求高数f(x,y)=x^2+y^2+2y的极值
楼上犯了一个致命的错误，认为下界就是极小值。
这是“概念性”疏忽。并非无足轻重！
所谓极小值是可以在“极小值点”上“能取得”的函数值。
本题极小值是 f(0,-1)=-1。
f(x,y)=x^2+y^2+2y
=x^2+(y+1)^2-1
===================================================
你既然强调了高数，我就用偏导数方法吧，请看下面
其他答案（共1个回答）
题目抄错了，方程没有求导问题。
应该是求【由方程确定的函数y=y(x)】的导数！
d(x^2-3xy+y^2+1)=d[e^(xy)]
==& 2xdx-3(y...
详细解答如下：
这样简单的问题可以有两种方法求解：
1、转化为无条件极值；
X+Y=1 ==》Y=1-X，代入函数，得到Z=X（1-X），利用一元函数求极值，有充分条件的，可以...
1. 设y=2/x^2,dy=?
解：dy=2[x^(-2)]′dx=-4x^(-1)dx=-(4/x)dx
2、说明下列函数在指定点处
是否连续？若不连续，是...
题解见下面图片：
答: 除了那百分之几的费用，再加上起步价，比如南京是1500起步都是法律规定收的。
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
答: 数学：甲数、乙数与丙数的和是1400，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的二分之一，求甲、乙、丙各多少？
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
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＞＞＞若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值-，(1)求函数的解..
若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值-，(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点，求实数k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：由题意可知f′(x)=3ax2-b，(1)于是，解得，故所求的解析式为f(x)=x3-4x+4；(2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2)，令f′(x)=0，得x=2，或x=-2，当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：因此，当x=-2时，f(x)有极大值；当x=2时，f(x)有极小值-，所以函数的大致图象如图，故实数k的取值范围是。
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据魔方格专家权威分析，试题“若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值-，(1)求函数的解..”主要考查你对&&函数的极值与导数的关系，函数的零点与方程根的联系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的极值与导数的关系函数的零点与方程根的联系
极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
发现相似题
与“若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值-，(1)求函数的解..”考查相似的试题有：
523918446595783267750897394080482945当前位置： >>
3-5函数的极值与最大最小值(09)
第五节 函数的极值与最大最小值函数极值及其求法 函数最值及其求法 函数最值在经济中的应用一、函数极值及其求法内图形如下图: 设函数 y = ?(x)在[a ? b]内图形如下图: 在 内图形如下图y M y= ?(x)aoξ1 ξ 2bxm比它附近各点的函数值都要小; 在ξ1处的函数值f (ξ1 ) 比它附近各点的函数值都要小 比它附近各点的函数值都要大; 而在 ξ 2处的函数值 f (ξ 2 ) 比它附近各点的函数值都要大 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值 但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值, 而且f (ξ1 ) & f (ξ2 )为此, 我们引入函数极值与极值点的概念. 为此, 我们引入函数极值与极值点的概念. 1. 极值的定义 定义1 定义 设 y =?(x) 在邻域 U ( x0 , δ ) 内有定义 ?x ∈ U ( x0 , δ ) 内有定义， 恒有 为函数?(x)的极大值. 的极大值. (1) f ( x0 ) & f ( x) , 则称 f ( x0 ) 为函数 x = x0 称为 称为?(x)的极大值点. 的极大值点.(2) f ( x) & f ( x0 ) , 则称 f ( x0 ) 为函数 为函数?(x)的极小值 的极小值.0x = x 0 称为 称为?(x)的极小值点. 