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&&2014届高三文科数学一轮复习章综合课件：第八章《平面解析几何》（苏教版）
2014届高三文科数学一轮复习章综合课件：第八章《平面解析几何》（苏教版）
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2014届高三文科数学一轮复习章综合课件：第八章《平面解析几何》（苏教版）
答案：1 3．设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,5)的直线l与抛 物线相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________. 解析：A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝10，由抛物线定义得|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝10＋2＝12. 答案：12 解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上．则m&1，且m&5. 答案：m&1且m&5 直线与圆锥曲线的位置关系问题 (2)(2013&沈阳模拟)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是 _______. [答案]　(1)a＋4k2－1＝0　(2)D 研究直线与圆锥曲线位置关系的方法 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 解析：由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.当k＝0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k&0时，&D＝16(k2－2)2－16k4&0，即k2&1，得－1&k&1，且k&0.综上－1&k&1. 1．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率取值范围是 ______. 答案：[－1,1] 弦长与中点弦问题 [例2]　已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上．若右焦点F到直线x－y＋2＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设直线y＝kx＋m(k&0)与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围． 保持本例条件不变，若直线y＝kx＋1与椭圆相交于不同的两点M，N，且|MN|＝2，求直线的斜率k. 解析：(1)由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. (2)抛物线的准线方程为x＝－1，则AB中点到准线的距离为3－(－1)＝4.由抛物线的定义得|AB|＝8. 答案：(1)x2＝12y　(2)8 抛物线的标准方程与性质 [例2]　(1)抛物线y2＝24ax(a&0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为____. (2)设抛物线y2＝2px(p&0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________． &&&&& &&&&&&&&&&&& 求抛物线的标准方程的方法及注意事项 (1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可； (2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与 C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为 _________. 答案：36　 直线与抛物线的位置关系 (1)求该抛物线的方程； 求解直线与抛物线位置关系问题的方法 在解决直线与抛物线位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系．在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合的思想求解． 3．已知直线y＝k(x＋2)(k&0)与抛物线C：y2＝8x相交于A， B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，求k的值． 已知抛物线y2＝2px(p&0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论： (3)y1y2＝－p2； (4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程． (2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题． (3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点. 创新交汇&&圆锥曲线中的实际应用题 1．随着新课程改革的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产中实际应用为背景的应用问题已经进入教材，并且越来越受重视，在一些考试中越来越多的体现． 2．解决此类问题，要把实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，抓住问题实质，利用数形结合，根据这些圆锥曲线的几何性质解决问题． [典例]　(2012&陕西高考)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽____________米． 1．本题有以下创新点 (1)命题形式的创新：以实际应用题的形式考查圆锥曲线的性质． (2)命题内容的创新：本题不是直接考查抛物线的性质，而是巧设背景，以实际应用问题为载体来考查抛物线．考查学生的应用意识． 2．解决本题的关键点 解题的关键是建立坐标系求出抛物线的方程． 3．在解决以圆锥曲线为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点 (1)注意解实际应用问题的四个解题步骤，同时对有关圆锥曲线的基本知识必须要熟练掌握，以便能及时提取运用． (2)注意观察实际生活中一些形状与圆锥曲线的形状接近的事物，如截面为抛物线形的拱桥、探照灯，截面为双曲线形的烟筒，斜截圆柱得椭圆形状的截面等． (1)当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小； (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 1． (2012&德州模拟)抛物线y＝x2上一点到直线2x－y－4＝0 的距离最短的点的坐标是 ______. 法二：设2x－y＋m＝0与y＝x2相切，则x2－2x－m＝0. &D＝4＋4m＝0，得m＝－1，此时x＝1， 故点的坐标为(1,1)． 法三：(导数法)y＝x2的导数为y&＝2x，设所求点为P(x0，y0)，则2x0＝2，得x0＝1，故P(1,1)． (1)求直线AB的方程； (2)求△AOB的外接圆的方程． [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.掌握解决直线与椭 圆、抛物线的位置 关系的思想方法． 2.了解圆锥曲线的简 单应用． 3.理解数形结合的思 想. 直线与圆锥曲线的位置关系，是历年高考考查的重点，常以解答题形式考查，以直线与圆锥曲线的方程为基础，结合有关概念及计算，将位置关系转化为相应的方程或方程组的解的讨论．如2012年高考T19，2011年高考T18等. [归纳 知识整合] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． (1)当a&0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为&D，则&D&0?直线与圆锥曲线C ； &D＝0?直线与圆锥曲线C ； &D&0?直线与圆锥曲线C ． (2)当a＝0，b&0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 ． 相交 相切 相离 平行 平行或重合 [探究]　直线与圆锥曲线只有一个公共点时，是否是直线与圆锥曲线相切？ 提示：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，未必一定相切，还有其他情况，如抛物线与平行或重合于其对称轴的直线，双曲线与平行于其渐近线的直线，它们都只有一个公共点，但不是相切，而是相交． 2．圆锥曲线的弦长 [自测 牛刀小试] 1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a 等于_________. 求解双曲线综合问题的主要方法 (1)求双曲线的离心率e； (1)&六点&：两焦点、两顶点、两虚轴端点； (2)&四线&：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线； (3)&两形&：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形． (1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2. (2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e&(0,1)． 易误警示&&双曲线几何性质的解题误区 1．因对双曲线的几何性质不清，误以为c＝10，错选C； 3．解决与双曲线性质有关的问题时，还易出现对a，b，c之间的关系式c2＝a2＋b2与椭圆中a，b，c之间的关系式a2＝c2＋b2的混淆，从而出现解题错误等． 答案：2 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)． 2.了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 3.理解数形结合的思想. 抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的重点考查内容之一，难度为中低档． [归纳 知识整合] 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线 (1)在平面内； (2)动点到定点F距离与到定直线l的距离 ； (3)定点 定直线上． [探究]　1.当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线． 相等 不在 [探究] 2．抛物线y2＝2px(p&0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x2＝2py(p&0)，结果如何？ 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p&0) x2＝－2py(p&0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 1 [自测 牛刀小试] 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物 线的方程是 ______. 解析：抛物线准线方程为x＝－2知p＝4，且开口向右，故抛物线方程为y2＝8x. 答案：y2＝8x 2． (2012&徐州期中)已知d为抛物线y＝2px2(p&0)的焦点到 准线的距离，则pd = ______. 4．若点(3,1)是抛物线y2＝2px的一条弦的中心，且这条弦 所在直线的斜率为2，则p＝________. 