高数解题技巧_百度文库
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高数解题技巧|
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你可能喜欢两年的备考过程中，数学对我的影响是最深的，而其中的高数则算是我最为擅长和体会最多的一门小分科。其实我两次考研数学都考得不怎么样，不过这几次都多得高数的支撑，才得以掩盖了线性代数带来的不利。而线性代数是我学得最不好的科目，大学里就曾把线性代数挂了三次，到了大四才勉强把线代考过，因此，在这里，在这个关于数学复习备考的长微博里，我仅仅谈高数的真题特点和复习方法，无论你是数学一，二还是三的童鞋，我相信这份长微博应该可以让你在未来的考研备考中，更好地准备。
考研数学属于考研公共课里面比较特殊的考试科目，大纲对考生的要求是相对较高的，尤其是高等数学。而且在授课方面，本科的高数公共课授课内容和授课难度都远远不及考研数学对学生的要求。平时的作业和考试难度都是远远低于考研数学的难度。这就是为什么在三科考研公共课中，我只推荐大家去听高数的辅导班。而且要教好高数，尤其是考研高数，这对授课老师的要求本身就特别高，不像英语和政治，随便找一个人就可以装名师去授课。
考试中心对每年公布的考研数学考试大纲，考察的知识点其实都不多，但是这些知识点本身的内涵和各个知识点的联系，就把整个考研数学内容弄得非常庞大。有人说，考试大纲只是给我们一个高等数学的框架，而要考察的内容则是充满了这个框架，哪怕是一些不起眼的角角落落，都能拧出一两个重要考点。所以，要考研数学备考，首先自然会被它里面的内容之多而震撼，当然，每年都会有不少的人被这而吓退。
在我眼中，高数是一门哲学，所反映出来的，是唯物辩证主义。高数虽然不是哲学，但是它是自然哲学，它里面讲究严格的定义和逻辑。没有一条定理是没有依据而臆想出来的，是客观实在的规律。而各个知识点之间是有紧密联系的，在解题的时候，更要善于联系各个知识点之间的关系，全面地看待题目，用辩证法的思维去解题，而不要孤立地片面地去看题目。而正是因为高数具有这样的特征，那说明任何的高数题目，基本上都是在一条条冰冷的定理公式上，加以具体化，加以修饰，加以联系，才会有印在试卷上的一条条狰狞獠牙的试题。
可惜的是，高等数学并不容易入门。因为高等高等，说明还有一些知识属于初等的，也就是说，要入门，那就需要掌握一些初等数学。对于大部分的考研考生而言，基本都具备了初等数学知识，或许有一些忘记了，但是拾回不会太难。但是对于小部分比如专科考生而言，或文科跨专业的考生而言，则需要去恶补一下初等数学知识。否则，按照数学本身的知识联系性和逻辑性，是很难理解里面的知识点，更不用说学好了。
既然试卷上题目都是由一些基本定理的组合经过加以修饰等等步骤来成为一道题，那么就意味着我们考试的时候，采取的思路就只有那么一个：把题目中有关的信息提取，确定考察内容，回忆考察内容，计算，解题。
用理论去回答理论的东西自然会显得非常的抽象，因此，把这个思路往下拓展，就会延伸出很多很多的解题思路：反推、具体化等等等等
而且试题的组合往往都会遵循命题人的思路，所以当命题组没有变化的情况下，这期间的历年真题试题是值得深刻去研究里面的命题思路。这和英语是一样的。看看这个知识点是如何考察的？这个与那个知识点是如何联系起来的？多研究多想想就好。
但这是不是说明这期间以前的试题不重要呢？非也。考试数学真题都是经过层层把关，层层检验，经得住考研的题目，在对知识点考察和命题的科学性而言，都和其它数学练习题有着明显的优势。因为数学题目本身就有维系各个知识点的功能，而且考研数学本身由于题量问题，一道题目里面肯定会包含两个或者两个以上的知识点，如何把这些知识点联系得看起来像考研题，那就只有那些命题人才有这能力。
考研数学隐形地要求你的计算能力一定要过关，尤其是在高数下那方面。多元函数对逻辑的要求不太高，题目一般都比较容易确定考察范围，但是里面的计算量就非同小可。如果你是一名工科学生，那么计算能力方面肯定是你必备的技能。如果你抱怨考研题目的计算量巨大，而觉得好难，这说明你没有达到工科学生所要求的计算能力罢了。计算能力可以通过做大量的习题去训练。而实际上，做习题的过程中，不仅可以锻炼你的计算能力，还可以锻炼你的知识运用能力。所谓的题海战术没用论，说题海战术没用是因为只顾着做题，而不会总结、思考题目的切入点在哪。也就说，题海战术仅是锻炼了你的计算能力，而没有锻炼你的思考和知识运用能力。