的极小值点.yf ( x1 )极小值y = f (x )f ( x0 )极大值ox0(极 值点 ) 极 大x1(极 值点 ) 极 小x极值的研究是微积分产生的主要动力之一我们将函数的极大值与极小值统称极值, 我们将函数的极大值与极小值统称极值 极大值点与极小值 点统称极值点. 点统称极值点. 极值点 为极值点, 为极值, 注1 x0 为极值点 ?(x0)为极值 极值是极值点处的函数值 为极值 极值是极值点处的函数值. 在区间(a, 极值不一定是最值 但最值一定是极值. 极值不一定是最值, 注2 在区间 b)极值不一定是最值 但最值一定是极值 注3 由极值定义知: 极值是函数的局部性态. 它只是极值点 由极值定义知: 极值是函数的局部性态. 的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的, 故它只可能在 函数值与极值点附近的函数值相比较而言的 (a, b)的内部取得 取得. 的内部取得 在闭区间[a, 内 注4 在闭区间 b]内, 一个连续函数可能有若干个极小值或 极大值,却最多只有一个最大值 与最小值 而且最大值一定 与最小值m, 极大值,却最多只有一个最大值M与最小值 而且最大值一定 在极大值点或端点取得, 最小值一定在极小值点或端点取得. 在极大值点或端点取得 最小值一定在极小值点或端点取得2. 极值的必要条件 定理1 极值的必要条件 费马定理)) 极值的必要条件(费马定理 定理 (极值的必要条件 费马定理 设函数 y =?(x) 在点 x0 处可导. 处可导 为的极值点, 即 为极值). 为函数的驻点, 若 x0为的极值点 (即 f ( x0 )为极值 . 则x0 为函数的驻点 即f ′( x0 ) = 0为极值(不妨设为极大值 则存在x 不妨设为极大值), 为极值 不妨设为极大值 则存在 0的一邻域 证 设 f ( x0 )U ( x0 , δ ), 当 x0 + ?x ∈ U ( x0 , δ ) 时, 有f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) & 0 当 ?x & 0 时, 有 f ?′( x0 ) = lim? ?x → 0 当 ?x & 0 时, 有 f +′ ( x0 ) = lim+?x → 0f ( x0＋?x ) ? f ( x0 ) ≥0 ?xf ( x0＋?x ) ? f ( x0 ) ≤0 ?x故 f ′( x 0 ) = 0定理的几何意义: 注1 定理的几何意义: 可导函数的图形在极值点处的切线是 轴平行的(罗尔定理 罗尔定理) 与x 轴平行的 罗尔定理 . 定理条件是必要而非充分的, 即可导函数的极值点一定 注2 定理条件是必要而非充分的 即可导函数的极值点一定 是导数为0的点 导数不为0的点一定不是极值点 反过来, 的点一定不是极值点. 是导数为 的点, 导数不为 的点一定不是极值点 反过来 导数 的点 的点可能是极值点可能不是(驻点未必是极值点 为0的点可能是极值点可能不是 驻点未必是极值点 所以我们 的点可能是极值点可能不是 驻点未必是极值点), 要找极值点可先从导数为0的点中找 要找极值点可先从导数为 的点中找. 的点中找 如 f ( x ) = x 3 , f '( x ) = 3 x 2， f ′(0) = 0o yy = x3x的驻点. 则 x =0 为 f (x) = x3 的驻点 但是, 的极值点. 但是 x =0 不是 f (x) = x3 的极值点并不是所有驻点包含了所有的极值点, 注3 并不是所有驻点包含了所有的极值点 极值点还可能出 现在导数不存在的点处(即导函数无意义的点 现在导数不存在的点处 即导函数无意义的点). 即导函数无意义的点如 函数 y = |x| , x = 0 是函数的连续不可导点. 但 x = 0是函数 是函数的连续不可导点 是函数 的极小值点. 如图. 的极小值点 如图 综上所述, 注4 综上所述 函数的极值点应从导数 和导数不存在的点中找, 为0和导数不存在的点中找 这些点包含 和导数不存在的点中找 了所有的极值点. 了所有的极值点o yy=|x|xyy+ ? oyx0?x+x0(是极值点情形) (是极值点情形) 是极值点情形oyx+ +? ?(不是极值点情形 不是极值点情形) 不是极值点情形ox0xox0x根据如下定理对导数为 和导数不存在的点判别是否为极值点. 根据如下定理对导数为0和导数不存在的点判别是否为极值点 数为 和导数不存在的点判别是否为极值点 3. 极值存在的充分条件 定理2 极值存在的第一充分条件 极值存在的第一充分条件)设函数 定理 (极值存在的第一充分条件 设函数 y =?(x)在 U ( x0 , δ ) 在 内连续, 内连续 在 U ( x0 , δ )(或 U ( x0 , δ )) 内可导 内可导.(1)若当 x ∈ ( x0 ? δ , x0 ) 时， ′( x ) & 0 ;当 x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时, ff ′( x) & 0. 则 x0 为极大值点；f ( x0 ) 为 f ( x) 的极大值.0(2)若当 x ∈ ( x0 ? δ , x0 ) 时， ′( x) & 0;当x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时, f f ′( x) & 0. 则 x0 为极小值点；f ( x0 ) 为 f ( x) 的极小值.(3)若当 x ∈U( x0 ,δ0 ) 时， ′( x)保号, 则x0不为极值点. f由极值的定义及定理1可证 可证. 证 由极值的定义及定理 可证. 此定理可简单叙述为: 为连续函数?