证明:设F(x,y,z)=0可以确定连续可微隐函数:x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y),试证：试证：(əx/əz )(əz/əy )(əy/əx)=-1əx/əz=-Fz/Fxəz/əy=-Fy/Fzəy/əx=-Fx/Fy然后乘积等于-1 、这_百度作业帮
证明:设F(x,y,z)=0可以确定连续可微隐函数:x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y),试证：试证：(əx/əz )(əz/əy )(əy/əx)=-1əx/əz=-Fz/Fxəz/əy=-Fy/Fzəy/əx=-Fx/Fy然后乘积等于-1 、这
证明:设F(x,y,z)=0可以确定连续可微隐函数:x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y),试证：试证：(əx/əz )(əz/əy )(əy/əx)=-1əx/əz=-Fz/Fxəz/əy=-Fy/Fzəy/əx=-Fx/Fy然后乘积等于-1 、这样做对吗?
没错,就是这么证的,当然证法不唯一,利用全微分也是可以的.为什么f(z)=z(z上面有一横~)不可导?_百度作业帮
为什么f(z)=z(z上面有一横~)不可导?
为什么f(z)=z(z上面有一横~)不可导?
可以直接验证这个复函数不满足柯西—黎曼条件.因为函数比较简单,直接根据定义验证也不麻烦.下面直接验证,希望对你理解复变函数的导数有所帮助.在任一点 z0,如果导数存在,则有lim(|z|--->0) （ f(z0+z)-f(z0))/z = f'(z0)设 z0= x0+y0i,z=x+yi,有：lim(|z|--->0) (x-yi)/(x+yi) -----> f'(z0)因为这对一切 |z|--->0 必须成立.我们可以看两种特殊情形：1.y=0,于是 lim(|z|--->0) (x-yi)/(x+yi) = lim(|z|--->0) (x)/(x)=1,即 f'(z0)必须=12.x=0,于是 lim(|z|--->0) (x-yi)/(x+yi) = lim(|z|--->0) (-yi)/(yi)=-1,即 f'(z0)必须=-1由上知道,不可能存在一个 f'(z0) 使得对一切|z|--->0,lim(|z|--->0) （ f(z0+z)-f(z0))/z = f'(z0) 都成立.所以 f(z)=z(z上面有一横~)不可导证明w＝Rez在z平面上处处不解析._百度作业帮
证明w＝Rez在z平面上处处不解析.
证明w＝Rez在z平面上处处不解析.
w=Rez=x于是u=x,v=0在任意点处,u对x求偏导=1 v对y求偏导=0所以w不满足CR条件,即w在z平面上处处不解析复变函数―课后答案习题二解答14
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复变函数―课后答案习题二解答14
习题二解答；1．利用导数定义推出：；1)(zn)'=nzn?1,(n是正整数)；；1?1?；2）'=?；zz??；(z+?z)n?zn2n?2=lim(nzn?1；?z→0?z→0?z；11；11?1?；2）??'=lim=?lim=?2；?z→0z(z+?z)z?z?z??z→0；2．下列函数何处可导？何处解析？（1）f(z)=；（2）f(z)=2x+3y
习题二解答1．利用导数定义推出：1)(zn)'=nzn?1,(n是正整数)；n1?1?2）'=?。 ??2zz??(z+?z)n?zn2n?2=lim(nzn?1+Cnz?z+&?zn?1)=nzn?1 证 1）(z)'=lim?z→0?z→0?z11?11?1?2）??'=lim=?lim=?2?z→0z(z+?z)z?z?z??z→02．下列函数何处可导？何处解析？ （1）f(z)=x2?iy
（3） （2）f(z)=2x+3yi（4）f(z)=sinxchy+icosxshy33f(z)=xy2+ix2y解
（1）由于?u?v?v?u=0,=0,=?1 =2x,?y?x?y?x1在z平面上处处连续，且当且仅当x=?时，u,v才满足C-R条件，故f(z)=u+iv=x?iy仅在21直线x=?上可导，在z平面上处处不解析。2（2）由于?u?u?v?v=6x2，=0，=0，=9y2 ?x?x?y?y22在z平面上处处连续，且当且仅当2x=3y,±=0时，u,v才满足C-R条件，故f(z)=u+iv=2x3+3y3i=0上可导，在z平面上处处不解析。（3）由于?u?v?v?u=2xy，=x2 =2xy，=y2，?y?y?x?x在z平面上处处连续，且当且仅当z=0时，u,v才满足C-R条件，故f(z)=xy2+ix2y仅在点z=0处可导，在z平面处处不解析。（4）由于?u?u?v?v=cosxchy，=sinxshy，=?sinxshy，=cosxchy ?x?y?x?y在z平面上处处连续，且在整个复平面u,v才满足C-R条件，故f(z)=sinxchy+icosxshy在z平面处处可导，在z平面处处不解析。3．指出下列函数f(z)的解析性区域，并求出其导数。 1）(z?1)； 3）5 （2）z+2iz； （4）31；