但是不用题海战术是没用的，因为一个知识点的深刻理解和运用必须经过不同题型和一定数量的题目来训练出来。所以，我提倡的是，多接触不同类型的题目，并且每种题型多做几题。
既然要做题，那肯定涉及到习题书的选择。首先，历年的考试真题肯定是必须的，而且包含年份越多越好。再次，购买的习题书不应该太难，因为考研数学的基础题和中等难度题还是居多数的，做太难的题，会占用你太多的时间，打击的自信心，甚至会把你从考研范围拉远。那么选择一本不太难，但是知识点全面，题型多的习题书就显得非常重要。具体书目我后面再提。
习题书至少是要做多几次的，一般两次到三次左右差不多。而历年的真题则要多做几次，至少要三次以上。真题要做到什么程度呢？至少要做到，看到一题，马上就可以写出答案的感觉，而且不能错。那就差不多了。我备考的时候，可以做到某个知识点考了多少次，哪些年份考过都知道。这个你也可以做到。
做题的时候，尤其是真题，首先把题干中的信息一定要理清楚，要作图的作图，要化为数学符号的准确变换；接着思考题目所考察的知识范围有哪些，是考察极限还是考察微积分？还是都有呢？紧接着你要寻找切入口。然后一步一步有依据地写出你的答案。这里，切入口的选择是最难的，而这里只能通过多做题来解决。
如果遇到真题不会做或者习题不会做怎么办？如果当你思考一道题长达半个小时还没有思考，或者在后期复习的时候，一道题大题思考了20多分钟一点思路都没有的话，那就不要做了，直接看答案。看答案也有技巧，你可以看看他的第一步是如何进行的，然后后面的自己做。也可以完整的看下来，然后自己再做一次。做完之后，思考一下，答案和题目是如何联系上去的，而你在做题的时候为什么没有想到？是思维偏差问题还是题目陌生还是知识盲点问题呢？然后把错题、难题或者你认为解题思路你不熟悉的题目记在一个本本上，日后随时拿出来看看，练一练。
考研高数真题的难度之一在于，题目看起来繁，看起来样子很恐怖。其实就如张宇宇哥所说，这都是纸老虎。比如，本科的时候，考试的试题或许是这样的：
而考研的试题或许是这样的：
而这样的试题一开始就会让很多人直接放弃考研数学，但是你要知道，上面的两道题其实本质都是一样的。而在考研数学中，有较多题目，看上去非常难，实际上，只要你抓到本质，它就是一道简单题目。
因此在备考中，具体的方法有：
（1）对基本概念的准确理解和对重要概念进行深度理解和记忆。
（2）对公式的记忆并且通过多做题来提高运用能力，也借此达到记忆公式的作用。
（3）对书上的定理、公式自己推导一次，比如拉格朗日中值定理是如何推导出来的。
（4）多做不同类型的题目并且每种类型的题目多练几次，要做到没有一个极限不会求，没有一个积分不会求等等。（真题和练习册）
（5）复习的时候，先过一遍教材，时间大概是在三个星期。课后题可以挑着做。看完教材之后，可以去听数学强化班的视频，使用复习书。
（6）这里推荐的复习书：陈文灯《复习指南》、二李的《复习全书》
（7）陈文灯的《复习指南》里面的例题较深较难，而且存在超纲的内容，但是他高数部分真的很不错，好好练习它里面的例题和习题的话，考研数学的高数部分就不成问题了。但是这本书要求你的数学基础要较好，而且思维要相对灵活一点，才能够理解里面的解法和思维定势。这本书里面的思维定势都是一些非常可靠的解题方法，不过在看思维定势的时候，要好好想想这些思维定势是怎么来的，为什么会有这样的思维定势。《复习指南》也有一些比较有用的方法。比如用微分算子法，这比起教材规定的待定法非常方便。而且今年的数二试题，有一题就可以直接使用微分算子法计算。
（8）二李的《复习全书》则是比较基础，里面对定理的讲解详细，里面的解答过程也非常的严谨（这个是陈文灯系列书籍相比不了的），整本书似乎是给基础不太好的考生打基础用的。由于我第一年使用的是《复习指南》，第二年使用的《复习全书》，给我的感觉就是《复习全书》太繁琐，而且对于解题的思路训练不好。实际上，我用《复习指南》的那年，高数题目包括历年真题的高数部分我都感觉不难，而今年使用过《复习全书》之后，感觉不好。
（9）陈文灯，或者二李的书，随便一本就可以，把它作为主要复习书。然后再去买一本《高数18讲》，作为辅助用书。《高数18讲》的难得之处在于里面的讲解接地气，形象，对题目进行了有的放矢的点评，也有对历年考题的规律总结。但是这本书最好的是2012年版的，虽然2013年版对里面的例题解析进行了优化，但是也删去了较多重要内容。所以，有条件的话，尽量购买2012年版《高数18讲》