(x)的可能极值点,若 的可能极值点, 此定理可简单叙述为: 设x0为连续函数 的可能极值点 左侧变到右侧时, 当 x 从 x0 左侧变到右侧时 f ′( x) 变号 则 x0为?(x)的极值点. 变号, 的极值点. 的极值点 的两侧保号, 不是?(x)的极值点 的极值点. 若 f ′( x ) 在 x0 的两侧保号 则 x0 不是 的极值点 求极值的步骤: 求极值的步骤:(1) 求导数 f ′( x );(2) 求驻点和 f ′( x ) 没有意义的点;(3) 检查 f ′( x ) 在上述点左右的正负号, 判断极值点;(4) 求极值 .例1 求函数 f ( x) = ( x ? 1)2 ( x ? 2)3的极值. 解定义域为 ( ? ∞, + ∞)f ′( x) = 2( x ? 1)( x ? 2)3 + 3( x ? 2)2 ( x ? 1)2= ( x ? 1)( x ? 2)2 (5 x ? 7)7 ′( x) = 0得 f ( x)的三个驻点 x1 = 1, x2 = , x3 = 2, 无不连续点. 由f 5)分 这三个点将(-∞, +∞)分为四个子区间(-∞ ,1), 7 7 (1, ), ( , 2), (2, +∞ ) 5 5列表讨论如下 :xf ′( x )f ( x)(?∞, 1)107 (1 , ) 57 57 ( , 2) 520(2, +∞ )＋－0极小值 7 108 f( )= ? 5 3125＋＋极 大值 f (1)＝0无 极值7 108 . 故函数有极大值 ?(1) = 0. 函数有极小值 f ( ) = ? 5 3125求f ( x ) = ( x ? 1) 3 x 2的极值.解x此函数的单调性在前面已讨论, 现重新列表如下: 此函数的单调性在前面已讨论 现重新列表如下:( ?∞ , 0)＋0不存 在极大值 f (0) = 02 (0, ) 52 52 ( , +∞ ) 5f ′( x )－0极小值 ? 3 53＋4 25f ( x)故函数有极大值 ?(0) = 0. 函数有极小值2 3 f( )= ? 5 534 25f ( x ) = e x 的单调区间和极值. 的单调区间和极值. 例2 求函数解定义域为 ( ? ∞, + ∞), 而? ex , x ≥ 0 f ( x) = ? ? x ?e , x & 0而?x e? x ? 1 f ( x ) ? f (0) = lim = ?1 f ?′(0) = lim = lim ? ? ? x →0 x →0 x →0 x?0 x xf ( x ) ? f (0) ex ?1 f +′ (0) = lim = lim =1 + + x →0 x→0 x?0 x故f ?′(0) ≠ f +′(0) 即 f ( x )在 x = 0不可导.而当 x & 0, f ′( x ) = ? e ? x & 0， x & 0, f ′( x) = ex & 0 当的极小值点. 为直观列表如下： 故 x = 0为 f (x) 的极小值点. 为直观列表如下： 为x( ?∞ , 0)－0不存在 极小值(0, +∞ )＋f ′( x )f ( x)由上表可看出, 函数 在区间(内单调递减, 由上表可看出 函数?(x)在区间 -∞, 0)内单调递减 在区间 在区间 内单调递减 (0, +∞) 内单调递增 且 ?(x)的极小值为 内单调递增, 的极小值为f (0) = e 0 = 1当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时 当函数在驻点处的二阶导数存在且不为 时, 也可用下面定 理来判定?(x)在驻点处取得极大值还是极小值. 在驻点处取得极大值还是极小值. 理来判定 在驻点处取得极大值还是极小值利用二阶导数判断极值点的另一种方法： 利用二阶导数判断极值点的另一种方法： 定理3 极值存在的第二充分条件 极值存在的第二充分条件) 定理 (极值存在的第二充分条件 处的二阶导数存在, 设函数 y = ?(x) 在点 x0 处的二阶导数存在 若 的极值点; 则 是函数?(x)的极值点 的极值点 且 f ′′( x 0 ) ≠ 0， x0 是函数 值. 且 处为极小值点; 为极小值; (1) 若 f ′′( x0 ) & 0 时, 则 x0 处为极小值点 f ( x0 ) 为极小值(2) 若 f ′′( x0 ) & 0 时, 则 x0 处为极大值点 f ( x0 )为极大值. 处为极大值点; 为极大值.f ′( x0 ) = 0f ( x0 ) 为函数的极 为函数的极证 只证 只证(1)由于f ′( x) ? f ′( x0 ) f ′′( x0 ) = lim x→ x0 x ? x0故由 f ′′( x0 ) & 0 及极限的保号性定理知f ′( x ) & 0 x ? x0当 x & x0时, f ′( x ) & 0; 当 x & x 0时 , f ′( x ) & 0.即 f '( x ) 在 x 0 的邻域内由负变到正 的邻域内由负变到正,则由定理2知 处取得极小值 极小值. 则由定理 知, ?(x) 在 x0 处取得极小值.同 理 f ′′( x 0 ) & 0 的 情 形 类 似 证 明 .是否为极值点尚需进一步判定. 注1 若 f ′′( x0 ) = 0 时, 则 x0 是否为极值点尚需进一步判定.此 能是极大值点, 可能是极小值点, 也可能不是极值点. 时x0 可能是极大值点 可能是极小值点 也可能不是极值点 如h f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x 4， ( x ) = ? x 4，它们在x 点处的一阶导数和二阶导数都为0,但是 但是, 它们在 =0 点处的一阶导数和二阶导数都为 但是 x =0 不 是 f (x) = x3 的极值点 但是 x =0 是 f (x) = x4 的极小值点 的极值点,但是 但是, 的极小值点, x =0 是 h(x) = -x4 的极大值点 的极大值点. 