答案：2 抛物线的定义及应用 [例1]　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [自主解答]　(1)如图，易知抛物线的 焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝ －1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小． (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q， 交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|&|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|＋|PF|的最小值． 抛物线定义中的&转化&法 利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．&看到准线想到焦点，看到焦点想到准线&，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径． 1．(1)(2013&广州模拟)若点P到直线y＝－1的距离比它到点 (0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________． (2)过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于________． [答题模板速成] 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的解题步骤： 第一步　审清题意 分析条件，确定相应的曲线方程 ? 第二步　联立方程 联立方程消元后保证&D的取值，利用根与系数关系建立两交点坐标关系 第三步　问题转化求解 将所给定的问题坐标化、方程化，转化过程中要注意整体运算中x1＋x2，x1x2的运用 ? 第四步 得出结论 解决问题得出结论 ? 第五步　反思回顾 反思回顾解题过程，检查步骤是否完备 ? 答案：2 (1)求|PF1|&|PF2|的最大值； (1)求该曲线C的方程； [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解双曲线的定义、几何图形和标 准方程知道它的简单几何性质． 2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双 曲线的实际背景了解双曲线在刻 画现实世界或解决实际问题中的 作用． 3.理解数形结合的思想. 双曲线的定义、几何性质和标准方程及直线与双曲线的位置关系是高考常考内容之一，高考对双曲线的要求比椭圆要低，难度为中低档. [归纳 知识整合] 1．双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的 为一定值； (3)这一定值一定要 两定点的距离． [探究]　1.与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？ 提示：只有当2a&|F1F2|且2a&0时，轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a&|F1F2|，则轨迹不存在． 差的绝对值 小于 2．双曲线的标准方程和几何性质 坐标轴 原点 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－a) (0，a) a2＋b2 2a 2b [探究]　2.双曲线的离心率的大小与双曲线&开口&大小有怎样的关系？ 提示：离心率越大，双曲线的&开口&越大． 3．等轴双曲线 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝&(&&0)，离心率e＝，渐近线方程为 . 实轴与虚轴 y＝&x [自测 牛刀小试] 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是_________. 答案：4　 解析：由题意知，a＝2，故长轴长为2a＝4. 解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)&0，解得－25. 答案：－25 答案：7 5．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双 曲线方程为________． 双曲线的定义、标准方程 [例1]　(1)(2012&大纲全国卷)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos&F1PF2＝ _______. 双曲线定义运用中的两个注意点 (1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义． (2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件&差的绝对值&，弄清楚指整条双曲线还是双曲线的一支．? 答案：3　 双曲线的几何性质及应用 &&&&& &&&&&&&&&&&& 研究双曲线几何性质时的两个注意点 (1)实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重点； 直线与双曲线的综合问题 [例3]　已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F(－2,0)． (1)求双曲线方程； [自测 牛刀小试] 解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：6 3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两 倍，则m = _________. 答案：4 椭圆的定义、标准方程 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (3)找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组. (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.　　 注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要&先定型，再定量&，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m&0，n&0). 答案：3 椭圆的几何性质及应用 (1)求椭圆C的离心率； &&&&& &&&&&&&&&&&& 椭圆离心率的求法 　 求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a、b、c的等式(或不等式)，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围. 直线与椭圆的综合 (1)求椭圆C的方程； (2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的 中点为M. 当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方 程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m&0)， 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 涉及问题 处理方法 弦长 根与系数的关系、弦长公式 中点弦或弦的中点 点差法 (2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M. 求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程． (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c. (2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(00，b&0)始终平分圆C：x2 ＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值是________． 答案：1　 1．(2012&西安模拟)一动圆与两圆x2＋y2＝1和x2＋y2＋8x＋ 12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为_________. 解析：设圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，圆x2＋y2＋8x＋12＝0的圆心为O1(－4,0)，O&为动圆的圆心，r为动圆的半径，则|O&O1|－|O&O|＝(r＋2)－(r＋1)＝1，由双曲线的定义知，动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 答案：双曲线的一支 2．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那 么过点M的最短弦所在直线的方程是________． 答案：x＋y－1＝0 3．(2012&海淀高三期末)已知圆C：(x－1)2＋y2＝2，过点 A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1∶3的两段圆弧，则直线l的方程为________． [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.能根据给定直线、圆的 方程判断直线与圆的位 置关系；能根据给定两 个圆的方程判断两圆的 位置关系． 2.能用直线和圆的方程解 决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处 理几何问题的思想. 1.直线与圆的位置关系的判断、 两圆位置关系的判断是高考 的常考内容，主要以填空题 形式考查，难度较为简单， 如2012年高考T9. 2.由直线与圆的方程求弦长或 求参数是高考热点之一，多 以填空题形式考查，如2012 年高考T12等，难度为中低档. [归纳 知识整合] 1．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2&0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r&0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为&D. 方法 位置关系　　　 几何法 代数法 相交 相切 相离 d0 d＝r &D＝0 d&r &D&0 [探究]　1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？ 提示：应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，则切线不存在． 方法 位置关系　　　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 __________ ______ 相外切 __________ ____________ 相交 ________________ __________________ 相内切 ________________ ___________ 内含 _________________ ________ d&r1＋r2 无解 d＝r1＋r2 一组实数解 |r1－r2|0 [探究]　1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ 提示：不一定．只有当D2＋E2－4F&0时，上述方程才表示圆． 2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？ 提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示： 3．点与圆的位置关系 (1)理论依据： 与 的距离与半径的大小关系． (2)三个结论 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0) ① ?