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【北师大版】高中数学必修一教学设计方案
【北师大版】高中数学必修一教学设计方案§1 集合的含义及其表示教学目标：通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的"属于"关系。能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题教学重点：集合概念与表示方法教学难点：运用描述法和列举法表示集合课
型：新授课教学过程型：引入课题 同学们在报到时学校通知：8月29日下午4点，高一年级学生按班级在学校行政楼前集合。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论，它不仅是数学的一个基本分支，在数学中占据一个极其独特的地位，如果把数学比作一座宏伟大厦，那么集合论就是这座宏伟大厦的基石。集合理论创始者是由德国数学家康托尔，他创造的集合论是近代许多数学分支的基础。（参看阅教材中读材料P16）。 下面几节课中，我们共同学习有关集合的一些基础知识，为以后数学的学习打下基础。一、 新课教学"物以类聚,人以群分"数学中也有类似的分类。如：自然数的集合 0，1，2，3，......如：2x-1>3，即x>2所有大于2的实数组成的集合称为这个不等式的解集。如：几何中，圆是到定点的距离等于定长的点的集合。1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合，用大写字母A，B，C，等标记。示例集合中的每个对象叫做这个集合的元素，用小写字母a，b，c，d等标记。示例2、元素与集合的关系 a是集合A的元素，就说a属于集合A ，
记作 a∈A ， a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，
记作 a?A 思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。例1：判断下列一组对象是否属于一个集合呢？（1）小于10的质数（2）著名数学家（3）中国的直辖市（4）maths中的字母评注：判断集合要注意有三点：范围是否确定；元素是否明确；能不能指出它的属性。3、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。2.元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。比如：book中的字母构成的集合3.元素的无序性：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。4、数的集简称数集，下面是一些常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N
有理数集 Q正整数集
N+ （或N*）
R 整数集 Z
注：实数的分类5、集合的表示方法：①列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法例：{1，2，3}
特点：元素个数少易列举②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法特点：元素多或不宜列举例：大于3小于10的实数 A= {x∈R│3﹤x﹤10}方程的解集用描述法为 B=函数y=2x图像上的点（x,y)的集合可表示为 C={（x,y)│y=2x}在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合
D={（x,y)│x﹤0,且y﹥0}方程组的解集例题
用适当的方法表示下列集合①由大于3小于10的整数组成的集合②方程的解的集合③小于10的所有有理数组成的集合④所有偶数组成的集合6、集合的分类
原则：集合中所含元素的多少 ①有限集
含有限个元素，如A={-2，3} ②无限集
含无限个元素，如自然数集N，有理数Q ③空
不含任何元素，如方程x2+1=0实数解集。专用标记：Φ二、 课堂练习1、用符合"∈"或"?"填空：课本P5练习2、补充思考①下列集合是否相同1）A
{(5,1)}2）A
{{ Φ }}3）小结1、集合的概念2、集合元素的三个特征3、常见数集的专用符号.4、集合的表示方法5、空集三、 作业布置基本作业：P6 A组 4，5补充作业：求数集{1，x，x2-x}中的元素x应满足的条件；思考作业：P6B组板书设计（略）另注：请各位考虑是否提出{实数}和{全部实数}及R之间的区别 §2
集合间的基本关系一. 教学目标: 1．知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义.3.情感.态度与价值观(1)树立数形结合的思想 ． (2)体会类比对发现新结论的作用.二.教学重点.难点 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 难点：难点是属于关系与包含关系的区别．三.学法与教学用具 1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系. 2.教学用具：投影仪.四.教学过程(一)创设情景，揭示课题 问题l：实数有相等.大小关系，如5<7，2≤2等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察研探. （宣布课题）(二)研探新知 1. 子集 问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间有什么关系吗？(1) ；(2) ={西安中学高一(1)班女生}，={西安中学高一(1)班学生}； (3) , 组织学生充分讨论.交流，使学生发现： 集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合E中的任何一个元素都是集合F中的元素。 综合归纳给出定义： 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）. 记作： 读作：A包含于（is contained in）B，或B包含（contains）A 举例：如，
则思考：包含关系与属于关系定义有什么区别?试结合实例作出解释.
{1,2}______{1,2,{1},{2},{1,2}} 温馨提示：（1）空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。（2）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。（3）若，不能理解为子集A是B中的"部分元素"所组成的集合。因为若，则A中不含任何元素；若A=B,则A中含有B中的所有元素。 非子集关系的反例：(1) A={1,3,5} B={2,4,6}
(2) C={x|x≥9}
D={x|x≤3}
可用数轴直观表示
(3) E={ x|x≥9} F={ x|x≤12} 当集合A中存在(即至少有一个)着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，分别记作：
(或)2. 集合的相等 引入时举例： 由元素分析发现两个集合的元素完全相同，只是表达形式不同，给出集合相等的定义： 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，那么我们就说集合A与集合B相等，记作A=B. 问题3：与实数中的结论""相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论: .3. 真子集问题4：A={小于7的正整数}
B={1，2，3，4，5，6，}
C={}1，3，5}显然，，又发现B=A ，C≠A ，如何确切表明C与A的特殊关系？文 字 语 言对于两个集合A与B，如果，就说集合A是集合B的真子集（proper subset） 符 号 语 言若,但存在元素x,则A
B（或B A）读作：A真包含于B（或B真包含A） 教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。如图l和图2分别是表示集合相等和真子集的关系。图1
图2问题5：请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例，并用Venn图表示. 学生主动发言，教师给予评价. 做练习4，并强调确定是真子集关系的写真子集，而不是子集。 思考： (1) 对于集合A，B，C,如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?如果真包含呢？(2) 集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?(3) 空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?(4) 0，{0}与三者之间有什么关系?(三)巩固深化，发展思维1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格。若用A表示合格产品，B表示质量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？ 试用Venn图表示这三个集合的关系。 例2（与书上有变动） 分别求下列集合的子集，并指出哪些是它们的真子集.