定理4失效 只能改用定理3确定 失效, 确定. 从而当 f ′′( x0 ) = 0 时, 定理 失效 只能改用定理 确定. 定理4是用于判别一阶导数 是用于判别一阶导数为 而二阶导数不为0的点 注2 定理 是用于判别一阶导数为0, 而二阶导数不为 的点 x0是否为函数极值点的方法 对于判别导数不存在的点是否 是否为函数极值点的方法. 为极值点不适用. 为极值点不适用故定理3比定理 更普遍 只需点连续即可) 故定理 比定理4更普遍 只需点连续即可 . 比定理 更普遍(只需点连续即可 例7 求出函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 ? 24 x ? 20 的极值 . 解f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x ? 24 = 3( x + 4)( x ? 2)x 2 = 2.令 f ′( x ) = 0，得驻点 x1 = ?4,Q f ′′( x ) = 6 x + 6,Q f ′′( ?4) = ?18 & 0,故极大值 f (?4) = 60, ?f ′′( 2) = 18 & 0,故极小值 f ( 2) = ?48.求函数 解f ( x ) = x 4 ? 10 x 2 + 5 的极值. 的极值.定义域为 (-∞, + ∞ )得 f ( x ) 的三个驻点由 f ′( x ) = 4 x( x 2 ? 5) = 0x1 = ? 5,又由 f ′′( x) = 12x2 ? 20, 有x2 = 0,x3 = 5f ′′(± 5) = f ′′( x)x =± 5= 40 & 0, f ′′(0) = ?20 & 0x1 = ? 5 和x3 = 5 为极小值点 x2 = 0 为极大值点故极小值 f ( ± 5) = ?20; 极大值 f (0) = 52 3 的极值. 例3 求函数 f ( x ) = ( x ? 1) + 1 的极值.解 定义域为 (－∞, + ∞ )由 f ′( x) = 6x( x2 ?1)2 = 0, 得x1 = ?1,x2 = 0,x3 = 1又由 f ′′( x ) = 6( x 2 ? 1)(5 x 2 ? 1)有f ′′(0) = 6 & 0所以 x = 0 为极小值点. 但 f ′′( ?1) = f ′′(1) = 0定 理 4失 效 . 在 x = ± 1 改 用 定 理 3.当x ∈ U ( ?1, δ )时, 即f '( x ) & 0保号当x ∈ U (1, δ )时, 即f '( x ) & 0保号故 x = ±1 不是极值点 故只有极小值 不是极值点,f (0) = 0.在许多经济理论与实际实际应用中, 在许多经济理论与实际实际应用中 常常遇到这样一类问 在一定条件下, 怎样使: 产品成本最低 产品成本最低”,“产品用料最 产品用料最 题: 在一定条件下 怎样使 “产品成本最低 产品 效率最高”等问题 省”,“效率最高 等问题.这类问题在数学上有时可归纳为 效率最高 等问题. 求某一函数的最大值和最小值问题. 求某一函数的最大值和最小值问题.二、函数的最值及其求法函数?(x)的最值与极值是两个不同的概念 最值是对整个定 函数 的最值与极值是两个不同的概念, 的最值与极值是两个不同的概念 义域而言的, 是整体性的; 极值是局部.最值不仅可以在 最值不仅可以在[a, b] 义域而言的 是整体性的 极值是局部 最值不仅可以在 的内点取得, 也可以在[a, 的端点取得 的端点取得; 值只可能在(a, 的内点取得 也可以在 b]的端点取得 极值只可能在 b) 的内点取得, 即极值点只在区间的内部取得, 不能在端点取得. 的内点取得 即极值点只在区间的内部取得 不能在端点取得yyyo abxo ab xoab x最值最多只有一个最大值与最小值 而一个函数可能有若干个 最值最多只有一个最大值与最小值. 而一个函数可能有若干个 值与最小值 极大值或极小值. 极大值或极小值 我们知道, 闭区间上连续函数一定有最大与最小值.于是, 我们知道 闭区间上连续函数一定有最大与最小值.于是, 最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找. 自此, 其最值点可在极值点以及区间两个端点中寻找. 自此 求闭区 的最值时, 只需分别计算f(x)在开 间[ a, b]上的连续函数 f(x) 的最值时 只需分别计算 在开 , ] 内的驻点、 处的函数 区间(a, b)内的驻点、导数不存在的点以及端点 和b处的函数 内的驻点 导数不存在的点以及端点a和 处的然后加以比较. 其中最大者就是函数?(x)在[a , b]上的最大 值, 然后加以比较 其中最大者就是函数 在 上的最大 上的最小值. 值, 最小者就是函数 ?(x)在[a , b]上的最小值 于是 求闭区间 在 上的最小值 于是, [a, b]上连续函数 ?(x) 最值的一般步骤是 最值的一般步骤是: 上连续函数 (1) 求出函数 求出函数?(x)在区间 , b)内所有可能的极值点 驻点和 在区间(a 内所有可能的极值点(驻点和 在区间 内所有可能的极值点 一阶导数不存在的点). 一阶导数不存在的点 设为 x1, x2 , …, (2) 求出相应的函数值f (a ), f ( x1 ), f ( x2 ), L ,f ( xn ), f (b)(3) 比较 中所有函数值的大小, 其最大者为函数 比较(2)中所有函数值的大小 其最大者为函数?