点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2&r2?点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)20， 解得k&－1或k&4. 答案：k&－1或k&4 答案：－10 90& 不存在 90&&&&180& k&0 (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式． (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零． (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论. 易误警示&&有关直线方程中&极端&情况的易误点 [典例]　(2013&常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______________________． [答案]　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0 1．因忽略截距为&0&的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错．所以，可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解． 2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有： ①选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； ②选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况． 已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为____． 答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0 1．直线l过点(－1,2)且与直线3y＝2x＋1垂直，则l的方程 是 ___________. 解析：法一：设所求直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，则3&(－1)＋2&2＋C＝0，得C＝－1，即l的方程为3x＋2y－1＝0. 答案：3x＋2y－1＝0 2．(2012&贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距 的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是_______. 答案：D　 3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则 xy的最大值等于________． 答案：3　 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.能用解方程组的 方法求两条相交 直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距 离公式、点到直 线的距离公式、 会求两条平行直 线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单 独命题的，常作为知识点出现在 相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一 个基本知识点，点到直线的距离 公式是高考考查的重点，一般将 这两个知识点结合直线与圆或圆 锥曲线的问题中来考查. [归纳 知识整合] 交点坐标 (1)若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就是 ； 相交 交点的坐标 (2)若方程组有无数解，则两条直线 ，此时两条直线 ．反之，亦成立． (3)若方程组无解，则两条直线 ，此时两条直线 ，反之，亦成立． [探究]　1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合． 有无数个公共点 重合 无公共点 平行 2．中点坐标公式 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 3．距离 [探究]　2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等． [自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离等 于________． 答案：D　 2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是 (3,4)，则AB ＝________. 解析：设A(a,0)，B(0，b)， 则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)． 答案：A　 3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交 于一点，则b＝_______. 第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 第二节　直线的交点坐标与距离公式 第三节 圆的方程 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第五节 椭圆 第六节 双曲线 第七节 抛物线 第八节 直线与圆锥曲线 专家讲坛 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解直线的倾斜角和斜率 的概念，掌握过两点的直 线斜率的计算公式； 2.能根据两条直线的斜率判 断这两条直线平行或垂 直； 3.掌握确定直线位置的几何 要素；掌握直线方程的几 种形式(点斜式、两点式及 一般式等)，了解斜截式与 一次函数的关系. 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解． 2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查． 3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点： (1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以填空题为主． (2)主要是涉及直线方程和斜率，如2012年高考T12. [归纳 知识整合] (2)直线的倾斜角 ①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为 . ③倾斜角的取值范围为 ． ④当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角&之间满足k＝tan &. 0& [0，&) [探究]　1.直线的倾角&越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？ 2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系 [探究]　2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？ 提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在． 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1，y1) ________ ________ 不含直线x＝x1 斜截式 斜率k与截距b _________ 不含垂直于x轴的直线 y－y1＝ k(x－x1) y＝kx＋b 名称 条件 方程 适用范围 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 截距a与b 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2&0) [探究]　3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示． [自测 牛刀小试] 1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为&，则&＝ ________. 2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜 率等于1，则m＝________. 答案：1 3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为________. 答案：x＋y－3＝0 4．直线l的倾斜角为30&，若直线l1∥l，则直线l1的斜率 k1＝________；若直线l2&l，则直线l2的斜率k2＝________. 5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于 ________． 答案：－3 直线的倾斜角和斜率 [例1]　(1) (2012&山西四校联考改编)直线xsin &＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________. (2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m&n)，则直线AB的倾斜角为________； (3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围________． 若将本例(3)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围。 直线斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角&或&的某种三角函数值，一般根据k＝tan &求斜率； * * * * * * * * * * & * * * * * * 1．直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1&x2，那么直线PQ的斜率为k＝(x1&x2)． 提示：这种说法不正确．由k＝tan &知，当 &&时，&越大，斜率越大且为正；当&&时，&越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的． ＋＝1 解析：因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为. 答案： 解析：由题意知，＝1，解得m＝1. 解析：直线斜率为＝－1，其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0. 解析：l1∥l2，kl1＝tan 30&＝. l2&l，kl2＝－＝－. 答案：　－ 解析：因为kAB＝＝2，kAC＝＝－.A、B、C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，解得x＝－3. [自主解答]　(1)设直线的倾斜角为&，则有tan &＝－sin &，其中sin &[－1,1]．又&[0，&)，所以0&&&或&&&&. (2)设直线AB的倾斜角为&，斜率为k，则 k＝tan &＝＝－1，又&[0，&)，所以&＝. (3)如右图，kAP＝＝1， kBP＝＝－， k&(－&，－ ][1，＋&)． [答案]　(1)　(2) (3)(－&， ][1，＋&) 解：P(－1,0)，A(2,1)，B(0，) kPA＝＝，kPB＝＝. 借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为.　　　 &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1&x2)求斜率． 解析：设直线l的斜率为k，则k＝－＝. 