，{1}, {1,2}, {1,2,3} 集 合子
集子集个数真子集个数1 0{1},{1}2 1{1,2},{1},{2},{1,2}4 3{1,2,3},{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3}8 7 推广归纳：有限集 的子集个数，真子集个数，非空 子集个数，非空真子集个数。 2. 练习第5题(四)归纳整理，整体认识请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想方法有那些.1. 也可结合配备的多媒体光盘用FLAS显示Venn图形式的集合间不同关系以加深印象。2. 性质结论：（1）任何集合是它本身的子集，即对任何集合A都有。 (2)
空集是任何集合的子集，即对任何集合A都有。
空集是任何非空集合的真子集。 (3) 欲证，只须证且都成立即可。 （4
对于集合A、B、C，若AB，BC,则AC. 若AB,BC,则AC.(五)布置作业基础题： 第9页习题1-2 A组2，4，5题.
B组第1题.思考题：1. (06年上海理)已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝
．2. 已知集合,≥，且满足，求实数的取值范围。§3
集合的基本运算教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。课
型：新授课教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；教学难点：集合的交集与并集、补集"是什么"，"为什么"，"怎样做"；第一课时：教学过程：四、 引入课题 我们两个实数之间可以进行运算，比如加法运算，那么两个集合之间存在运算吗？ 实例1：A=﹛高一（9）班女生﹜
B=﹛高一（9）班团员﹜ C=﹛高一（9）班女团员﹜，我们发现集合C中的元素是集合A和集合B的公共元素。 实例2：学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员假设A=﹛高一（9）班的篮球队员﹜B=﹛高一（9）班的足球队员﹜C=﹛高一（9）班的运动员﹜，我们发现集合C的元素是由集合A和集合B的元素共同构成的。 我们发现集合之间是存在一定运算的。五、 新课教学1．交集（如实例1） 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：A∩B
读作："A交B"即：
A∩B={x|∈A，且x∈B}交集的Venn图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。则上例中C=A∩B。练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∩B；2．说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集2． 并集（如实例2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B
读作："A并B"即：
A∪B={x|x∈A，或x∈B}Venn图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。练习：1.A=﹛3，5，7 ﹜，B=﹛1，2，3，4﹜ 则A∪B；2．说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集总结基本结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩AAA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A 总结： 交集的性质AA=A ,
ABB,若AB,则AB=A,反之也成立。 并集的性质AA=A，
ABB若AB,则AB=B,反之也成立。联系交集的性质有结论：ABAAB．三.例题讲解： 例1．某学校所有男生组成的集合A，一年级的所有学生组成的集合B，一年级的所有男生组成的集合C，一年级的所有女生组成的集合D，求A∩B，C∪D。解
A∩B= =B.例2．设 求A∩B，A∪B. 解 完成思考交流，通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。 例3． 已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。 解
M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R} ∴ M∩N=M={y|y≥1}四．课堂练习：P12 练习 1，2，3，4题P14习题1题五．小结：A∩B={x|∈A，且x∈B} A∪B={x|x∈A，或x∈B} 交集的性质AA=A ,
ABB,若AB,则AB=A,反之也成立。 并集的性质AA=A，
ABB若AB,则AB=B,反之也成立。联系交集的性质有结论：ABAAB．六．作业1．基础作业：P14习题A组2，3，4题 2．选做： 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。 解
化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA 根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=时，△=m2-8<0
∴ 当B={1}或{2}时，，m无解 当B={1，2}时，
∴ m=3 综上所述，m=3或3．思考B组1题§3
集合的基本运算 第二课时一．复习回顾：上节学习了集合的两种基本运算求交集和求并集。实际中在研究某些集合的时候，这些集合往往是某些给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集。 二．新课讲解 1．全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。 2．补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A在U中的补集，或余集。记作：CUA
即：补集的Venn图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制三．例题讲解例3 试用集合A，B的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合。解
Ⅰ部分： Ⅱ部分： Ⅲ部分： Ⅳ部分：例 4 设全集为R，（1）
（2）（3）
（4）（5）
（6）;（7）并指出其中相等的集合。解
（1）在数轴上，画出集合A和B.（2）（3） 在数轴上表示出 （4）（5） .（6）=;（7）注意对连续实数集利用数轴直观去处理，通过例题了解德摩根律。总结：补集的性质：C＝Ｕ， CＵ＝，A∩CA＝，A∪CA＝Ｕ，C( CA)＝A德摩根律：(CuA)
(CuB)= Cu (AB), (CuA)
(CuB)= Cu(AB)，四．课堂练习。P14 练习1，2，3，4，5题五．归纳小结 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是"且"与"或"，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。六． 作业布置1、 基础作业：P15习题A组，第5，6，7题。2、 选做： 若全集Ｕ＝，子集Ｐ＝，且CuＰ＝，求实数ａ．解
由子集定义和补集定义可知，解得ａ＝２．3．思考：习题B组
2题第一章《集合》复习课教案（2课时）（一） 教学目标：（1）了解集合的含义，理解集合的表示方法（2）理解集合的运算，会求集合的交，并，补集（3）能使用韦恩图表达集合的关系及运算（二） 教学三点解析：（1） 教学重点：知识的网络结构； （2）教学难点：集合思想的应用及运算；（三） 教学过程设计一. 知识归纳集合知识网络1.需要注意的问题(1)要正确理解集合、空集、子集、全集、补集、交集、并集的概念及性质.(2)特别注意对空集的概念和性质的理解(3)集合的表示方法各有特点,应结合具体问题适当选用.(4)利用数形结合的思想,将集合用Venn图表示出来,帮助理解或解决问题,在求数集的交集、并集、补集时，可以借助于数轴.(5)集合中蕴涵着分类的思想,体会它在生活中和数学中的广泛的应用.(6)理解集合是一种语言,这种语言能简洁、准确地表达数学的一些内容.2.
常见题型1、用适当的方法表示下列集合： 100以内被3除余2 的正整数所组成的集合； 所有正方形； 直角坐标平面上在直线和两侧的点所组成的集合； 方程组得解集 2、由元素1，2，3组成的集合可记为：A .
