求极限:lim（n→∞)2^nsinx/2^n(x不为零的常数）；_作业帮
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求极限:lim（n→∞)2^nsinx/2^n(x不为零的常数）；
求极限:lim（n→∞)2^nsinx/2^n(x不为零的常数）；
等价无穷小量替换：lim（n→∞)2^nsin（x/2^n）=lim（n→∞)2^n*（x/2^n）= xlim[nsin(1/n)+1/n(sin n)]=_作业帮
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lim[nsin(1/n)+1/n(sin n)]=
lim[nsin(1/n)+1/n(sin n)]=
后一项是无穷小乘以有界函数,所以后项为0前面那一项将乘以n处理为除以1/n,由于1/n→0所以由重要极限可知前项为1,所以所求极限=1您还未登陆，请登录后操作！
求极限nsin(2πn!e)
=2πn![1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!+1/(n+1)!+(e^(θ)/(n+2)!]
=2πn![1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!]+2π(1/(n+1))+2π(e^(θ)/(n+1)(n+2)
sin(2πn!e)=sin[2π(1/(n+1))+2π(e^(θ)/(n+1)(n+2)]
nsin(2πn!e)=nsin[2π(1/(n+1))+2π(e^(θ)/(n+1)(n+2)]→2π(n→∞)
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专接本高等数学求极限的各种方法63
专接本数学中求各种极限的方法总结；1．约去零因子求极限；x4?1；例1：求极限lim；x?1x?1；【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以；(x?1)(x?1)(x2?1)；?lim(x?1)(x2?1)?6【解】lim；x?1x?1x?1；2．分子分母同除求极限；x3?x2；例2：求极限lim3；x??3x?1；【说明】；型且分子分母都以多项式给
专接本数学中求各种极限的方法总结1．约去零因子求极限x4?1例1：求极限limx?1x?1【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去。(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求极限x3?x2例2：求极限lim3x??3x?1【说明】?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?1?1x3?x21x【解】lim3 ?lim?x??3x?1x??3?3x3【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；??0nn?1ax?an?1x???a0????
(2) limnmm?1x??bx?bx???bmm?10?an??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求极限例3：求极限lim(x2?3?x2?1)x???【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x?3?x?1)?limx???22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x??? ?lim2x?3?x?122x????0例4：求极限limx?0?tanx??sinx3x【解】limx?0?tanx??sinxtanx?sinx?limx?03x3x?tanx??sinx?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx?tanx??sinxlim1【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键4．应用两个重要极限求极限sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，第两个重要极限是limx?0x??n??x?0xxn1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。?x?1?例5：求极限lim??x???x?1??【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑?数部分。x?11??2?2?1??2?2??x?1??2???【解】lim???lim?1???lim??1?x?1??1????e x???x?1x???x???x?1?x?1???????????xx2x1，最后凑指X1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。x???x????x??x?a?5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】(1)常见等价无穷小有：1?x)~e?1, 当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12bx,?1?ax??1~abx； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．1?cosx~xxx(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．xln(1?x)?x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】
lim?lim?2.x?01?cosxx?02x2sinx?x例8：求极限limx?0tan3x例7：求极限lim2?1xsinx?xsinx?xcosx?11?lim?lim??lim??【解】lim 322x?0tan3xx?0x?0x?06x3x3x6．用罗必达法则求极限lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求极限limx?0x2?0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 0??2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x) 【解】lim?lim2x?0x?0x2x【说明】?limsin2x??21??????3 x?02x?cos2x1?sin2x?【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解?例10：设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x (x?t)f(t)dtx0.x?f(x?t)dt【解】 由于?x f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是 xx xlimx?0?x (x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dtx?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0x ?=limx?0 f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=limx?0??x0x f(t)dt f(u)du?xf(x)xf(u)du?xf(x)?=limx?0 f(t)dtx?f(x)=?x f(u)duf(0)1?.f(0)?f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限2x例11：极限lim[1?ln(1?x)]x?02x2ln[1?ln(1?x)]x【解】
lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=ex?0lim2ln[1?ln(1?x)]x?ex?0lim2ln(1?x)x?e2.【注】对于1?型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)因为limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)1例12：求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.3???????2?cosx?xln??3??【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0x1??sinx）ln（2?cosx）?ln3
?lim ?limx?0x?0x22x11sinx1???
??lim2x?02?cosxx6e?2?cosx?xln??3??【解2】 原式?limx?0x3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x2cosx?1）cosx?11?lim??
?lim 22x?0x?03x6x8．数列极限转化成函数极限求解ln（1?1??例15：极限lim?nsin?n??n??【说明】这是1?形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。1??【解】考虑辅助极限lim?xsin?x???x??x2n2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1???yy???e?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e?1610．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.?111????例16：极限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。1??1?lim?f???n??n???n??2?f??????n?1?n??f????f(x)dx ??0?n????1?111????【解】原式＝lim?222n??n??1??2??n?1???1????????n??n??n?????? ?????1012?1dx??ln222?1?x?? ??1?111????例17：极限lim?2n???n2?2n2?n?n?11??1??2??n??【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成lim?f?f???f????????n??n?nn???n?????的形式，因而用两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。?111????【解】lim?2n???n2?2n2?n?n?1因为?? ??nn?n2?n1n?12?1n?2nn?122???1n?n2?nn?12 又
limn??n?n2?limn???1??＝１ ???111????所以
lim?2n???n2?2n2?n?n?112．单调有界数列的极限问题例18：设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）计算lim??. n??x?n?【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列包含各类专业文献、幼儿教育、小学教育、应用写作文书、行业资料、外语学习资料、专接本高等数学求极限的各种方法63等内容。　
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sin(x)与x是等价无穷小当n趋于∞时,sin(4/n)等价于4/nlim nsin(4/n)=lim n*4/n =4
原式=lim(n→∞) sin(4/n)/(1/n)
(t=1/n,t→0)=lim(t→0) sin4t/t=4