答案： 解析：设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2，解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－. 答案：－ [自主解答]　(1)因为两直线平行，所以有a(a－1)＝2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或－1. (2)由A1A2＋B1B2＝0得，a＋2(a－1)＝0，解得a＝. [答案]　(1)2或－1　(2) l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B&0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B&0) ＝&(A2B2C2&0) &(A2B2&0) ＝＝(A2B2C2&0) 解析：k1＝tan 45&＝1，k2＝， l1&l2，k2＝＝－1，m＝－6. 解析：由题意知，kAB＝＝－2. 解得m＝－8. (2)法一：设直线l的方程为＋＝1(a&0，b&0)．则有＋＝1，且ab＝12. 解得a＝6，b＝4. 所以所求直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0. 法二：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k&0)，令x＝0，得y＝2－3k&0；令y＝0，得x＝3－&0. 所以SOAB＝(2－3k)＝12，解得k＝－，故所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0. &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0. (2)设BC中点D的坐标(x，y)，则 x＝＝0，y＝＝2. BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0. (3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0. ?1个关系&&直线的倾斜角与斜率的关系 ?3个注意点&&求直线方程时应注意的问题 [解析]　当截距不为0时，设所求直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. 点P(－2,3)在直线l上，－2＋3－a＝0， a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有 3＝－2k，即k＝－. 此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0. 解析：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；当m&2时，直线l的方程为＝，即2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0. 法二：由题意知，l的斜率是k＝－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 解析：设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3&1－&3，解得k&或k&－1. 解析：线段AB的方程为＋＝1(0&x&3)， y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－&2＋3，由二次函数性质知，当x＝时，xy的最大值等于3. 1．两条直线的交点设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的就是方程组的解， 一般地，对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)则 解析： d＝＝. 所以|AB|＝＝＝10. 解析：由得将其代入x＋by＝0，得b＝－. 答案：－ 4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________． 解析：设直线l1的方程为x＋y＋&＝0，则＝＝，解得&＝1或&＝－3. 即直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 解析：设对称点为(a，b)，则解得 [自主解答]　(1)法一：由方程组解得即点P(－2,1)， l3&l，k＝－，直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0. ∵l与l3垂直，2(1＋&)－(1－&)＝0，&＝－. 直线l的方程为x＋y＝0，即x＋2y＝0. (2)因为两直线l1与l2相交，所以当m＝0时，l1的方程为y＝－，l2的方程为x＝，两直线相交，此时m、n满足条件m＝0，nR；当m&0时，由两直线相交．所以&，解得m&&4，此时，m、n满足条件m&&4，nR. 解：由方程组解得即点P(－2，1)．又ll3，即k＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，即2x－y＋5＝0.　　　　 &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 证明：(1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0得k＝k＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k1&k2，即l1与l2相交． (2)由方程组解得交点P的坐标为，而2x2＋y2＝22＋2＝＝＝1，即交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上. [自主解答]　(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0. 由已知得＝2，解得k＝. 此时l的方程为3x－4y－10＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作图可得过P点与原点O的距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．由l&OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2. 由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. 即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝. &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解：设点P的坐标为(a，b)．A(4，－3)，B(2，－1)，线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝＝－1，线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0. 点P(a，b)在上述直线上， a－b－5＝0. 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，＝2，即4a＋3b－2＝&10，由联立可得或所求点P的坐标为(1，－4)或. [自主解答]　(1)设A&(x，y)，再由已知解得故A&. (2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M&必在直线m&上．设对称点M&(a，b)，则得M&. 设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．又m&经过点N(4,3)，由两点式得直线m&的方程为9x－46y＋102＝0. &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解：把A，B两点的坐标代入y＝2x知，A，B不在直线y＝2x上，因此y＝2x为ACB的平分线，设点A(－4,2)关于y＝2x的对称点为A&(a，b)，则kAA&＝，线段AA&的中点坐标为， 解得A&(4，－2)． y＝2x是ACB平分线所在直线的方程，A&在直线BC上，直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0. 由解得C(2,4)． ?1条规律&&与已知直线垂直及平行的直线系的设法 ?1种思想&&转化思想在对称问题中的应用 ?2个注意点&&判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点 (2)运用两平行直线间的距离公式d＝的前提是将两方程中的x，y的系数化为分别相等. [典例]　(2013&上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点．对于以下结论：符合[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2； ②设P为直线x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]的最小值为1；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)． [解析]　由[OP]＝1，根据新定义得：|x|＋|y|＝1，上式可化为y＝－x＋1(0&x&1)，y＝－x－1(－1&x&0)，y＝x＋1(－1&x&0)，y＝x－1(0&x&1)，画出图象如图所示：根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故正确；当点P为时，[OP]＝|x|＋|y|＝＋0&1，所以[OP]的最小值不为1，故错误；所以正确结论有. 　 四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直线y＝kx把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积． 解：(1)如图所示，由题意得kOB＝. 当0)，则 解得D＝－4，E＝－2，F＝－5. 所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0. (2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为＝，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则有解得a＝1，b＝－4，r＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为 y＋2＝x－3. 与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，所以半径r＝＝2. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. (2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 则解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0. 法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)， kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0. 同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0. 联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100. (1)的最大值和最小值； [自主解答]　(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝&. 所以的最大值为，最小值为－. (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2&. 