D. 3、实数集合 中元素 满足的条件是
。 4、已知集合A＝{a,a，a－2a＋1}，B＝{1,2}且A∩B＝{1}，求a的值。 5. 设a,b,c为非零实数，则的所有值组成的集合为（
）6、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数 ＝
．7、定义集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={2,4,6,8},B={2,4,5}，则A*B的子集个数为（
）8、已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系（
） 9、若{1,2}A?{1,2,3,4,5}, 则满足这一关系的集合A的个数为 10、已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。 11、若集合，满足＝A，则称（，）为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当＝时，（，）与（，）为集合A的同一种分拆，则集合A＝{，，}的不同分拆种数是（
）。12、设全集 ， ， ，求 判断 与 之间的关系．13、已知集合A={x|2≤x≤9},B={x|m-1<x<4m+1}且B≠,若A∪B=A，求m的取值范围１４、已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1个，则a的取值范围是15．设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又AB={3，5}，A∩B={3}，求实数a,b,c的值.16、设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则 CUQ＝ 17、已知U= 则集合A=18、某校有21个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，他们之中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这三个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，问需要预购多少张车票？ 二. 归纳小结，强化思想1、常见题型：集合元素的辨析、集合的运算 2、数轴分析法、韦恩示意图法、代入法。 3、分类讨论思想；等价转化思想三．作业：章节小节集合练习（选自各年高考试卷）1、设S，T是两个非空集合，且S S，令X＝S∩T，那么S∪X＝
。(87(1)3分)A. X
S2、集合{1，2，3}的子集总共有
。(88(3)3分)A. 7个 B. 8个
D. 5个3、如果全集U＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝
。(89(1)3分)A.
{b，e}4、设全集U＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝
。(90(9)3分)A. φ
B. {(2，3)}
D. {(x，y)|y＝x＋1}5、设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝
。(94(1)4分)A. {0}
C. {0，1，4} D. (0，1，2，3，4)6、设集合M＝{x|0≤x＜2 ，集合N＝{x|x2－2x－3＜0 ，集合M∩N＝
。(97(1)4分)A.{x|0≤x＜1
B.{x|0≤x＜2
C. {x|0≤x≤1}
D.{x|0≤x≤2}7、设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)8、如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
。(99(1)4分)A. (M∩P)∩S
B. (M∩P)∪SC. (M∩P)∩ D. (M∩P)∪9、若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是
。(2000上海(15)4分)A. S
D. 有限集第二章 1.2.1 函数的概念（一） 教学目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用"区间"的符号表示某些集合． 教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数． 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2 .回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： 1.函数模型思想及函数概念： ①给出第一节生活中的变量关系三个实例略． ②讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？ 归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A中的每一个，按照某种对应关系，在数集B中都与唯一确定的和它对应，记作： ③定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：.其中，叫自变量，的取值范围A叫作定义域（domain），与的值对应的值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）. ④讨论：值域与B的关系？构成函数的三要素？一次函数、二次函数的定义域与值域？ ⑤练习：，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值． 求值域.例1：见课本27页例1 2.区间及写法： ① 概念：设是两个实数，且，则： 叫闭区间；
叫开区间； ；
；都叫半开半闭区间． ② 符号："∞"读"无穷大"；"－∞"读"负无穷大"；"+∞"读"正无穷大" ③ 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b} ④ 用区间表示：函数y＝的定义域
． （观察法） 3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示 三、巩固练习： 1. 已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1) 2. 探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.
什么样的曲线不能作为函数的图象？ 3. 课堂作业： 1.2.1 函数的概念（二）教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用"区间"的符号表示；掌握判别两个函数是否相同的方法．教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域．教学难点：值域求法．教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为什么？ 2. 用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax＋bx＋c、y＝的定义域与值域.二、讲授新课：1.教学函数定义域：①出示例1：求下列函数的定义域（用区间表示）f(x)=；
f(x)=－学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）②练习：求定义域（用区间）→f(x)＝；
f(x)＝＋③小结：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）2.教学函数相同的判别：①讨论：函数y=x、y=()、y=、y=、y=有何关系？②练习：判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ A.；；
B.； C．；
、D.； ②小结：函数是否相同，看定义域和对应法则。 3.教学函数值域的求法： ① 例2：求值域（用区间表示）：y＝x－2x＋4；y＝；f(x)＝ ； f(x)＝ 先口答前面三个 → 变第三个求
→ 如何利用第二个来求第四个②小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法三、巩固练习： 1.求下列函数定义域：； 2. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)．
变：，求f(f(x))解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求．（特殊值法） 3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是
． 4.求函数y＝－x＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域．解法（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域 5.课堂作业： 2.2 函数的表示法 教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 教学难点：分段函数的表示及其图象． 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：函数的概念？函数的三要素？ 2.讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课： 1.教学函数的三种表示方法： ① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
优点：简明；给自变量求函数值图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值．具体实例如：二次函数等；股市走势图； 列车时刻表；银行利率表． ②出示例1. 某种笔记本的单价是2元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．师生共练→小结：函数"y=f(x)"有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）． ③讨论：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ ④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）. 试用三种方法表示此实例中的函数. ⑤处理课本P29例2 2．教学分段函数： ①出示例3：写出函数解析式，并画出函数的图像． 邮局寄信，不超过20g重时付邮资1.2元，超过20g重而不超过40g重付邮资2.4元。超过40g重而不超过60g重付邮资3.6元。超过60g重而不超过80g重付邮资4.8元。超过80g重而不超过100g重付邮资6.00元。每封x克（0<x≤100）重的信应付邮资数（元）．（学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ） ②练习：A. 写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg．批发x千克应付的钱数（元）．B. 画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像． ③提出: 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→ 生活实例 ④课本P30例4 3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段三、巩固练习：1.已知f(x)＝，求f(0)、f[f(-1)]的值． 2.作业：P34