(x)在闭 中所有函数值的大小 在闭 区间[a , b]上的最大值 最小者为函数 ?(x)在闭区间 , b]上 区间 上的最大值, 在闭区间[a 上 上的最大值 在闭区间 的最小值. 的最小值例1 求函数 y = 2 x + 3 x ? 12 x + 14 的在[ ?3,4]3 2上的最大值与最小值 .解Q f ′( x ) = 6( x + 2)( x ? 1)f ( ?3) = 23; f ( ?2) = 34; f (1) = 7; f (4) = 142;解方程 f ′( x ) = 0, 得 x1 = ?2, x2 = 1.计算比较得 最大值 f (4) = 142， 最小值 f (1) = 7.1] 求函数f ( x ) = x + 1 ? x 在闭区间[?8， 上的最大值和最小值.解(1) f (x)的定义域为 的定义域为(?∞,1], 而[?8,1] ?(?∞,1] 的定义域为 (2)f ′(x) = 1? 1 2 1? x′( x )＝0, 解之得驻点为 x = 3 (3) 令 f 4 (4) 分别计算函数值 f (3) = 5 , f (?8) =?5, f (1) = 1 4 4 3 5 (5) 比较大小得 在[?8,1]上的最大值为 f ( ) = 比较大小得, ]4 4最小值为 f (－8) = ?5 －上的最大值和最小值. 上的最大值和最小值 例2 求函数 f ( x ) = 3 ( x 2 ? 2 x )2 在[0, 3]上的最大值和最小值. 上连续, 解 (1) ?(x)在[0, 3]上连续 且其导数为 在 上连续4 f ′( x ) = 3x ?13x2 ? 2x(2) 函数 ?(x)的驻点为 x = 1, 不可导点为 x = 2和 x = 0. 的驻点为 和 (3) 计算这三个点与端点的函数值得 ?(0) = 0, ?(1) = 1, ?(2) = 0, f (3) = 3 9 (4) 比较这些函数值的大小 有 比较这些函数值的大小, max ?(x) = ?(3) = 3 9, min?(x) = ?(0) = ?(2) = 0上为严格单调连续函数, 注 若?(x)在[a , b]上为严格单调连续函数 则其最值只能 在 上为严格单调连续函数 在端点上达到. 在端点上达到 在解决实际问题时有如下结论： 在解决实际问题时有如下结论： 结论1 在某闭区间[a 上连续, 结论 若?(x)在某闭区间 , b]上连续 在开区间 , b)内可 在某闭区间 上连续 在开区间(a 内可 内的唯一驻点, 导, 点x0是?(x)在(a , b)内的唯一驻点,且x0为?(x)的极大值点 在 内的唯一驻点 的极大值点 (或极小值点 则 x0必为 或极小值点), 必为?(x)在闭区间 , b]上的最大值点 或 在闭区间[a 上的最大值点(或 或极小值点 在闭区间 上的最大值点 最小值点). 最小值点 结论2 在某闭区间[a 上连续, 结论 若?(x)在某闭区间 , b]上连续 在开区间 , b)内可 在某闭区间 上连续 在开区间(a 内可 内的唯一驻点, 导, 点x0是?(x)在(a , b)内的唯一驻点,且从实际问题本身可以 在 内的唯一驻点 知道?(x)的最值比在区间(a , b)内部取得 则 x0必为?(x)在闭区 知道 的最值比在区间 内部取得, 必为 在闭区 的最值比在区间 内部取得 上的最大值点(或最小值点 间[a , b]上的最大值点 或最小值点 上的最大值点 或最小值点).解决实际问题的步骤 解决实际问题的步骤: 步骤 建立目标函数及其取值区间 之比. 底半径 r 与高 h 之比 设表面积为S，则目标函数为 S = 2π r 2 + 2π rh 解 设表面积为 则目标函数为V 由V = π r h , 得 h = 2 πr2求目标函数的最值. 求目标函数的最值.设圆柱形有盖茶杯容积V为常数 求表面积为最小时, 为常数, 例3 设圆柱形有盖茶杯容积 为常数, 求表面积为最小时,2V S(r ) = 2π r + (r & 0) 目标函数 r 2V 又 由 S '( r ) = 4π r ? 2 = 0 , 得驻点 r2r=3V 2π故r=3V 是可能的极值点且唯一. 是可能的极值点且唯一. 2π而S&( r ) = 4π +4V , 3 rV )&0 S &( 2π3h rV 点取得极小值也是最小值. 点取得极小值也是最小值. 故 S( r ) 在 r = 2π r 1 V = 由 h = = 2 r , 解得 h 2 V 2 3 ) π( 2π3时茶杯表面积最小. 即半径与高的比为 1/2 时茶杯表面积最小. 求乘积为常数a 而其和为最小的两个正数. 求乘积为常数 & 0, 而其和为最小的两个正数. 设两个正数为x 解 设两个正数为 , y (x & 0, y & 0), 其和为 s = x + y 则由x 则由 y = a 得a y= x从而目标函数为由 s ′( x ) = 1 ?a s( x ) = x + (x & 0) xa =0,得 2 xx1 = ? a , x2 = a而 x1 ? x x & 0} , 故函数 故函数s(x)可能的极值点只有一个 可能的极值点只有一个x= a{当 x & a 时 , s′( x ) & 0，而 x & a 时, s′( x ) & 0.s( x ) 在 x = a , y = a取得极小值.即s( x ) 在 x = a 取得最小值.三、函数最值在经济中的应用在经济管理中, 在经济管理中 需要寻求企业的最小生产成本或制定获得 利润最大的一系列价格策略等.