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－. (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 解：圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝， P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为＋，最小值为－.　 (1)形如u＝型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题； 2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？ 解：由题意知，r2＝＝，所以当m＝－1时，r＝，所以Smax＝&r2＝&. &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解：设动点P(x，y)，由题意可知P是ABD的重心．由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式：则代入x2＋y2＝1，整理得，所求轨迹方程为2＋y2＝(y&0)． ?1种方法&&待定系数法求圆的方程 ?3个性质&&常用到的圆的三个性质 [典例]　(2011&江苏高考)设集合A＝，B＝{(x，y)|2m&x＋y&2m＋1，x，yR}．若A&B&，则实数m的取值范围是________． [解析]　由题意知A&，则&m2，即m&0或m&.因为A&B&，则有： (1)当2m＋1&2，即m&时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m＋1的距离为d1＝&|m|，化简得2m2－4m＋1&0， 解得1－&m&1＋，所以1－&m&； (2)当2m&2&2m＋1，即&m&1时，A&B&恒成立； (3)当2m&2，即m&1时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝&|m|， 化简得m2－4m＋2&0，解得2－&m&2＋，所以10)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2&0). 解析：法一：圆心(0,1)到直线的距离d＝&1&. 法二：直线mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，又因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C是相交的． 解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、之和为5，而1&&5，所以两圆相交． 3．已知p：&a＝&，q：&直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切&，则p是q的 解析： a＝，则直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，反之，则有a＝&.因此p是q的充分不必要条件． 解析：法一：圆心O(0,0)，C(3，－3)的中点P在直线l上，故可排除A、B、C. 法二：两圆方程相减得，6x－6y－18＝0，即x－y－3＝0. [自主解答]　(1)因为直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，所以圆心到直线的距离d＝&r＝，可得|a＋1|&2，即a[－3,1]． (2)圆C方程可化为(x－4)2＋y2＝1，圆心坐标为(4,0)，半径为1，由题意，直线y＝kx－2上至少存在一点(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，因为两个圆有公共点，故&2，整理得(k2＋1)x2－(8＋4k)x＋16&0，此不等式有解的条件是&D＝(8＋4k)2－64(k2＋1)&0，解之得0&k&，故最大值为. [答案]　(1)[－3,1]　(2) &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 解析：设圆心C(x，y)，则题意得＝y＋1(y&0)，化简得x2＝8y－8. (2)(2013&南宁模拟)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________． [自主解答]　(1)法一：几何法：圆心到直线的距离为d＝＝，圆的半径r＝2，所以弦长为l＝2&＝2＝2. 法二：代数法：联立直线和圆的方程消去y可得x2－2x＝0，所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2)，(0,0)，弦长为＝2. (2)由题意，设所求的直线方程为x＋y＋m＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)．因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直线方程为x＋y－3＝0. [答案]　(1)2　(2)x＋y－3＝0 (1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：|AB|＝&|x1－x2|＝. 3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a 解析：圆心(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，则()2＋2＝22，所以a＝0或a＝4. 解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则R2＝d2＋2，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10. [自主解答]　(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x＋y－a＝0，由＝，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3. 故直线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 解：将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. 当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得y＝(2&)x；当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 综上可知，直线l的方程为 (2＋)x－y＝0或(2－)x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.　 &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 即kx－y＋1－3k＝0. 由题意知＝2，解得k＝. 故方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝. ?2种方法&&解决直线与圆位置关系的两种方法 ?3个注意点&&直线与圆相切、相交的三个注意点 [解]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 则圆C的半径为＝3. 则圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组： 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判别式&D＝56－16a－4a2&0. 从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝. 由于OAOB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0. 由得a＝－1，满足&D&0，故a＝－1. 1．已知直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB是直角三角形，则点P(a，b)与点M(0,1)之间的距离的最大值为 解析：选A　直线ax＋by＝1(其中a，b是实数)与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，则依题意可知，AOB是等腰直角三角形，坐标原点O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝，即2a2＋b2＝2， ∴a2＝(－&b&)，则|PM|＝＝＝，当b＝－时，|PM|max＝＝＋1. 答案：1＋ 解析：因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即&1，解得－130，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝&＝8. 解析：O的圆心为(0,0)，半径为，O&的圆心为(4,0)，半径为，设点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，化简得x＝. 答案：x＝ 解：依题意，设l的方程为y＝x＋b， x2＋y2－2x＋4y－4＝0，联立消去y得 x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 ∵以AB为直径的圆过原点，&，即x1 x2＋y1y2＝0，而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2， 2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，由得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0， 标准方程 ＋＝1(a&b&0) ＋＝1(a&b&0) 图形 性质 范围 &x& &y& &x& &y& 对称性 对称轴：对称中心： 标准方程 ＋＝1(a&b&0) ＋＝1(a&b&0) 性质 对称性顶点 A1 ，A2 B1 ，B2A1 ，A2B1 ，B2 轴 长轴A1A2的长为短轴B1B2的长为 焦距 |F1F2|＝ 离心率 e＝，e a，b，c的关系 c2＝ 提示：离心率e＝越接近1，a与c就越接近，从而b＝就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆． 1．椭圆＋＝1的离心率为e＝________. 解析：a2＝16，b2＝8，c2＝8，e＝＝. 答案： 2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________． 解析：由题意知a2＝，b2＝1，且a＝2b，则＝4，得m＝. 答案： 4．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为 解析：把点(－2，)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝2，故焦距为2c＝4. 答案：4 解析：由题意知|OM|＝|PF2|＝3，则|PF2|＝6.故|PF1|＝2&5－6＝4. 5．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． [例1]　(1)已知ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC是周长是 (2)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为______________________． [自主解答]　(1)根据椭圆定义，ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4. (2)由题意知＝，c＝4，a＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，椭圆方程为＋＝1. [答案]　(1)4　(2)＋＝1 &&&&&&&&&&&&&&&&& (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a&b&0)或＋＝1(a&b&0)． 