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淘豆网网友近日为您收集整理了关于线性代数 习题答案孙洪波主编 北京理工大学珠海学院的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：线性代数习题答案与参考解答1 矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算1.1 矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念A1.5 3 14 2 24 1 0,5 1 05 2 14 2 2,4 1 14 1 24 3 3. A2.2 53 65 10.1.2 矩矩矩阵阵阵的的的基基基本本本运运运算算算A1.14 5 213 5 512 6 5. A2.2 53 65 .A3. (1)1 20 11 4, (2)1 43 24 9, (3)2 30 24 5, (4)9 08 13 6.A4. AB =a13 a12 a11a23 a22 a21a33 a32 a31,AC =a11 a12 ka13a21 a22 ka23a31 a32 ka33,AD =a11 +ka12 a12 ka13a21 +ka22 a22 ka23a31 +ka32 a32 ka33.BA =a31 a32 a33a21 a22 a23a11 a12 a13,CA =a11 a12 a13a21 a22 a23ka31 ka32 ka33,DA =a11 a12 a13a21 +ka11 a22 +ka12 ka23 +ka12a31 a32 a33.AB:交换A的第1列和第3列,AC:把A的第3列乘以k,AD:在第1列上加上第2列的k倍;BA:交换A的第1行和第3行,CA:把A的第3行乘以k,DA:在第2行上加上第1行的k倍.A5. (1)35649, (2) 10, (3)0 15 233 0 11, (4)3 62 41 2,(5) a11x21 + a21x1x2 +
+ an1x1xn+ a12x1x2 + a22x21 +
+ a1nx1xn + a2nx2xn +
+ annx2n2或简写成n∑i=1aiix2i + ∑i=j(aij +aji)xixj. 也可简写成n∑i,j=1aijxixj.B6. 由于AB =3 44 6,BA =1 23 8.因此(1) AB = BA. (2) (A+B)2 = A2 +2AB+B2. (3) (A+B)(AB) = A2 B2.B8. (1) 取A =0 10 0 = O,但A2 = O.(2) 取A =0 00 1,则A = O,A = E,但A2 = A.(3) 取A =1 00 0,X =0 00 1,Y =0 00 2,则X = Y,但AX = AY.B9. A2 =λ2 2λ 10 λ2 2λ0 0 λ2,A3 =λ3 3λ2 3λ0 λ3 3λ20 0 λ3,,An =λn nλn1 12 n(n1)λn20 λn nλn10 0 λn.提示:如果进一步计算,则得知矩阵的主对角线元素具有形式λn,(上方)次对角线元素具有形式nλn1,而位于第一行第三列位置的元素具有形式xnλn2,并且xn满足关系xn = xn1 +(n1),即xn xn1 = n1(二级等差),因此xn = 12 n(n1).1.3 方方方阵阵阵的的的行行行列列列式式式A1. 48A2. (1) - , (2) 27 , (3) 160 , (4) an +(1)n+1bn.A3. |2A| = 23|A| = 16.|A+B| =α1 +α2β1 +β1β2 +β2= 4α1 +α2β1β2= 4α1β1β2+4α2β1β2= 4|A|+4|B| = 20 ,|AB| =α1 α200= 0 .B4. 能拆成4个二阶行列式的和.a+1 b+2c+3 d +4=a b+2c d +4+1 b+23 d +4=a bc d+a 2c 4+1 b3 d+1 23 4= ad bc+4a2c+d 3b2.B6. 总按第一行展开.B7. 证法一:Dn =1+a1 1 1
1 11 1+a2 1
1+an1 11 1 1
1 1+1+a1 1 1
1 01 1+a2 1
1+an1 01 1 1
1 an3=a1 0 0
an1 01 1 1
1 1+an1+a1 1 1
1+an1= a1a2 an1 +anDn1 = a1a2 an1 +an(a1a2 an2 +an1Dn2)= a1a2 an1 +a1a2 an2an +an1anDn2 = a1a2 an2∑i=11ai+an1anDn2= = a1a2 ann1∑i=11ai+a2a3 an1anD1= a1a2 ann∑i=11ai+a1a2a3 an1an= a1a2 an(1+n∑i=11ai).证法二:Dnrir1=======i=2,3,,n1+a1 1 1
1 1a1 a2 0
an1 0a1 0 0
0 anc1+a1aici=======i=2,3,,n1+a1 +n∑i=2a1ai1 1
an1 00 0 0
0 an= a2a3 an +a1a2a3 an +a2a3 ann∑i=2a1ai= a1a2a3 an +a1a2a3 ann∑i=1a1ai= a1a2a3 an(1+n∑i=1a1ai)1.4 方方方阵阵阵的的的逆逆逆矩矩矩阵阵阵A1.29 55 195 23 .A2. (1)4 23 1, (2)1
