大 1； 后四个都是两位数，也是后一个数比前一个数大 1。 因此把它们互相搭配后，可使每组的两数之和相等。分组如下： （1，19）；（2，18）；（3，17）；（4，16）。 可以看出，每组的两数之和都等于 20。 ②解：如下图所示，由于 1+19=2+18，3+17=4+16 因此可以组成符合题目要求的算式如下：注意： 符合题目要求的算式不只这些， 同学们自己还可以再写出一些。 例 3 在 1、2、3、4、5、6、7 之间放几个“+”号，使它们的和等于 100， 试试看。 1 2 3 4 5 6 7=100 解：对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只想不写！二是可 以先考虑与目标值（此题是 100）较接近的大数，再考虑用较小的数进行 调整、修正，使式子的得数逐渐接近目标值，也就是使之转化为较简单的 情况。 （1）对此题可考虑先在 67 前面放一个“+”号，这样比 100 还小 33， 也就是说，转化成了较简单的情况： 1 2 3 4 5=33再考虑在 23 前放个“+”号，它比 33 还小 10，这样问题又转化为： 1 4 5=10 这就很容易看出来了：1+4+5=10 所以最后可以确定组成的算式是： 1+23+4+5+67=100 （2）此题还可以有另外的解法，边看边想可得出：34+56=90 剩下的三个数： 1+2+7=10 所以最后可以组成如下的算式： 1+2+34+56+7=100。 例 4 某公园里有三棵树，它们的树龄分别由 1、2、3、4、5、6 这六个数 字中的不同的两个数字组成， 而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和 的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？ 解：这道题的实质就是：把 1、2、3、4、5、6 六个数分成三组，每组两 个数，组成二位数，使其中的两个二位数之和等于第三个二位数的 2 倍。 顺便说一下， 把生活中的趣味问题转化成为纯数学型的题目是一种重要的 本领， 同学们要从小就注意增强这种能力，以便将来能够运用数学知识解 决实际工作中遇到的难题。 仔细观察、大胆尝试，将这六个数分组、组合，可得出的三个数是： 12，34，56，因为 12+56=34×2 即这三棵树的树龄是 12 岁、 岁、 岁。 34 56 这道题有几种不同的答案， 请你动动脑筋找出另外的答案。 习题九 1．用 10、11、12、13 这四个数编两道加减顺序不同的混合算式，要 求算式符合下面的形式。 □+□-□=□ □-□+□=□ 2．用 2、3、4、5、6、7、8、9 这八个数，每个数只准用一次，编两 道加减混合算式，要求算式符合下面的形式。 □+□-□=□ □-□+□=□ 3．公园里有三棵树，它们的树龄分别由 1、2、3、4、5、6 这六个数 字中的不同的两个数字组成， 而其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的 一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？ 4．某公园里有三棵古树，它们的树龄分别由 1、2、3、4、5、6、7、 8、9 这九个数字中的不同的三个数字所组成，而且其中一棵的树龄正好 是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？ 5．见图。有一天，电钟从墙上掉下来，钟面摔成了三块。小明一看，三块的形状虽然不同，但三块上的数相加之和却相等。你知道钟面碎 成了什么样子吗？每块钟面上的数相加之和是多少？ 6．在 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字中，不改变它们的顺 序，在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果等于 100。你能组成 下面这样的算式吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100 7．用 1、2、3、4、5、6、7 这七个数字组成五个数，使组成的两个 两位数与三个一位数相加之和正好等于 100，你能够办得到吗？8．把 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字分别填到下面方框 里，每个数只准用一次，使下面的三个算式都成立。 □+□=□ □-□=□ □×□=□□ 9．在 1 至 9 的九个数字中，已填入方框的三个数字除外，选择适当 的数字填入方框中，使下面的等式成立。10．见下图。把 1、2、3、4、5、6 这六个数字分成三组。第一组一 个数字， 作为一位数当乘数； 第二组二个数字， 组成一个二位数当被乘数； 第三组三个数字， 组成一个三位数当作积。最后用这三个数写成下列乘法 算式。 □□×□=□□□ 习题九解答 1．解：在 10、11、12、13 四个数中，相邻的两个数，后边的数比前 边的数大 1，所以可以写成一个等式： 10+13=11+12 对这个等式进行变换，可以得到符合题目要求的两个等式：2．解：根据这八个数之间的相互关系，首先可以写出两个等式： 2+5=3+4 6+9=7+8 再根据运算规律， 对这两个等式进行变换，就可以得到符合要求的两 个算式：还可以变换出其他形式的算式，同学们还可以试着写出一些。 3．解：此题与例 4 相同，除在例 4 中求出的一个答案外还有以下各 种答案也符合题意： 21+65=43×2 三棵树的树龄分别是 21 岁、43 岁、65 岁。 16+52=34×2 三棵树的树龄分别是 16 岁、34 岁、52 岁。 25+61=43×2 三棵树的树龄分别是 25 岁、43 岁、61 岁。 4．解：此题与例 4 类似。可以这样考虑：用 1、2、 3 组成最小的三位数，用 7、8、9 组成较大的三位数，将两个数相加 得数取其半就是中间数： 123+789=912 912÷2=456 所以三棵古树的树龄分别是 123 岁、456 岁、789 岁。 5．解：钟面上的 12 个数是 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、 12。不难看出这些数有个特点：最小的 1 和最大的 12 相加得 13，次小的 2 和次大的 11 相加得 13……中间的 6 和 7 相加得 13，即可见， 三块钟面上的数若按下面的方式组合， 它们的和将会相等： （1， 2，11，12），（3，4，9，10），（5，6，7，8）。每块钟面上的数之和 是：1+2+11+12 =3+4+9+10=5+6+7+8=26。 6．解：为了减少尝试的次数，可以先考虑接近 100 的较大的数，用 加上或减去较小的数进行逐步调正，最后得到目标值 100。经尝试知可组 成以下算式： ①123+45-67+8-9=100 可以这样想 123-100=23，所以要想办法再减去 23。加 45 减 67 等于 减去 22；再加 8 减 9 等于减 1，恰好满足要求。 ②123-45-67+89=100 可以这样想：从 123 中减去 45 和 67 后得 11，然后和 89 相加，得数 正好是 100。 ③123+4-5+67-89=100 这个算式与①的解法思路相似。123 比 100 大 23，要减去它才能达到 目标值 100。加 4 减 5 等于减 1，加 67 减 89 等于减 22，结果正好满足要 求。 以下还有： ④123-4-5-6-7+8-9=100 ⑤12+3+4+5-6-7+89=100 ⑥12-3-4+5-6+7+89=100⑦1+2+3-4+5+6+78+9=100 ⑧1+2+34-5+67-8+9=100 ⑨12+3-4+5+67+8+9=100 ⑩1+23-4+56+7+8+9=100 7．解：在 1 至 7 这七个数里，能使五个数的和的个位数是 0 的有以 下三组： 1、2、4、6、7；1、3、4、5、7；2、3、4、5、6 把这三组数分别作为算式中的个位数字， 每组中剩下的两个数就可以 作为十位数字，因而所组成的三个得数均匀 100 的竖式如下图8．解：题目要求用 0 到 9 这十个数字组成一道加法算式、一道减法 算式，一道乘法算式，而且乘法算式里的积是两位数，其余算式中的各个 数都是一位数。由于乘法算式受限制最强，所以抓住它入手分析。 □×□=□□ 又因为“0”是较特殊的数，按题目要求每个数只许用一次，这就定 了“0”只能在乘法算式的乘积的个位数的方框中出现。这是因为 0 加减 任何数都得原来的数；0 与任何数相乘都得 0，都会破坏每个数字只使用 一次的要求，个位数是 0 的乘法算式有 2×5=10，4×5=20， 6×5=30，8×5=40。 究竟选用哪个乘法算式呢？就要看剩下的数能不能组成加法算式和 减法算式。经试验可知选 4×5=20 后剩下的是 1、3、6、7、8、9 六个数， 用它们可组成 1+7=8，3+6=9 两个等式。