1．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________． 解析：设椭圆方程为＋＝1(a&b&0)，根据椭圆定义2a＝12，即a＝6，又＝，得c＝3，故b2＝a2－c2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为＋＝1. 答案：＋＝1 2．已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a&b&0)的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b＝________. 解析：设椭圆的焦点坐标为(&c,0)根据椭圆定义和PF1F2是一个面积等于9的直角三角形，有第一式两端平方并把第二、三两式代入可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，即b2＝9，故b＝3. [例2]　(2012&安徽高考)如图，F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a&b&0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，&F1AF2＝60&. (2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值． [自主解答]　(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－(x－c)．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B. 所以|AB|＝&＝c. 由SAF1B＝|AF1|&|AB|sin F1AB＝a&c&＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60&可得， t＝a. 由S△AF1B＝a&a&＝a2＝40知， a＝10，b＝5. 3．椭圆＋＝1(a&b&0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 解析：根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为. 答案： 4．(2012&四川高考)椭圆＋＝1(a为定值，且a&)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆右焦点为F&，由图及椭圆定义知，|AF|＋|AF&|＝|BF|＋|BF&|＝2a. 又FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|&|AF|＋|BF|＋|AF&|＋|BF&|＝4a，当且仅当AB过右焦点F&时等号成立，此时4a＝12，则a＝3，故椭圆方程为＋＝1, 所以c＝2，所以e＝＝ 答案： [例3]　如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分． [自主解答]　(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得解得所以椭圆方程为＋＝1. 此时方程为3x2－3mx＋m2－3＝0，则 &D＝3(12－m2)＞0，所以|AB|＝&|x1－x2|＝&. 设点P到直线AB距离为d，则 d＝＝. 设ABP的面积为S，则 S＝|AB|&d＝&. 其中m(－2，0)(0,2)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m[－2，2]， u&(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6) ＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)．所以当且仅当m＝1－时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－时，S取到最大值．综上，所求直线l方程为3x＋2y＋2－2＝0. &&&&&&&&&&&&&&&&& 5．(2013&洛阳模拟)已知椭圆＋＝1(a&b&0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：y＝kx－与椭圆相交于不同的两点A，B. (1)若|AB|＝，求k的值； 解：(1)由题意知＝，b＝1. 由a2＝b2＋c2可得c＝b＝1，a＝，椭圆的方程为＋y2＝1. 由得(2k2＋1)x2－kx－＝0. &D＝k2－4(2k2＋1)&＝16k2＋&0恒成立．设A(x1，y1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴|AB|＝&|x1－x2|＝&＝＝，化简得23k4－13k2－10＝0，即(k2－1)(23k2＋10)＝0，解得k＝&1. (2)证明：＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)， &＝x1x2＋(y1－1)(y2－1) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋＝－－＋＝0. 不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M. ?1个规律&&椭圆焦点位置与x2、y2系数之间的关系 给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上m&n&0；椭圆的焦点在y轴上00，b&0) (a&0，b&0) －＝1 －＝1 性质 范围 x&a或x&－a，yR y&－a或y&a，xR 对称性 对称轴：对称中心：对称轴：对称中心： 顶点 顶点坐标： A1，A2顶点坐标： A1，A2 性质 渐近线 y＝&x y＝&x 离心率 e＝，e(1，＋&) a，b，c 的关系 c2＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长. 2．双曲线方程：＋＝1，那么k的范围是 3．(2013&湖北十五校联考)若双曲线－＝1(a&0，b&0)的离心率为2，则一条渐近线方程为 解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝&x＝& x＝&x，故渐近线方程为y＝&x. 答案：y＝&x 4．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝ 解析：由渐近线方程3x－2y＝0，知＝. 又b2＝9，所以a＝2，从而|PF2|＝7. 解析：由已知可得c＝4，a＝2，所以b2＝12，故双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 (2)已知双曲线－＝1(a&0，b&0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 [自主解答]　(1)由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，|PF1|＝2|PF2|＝4，cosF1PF2＝＝. (2)∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，则在双曲线中有a2＋b2＝(－6)2＝36.又双曲线－＝1的一条渐近线为方程y＝x，＝.联立解得所以双曲线的方程为－＝1. [答案]　(1)　(2)－＝1 &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1．已知ABP的顶点A，B分别为双曲线－＝1的左，右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于 解析：在ABP中，由正弦定理知＝＝＝＝. 答案： 2．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，&的值为 解析：设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4，SPF1F2＝|F1F2|&|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1.又P在曲线上，－y＝1，即x＝3(y＋1)＝6.&＝(－2－x0，－y0)&(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3. [例2]　(1)(2012&福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于 (2)(2012&全国新课标)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点|AB|＝4，则C的实轴长为 [自主解答]　(1)因为双曲线的右焦点坐标为(3,0)，所以c＝3，b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2.所以e＝＝. (2)由题意可设双曲线的方程为－＝1(a&0)．易知抛物线y2＝16x的准线方程为x＝－4，联立得16－y2＝a2.(*) 因为AB＝4，所以y＝&2.代入(*)式，得16－(&2)2＝a2，解得a＝2(a&0)．所以双曲线C的实轴长为2a＝4. 答案：(1)　(2)4 ?2?由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形即可求e，并注意e&1. 3．已知双曲线－＝1(a&0，b&0)的离心率为，则该双曲线的渐近线斜率为 解析： ＝＝e2－1＝，由此可得双曲线的渐近线的斜率为k＝&＝&. 答案：& 4．已知双曲线C：－＝1(a，b&0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_____． 解析：设H(x，y)如图，OH：y＝x，HF2：y＝－(x－c)，由解得H，所以HF2的中点为M，代入双曲线方程整理得c2＝2a2，所以e＝. 答案： (2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若| |＝2| |，求直线l的方程． [自主解答]　(1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a&0，b&0)，则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝. 所以所求的双曲线方程为x2－＝1. (2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2,0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0,2k)，因为| |＝2||且M，Q，F共线于l，所以＝2或＝－2. 当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，所以Q的坐标为. 因为Q在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，解得k＝&. 所以直线l的方程为y＝(x＋2)． 当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)代入双曲线方程得， 16－＝1，解得k＝&. 所以直线l的方程为y＝&(x＋2)．综上：所求的直线l的方程为y＝&(x＋2)或y＝&(x＋2)． &&&&&&&&&&&&&&&&& 双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|. 4．