1212, (3)1 1
1 1.A3. (1)13 073 2, (2)1 3 320 1 1, (2)2 1 05 3 43 0 2.4A4. B =0 3 31 2 31 1 0.A5. C =2 1 20 1 3.A6. A11 = 131+213 4+1.B7. (1) 由A可逆,AX = AY得A1AX = A1AY,因此X = Y.(2) 由A可逆,XA = YA得XAA1 = YAA1,因此X = Y.B8. 设A = (aij),则aij的余子式和aji的余子式相等,即Mij = Mji,因此Aij = Aji,从而A的伴随矩阵A也是对称矩阵,因此A1 = 1|A| A是对称矩阵.B9. 由A2 A2E = 0得A(AE) = 2E,从而A(12 (AE))= E,因此A可逆并且A1 = 12 (AE).B10. 略.B11. (系数矩阵为方阵的)齐次线性方程组有非零解当且仅当系数矩阵行列式等于零.由于1λ 2 42 3λ 11 1 1λ= (λ+1)(λ26λ+4)因此当λ= 1、λ= 3+√5或λ= 3√5时,所给方程组有非零解.1.5 分分分块块块矩矩矩阵阵阵A1.1 2 5 20 1 2 40 0 4 30 0 0 9.A2. (1)1 2 0 02 5 0 00 0 2 50 0 3 8. (2)5 3 0 0 03 2 0 0 00 0 12 0 00 0 0 2 50 0 0 3 8.A3. A8 = 0 00
00 0 256 00 0
0 0 00 58 0 00 0 28 00 0 211 28. A8 = .O B1A1 O.1.6 矩矩矩阵阵阵的的的初初初等等等变变变换换换与与与初初初等等等矩矩矩阵阵阵A1. (1)1 0 0 50 0 1 30 0 0 0. (2)1 0 2 0 20 1 1 0 30 0 0 1 40 0 0 0 0.A2. (A|E)有限多次初等行变换→1 0 1 2 3 2 00 1 2 3 2 1 00 0 0 0 7 6 1因此 P =3 2 02 1 07 6 1,PA =1 0 1 20 1 2 30 0 0 0.A3. (1)1
1212, (2)1 1
1 1.A4. (1) X =10 215 312 4, (2) X =2 1 14 7 4, (3) X =1 114 0.B5. 将 A 的第二行和第三行对换,相当于在 A 的左边乘(四阶)初等矩阵 E(2,3) ,因此 B = E(2,3)A ,由于 E(2,3)1 = E(2,3) , 所以 B 是两个可逆矩阵的乘积, 从而 B 可逆, 并且 AB1 = A(E(2,3)A)1 =AA1(E(2,3))1 = E(2,3) .B6. 由于0 0 10 1 01 0 020=0 0 10 1 01 0 0210= E10 = E,因此0 0 10 1 01 0 020 a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c30 0 10 1 01 0 021=a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c30 0 10 1 01 0 0=a3 a2 a1b3 b2 b1c3 c2 c161.7 矩矩矩阵阵阵的的的秩秩秩及及及其其其性性性质质质A1. (1) R(A) = 2 ,det3 11 1 = 4 = 0, (2) R(A) = 3 ,det2 3 53 2 01 0 0= 10 = 0.B2. 如果 R(A) = r ,则 A 可能有等于零的 r 1 阶子式和 r 阶子式.但不可能有不等于零的 r +1 阶子式,否则,将有 R(A) ≥ r +1 .B3. 矩阵 A 经初等行变换可化为 1 2 3k0 2(k 1) 3(k 1)0 0 (k 1)(k +2)(特别提醒:不可以在第二、三行除以 k 1 ,否则会漏解)因此,当 k = 1 时, R(A) = 1 ;当 k = 2 时, R(A) = 2 ;当 k = 1 且 k = 2 时, R(A) = 3 .B4. 如果 A 与 B 等价,则存在可逆矩阵 P 和 Q ,使 PAQ = B ,因此(由性质 5 ) R(A) = R(PAQ) = R(B) .反之,如果 R(A) = R(B) ,不妨设 R(A) = R(B) = r ,则 A 和 B 有相同的标准型矩阵,即 A 和 B 分别等价于相同的标准型矩阵,由矩阵等价的传递性, A 与 B 等价.1.8 第第第一一一章章章总总总习习习题题题一、填空题1. A =1 1 02 0 1. 2. A =1 12 012 1 00 0 2. 3. |A+B| = 40 , 4. abcd, 5. a = 1,6. |AB1| =