1、2题 2.3 映射 教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念． 教学重点：映射的概念． 教学难点：理解概念． 教学过程： 一、复习准备： 1. 举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 2. 讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？ 3. 导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件"非空数集"弱化为"任意两个非空集合"，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）. 二、讲授新课： 1. 教学映射概念： ① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意 , ，对应法则：开平方； ，，对应法则：平方； , , 对应法则：求正弦； ② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作""关键: A中任意，B中唯一；对应法则f. ③ 分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？ ④ 讨论：映射的一些对应情况？（一对一；多对一） 一对多是映射吗？举例一一映射的实例 （一对一） 2.教学例题： ① 出示例1. 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？ A={P | P是数轴上的点}，B=R；
A={三角形}，B={圆}； A={ P | P是平面直角体系中的点}，；A={高一某班学生}，B= ？（ 师生探究从A到B对应关系 → 辨别是否映射？一一映射？小结：A中任意，B中唯一） ② 讨论：如果是从B到A呢？ ③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？ A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则； ，对应法则；，，； 设；， 3. 小结：映射概念. 三、巩固练习： 1. 练习：书P33,1、2、3、4题；
2.课堂作业：书P34 3，B组1、2题. 函数及其表示 （练习课）教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；掌握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．教学难点：函数记号的理解.教学过程：一、基础习题练习： （口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法）1. 说出下列函数的定义域与值域： ； ；
.2. 已知，求， ， .3. 已知，作出的图象，求的值.二、教学典型例题：1.函数记号的理解与运用：① 出示例1. 已知f(x)= ?1
g(x)=求f[g(x)]（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）② 练习：已知=x?x+3
f(x+1), f() 已知函数=4x+3，g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].③ 出示例2. 若,求分析：如何理解？ 如何转化为解法一：换元法，设，则......解法二：配元法，，则......解法三：代入法，将x用代入，则......讨论：中，自变量x的取值范围？④ 练习：若， 求.2. 函数应用问题：①出示例3. 中山移动公司开展了两种通讯业务："全球通"，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；"神州行"不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元. 若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为（元）.Ⅰ.写出与x之间的函数关系式？Ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？（ 师生共练 → 讨论：如何改动，更与实际接近？小结：简单函数应用模型 ）三、巩固练习：1. 已知满足，求.2.若函数的定义域为[?1，1]，求函数的定义域3.设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式.2.2.2二次函数的性质与图像(一)教学目标：研究二次函数的性质与图像教学重点：进一步巩固研究函数和利用函数的方法教学过程：1、 函数 叫做二次函数，利用多媒体演示参数、、的变化对函数图像的影响，着重演示对函数图像的影响2、 通过以下几方面研究函数（1）、配方（2）、求函数图像与坐标轴的交点（3）、函数的对称性质（4）、函数的单调性3、 例：研究函数的图像与性质解：（1）配方所以函数的图像可以看作是由经一系列变换得到的，具体地说：先将上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将所得的图像向左移动4个单位，向下移动2个单位得到.（2）函数与x轴的交点是（-6，0）和（-2，0），与y轴的交点是（0，6）（3）函数的对称轴是x=-4,事实上如果一个函数满足：（），那么函数关于对称.（4）设，，===因为 ，所以所以 函数在上是减函数同理函数在上是增函数对于教材上的其他例子可以仿照此例讨论，总结教材上第64页上的几条性质。4、复习通过配方法求二次函数最小值的方法课堂练习：教材第65页 练习A、B小结：通过本节课的学习应明确应该从那几个方面研究二次函数.课后作业：教材第67页7，教材第68页2、4 2.2.2二次函数的性质与图像(二)教学目标：研究二次函数的性质与图像教学重点：进一步巩固研究函数和利用函数的方法教学过程：（习题课）1、某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程。下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是
x A
D2、已知函数f(x)及函数g(x)的图象分别如图⑴、⑵所示，则函数y=f(x)·g(x)的图象大致是（
D3、若函数是偶函数,则函数的图象 A.关于直线对称
B.关于直线对称 C.关于直线对称
D.关于直线对称4、将奇函数的图象沿x轴的正方向平移2个单位，所得的图象为C，又设图象与C关于原点对称，则对应的函数为
D．5、已知函数f（x）＝｜x2－2ax＋b｜(x∈R)，给出下列命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）＝f（2）时f（x）的图象必关于直线x＝1对称；③若a2－b≤0，则f（x）在区间［a，＋∞］上是增函数；④f（x）有最大值a2－b，其中正确命题序号是
.6、对于函数f（x），若存在x0∈R,使f（x0）＝x0成立，则称x0为f（x）的不动点.如果函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a＞0）有两个相异的不动点x1，x2. (Ⅰ)若x1＜1＜x2，且ｆ（x）的图象关于直线x＝m对称,求证：＜m＜1； (Ⅱ)若｜x1｜＜2且｜x1－x2｜＝2，求b的取值范围.7、已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0.（Ⅰ）求证：b≥0；（Ⅱ）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3］； （Ⅲ）问能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论课堂练习：（略）小结：本节课对前面所学习的内容进行复习课后作业：（略） 2.5 简单的幂函数一．教学目标：1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;（2）教学用具：多媒体三．教学过程：引入新知阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题.（1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论答：1、（1）乘以1
（2）求平方
（3）求立方（4）求算术平方根
（5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.探究新知1．幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数. 如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2．研究函数的图像 （1）
（3） （4）
（5）一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像，填P91探究中的表格 定义域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限单调增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1） 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）；（2）＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当＞1，＞1时，∈（0，1），的图象都在图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，∈（0，1），的图象都在的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴.例题：1．证明幂函数上是增函数证：任取＜则==因＜0，＞0所以，即上是增函数.思考：我们知道，若得，你能否用这种作比的方法来证明上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小（1）
（3）分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习 画出的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式 （1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P92