如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：－＝1上的一点，已知&＝0，且|＝2||. (2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，P2两点，若&＝－，2＋＝0.求双曲线C的方程． 解：(1)由&＝0，得，即F1PF2为直角三角形．设||＝r，||＝2r，所以(2r)2＋r2＝4c2,2r－r＝2a，即5&(2a)2＝4c2.所以e＝. (2)＝＝2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，－2x2)，P(x，y)，则&＝x1x2－4x1x2＝－，所以x1x2＝. 由2＋＝0得，即x＝，y＝.又因为点P在双曲线－＝1上，所以－＝1. 又b2＝4a2，代入上式整理得x1x2＝a2. 由得a2＝2，b2＝8. 故所求双曲线方程为－＝1. ?1个规律&&等轴双曲线的离心率及渐近线的关系 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e＝双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． ?2种方法&&求双曲线标准方程的两种方法 ②待定系数法求双曲线方程的常用方法 ?3个关注点&&双曲线几何性质的关注点 ?3个防范&&双曲线问题的三个易混点 (3)双曲线－＝1(a&0，b&0)的渐近线方程是y＝&x，－＝1(a&0，b&0)的渐近线方程是y＝&x. [典例]　(2012&湖南高考)已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为 [解析]　由已知可得双曲线的焦距2c＝10，a2＋b2＝52＝25，排除C，D，又由渐近线方程为y＝x＝x，得＝，解得a2＝20，b2＝5. [答案]　－＝1 2．因对双曲线渐近线理解不清而出现渐近线求解错误，错解成＝，从而错选B. 已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a&0，b&0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________． 解析：法一：点(2,3)在双曲线C：－＝1上，则－＝1，又由于2c＝4，所以a2＋b2＝4.解方程组得a＝1或a＝4.由于a0，b&0)的右焦点为F，若过点且斜率为的直线与双曲线渐近线平行，则此双曲线离心率是 解析：依题意，应有＝，又＝ ，即＝，解得e＝. 答案： 2．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是 解析：中点，设双曲线－＝1与y＝x－1的两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， k＝＝＝＝1. 解得方程为－＝1. 答案：－＝1 3．已知双曲线－＝1(a&0，b&0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________． 解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(&，0)离心率是.故在双曲线中，c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1. 答案：－＝1 4．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s&c，求双曲线的离心率e的取值范围． 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0. 由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝. 同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2＝. 所以s＝d1＋d2＝＝. 由s&c，得&c，即5a&2c2. 于是得5&2e2，即4e4－25e2＋25&0. 解不等式，得&e2&5. 由于e＞1，故e的取值范围是. 提示：由抛物线定义得|MF|＝x0＋；若抛物线方程为x2＝2py(y&0)，则|MF|＝y0＋. 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝ 准线方程 范围 x&0，yR x&0，yR y&0，xR y&0，xR x＝－ x＝ y＝－ y＝开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|＝|PF|＝ |PF|＝|PF|＝ x0＋－x0＋ y0＋－y0＋解析：抛物线方程可化为x2＝y，所以d＝，则pd＝. 答案： 3．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________． 解析：由c2＝9－4＝5得F(－，0)，则抛物线方程为y2＝－4x. 答案：y2＝－4x 解析：设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得，＝＝2， y1＋y1＝2，p＝2. 解析：由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋＝＋1＝. 答案： 5．若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为________． 显然，连接AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为. 解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部． |PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离． |PB|＋|PF|&|BF|＝＝＝2. &&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& [自主解答]　(1)由题意知，3＋6a＝5，a＝，则抛物线方程为y2＝8x. (2)抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得1＝2p&，解得p＝，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为＋＝. [答案]　(1)A　(2) 解析：设抛物线方程为y2＝2px，则焦点坐标为，将x＝代入y2＝2px可得y2＝p2，|AB|＝12，即2p＝12，得p＝6.点P在准线上，到AB的距离为p＝6，所以PAB的面积为&6&12＝36. [例3]　已知过抛物线y2＝2px(p&0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，所以k＝. ?4个结论&&直线与抛物线相交的四个结论 (1)|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝(&为AB所在直线的倾斜角)； (2)x1x2＝； ?3个注意点&&抛物线问题的三个注意点 [解析]　以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p&0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝&，所以此时水面宽为2米． [答案]　2 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图所示．现假设：失事船的移动路径可视为抛物线y＝x2；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t. 解：(1)t＝0.5时，P的横坐标xP＝7t＝，代入抛物线方程y＝x2，得P的纵坐标yP＝3. 由|AP|＝，得救援船速度的大小为海里/时． (2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2)．由vt＝，整理得v2＝144＋337. 因为t2＋&2，当且仅当t＝1时等号成立．所以v2&144&2＋337＝252，即v&25. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. 解析：　法一：设抛物线上任一点为(x，y)，则由点到直线的距离得d＝＝＝＝&.当x＝1时，取得最小值，此时点的坐标为(1,1)． 2．(2012&南通模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1&x2，y1&0，y2&0)在抛物线上，且存在实数&，使＋&＝0，||＝. 解：(1)抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1. ＋&＝0，A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||＝x1＋x2＋2. 设直线AB：y＝k(x－1)，而k＝，x1&x2，y1&0，y2&0，k&0. 由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0. ∴ ||＝x1＋x2＋2＝＋2＝. k2＝.从而k＝，故直线AB的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0. (2)由求得A(4,4)，B. 设AOB的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得 故AOB的外接圆的方程为x2＋y2－x－y＝0即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. 设斜率为k(k&0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝& ＝ &|y1－y2|＝ . & 解析：由消去y得ax2－x＋1＝0，所以解得a＝. 答案： 2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是 解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点． 4．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________． 解析：由c＝＝1，知椭圆右焦点为(1,0)，则直线方程为y＝2(x－1)，联立方程得解得x1＝0，x2＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝－2，y2＝. S△＝&1&|y1－y2|＝&1&＝. 答案： 5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为____． [例1]　(1)已知直线y＝kx－1与椭圆＋＝1相切，则k，a之间的关系式为________________． [自主解答]　(1)由得(a＋4k2)x2－8kx＋4－4a＝0. 因为直线与椭圆相切，所以 &D＝64k2－4&(4－4a)(a＋4k2)＝0，即a＋4k2－1＝0. (2)由得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 直线与双曲线右支有两个不同交点， ∴ 解得－0 m2&3k2＋1. ∴xP＝＝－，从而yP＝kxP＋m＝. kAP＝＝－. 又|AM|＝|AN|，AP&MN，则－＝－，即2m＝3k2＋1. 把代入，得m2&2m，解得00，解得m&. 综上，m的取值范围是0)，其焦点F到准线的距离为. 解：(1)焦点F到准线的距离为，p＝. 故抛物线C的方程为x2＝y. (2)设P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，x)，则直线MN的方程为y－x＝2x0(x－x0) 令y＝0，得M， kPM＝＝， kNQ＝＝x0＋x. NQ&QP，且两直线斜率存在，kPM&kNQ＝－1，即&(x0＋x)＝－1，整理得x0＝. 又Q(x，x2)在直线PM上， 则与共线，得x0＝. 