习题可以选购张宇的《1000题》或者汤家凤的习题集。我两年主要是使用前者。《1000题》高数部分做得无与伦比，但是线代部分非常的难，超出考研要求。这本习题集可以做他三遍都没有问题。但是这本习题集有个问题，有部分答案经过两年的勘误还是错误的。希望可以改正。
可以选择报高数的强化班。我推荐的是视频版，因为可以多看几次。我听过很多老师的高数强化班，我认为张宇老师的最适合对考研数学的启蒙，会让你爱上高数。汤家凤老师的也不错，而汤家凤作为文都为数不多的好老师（另外一个是
刘一男），讲课风格踏实，打基础最好，可惜有点口音。其它老师的，我一概不推荐。
基础非常差怎么办？那就花多一点时间看看教材，把课后习题都做完，然后配合看高数基础班。如果基础还可以，看完教材就可以直接看强化班视频，配合你的复习书一起用。
做题受了打击怎么办？记住一句话：杀不死你的必定让你更强。
怎么做笔记？你需要两个笔记本。第一个，记录错题、不懂题和好题。第二个，纪录公式定理，把里面的深刻含义，出题类型，易错点写上去。这就是属于你自己的高舒复习书。当然你可以有第三个复习笔记，用来记录辅导班的笔记。
教材看多少遍？一遍即可。复习书看多少遍？以你充分理解的基础上，越多越好。
大纲解析以及所谓的大纲配套等攀荣誉的习题集不推荐购买，因为大纲解析的内容一般在《复习指南》或者《复习全书》丢囊括了。但是我推荐大家上网下载《考试分析》来看。
大纲中要求的知识点一般都要复习。不要相信所谓的必考必不考点。前年我背了型心公式，而一个朋友因为相信辅导班说一定不考的断言，没了5分。可气的是，某个辅导班的老师，前年说，物理应用必考，结果去年没考；今年讲课的时候，他却说物理应用肯定不考，结果今年还真的没考，现在在微博得瑟着。
计算量的锻炼是硬性标准，在求极限，求积分，求多元函数偏导数等等这些基础计算中一定要熟悉。我做极限和积分就曾做过700多题（题目大多是网上下载和习题书的），多元求片导我就做过300多题，这样的效果就是我做高数相关计算的时候，速度和正确率都有很高的保障。做这些的时候无聊么？当然无聊。但是一想到我做了，考试的时候就快一点，就可以省时间去做我最头疼的线代，我动力就足了。
最好是在看完复习书第一遍，准备第二轮复习告诉的时候，使用真题最好。我的建议是分题型进行真题训练，结合复习书第二遍。第二遍可以不看视频或者看冲刺班视频（往年的，在哪下呢？大家还是支持正版吧。）只建议大家购买二李的《历年真题解析》。
一般高数复习书第一轮要在暑假开始前进行，最晚最晚不能晚于暑假开始后的两个星期。一般复习高数需要两个月，也就是说，暑假结束后，你的高数应该进行完第一轮。所以我建议你留校复习。
高数复习完第一轮的时候就可以和其它比如线代进行交叉复习了。比如一天5小时，3小时给高数（连续的3小时复习高数是无论什么时期都要保持的），剩下的2个小时给线代。
复习高数的时候请你关闭手机、音乐等等东西，一定要专心潜心去做题和研究思路。
高数进行完第二轮后怎么办？到时候我会再发微博高数大家。
考研数学要得到120分，只要你做到以上几点，并且你对线代不会白痴得向我的话，那么不会很难。在你研究历年真题你会发现。真题的答案不会像高考的数学答案那么冗长繁重。都是非常的简练，这就说明，你在考试当天，你解题的思路非常重要。答案往往都不会太繁杂，找对方向基本就可以解题了。
高数和英语怎么分配时间。早期的时候，高数可以给7个小时，分开来，上午3个小时，下午4个小时。英语给5个小时。具体安排看自己。
可以买一本公式手册，用于背诵。
高数的复习基本就这些了。祝各位考试顺利。
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。《高等数学》极限运算技巧
要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。
【关键词】高等数学 极限 技巧
《高等数学》极限运算技巧
《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。
&&&&一，极限的概念
从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！
&&&从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。
二，极限的运算技巧
&我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!