第2、3 题第三章课题：
1正整数指数函数教学目标： 了解正整数指数函数模型的实际背景。了解正整数指数函数的概念。理解具体的正整数指数函数的图象特征及函数的单调性。借助科学计算器、计算机的运算功能，计算一些正整数指数函数值。教学重点：正整数指数函数的概念，函数图象的特征。教学难点：正整数指数函数图象的特征。授课类型：新授课教学过程：一、新课引入1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为2%，到2010年底人口将达到多少亿？（取） 为解决这个问题，我们必须建立相应的数学模型、函数关系式，设年数为x，人口数为y，则其中我们给起个名字为正整数指数函数引出本节课题。二、新课讲授问题1 某细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂成4个......一直分裂下去。① 列表表示1个细胞分裂次数分别为1，2，3，4，5，6，7，8时，得到的细胞个数；② 用图象表示1个细胞分裂次数n与得到细胞个数y之间的关系；③ 写出y与n 之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15、20次得到的细胞个数。师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点（单调性）问题2
电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层，臭氧含量Q近似的满足其中是臭氧的初始量，t是时间（年）。这里设=1（1）计算经过20、40、60、80、100年，臭氧的含量Q（2）用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；（3）试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少。解
（1）使用科学计算器可以算得，经过20、40、60、80、100年后，臭氧含量Q分别是：（2）图象是一些孤立的点（3）由图像可知：随着时间的增加，臭氧的含量逐渐减少小结：从上述的两个问题的讨论和分析，老师给出正整数指数函数概念：对于，
()我们可以用更一般的式子来表示，用a取代2（a＞0），用x取代n（）则上式可以表示为（a＞0，a≠1，）我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数。特别指出的是有如下特点：a) x是自变量，定义域是正整数集，x 在指数上。b) 规定底数大于0且不等于1。c) 图象是一些孤立的点，并且当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减函数。在我们研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。例
某地现有森林面积是1000，每年增长5%，经过x（）年，森林面积为y，写出x，y 间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积是多少？（例题）学生练习小结
再次强调正整数指数函数的特点（图象，表达式，a的范围）作业课题：
2．1指数概念的扩充教学目标： 通过与初中所学知识的类比，理解分数指数幂的概念，掌握指数幂的性质、根式与分数指数幂的互化，能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。教学重点：1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。教学难点：有理指数幂性质的灵活应用授课类型：新授课教学过程：一、新课引入回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质二、新课讲授提出问题（1） 观察以下式子，并总结出规律：a＞0①②③④（2） 利用上例你能表示出下面的式子吗？，（x＞0，a＞0，m，n，且n＞1，）（3）你能推广到一般的情形吗？师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义是（a＞0，m，n，且n＞1）提出问题负分数指数幂的意义是怎样规定的？你能得到负分数指数幂的意义吗？你认为如何规定0的分数指数幂的意义？分数指数幂的意义中，为什么规定a＞0？既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，那么其性质能否推广？讨论结果有以下结论：（a≠0，n），（a＞0，m，n，且n＞1）性质（1）
（a＞0，r，s∈Q）（2）（a＞0，r，s∈Q）（3）（a＞0，b＞0，r∈Q）规定：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义。例题讲解（1）求下列各式的值（2）用分数指数幂的形式表示下列各式中的b（式中a＞0）=32学生练习点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先化为根式，再把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。同学们可参阅了解有关无理数指数幂知识（老师做必要的说明，极限思想）作业1．计算下列各式2．求值课
2.2 指数运算的性质教学目的： 巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算教学重点：利用指数运算性质进行化简，求值。教学难点：指数运算性质的灵活运用课时安排：2课时教学过程：一、复习巩固： 总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立，本节课我们一起来看看他们满足什么运算性质。先回顾正整数指数幂的运算性质当其中m,n∈实际上，当a＞0，b＞0时，对任意的m，n都满足上述性质，我们可以把上述五条归纳为三条：二、新课讲授学生看书67页例1例2 化简（式中字母均为正实数）：（1）
（2）解 （1） = （2）学生练习68页练习
已知解 学生练习68练习
21．思考. 已知=3，求下列各式的值:
（注意：补充立方和的乘法公式） （１） ； （２） ； （３） ． 讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 （答案：（１）７；（２）４７；（３）８．）小结作业 第二课时
授课类型：
巩固课教学过程：一、巩固练习：回顾分数指数幂的运算性质推广到实数集上：二、讲解范例： 例1计算下列各式（式中字母都是正数）： ⑴ ；⑵ . 解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]； ⑵原式= 说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤. 例2计算下列各式： ⑴ ；⑵ (a>0). 解：⑴原式= =； ⑵原式=. 说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 例3化简：解：评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决思考 已知x+x-1=3,求下列各式的值：解： 五、小结
本节课学习了以下内容： 熟练进行有关分数指数幂的计算。 六、课后作业： 1．求下列各式的值： (1)
（4）2．已知：，求证：.，4．已知：，，求的值..6．设mn>0，x=，化简：A=.解：∵x-4=()-4=()，∴A==，又∵mn>0，∴m，n同号.⑴设m>0，且n>0，则A=.①若mn，则A=；②若m<n，则A= .⑵设m<0，且n<0，则A=.①若nm，则A=；②若n<m，则A=.综上所述得：A=. 课
3.1 指数函数的概念教学目的： 理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.培养学生实际应用函数的能力教学重点：指数函数的图象、性质教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.授课类型：新授课教学过程：一、复习引入： 引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，....... 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？ 分裂次数：1，2，3，4，...，x 细胞个数：2，4，8，16，...，y 由上面的对应关系可知，函数关系是. 引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 在,中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.二、新课讲授 1．指数函数的定义： 函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？ ①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义. ②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，...等等，在实数范围内函数值不存在. ③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a?1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞). 探究2：函数是指数函数吗？ 指数函数的解析式y=中，的系数是1. 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=，y=，y=，y=的图象. 列表如下：x...-3-2-1-0.500.5123...y=...0.130.250.50.7111.4248...y=...8421.410.710.50.250.13... x...-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.5...y=...0.030.10.320.5611.783.161031.62...y=...31.62103.161.7810.560.320.10.03... 我们观察y=，y=，y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数 例题讲解： 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字） 分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求 解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y 经过1年，剩留量 经过2年，剩留量 ...... 一般地，经过x年，剩留量 y=0.84 根据这个函数关系式可以列表如下： x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数y=0.84 的图象从图上看出y=0.5只需x≈4. 答：约经过4年，剩留量是原来的一半 评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现 例2比较下列各题中两个值的大小： ①，；