由得＝(t&0)，t＝－＝－. t&或t&－(舍去)．所求t的最小值为. ?2种思想&&函数思想与数形结合 ?3类问题&&圆锥曲线中的三类问题 [典例]　(2012&福建高考&满分13分)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且ABF2的周长为8. 第(1)问： 1．审条件，挖解题信息观察条件：椭圆方程及左、右焦点F1，F2，离心率e＝，ABF2的周长为8ABF2的周长为4a，e＝. 3．建联系，找解题突破口由条件可得4a＝8，＝a2＝b2＋c2,可得a＝2，b2＝3代入椭圆方程,得E的方程＋＝1. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：探索是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M&＝0恒成立． 3．建联系，找解题突破口由条件分析的位置并设出M得到关于参数m，k，x1的方程对任意m，k恒成立,得关于x1的方程组结论． (1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分) 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分) 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分) 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1.(4分) (2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分) 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m&0且&D＝0，(6分) 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.　　　(*)(7分) 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.(8分) 由得Q(4,4k＋m)．(9分) 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．(10分) 设M(x1,0)，则&＝0对满足(*)式的m，k恒成立．因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由&＝0， 对于方程?4x1－4?&＋x12－4x1＋3＝0不会利用对m，k恒成立，求解x1. 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)?(11分) 由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.?(12分) 故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(13分) 1．P为双曲线y2－＝1下支上一点，M，N分别是圆x2＋(y－4)2＝4和x2＋(y＋4)2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最小值为________． 解析：已知两圆圆心(0,4)(0，－4)(记为F1和F2) 恰为双曲线y2－＝1的两焦点．当|PM|最小，|PN|最大时，|PM|－|PN|最小． |PM|的最小值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之差，同样，PNmax＝|PF2|＋1，从而(|PM|－|PN|)＝|PF1|－2－|FP2|－1＝|PF1|－|PF2|－3＝－1. 2．以直线x&2y＝0为渐近线，且截直线x－y－3＝0所得弦长为的双曲线方程为________． 解析：设双曲线方程为x2－4y2＝&，联立方程组消去y，得3x2－24x＋(36＋&)＝0. 设直线被双曲线截得的弦为AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么， 所以|AB|＝＝ ＝ ＝. 解得&＝4，故所求双曲线方程是－y2＝1. 答案：－y2＝1. 3．椭圆＋＝1(a&b&0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且 (O为坐标原点)． (1)求证：＋等于定值； (2)当离心率e时，求长轴长的取值范围． 解：(1)证明：由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0. 由&D＝4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)&0得a2＋b2&1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝， x1&x2＝. & ，x1x2＋y1y2＝2x1x2－(x1＋x2)＋1 ＝－＋1＝0，化简得a2＋b2＝2a2b2. ＋＝2为定值． (2)∵e＝，b2＝a2－c2，a2＋b2＝2a2b2， a2＝＝＋. 又e&， &a2&，即&a&.2a&[， ]．长轴长的取值范围是[， ]． [解析]　直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a， kMA＝＝－， kMB＝＝，由图可知：－a&－且－a&， a&. [答案]　 巧用(二) 巧用斜率求函数或线性规划问题对形如的函数，在求其最值时，可以将看成动点(x，y)与定点(a，b)所在直线的斜率，先利用条件求得直线斜率的取值范围，进而得到所求函数的最值． [例2]　函数z＝的值域为________． [解析]　设＝y，则有x2＋y2＝1(y&0)，即点(x，y)为半圆x2＋y2＝1(y&0)上的点，即z＝.所以z可看成点(x，y)与点(4,1)所在直线的斜率．如图所示，可得斜率的取值范围为.所以函数z的值域为. [答案]　 [例3]　如果实数x，y满足条件则的取值范围是________． [解析]　作出可行域，如图所示，知点(x，y)在△ABC的内部及其边界，＝＝3＋2&，的几何意义是动点(x，y)与定点(1,1)连线的斜率．由图可知：(0，－1)与(1,1)连线的斜率最大，且值为2；(－1,0)与(1,1)连线的斜率最小，且值为，所以&&2，所以4&3＋2&&7. [证明]　法一：因为A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，得kAB＝2，kBC＝2，所以kAB＝kBC，故A，B，C三点共线．法二：因为A(1，－1)，B(3,3)，C(4,5)，所以|AB|＝2，|BC|＝，|AC|＝3，所以|AB|＋|BC|＝|AC|，即A，B，C三点共线． [例1]　在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆＋＝1的左，右顶点为A，B，右焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m&0，y1&0，y2&0. (2)设x1＝2，x2＝，求点T的坐标； [解]　由题意得A(－3,0)，B(3,0)，F(2,0)． (1)设点P(x，y)，则|PF|2＝(x－2)2＋y2，|PB|2＝(x－3)2＋y2.由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化简得x＝. 故所求点P的轨迹为直线x＝. (2)由x1＝2，＋＝1及y1&0，得y1＝，则点M，从而直线AM的方程为y＝x＋1； 由x2＝，＋＝1及y2&0，得y2＝－，则点N，从而直线BN的方程为y＝x－. 由解得所以点T的坐标为. (3)证明：由题设知，直线AT的方程为y＝(x＋3)，直线BT的方程为y＝(x－3)．点M(x1，y1)满足 得＝－&，因为x1&－3，则＝－&，解得x1＝，从而得y1＝. 点N(x2，y2)满足解得x2＝，y2＝. 若x1＝x2，则由＝及m&0，得m＝2，此时直线MN的方程为x＝1，过点D(1,0)．若x1&x2，则m&2，直线MD的斜率kMD＝＝，直线ND的斜率kND＝＝，得kMD＝kND，所以直线MN过D点．因此，直线MN必过x轴上的点(1,0)． (1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率； [解]　(1)由已知，直线l的方程为x＝4时不合题意．设直线l的方程为y＝k(x－4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝，解得k＝&，所以直线l的斜率为&. (2)证明：设线段AB的中点坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB不垂直于x轴，则直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，联立方程消去x得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝. 因为N为AB的中点 ，所以＝y0，即＝y0，解得x0＝2，即线段AB中点的横坐标为定值2. [例3]　已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2. (2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当| |最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围． [解]　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a&b&0)．由题意，得解得a2＝16，b2＝12. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4&x&4. 因为＝(x－m，y)，所以| |2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12&＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2. 因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x＝4时，||取得最小值．而x[－4,4]，故有4m&4，解得m&1. 又点M在椭圆的长轴上，所以－4&m&4. 故实数m的取值范围是[1,4]． [例4]　已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且&＝&. (2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A，B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求＋的最大值． [解]　(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)， &＝&， (0，y＋1)&(－x,2)＝(x，y－1)&(x，－2)．即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y. 所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y. (2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a2＝4b. 圆M的半径为|MD|＝. 圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2. 令y＝0，则(x－a)2＋b2＝a2＋(b－2)2，整理得，x2－2ax＋4b－4＝0. 由解得x＝a&2. 不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)， l1＝，l2＝. ∴＋＝＝＝2＝2，当a&0时，由得，＋＝2&2 ＝2. 当且仅当a＝&2时，等号成立．当a＝0时，由得，＋＝2. 故当a＝&2时，＋的最大值为2.