经变换可得符合题目要求的一组 算式（同学们还可以变换出其他形式的答案）。9．解：先根据只有 9×6=54 和 8×7=56 再用 把剩下的数字进行检验，可得出两种符合要求的答案：10．解：经多次尝试，可得出符合题目要求的答案如下．第十讲 自然数串趣题 从 1 开始，1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12……连起来成 一串， 像一串糖葫芦， 我们把这样的一串数叫作自然数串 （也叫自然数列） ， 其中的每一个数都叫作自然数。自然数串的特点是： ①从 1 开始，1 是头； ②在相邻的两个数中，后一个数比前一个数大 1； ③后面的数要多大有多大，也就是说，自然数串是有头无尾的。 在自然数串中，如果写到某一个数为止，就叫做有限自然数串，也简 称自然数串。 这一讲的题目，都是与（有限）自然数串有关的。 例 1 如下页图所示。一份学习材料放在桌上，一阵风把材料吹落了一地。 小军拣起来一看，糟糕，少了两张。根据下面拣到的材料的页码，你能说 出少了哪几页吗？解：一张材料的正反两面用两个自然数作页码，这两个自然数是相邻的。 仔细观察找到的材料的页码，根据自然数串的特点，可知少了的两张纸的 页码是（7、8）和（13、14）。 例 2 从 1 连续地写到 100，“0”出现了多少次？ 解：“0”出现了 11 次。因为从 1 到 100 含有“0”的自然数是：10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100。 数一数，这些自然数中共有 11 个“0”。 例 3 把 1，2，3，4，5，……28，29，30 这三十个数，从左往右依次排 列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？ 解：把这个数写出一部分来看看： ……282930 下面，分段计算这个数共包含有多少个数字： 1 至 9 共有 9 个数字； 10 至 19 共有 10 个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有 2 ×10=20 个数字。20 至 29 这一段也有 10 个自然数，共有 20 个数字。30 这个数由两个数字组成。所以这个数所包含的数字总数是： 9+20+20+2=51（个）。 例 4 小青每年都和家长一起参加植树节劳动。七岁那年，他种了第一棵 树，以后每年都比前一年多种一棵。现在他已经长到 15 岁了，连续地种 了九年树。请你算一算，这九年中小青一共种了多少棵树？ 解：先把小青每年种几棵树写出来再把每年种树的棵树加起来 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（棵）。 例 5 如下图所示。商店的货架上堆放着一堆火腿肠。你能很快地算出它 的总数有多少根吗？解：从上向下数，每层的火腿肠的根数组成一个自然数串，1，2，3，4， 5，6，7，8，9 方法 1：利用凑十法求和方法 2：用两串数“头尾相加”法求和和=90÷2=45 这种自然数串的求和方法很巧妙，很重要，希望同学们能学会它。 例 6 把 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16 填 入正方形的方格中，使每一横行竖行、斜行的四个数相加得数都是 34。解：（1）把这 16 个数依次排成如下四行（2）把带箭头的线的两端的数互换（3） 互换后，把 16 个数填到正方形的空格里你会发现每一横行、 竖行、斜行的四个数相加的和都等于 34。如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性质：不但每一 横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之和都等于 34，而且 ①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是 34； ②中间的一个小正方形里的四个数之和也是 34； ③大正方形四个角上的四个数相加之和也是 34。真是不可思议！人 们给它起了个有趣的名字――幻方。见图。例 7 如果全体自然数如下表排列，请问① 数 20 在哪个字母下面？ ② 数 27 在哪个字母下面？ ③ 数 70 在哪个字母下面？ ④ 数 71 在哪个字母下面？ 