③， 解：利用函数单调性 ①与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<； ②与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8-0.2，所以，<； ③在下面几组数之间的横线上填上适当的不等号或等号：>1； 小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数的幂的大小的比较可以与中间值进行比较.练习：⑴比较大小： , ⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小： m < n；m < n. ⑶比较下列各数的大小：
本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质 课后作业： 课
3.2 指数函数的图像和性质教学目的： 熟练掌握指数函数概念、图象、性质掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识教学重点：指数形式的函数定义域、值域教学难点：判断单调性.授课类型：新授课教学过程：一、复习引入： 的图象和性质 a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数二、新课讲授： 例1求下列函数的定义域、值域： ⑴
⑶ 分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围 解（1）由x-1≠0得x≠1 所以，所求函数定义域为{x|x≠1} 由
，得y≠1 所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1} 说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理（2）由5x-1≥0得 所以，所求函数定义域为{x|} 由 ≥0得y≥1 所以，所求函数值域为{y|y≥1} （3）所求函数定义域为R 由>0可得+1>1 所以，所求函数值域为{y|y>1} 通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性 例2求函数的单调区间，并证明 解：设
当时， 这时
∴，函数单调递增
当时， 这时
∴，函数单调递减
∴函数y在上单调递增，在上单调递减 解法二、（用复合函数的单调性）： 设：
则： 对任意的，有，又∵是减函数 ∴
∴在是减函数 对任意的，有，又∵是减函数 ∴
∴在是增函数 引申：求函数的值域 （） 小结：复合函数单调性的判断 例3设a是实数， 试证明对于任意a,为增函数； 分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明还应要求学生注意不同题型的解答方法 （1）证明：设∈R,且 则 由于指数函数 y=在R上是增函数,且, 所以即<0， 又由>0得+1>0, +1>0 所以<0即 因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，为增函数 评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性练习： 求下列函数的定义域和值域： ⑴
⑵ 解：⑴要使函数有意义，必须
∴值域为 ⑵要使函数有意义，必须
∴值域为 小结
本节课学习了以下内容：指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性方法 课后作业： 课
指数函数的图象和性质教学目的： 了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯教学重点：函数图象的变换；指数函数性质的运用教学难点：函数图象的变换；指数函数性质的运用.授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：指数函数的定义、图像、性质（定义域、值域、单调性）二：新课讲授 例1用计算机作出图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系， ⑴y=与y=.
⑵y=与y=. 解：⑴作出图像，显示出函数数据表x-3-2-101230.1250.250.512480.250.51248160.512481632 比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象⑵作出图像，显示出函数数据表x-3-2-101230.1250.250.512480.6250.1250.250.51240.31250.6250.1250.250.512比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象 小结：⑴ y=与y=的关系：当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m<0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象 例2 ⑴已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
定义域：x?R
值域： 关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称. ⑵已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系解：
定义域：x?R
值域： 关系：将（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称 ⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出： 基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x) y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|) y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称. y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合. y＝ y=与y=f(x)的图象关于直线y=x对称. 以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究. 例3 已知函数
求函数的定义域、值域解：作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理定义域为 R 由得 ∵x?R,
又∵，∴ 小结
本节课学习了以下内容：函数图像的变换 课后作业： 4 对数教学目标： 1、理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质决有关问题。培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。 2、通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质，让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识。 3、学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。教学重点难点：重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用。难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用。教学过程：4.1 对数及其运算（第1课时）一、引入： 在上一节，我们研究细胞分裂时，曾归纳出，第次分裂后，细胞的个数给定细胞分裂次数，可求出细胞个数。在实际问题中，又常常需要由细胞分裂若干次后的个数，计算分裂的次数。 2000年我国国民经济生产总值为亿元，如果按平均每年增长8.2%估算，那么经过多少年国民经济生产总值是2000年的2倍。假设经过年，国民经济生产总值是2000年2倍，依题意，有即指数取何值时满足这个等式呢？我们经常遇到这类已知底数和幂的值，求指数的问题。这就是我们接下来要学习的对数问题。二、讲授新课： 1 对数（1）、定义： 一般地，如果 的次幂等于，即，那么数叫作以为底的对数，记作其中叫作对数的底数，叫作真数。实质上，对数表达式不过是指数函数式的另一种表达形式。例如，这两个式子表达的是同一关系。（2）、说明：①② 负数和零没有对数。③④2、常用对数、自然对数通常将以10为底的对数叫作常用对数，的常用对数，简记作。以为底的对数称为自然对数，的自然对数，简记作。例1 将下列指数式写成对数式：（1）
（4）解 （1）
（2）（3）
（4）例2将下列对数式写成指数式：（1）
（2） （3） （4）解 （1）
（4）例3 求下列各式的值：（1）
（5）解 （1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）
（5）三、课堂练习：课本P81
练习1 ， 1、2、3四、课堂小结：1 对数的定义；2 几种特殊数的对数；3 负数和零没有对数；4 对数恒等式；5 常用对数和自然对数。五、作业：习题3-4
1、2、3 补充作业：已知，求的值。解 因为，根据对数的定义有，所以4.1 对数及其运算（第2课时）一、复习回顾：1 对数的定义2 指数式与对数式的互化3 重要公式4 指数的运算法则二、教授新课：1 对数的运算性质 如果，则 （1） （2） （3） 证明：设，则由对数定义得 因为
，所以即例4 计算： （1）
（2） 解（1）
（2）例5 用表示下列各式：（1）
（3）解 （1）（2）（3）例6 科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量程度。解 设6.9级和7.8级地震的相对能量程度分别为，由题意得因此即所以因此，7.8级地震的相对能量程度约为6.9级地震的相对能量程度的32倍。三、课堂练习： 课本P84 练习2 ， 1、2、3四、课堂小结：1、对数的运算法则2、对数的运算法则的综合应用，特别是公式的逆向使用3、对数与指数形式比较五、作业：习题3-4
A组 6、7、8补充作业：已知均为正数，，求证：。证法一：设，则。由对数的定义得，则左边=，右边=。证法二：所以
又所以4.2 换底公式一、引入：在实际应用中，常常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数呢？例如，如何求？我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算。设 ，写成指数形式，得两边取常用对数，得所以即二、讲授新课：1、换底公式证明
设，根据对数定义，有两边取以为底的对数，得而，所以由于，则，解出，得，因为，所以很容易由换底公式得到例7 计算： （1）
（1）（2）例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：； ； ； ； 解 例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。解