170 , 7. G1 = A1(A + E) = E + A1 = (A + E)A1 , 8. (A)1 = 12 A , 9.R(AB) = 2 , 10. R(A) = 1 .二、选择题1. C , 2. D , 3. B , 4. A , 5. C , 6. C , 7. C , 8. A , 9. B ,10. D .三、计算证明题1. A31 +A32 +A33 = 0, A34 +A35 = 0 .72. 证法 1 :由于a1 +b1 b1 +c1 c1 +a1a2 +b2 b2 +c2 c2 +a2a3 +b3 b3 +c3 c3 +a3=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3+b1 c1 a1b2 c2 a2b3 c3 a3=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3+a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c30 0 11 0 00 1 0=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c31 0 11 1 00 1 1因此a1 +b1 b1 +c1 c1 +a1a2 +b2 b2 +c2 c2 +a2a3 +b3 b3 +c3 c3 +a3=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c31 0 11 1 00 1 1= 2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3证法 2 :a1 +b1 b1 +c1 c1 +a1a2 +b2 b2 +c2 c2 +a2a3 +b3 b3 +c3 c3 +a3=a1 b1 +c1 c1 +a1a2 b2 +c2 c2 +a2a3 b3 +c3 c3 +a3+b1 b1 +c1 c1 +a1b2 b2 +c2 c2 +a2b3 b3 +c3 c3 +a3=a1 b1 c1 +a1a2 b2 c2 +a2a3 b3 c3 +a3+a1 c1 c1 +a1a2 c2 c2 +a2a3 c3 c3 +a3+0+b1 c1 c1 +a1b2 c2 c2 +a2b3 c3 c3 +a3=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3+0+0+0+0+0+b1 c1 a1b2 c2 a2b3 c3 a3=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3+(1)2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3= 2a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c33. 由于 A1 = 2 , A = AA1 = 12 A1 ,所以(2A)1 5A = 12 A1
52 A1 = 2A1 = (2)3A1 = 16 .84. 由于 A
E =0 0 10 1 01 0 0, |A
E| = 1 = 0 ,因此 A
E 可逆.再由 AB + E = A2 + B 知, (A
E)B =A2 E = (AE)(A+E) ,等式两边同时左乘(AE)1 ,得到 B = A+E =2 0 10 3 01 0 2.5. 由 AA = |A|E = 2E 得, AABA = 2ABA
8A ,即 2BA = 2ABA
8A ,等式两边同时右乘 A1 ,则(E +A)B = 4E ,所以 B = 4(E +A)1 = 4(diag(2,1,2))1= diag(2,4,2) .6. 对于 4 阶矩阵 A ,由于 A = |A|A1 = |A|3 ,因此|A| = 2 ,对 ABA = 2BA
8E 两边同时左乘 A1 ,右乘 A ,则得 B = A1B+3E ,因此(E A1)B = 3E ,即 B = 3(E A1)1 = 3(E
1|A| A)1= 3(E
12 A)1=6(2E A)1= 6(diag(1,1,1,6))1= diag(6,6,6,1) .7. (A)1 =(|A|A1)1= 1|A| A = |A1|(A1)1= (A1) .8. 由 A2 = |A|E 得, A = |A|A1 = A .9. (1) 由于 1+x1y1 1+x1y2
1+x1yn1+x2y1 1+x2y2
1+xny1 1+xny2
1+xnyn=1 x11 x2......1 xn1 1
yn当 n & 2 时,(根据教材第 67 页性性性质质质 3 和性性性质质质 6 )等号右边乘积矩阵的秩小于 n ,因此等号左边矩阵行列式1+x1y1 1+x1y2
1+x1yn1+x2y1 1+x2y2
1+xny1 1+xny2
1+xnyn= 0当 n = 2 时,1+x1y1 1+x1y21+x2y1 1+x2y2= (x1 x2)(y1 y2)(2) 对行列式依次作行变换 ri ri+1,i = 1,2, ,n1 ,再依次作列变换 cj +cn, j = 1,2, ,n1 ,然后按第一列展开即可.所求行列式值为(1)n+1(n1)2n2 .0 1 2
n3 n2 n11 0 1
n4 n3 n22 1 0
0 1 2n2 n3 n4
1 0 1n1 n2 n3
2 1 0riri+1=========i=1,2,,n11 1 1
1 1 11 1 1
1 1 11 1 1
1 1 11 1 1
1 1 1n1 n2 n3
2 1 =========j=1,2,,n10 2 2
2 2 10 0 2
2 2 10 0 0