这些问题都可归结为求函数的 利润最大的一系列价格策略等. 最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用. 最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经济上的应用. 在本小节的讨论之前, 在本小节的讨论之前 先对下面所涉及的经济函数作如下 的假定: 的假定 是定义在区间 上的函数, 且满足： 设函数 y = ?(x) 是定义在区间 I 上的函数 且满足： (1) 函数 y = ?(x) 在区间 I 上可导 上可导; (2) 如果函数 y = ?(x) 在区间 I 上有最大 小)值, 则最大 上有最大(小 值 (小)值点位于区间 的内部 小 值点位于区间 的内部. 值点位于区间I经济常识 :1. 优化生产中,需求量=销售量=产量, 常用Q; 需求量=销售量= 一般是价格p的函数Q = Q ( p )或p = p(Q ). 2. 收入 R = pQ ,( p为销售价格 ) 自变量3. 成本C = 可变 + 固定.4. 利润L = R ? C .1. 最大利润设总成本函数为C(Q), 总收益函数为 总收益函数为R(Q), 其中 Q 为销量 为销量, 设总成本函数为 则在假设产量和销量一致的情况下, 则在假设产量和销量一致的情况下 总利润函数为 L =L (Q) ＝ R(Q) C C(Q) 假设产量为 Q0 时, 利润达到最大 则由极值的必要条件和 利润达到最大, 极值的第二充分条件, 必定满足: 极值的第二充分条件 L(Q0) 必定满足L' (Q) Q=Q0 = R′(Q0 ) ? C′(Q0 ) = 0L'' (Q) Q=Q0 = R′′(Q0 ) ? C′′(Q0 ) & 0可见, 使得边际收益等于边际成本时, 可见 当产量水平 Q = Q0 使得边际收益等于边际成本时 可获得最大利润. 可获得最大利润. 经济分析中, 常用MR表示边际收益 MC表示边际成本 表示边际收益, 表示边际成本. 经济分析中 常用 表示边际收益 表示边际成本 可获得最大利润. 即当 MR = MC 时, 可获得最大利润 这是因为, 假设二者不等 当MR & MC时, 则在产量 = Q0 这是因为 假设二者不等, 时 则在产量Q 的基础上再多生产一个单位产品, 的基础上再多生产一个单位产品 所增加的收益大于所增加 的成本, 因而利润有所增加. 的成本 因而利润有所增加 若MR & MC, 则在产量 Q = Q0 的基础上再少生产一个单位 产品, 所减少的收益小于所减少的成本, 因而利润有所增加. 产品 所减少的收益小于所减少的成本 因而利润有所增加因此, 是取得最大利润的必要条件. 因此 MR = MC 是取得最大利润的必要条件 例6 某商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7C 0.2Q (万 万 为销售量(单位 单位:吨 元/吨), 且 Q 为销售量 单位 吨), 产品的成本函数为 吨 C(Q) = 3Q + 1 (万元 万元) 万元 (1)若每销售一吨商品 政府要征税 t (万元 求该商家获 若每销售一吨商品, 万元), 若每销售一吨商品 万元 最大利润时的销售量; 最大利润时的销售量 (2) t 为何值时 政府税收总额最大. 为何值时, 政府税收总额最大. 当该商品的销售量为Q时 解 (1)当该商品的销售量为 时, 商品销售总收入为 当该商品的销售量为R = pQ = 7Q ? 0.2Q2设政府征的总税额为T, 则有T 设政府征的总税额为 则有 = t Q, 且利润函数为= ? 0.2 Q 2 + (4 ? t )Q ? 1 L = R?T ?C由 L' ( Q ) = ? 0.4Q + 4 ? t = 0, 得驻点 Q = 5 (4 ? t )2且驻点唯一. 而 L'' (Q ) = ?0.4 & 0, 且驻点唯一.5 故 L(Q ) 在 Q = (4 ? t ) 取得最大值. 2 5 是使商家获得最大利润的销售量. 即 Q = (4 ? t ) 是使商家获得最大利润的销售量. 2(2) 由(1)的结果知,政府税收总额为 的结果知, 的结果知5 5 2 T = tQ = (4 ? t )t = 10 ? ( t ? 2) 2 2显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是: 时 政府税收总额最大. 但须指出的是: 为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润 就应使 Q = 5/2(4 C t) & 0 满足限制0 并未超出t 的限制范围. 即 t 满足限制 & t & 4. 显然 t = 2 并未超出 的限制范围. .2. 最大收益在已知商品需求函数的条件下, 在已知商品需求函数的条件下 若企业的目标是获得最大 收益, 那么, 收益 那么 企业应以总收益函数 R(P) = P ?Q 为目标函数来决策产量水平或产品的价格. 为目标函数来决策产量水平或产品的价格.已知需求函数为Q 为何值时, 例7 已知需求函数为 = 75－P2 , 问价格 p 为何值时 总收 － 益最大? 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为多少? 益最大 当总收益达到最大时 需求价格弹性为多少 解 总收益函数为 R(P) = P ?Q = 75P － P 3R′( P ) = 75 ? 