设最初的质量是1，经过年，剩留量是，则经过1年，剩留量是，经过2年，剩留量是，...... 经过年，剩留量是。 方法一
根据函数关系式列表3-9表3-9012345......10.840.710.590.500.42......观察表中数据，时对应有即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。方法二
依题意得，用科学计算器计算得 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半。三、课堂练习：课本P86 l
练习2，3四、课堂小结：1、对数换底公式；2、换底公式可用于对数式的化简、求值或证明。五、作业：习题3-4
A组 4、5补充作业： 已知求的值。 解：因为，所以 又因为，所以5 对数函数教学目标： 1、理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数行结合、分类讨论等数学思想。 2、能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题。认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识。 3、掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优秀品质，培养学生数学交流能力。教学重点难点：重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底数对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用。难点：底数对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明。教学过程：5.1 对数函数的概念（第1课时）一、引入：根据对数式对于在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的。二、讲授新课： 1 对数函数 我们把函数 叫作对数函数，叫作对数函数的底数。 特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数；称以无理数为底的对数函数为自然对数函数。例1 计算：（1）计算对数函数对应于取1，2，4时的函数值；（2）计算常用对数函数对应于取1，10，100，0.1时的函数值。解 （1）当时，当时， 当时，；（2） 当时， 当时， 当时，当时，指数函数和对数函数有什么关系？ 2 反函数指数函数，是自变量，是的函数，其定义域是，值域是；对数函数，是自变量，是的函数，其定义域是，值域是。像这样的两个函数叫做互为反函数。 反函数的概念：一般地，函数中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由可得，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么就表示x是自变量y的函数。这样的函数叫函数的反函数，记作：。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数通常改写成：例2 写出下列对数函数的反函数： （1）
（2）解（1）对数函数，它的底数是10，它的反函数是指数函数；（2）对数函数，它的底数是，它的反函数是。例3 写出下列指数函数的反函数： （1）
（2）解：（1）指数函数，它的底数是5，它的反函数是； （2）指数函数，它的底数是，它的反函数是。三、课堂小结：1、对数函数的概念；2、对数函数的反函数。四、作业：习题3-5
A组 1、2、35.2 的图像和性质对数函数的图像和性质一、复习回顾： 1、对数函数的定义； 2、对数函数的反函数。二、讲授新课： 下面我们研究对数函数的图像和性质。 可以用两种不同方法画出函数的图像。方法一
描点法方法二
画出函数的图像，再变换为的图像 对数函数，在其底数及这两种情况下的图像和性质可以总结如表3-11图
质(1)定义域：(1)定义域：(2)值域：(2)值域：(3)过点,即时(3)过点,即时(4)当时时(4)当时时(5)是上的增函数(5)是上的减函数例4 求下列函数的定义域（1）；
（2）解：（1）因为，即，所以函数的定义域为；（2）因为，即，所以函数的定义域为。例5 比较下列各题中两个数的大小：（1）
（2）（3）
（4）解：（1）因为，函数是增函数，，所以（2）因为，函数是减函数，，所以（3）因为函数是增函数，，所以 同理，所以 （4）对数函数的单调性取决于其底数是大于1还是小于1。而已知条件中并未明确指出底数于1哪个大，因此需要对底数进行讨论。当时，函数在上是增函数，此时当时，函数在上是减函数，此时例6 观察在同一坐标系内函数与函数的图像，分析它们之间的关系。解：从图3-16(1)上可以看出，点与点关于直线对称。函数与函数互为反函数，对应于函数图像上的任意一点，点关于的对称点总在函数的图像上，所以，函数的图像与函数的图像关于关于直线对称。(如图3.16(2))图3-16(1)图3.16(2)例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作中，常用的含量来确定有机物的年代。已知放射性物质的衰减服从指数规律： ，其中表示衰减的时间，表示放射性物质的原始质量，表示经衰减了年后剩余的质量。为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期，的半衰期大约是5730年，由此可确定系数。人们又知道，放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的。1950年在巴比伦发现一根可由Hammurbi王朝字样的木炭，当时测定，其分子的衰减速度为4.09个，而新砍伐烧成的木炭中的衰减速度为6.68个。请估算出Hammurbi王朝所在年代。 解：因为的半衰期是5739年。所以建立方程 解得，由此可知的衰减规律服从指数型函数
设发现Hammurbi王朝木炭的时间（1950年）为年。因为放射性物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以
于是两边取自然对数，得解得即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年。三、课堂练习： 课本P97 练习2、3四、课堂小结：对数函数的图像和性质五、作业： 习题 3-5 A组 4、5 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教学目标： 1、借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异。 2、恰当运用函数的三种表示方法，并借助信息技术解决一些实际问题。 3、让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣。教学重点难点：重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同。难点：应用函数模型解决简单问题。一、 引入： 对数函数，指数函数，幂函数在区间上都是增函数，但这三类函数的增长是有差异的。本节我们将讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长情况。当时，指数函数，是增函数，并且当越大时，其函数值的增长就越快。当时，对数函数是增函数，并且当越小时，其函数值的增长就越快。 当时，幂函数显然也是增函数，并且当时，越大其函数值的增长就越快。二、 讲授新课学生自己阅读完成三、 课堂小结： 三类函数的增长快慢，及函数的简单应用。四、 作业：习题3-6 A组 1 第四章§1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标： 知识与技能
理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 过程与方法
零点存在性的判定． 情感、态度、价值观
在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点
零点的概念及存在性的判定．难点
零点的确定．教学程序与环节设计：教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动创设情境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程与函数○2方程与函数○3方程与函数 师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？组织探究 函数零点的概念： 对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点． 函数零点的意义： 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 即： 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 函数零点的求法： 求函数的零点：○1 （代数法）求方程的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ○1 代数法； ○2 几何法． 二次函数的零点： 二次函数 ． １）△＞０，方程有两不等师：引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．环节教学内容设置师生双边互动组织探究实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 生：根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论． 零点存在性的探索： （Ⅰ）观察二次函数的图象：○1 在区间上有零点______； _______，_______, ·_____0（＜或＞）．○2 在区间上有零点______； ·____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数的图象○1 在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞）．○2 在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞）．○3 在区间上______(有/无)零点； ·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？ 怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．环节 教学内容设置师生互动设计例题研究 例1．求函数的零点个数． 问题： 1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？ 2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？ 例2．求函数，并画出它的大致图象．