解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数 1，2，3，4，5，6，7 分别排在 A，B，C，D，E，F，G 的下面以后每加七个数就又从头排起，如 1+7=8，1+7+7=15，则 8 和 15 都和 1 那样，排在字母 A 的下面利用这个规 律，就能求出哪个数在哪个字母下面。 ①20=6+7+7， 可见 20 和 6 排在同一个字母下，即在字母 F 下面； ②27=20+7=6+7+7+7， 可见 27 也是排在字母 F 的下面；可见 70 排在字母 G 下面； ④71=1+70， 可见 71 和 1 都排在字母 A 的下面。 习题十 1．小明从 1 写到 100，他共写了多少个数字“9”？ 2． 1 到 12 这十二个数每两个数分为一组，要求每组的两个数之和 把 都相等，怎么分？和是多少？ 3．用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数编三个算式，一个加法、 一个减法、一个乘法，每个数只许用一次。 4．用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字，写成三个三位数， 使它们的和等于 1953。 5．用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字，写成三个三位数， 使它们的和等于 1989。 6． 一只老猫捉了 12 只老鼠， 其中有一只小白鼠。 老猫自言自语地说： “我要分三批吃它们。不过吃以前叫它们站好队，我从头一个开始吃，隔 一个吃掉一个，也就是：我第一次吃掉站在第 1，3，5，7，9，11 号位置 的小老鼠；剩下的叫它们不许动，第二次还是从头一个吃起，隔一个吃一 个；第三次也是照这个办法吃。但把最后剩下的一个放了。”这话被聪明 的小白鼠听见了，于是它站在了某个号的位置上，最后没有被吃掉。 小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗？ 7．所有自然数都按下表排列，问： （1）21 排在第几列的下面？ （2）30 排在第几列的下面？8． 一个排版工人给一本 1 至 50 页的书排页码，如果书的页码的每一 个数字都用不同的铅字块，问他一共要用多少铅字块？ 9． 把 1 至 16 这十六个自然数巧妙地填入正方形的十六空格里，可 以做成有趣的幻方。右图是个未完成的幻方，当它被填满时，它的每行、 每列和每条对角线上四个数字的和都相等。请你继续把这个幻方完成。习题十解答 1．解：小明共写了 20 个数字“9”。 因为从 1 到 100 的数中有 18 个数含有一个数字“9”，它们是：9、 19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、 98。另外自然数 99 含有两个数字 9。 2．解：自然数串有一个特点，相邻的两个数中，后一个比前一个大 1，因此可以进行如下的搭配分组： 最小的数 1 和最大的数 12 成一组（1，12）； 次小的数 2 和次大的数 11 成一组（2，11）； …… 中间的两个数 6 和 7 成一组（6，7）； 各组两个数相加之和都是 13。 3．解：从受限制最强的乘法算式入手，在这九个数中两个数相乘的 积等于另一个数而不发生重复数字出现的，只有 2×3=6 和 2×4=8；经试 验，可选用 2×3=6，则剩下的六个数可组成两个等式 1+7=8 和 4+5=9。再 经过适当的变换就可以列出满足题目要求的算式（答案不惟一）。 1+7=8 9-4=5 2×3=6。 4．解：分拆 0+13 再分拆 13=9+3+1 作为三个数的个位上的数字； 14=8+4+2 作为三个数十位上的数字； 18=7+6+5 作为三个数的百位上的数字； 于是，得到的三个数是 789，643，521，检验：注意： 此题答案不惟一， 同学们还可以试着写出符合题目要求的其他 三个数。 5．解：思路与第 4 题相同， 分拆 0+9 再分拆 18=8+6+4 作为三个数的百位上的数字； 18=9+7+2 作为三个数的十位上的数字； 9=1+3+5 作为三个数的个位上的数字； 于是，得到的三个数是 891，673，425， 检验：符合题意。 6．解：按猫吃老鼠的过程顺序进行思考；老鼠站好队，可见聪明的小白鼠如果站在第 8 号位置上就可以不被吃掉。 7．解：方法 1：把下图的自然数继续写下去，一直写到 21 为止，就 可以知道：21 在第二列，30 在第三列。方法 2：仔细观察表中自然数的排列，可以发现每经过 7 个数字就又 会重新从第一列开始，完全重复前面的排