3P 2 = 0得驻点 p = 5 (p = －5舍去 且 R &(5) = ?30 & 0 舍去), 舍去 是总收益函数的极大值点, 从而 p = 5是总收益函数的极大值点 极值唯一知 p =5 也是 是总收益函数的极大值点 极值唯一知, 时总收益达到最大. 总收益函数的最大值点, 故当价格为 p = 5时总收益达到最大 收益函数的最大值点 时总收益达到最大 需求价格弹性为P dQ 2P 2 Ed = ? ? = Q dP 75 ? P 2当 p = 5, 需求价格弹性为Ed | p = 5 = 1在上例中, 当总收益达到最大时, 在上例中 当总收益达到最大时 需求价格弹性为 单位弹 这是因为当E 性. 这是因为当 d &1时, 需求是富于弹性的 降价可使总收 时 需求是富于弹性的, 益增加; 益增加 而当E 而当 d&1时, 需求是缺乏弹性的 提价可使总收益增加 时 需求是缺乏弹性的, 提价可使总收益增加. 因此, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性一定为单位弹性. 因此 当总收益达到最大时 需求价格弹性一定为单位弹性3. 平均成本最小设企业的总成本函数为 C = C(Q) 平均成本函数为C (Q ) C= Q若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平, 若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平 这就 是求平均成本函数的最小值问题. 是求平均成本函数的最小值问题. 平均成本达到最小, 假设在产量 Q = Q0 时, 平均成本达到最小 则由极值存在 的的必要条件, 的的必要条件 有dC dQQ = Q0QC ′(Q ) ? C (Q ) 1 C (Q ) ′( Q ) ? ]= 0 = = [C 2 Q Q Q? 当 Q = Q0 时, MC = AC其中, 表示平均成本. 其中 AC 表示平均成本 即当平均成本达到最小 即当平均成本达到最小 , MC = AC . 从而, 是取得最小平均成本的必要条件. 从而 MC = AC 是取得最小平均成本的必要条件 例8 某工厂生产产量为 Q (件)时, 生产成本函数 元)为 件 时 生产成本函数(元 为C ( Q ) = 9000 + 40Q + 0.001Q 2求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 求该厂生产多少件产品时 平均成本达到最小 并求出其 最小平均成本和相应的边际成本. 最小平均成本和相应的边际成本.解平均成本函数是C (Q ) = C (Q ) 9000 = + 40 + 0.001Q Q Q 9000 ′(Q ) = ? 2 + 0.001 C QC ′′(Q ) = Q令 C ′(Q ) = 0 得 Q = 3000, 且驻点唯一. 且驻点唯一.故 Q = 3000是(0, +∞ ) 唯一的极小值点. 唯一的极小值点.若Q = 3000件时, 平均成本达到最小 且最小平均成本为 平均成本达到最小,C (3000) = 46(元 / 件)而边际成本函数为C ′(Q ) = 40 + 0.002Q故 Q = 3000 时, 相应的边际成本为C ′(3000) = 46(元 / 件 )显然有平均成本(用AC表示 最小时 MC = AC 表示)最小时 显然有平均成本 用 表示 最小时,4. 最优决策时间由于资金有时间价值, 因而在分析投资问题时, 由于资金有时间价值 因而在分析投资问题时 必须把发生 在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流. 在不同时间的资金流转化成在同一个时间点的等价资金流.在 经济分析中, 经济分析中 一般的做法是将投资成本与投资收益先转化成投资成本的现值与投资收益的现值(经济学中称为贴现 资成本的现值与投资收益的现值 经济学中称为贴现), 然后再 经济学中称为贴现 做投资决策分析. 做投资决策分析. 为初始本金(称现值 为年利率 按连续复利计算, 称现值), 为年利率, 设A0 为初始本金 称现值 r为年利率 按连续复利计算 t 年末的本利和记作At (称总收入 . 则当年结算m次时 就有 年末的本利和记作 称总收入). 则当年结算 次时, 称总收入 次时r mt At = A0 (1 + ) m从而有连续复利公式At = A0 ert与此相反, 与此相反 经济学中把已知未来值为 At , 贴现率也为 r. . 的问题称为贴现(率 问题 问题. 欲求 At的现在值 的问题称为贴现 率)问题. 则一年 A0结算m次 结算 次, t 年末的贴现净额为r mt A0 = At (1 ? ) m按连续复利计算, 按连续复利计算 得 t 年末的贴现净额为A0 = lim At (1 ?m →∞r mt ) = At e ? rt m(也称为贴现公式 也称为贴现公式) 也称为贴现公式 某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在(假定 假定t 例9 某酒厂有一批新酿的好酒 如果现在 假定 = 0)就出 就出 售, 总收入为 K (元). 如果窖藏起来待日按陈酒价格出售 元 (假设不计储藏费 那么 t 年末 的收入就是时间函数 假设不计储藏费), 假设不计储藏费R = Ket并以连续复利计息, 假设资金的贴现率为 r, 并以连续复利计息 为使总收入 的现值最大, 应在何年出售此酒? 的现值最大 应在何年出售此酒 并求 r＝0.1时的 t 的值 ＝ 时的 的值. 