师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．尝试练习 1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间： （1）； （2）； （3）； （4）．师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．探究与发现 1．已知，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）． 2．设函数． （1）利用计算机探求和时函数的零点个数； （2）当时，函数的零点是怎样分布的？ 环节 教学内容设置师生互动设计作业回馈1． 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；2． 求下列函数的零点：（1）；（2）；（3）；（4）．3． 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）；（2）．4． 已知：（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．5． 求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）课外活动 研究，，，的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．考虑列表，建议画出图象帮助分析．收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．§1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法
能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观
体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点： 重点
通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 难点
恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解． 教学程序与环节设计：教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境 材料一：二分查找(binary-search) （第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索（
）个单元。 Ａ．1000
Ｄ．500 二分法检索（二分查找或折半查找）演示． 材料二：高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）． 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．师：从学生感兴趣的计算机编程问题，引导学生分析二分法的算法思想与方法，引入课题．生：体会二分查找的思想与方法．师：从高次代数方程的解的探索历程，引导学生认识引入二分法的意义．组织探究 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 1．确定区间，，验证·，给定精度； 2．求区间，的中点； 3．计算：师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤．分析条件"·"、"精度"、"区间中点"及""的意义．环节 呈现教学材料师生互动设计组织探 究 ○1 若=，则就是函数的零点； ○2 若·<，则令=（此时零点）； ○3 若·<，则令=（此时零点）； 4．判断是否达到精度； 即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4．生：结合引例"二分查找"理解二分法的算法思想与计算原理．师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法． 例题解析： 例1．求函数的一个正数零点（精确到）． 分析：首先利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点大致所在的区间，然后利用二分法逐步计算解答． 解：（略）． 注意： ○1 第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间； ○2 建议列表样式如下：零点所在区间中点函数值区间长度[1，2]>01[1，1.5]<00.5[1.25，1.5]<00.25 如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步． 例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）． 解：（略）． 思考：本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？ 结论：图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点．师：引导学生利用二分法逐步寻求函数零点的近似值，注意规范方法、步骤与书写格式．生：根据二分法的思想与步骤独立完成解答，并进行交流、讨论、评析．师：引导学生应用函数单调性确定方程解的个数．生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程解的个数的方法，并进行、讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论．环节 呈现教学材料师生互动设计探究与发现1） 函数零点的性质从"数"的角度看：即是使的实数； 从"形"的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点． 2） 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．师：引导学生从"数"和"形"两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围．尝试练习1） 教材P106练习1、2题；2） 教材P108习题3．1（A组）第1、2题；3） 求方程的解的个数及其大致所在区间；4） 求方程的实数解的个数；5） 探究函数与函数的图象有无交点，如有交点，求出交点，或给出一个与交点距离不超过的点．作业回馈1） 教材P108习题3．1（A组）第3~6题、（B组）第4题；2） 提高作业：○1 已知函数．（1）为何值时，函数的图象与轴有两个交点？（2）如果函数的一个零点在原点，求的值．○2 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）；○3 用二分法求的近似值（精确到）．环节 呈现教学材料师生互动设计课外活动 查找有关系资料或利用internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois），增强探索精神，培养创新意识．收获与体会 说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区间存在根的基本步骤，及方程根的个数的判定方法； 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识？函数的应用举例教学目标（1）了解解实际应用题的一般步骤；（2）初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；（3）向学生渗透建模思想，使学生初步具有建模的能力。三．教学重、难点：1．根据已知条件建立函数关系式；2．用数学语言抽象概括实际问题。教学过程一、问题情境 1．情境： 写出等腰三角形顶角（单位：度）与底角的函数关系。 解：
．2．问题：分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义。归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义． 二、数学运用1．例题：例1
某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C(万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量（台）的函数关系式.解
总成本与总产量的关系为 C=200+0.3,. 单位成本与总产量的关系为 . 销售收入与总产量的关系为 . 利润与总产量的关系为．例2． 在经济学中,函数的边际函数定义为=.某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产台()的收入函数(单位:元),其成本函数为(单位:元),利润是收入 与成本之差.(1) 求利润函数及边际利润函数;(2) 利润函数与边际利润函数是否具有相同的最大值?解
由题意知,,切. (1) ==,
= (2) ==,当或时, 的最大值为74120(元).因为=2480是减函数,所以当时, 的最大值为2440(元).因此,利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值.例3．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（OA为线段，AB为某二次函数图象的一部分，O为原点）。（1）写出服药后与之间的函数关系式；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间。解：（1）由已知得（2）当时，，得；当时，，
因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3．5小时。例4．一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示。 （1） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数与时间 的函数解析式，并作出相应的图象。解：（1）阴影部分的面积为阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360。（2）根据图有图象（略）小结：解决实际问题的一般步骤：实际问题建立数学模型得到数学结果解决实际问题其中建立数学模型是关键，同时还要结合实际问题研究函数的定义域。三．练习：（1）今有一组实验数据如下：1．993．04．05．16．121．54．047．51218．01现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
（ C ）（） （）
（） （）（2）大气温度随着离开地面的高度增大而降低，到上空为止，大约每上升，气温降低，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为）。求：（1）与的函数关系；
（2）以及处的气温。解：（1）由题意，时，，所以当时，，从而当时，。综上，所求函数关系为；
（2）由（1）知，处的气温为，
处的气温为． 四、课外作业：课本第84页第1、2、3、4、题、第88页第3、4题．