0 2 10 0 0
0 0 1n1 n2 n3
2 1 0按第一列展开========= (1)n+1(n1)2 2
0 0 1= (1)n+1(n1)2n2 .10. 构造行列式D1 =1 1 1 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3, D2 =1 1 1 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3则行列式 D 、 D1 和 D2 中的代数余子式 A11,A12,A13,A14 分别对应相等.因此A11 +A12 +A13 +A14 =1 1 1 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3r2r1r3+r1r42r1=====1 1 1 10 0 1 60 4 2 40 2 3 1= 20 1 62 1 22 3 1= 20 1 60 4 12 3 1= 92M11 +M12 +M13 +M14 = A11 A12 +A13 A14=1 1 1 11 1 0 51 3 1 32 4 1 3r2r1r3+r1r42r1=====1 1 1 10 2 1 40 2 2 20 6 3 5=2 1 42 2 26 3 5r2r1r33r1=====2 1 40 3 60 0 17= 102102 线线线性性性方方方程程程组组组与与与向向向量量量组组组2.1 线线线性性性方方方程程程组组组解解解的的的存存存在在在性性性A1. (1)x1x2x3x4= c4943, c ∈ R, (2)x1x2x3x4= c1, c1,c2 ∈ R,(3)x1x2x3x4= c1752, c ∈ R,(4)x1x2x3x4= c+c, c1,c2 ∈ R,或写成x1x2x3x4= c320017, c1,c2 ∈ R .A2. (1) 由于 R(A) = 2 & R(A,b) = 3 ,因此方程组无解.(2)xyz=120+c211, c ∈ R .(3)xyzw=1+c212010, c1,c2 ∈ R,(4)xyzw=71, c1,c2 ∈ R,或写成xyzw=570+c21907, c1,c2 ∈ R.B3. 当 k = 1 时,x1x2x3=100+c111, c ∈ R ; 当 k = 2 时,x1x2x3=220+c111, c ∈ R .播放器加载中，请稍候...
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线性代数习题答案与参考解答1 矩矩矩阵阵阵及及及其其其运运运算算算1.1 矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念A1.5 3 14 2 24 1 0,5 1 05 2 14 2 2,4 1 14 1 24 3 3. A2.2 53 65 10.1.2 矩矩矩阵阵阵的的的基基基本本本运运运算算算A1.14 5 213 5 512 6 5. A2.2 53 65 .A3. (1)1 20 11 4, (2)1 43 24 9, (...
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证明：（1）首先证明是数域。
因为，所以中至少含有两个复数。
任给两个复数，我们有
因为是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以
如果，则必有不同时为零，从而。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以
综上所述，我们有是数域。
（2）类似可证明是数域，这儿是一个素数。
（3）下面证明：若为互异素数，则。
（反证法）如果，则，从而有
由于上式左端是有理数，而是无理数，所以必有。
所以有或。
如果，则，这与是互异素数矛盾。
如果，则有，从而有“有理数 无理数”成立，此为矛盾。
所以假设不成立，从而有。
同样可得。
（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在和之间存在无穷多个不同的数域。
解：（1）是数域，证明略（与上面类似）。
（2）就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。
而复数域。
（3）不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如。
证明：（1）因为都是数域，所以，从而。故含有两个以上的复数。
任给三个数，则有且。因为是数域，所以有且。所以。
所以是数域。
（2）一般不是数域。例如，我们有，但是。
2. 解：项的符号为
1．证明：根据行列式的定义
所以上式中 -1 的个数和 +1 的个数一样多， -1 是由奇排列产生的，而 +1 是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的阶排列，故可以得到全体阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。
3．解：（1）。
（4）原式（先依次
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