年整, 解 设这批酒窖藏 t 年整 售出总收入的现值为 P, 则按照贴现公式得P = P ( t ) = R e ? rt = Ke两端求导, 两端求导 得 P ′( t ) = Ket ? rtt ? rt(0 ≤ t & +∞ )(1 2 t? r) = 01 得唯一不可导点 t0 = 2 4r而 P ′′( t )t = t0= Ket ? rt[(1 2 t? r )2 ?1 4 t]= 3Ket0 ? rt0 34 t0&01 函数P(t)在该点达到最大值 即储藏年限为 在该点达到最大值, 在该点达到最大值 故 t0 = 2 时, 函数 4r 1 (整年 时, 是最佳销售时间 此时收入的最大现值为 整年)时 是最佳销售时间, 整年 2 4r 1 4r P = Ke (元 )当 r = 0.1时, t = 25, 即此酒商应将此酒窖藏 25 年. 时 可见, 利率(贴现率 越高窖藏期越短. 贴现率)越高窖藏期越短 可见 利率 贴现率 越高窖藏期越短.5. 最优批量和批数当一个商场进一批货物时, 除支付购买这批货物的成本外, 当一个商场进一批货物时 除支付购买这批货物的成本外 还需一笔采购费. 在货物没有出售完毕前, 还需一笔采购费 在货物没有出售完毕前 还需将部分货物库 存起来, 这需一笔库存费. 最优批量问题是： 存起来 这需一笔库存费 最优批量问题是：如何决策每批的进货数量, 即批量. 以使采购费与库存费之和达到最小. 进货数量 即批量 以使采购费与库存费之和达到最小 例10 某厂年需某种零件 8000个, 现分期分批外购 然后 个 现分期分批外购, 均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半 . 均匀投入使用 此时平均库存量为批量的一半). 若每次定货 此时平均库存量为批量的一半 的手续费为40元 每个零件的库存费为4元 的手续费为 元, 每个零件的库存费为 元.试求最经济的定 货批量和进货批数. 货批量和进货批数. 设每年的库存费和定货的手续费为C, 解 设每年的库存费和定货的手续费为 进货的批数为8000 x, 则批量为 个, 且 xC = C ( x) =00 ? ? 4 + 40 x = + 40x x 2 xC ′( x ) = ?而 C′′( x) =16000 + 40 = 0, 得唯一 驻点 x = 20 2 x32000 & 0, 故驻点为极小值点. 故驻点为极小值点. 2 x个时, 因而当进货的批数为 20 批, 即定货批量为 400 个时 每 年的库存费和定货的手续费最少――最经济. 年的库存费和定货的手续费最少― 最经济. 企业在正常生产的经营活动中, 库存是必要的, 企业在正常生产的经营活动中 库存是必要的 但库存太 多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费. 多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费. 因此确定最适当的 库存量是很重要的. 库存量是很重要的.6. 最佳存款利息某家银行, 准备新设某种定期存款业务. 例11 某家银行 准备新设某种定期存款业务. 假设存款量 与利率成正比, 经预测贷款投资的收益率为16%, 那么存款 与利率成正比 经预测贷款投资的收益率为 利息定为多少时, 才能收到最大的贷款纯收益? 利息定为多少时 才能收到最大的贷款纯收益 解 设存款利率为 x, 存款总额为 存款总额为M, 则由题意 M 与 x 成 正比, 正比 得 M = k x ( k 是正常数 ) 若贷款总额为M, 则银行的贷款收益为 若贷款总额为 0.16M = 0.16k x而这笔贷款 M 要付给存户的利息为 xM = kx 2 从而银行的投资纯收益为 f ( x ) = 0.16 kx ? kx 2f ′( x ) = 0.16k ? 2kx = 0,得 x = 0.08又由f ′′( x ) = ?2k & 0 和驻点唯一知,x = 0.08 是 f ( x ) 的最大值点.故当存款利率为8%时 可创最高投资纯收益. 故当存款利率为 时, 可创最高投资纯收益. 某房地产公司有50套公寓要出租 当租金定为每月180 套公寓要出租， 例12 某房地产公司有 套公寓要出租，当租金定为每月 元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加 元时 元时， 元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费 元的整修维 套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维 护费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解 设房租为每月 x元，? x ? 180 ? 套， 租出去的房子有 50 ? ? ? ? 10 ?x ? 180 ? ? 每月总收入为 R( x ) = ( x ? 20) ? 50 ? ? 10 ? ?x 1 x ′( x ) = ? 68 ? ? + ( x ? 20)? ? ? = 70 ? R ? ? ? ? 10 ? 5 ? ? 10 ?R′( x ) = 0 ?唯一驻点） x = 350 （唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高 故每月每套租金为 元时收入最高. 元时收入最高350 ? ? 最大收入为 R( x ) = ( 350 ? 20)? 68 ? ? = 10890 (元 ) 10 ? ?
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