&我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。
&& 1，连续函数的极限
&这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。
&& 2，不定型
&我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。
&第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：
需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。
此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。
当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。
在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。
第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：
（1），“∞/∞ ”形式
如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：
，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。
如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞
”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。
（2），“∞-∞ ”形式
“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0
”的形式，基本解法同上。比如：
这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。
这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞
”或“0/0 ”的形式。
这种形式的解决思路主要有两种。
第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“
”，然后选用公式，再凑出公式的形式，最后直接套用公式。
第二种是取对数消指数。简单来说，“
”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：
可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。
三，极限运算思维的培养
极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。
（本文著作权归个人所有，如需转载请联系本人。）
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以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。　　作　者：刘书田，，冯翠莲 等编著 　　出 版 社：北京大学出版社 　　页　数：306 　　字　数：450000 　　印刷时间： 　　定　价：￥28.00
高等数学专题分析与解题指导 - 编辑推荐
　　本书《高等数学专题分析与解题指导》的内容选取和排序紧密结合“高等数学课程”现行教材体系，例题多样、典型、以教材内容为准，以题型归类划分专题，以“讲思路举例题”与“举题型讲方法”相结合的思维方式叙述，强调培养学生的数学思维能力和数学方法的训练。 阅读本书不仅提高读者数学思维能力、分析问题解决问题的能力，使读者花费较少的时间和精力，掌握求解各种题型的思路和方法，取得事半功倍之效果，而且能使读者运用已掌握的知识，实现纵向深入，横向联系，由继承性获得向创造性升华。
高等数学专题分析与解题指导 - 内容简介
　　本书是高等院校工科类各专业学生学习高等数学课程的辅导书，与国内通用的各类优秀的《高等数学》教材相匹配，可同步使用。全书共分七章，内容包括函数与极限，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分，定积分的应用，空间解析几何与向量代数等。 　　本书以高等数学课程教材的内容为准，按题型归类，划分专题进行分析，以讲思路举例题与举题型讲方法相结合的思维方式叙述，讲述解题思路的源头，归纳总结具有共性题目的解题方法，解题简捷、新颖，具有技巧性而又道理显然，可使读者思路畅达，所学知识融会贯通，灵活运用，达到事半功倍之效。 　　本书是工科类各专业在校学生学习高等数学必备的辅导教材，是有志考研学生的精品之选，是授课教师极为有益的教学参考书，是无师自通的自学指导书。
高等数学专题分析与解题指导 - 目录
　　第一章 函数与极限 　　一、函数的复合关系 　　二、函数的几种特性 　　三、用极限定义证明数列和函数的极限 　　四、极限运算法则与代数函数的极限 　　五、用两个重要极限求极限 　　六、用代换求极限 　　七、用单侧极限存在准则求极限 　　八、用和单调有界准则求极限 　　九、通项为n项和与n个因子乘积的极限的求法 　　十、确定待定常数、待定函数和待定极限 　　十一、函数的连续性与间断点 　　十二、极限函数及其连续性 　　十三、闭区间上连续的应用 　　十四、曲线渐近线的求法 　　习题一 　　第二章 导数与微分 　　一、正确理解和应用导数定义 　　二、分段函数的导数 　　三、用导数运算法则求导数 　　四、高阶导数的求法 　　五、隐函数求导数 　　六、求由参数方程所确定函数的导数 　　七、曲线的切线和法线 　　八、微分概念及其计算 　　习题二 　　第三章 微分中值定理与导数的应用 　　一、罗尔定理条件的推广 　　二、用微分中值定理证明函数恒等式 　　三、直接用微分中值定理证明中值等式 　　四、用选取辅助函数的方法证明中值等式 　　五、用微分中值定理证明中值不等式 　　六、用微分中值定理证明不等式 　　七、用函数或曲线的性态证明不等式 　　八、用微分中值定理求极限 　　九、用洛必达法则求极限 　　十、用泰勒公式求极限 　　十一、函数或曲线的性态 　　十二、用图形的对称性确定函数（曲线）的性态 　　十三、用导数讨论方程的根 　　习题三 　　第四章 不定积分 　　一、原函数与不定积分概念 　　二、用第一换元积分法求积分 　　三、用第二换元积分法求积分 　　四、用分部积分法求积分 　　五、有理函数的积分 　　六、三角函数有理式积分的方法 　　七、用解方程组的方法求不定积分 　　习题四 　　第五章 定积分 　　一、定积分概念 　　二、定积分的性质及其应用 　　三、变限定积分函数求导数 　　四、变限定积分函数的极限 　　五、变限定积分函数的性态分析 　　六、由定积分表示的变量的极限 　　七、求解含定积分号的函数方程 　　八、分段求定积分 　　九、定积分的换元法和分部积分法 　　十、证明定积分等式 　　十一、用中值定理证明有关定积分等式及方程的根 　　十二、证明定 　　十三、用反常积分性的定义计算反常积分 　　习题五 　　第六章 定积分的应用 　　一、定积分在几何学上的应用 　　二、定积分在物理学上的应用 　　习题六 　　第七章 向量代数与空间解析几何 　　一、向量概念及向量的运算 　　二、平面及其方程 　　三、直线及其方程 　　四、空间曲面与曲线 　　习题七 　　习题答案与解法提示
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