2z?1az+b(c,d中至少有一个不为0) cz+d4解 （1）由于f′(z)=5(z?1)，故f(z)在z平面上处处解析。（2）由于f′(z)=3z2+2i，知f(z)在z平面上处处解析。 （3）由于f′(z)=z?2z2?12=?2z z?12z+12知f(z)在除去点z=±1外的z平面上处处可导。处处解析，z=±1是f(z)的奇点。（4）由于f′(z)=ad?bc，知f(z)在除去z=?d/c(c≠0)外在复平面上处处解析。 2(cz+d)5．复变函数的可导性与解析性有什么不同？判断函数的解析性有那些方法？ 答：判定函数解析主要有两种方法：1）利用解析的定义：要判断一个复变函数在z0是否解析，只要判定它在z0及其邻域内是否可导；要判断该函数在区域D内是否解析，只要判定它在D内是否可导；2）利用解析的充要条件，即本章§2中的定理二。6．判断下述命题的真假，并举例说明。 （1）如果f(z)在z0点连续，那么f′(z0)存在。 （2）如果f′(z0)存在，那么f(z)在z0点解析。 （3）如果z0是f(z)的奇点，那么f(z)在z0不可导。（4）如果z0是f(z)和g(z)的一个奇点，那么z0也是f(z)+g(z)和f(z)/g(z)的奇点。 ，那么f(z)=u+iv亦可导。 （5）如果u(x,y)和v(x,y)可导（指偏导数存在）（6）设f(z)=u+iv在区域内是解析的。如果u是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；如果v是实常数，那么f(z)在整个D内是常数；解（1）命题假。如函数f(z)=|z|2=x2+y2在z平面上处处连续，除了点z=0外处处不可导。 （2）命题假，如函数f(z)=|z|2在点z=0处可导，却在点z=0处不解析。 （3）命题假，如果f(z)在z0点不解析，则z0称为f(z)的奇点。如上例。（4）命题假，如f(z)=sinxchy,g(z)=icosxshy，z=(π/2,0)为它们的奇点，但不是f(z)+g(z)的奇点。故f(z)仅在点z=0（5）命题假。如函数f(z)=zRez=x2+ixy仅在点z=0处满足C-R条件，处可导。（6）命题真。由u是实常数，根据C-R方程知v也是实常数，故f(z)在整个D内是常数；后面同理可得。7．如果f(z)=u+iv是z的解析函数，证明：???????()|fz|=|f'(z)|2 ?|f(z)|?+?????x???y?22证
|f(z)|=u2+v2，于是?|f(z)|=?xu?u?v?v?uu+v+v?y，?|f(z)|=?y2222?yu+vu+v由于f(z)=u+iv为解析函数，故?u?v?u?v==?，， ?x?y?y?x从而2222?1?2??u??v??????2??|f(z)|?+??|f(z)|??=u2+v2?u??x?+u???x? ??x???y???????22?u?v??v??u???u?2??v?+2uv??? +v??+v??+2uv?x?x??x??x???x???x??21=22u+v=2222??2???u???v??2???u???v?????u???+???+v???+??????????x???x???????x???x?????1u2+v2|f(z)|2=|f(z)|222u+v()9．证明：柯西-黎曼方程的极坐标形式是?u1?v?v1?u=，=??rr?θ?rr?θ证
令x=rcosθ,y=rsinθ，利用复合函数求导法则和u,v满足C-R条件，得?u?u?u=cosθ+sinθ ?r?x?y?v?v?v?u?u?u=(?rsinθ)+rcosθ=rsinθ+rcosθ=r ?θ?x?y?y?x?r即?u1?v=。又 ?rr?θ?u?u=(?rsinθ)+?urcosθ ?θ?x?y?v?v?v?u?u=cosθ+sinθ=?cosθ+sinθ ?r?x?y?y?x?1??u1?u?u?cossin=??r?r=? θθ?r?y?xr??θ??总之，有?u1?v?v1?u=，=?。 ?rr?θ?rr?θ10．证明：如果函数f(z)=u+iv在区域D内解析，并满足下列条件之一，那么f(z)是常数。 （1）f(z)恒取实值。 （2）fz在D内解析。 （3）|f(z)|在D内是一个常数。 （4）argf(z)在D内是一个常数。（5）au+bv=c，其中a、b与c为不全为零的实常数。解
（1）若f(z)恒取实值，则v=0，又根据f(z)在区域D内解析，知C-R条件成立，于是?u?v?u?v=?==0， =0?x?y?y?x故u在区域D内为一常数，记u=C(实常数)，则f(z)=u+iv=C为一常数。 （2）若fz=u+iv=u?iv在区域D内解析，则?u?(?v)?v?u?(?v)?u，
（1） ==?=?=?x?y?y?x?y?x又f(z)=u+iv在区域D内解析，则?u?v?u?v=?=，
（2）?x?y?y?x结合（1）、（2）两式，有?u?u?v?v====0， ?x?y?xvy故u,v在D内均为常数，分别记之为u1=C1,u2=C2(C1,C2为实常数)，则f(z)=u+iv=C1+iC2=C为一复常数。（3）若|f(z)|在D内为一常数，记为C1，则u2+v2=C12，两边分别对于x和y求偏导，得?v??u2u+2v=0???x?x ??u?v?2u+2v=0??y?y?由于f(z)在D内解析，满足C-R条件?u?v?u?v=,=?代入上式又可写得?x?x?y?y?u??uuv?=0???x?y??u?u?v+u=0??x?y?解得?v?v?u?v==0。同理，可解得==0故u,v均为常数，分别记为u=C1,v=C2，则?x?y?xvyf(z)=u+iv=C1+iC2=C为一复常数。（4）若argz在D内是一个常数C1，则f(z)≠0，从而f(z)=u+iv≠0，且v?u&0arctan,?u?v?argf(z)=?arctan+π,u&0,v&0u??arctanv?π,u&0,v&0?u??C1?=?C1+π?C?π?1u&1u&0,v&0u&0,v&0 总之对argf(z)分别关于x和y求偏导，得?u?1??v?v?uuv???u?v2?x?u??x=0 =2u2+v2?v?1+???u?1u2??v?u??v?u??uv?u?v??y??y??y?y?==0 222uv+v??1+???u??u??u?v?u=0???x?y??u?u?u?v=0??x?y?化简上式并利用f(z)解析，其实、虚部满足C-R条件，得解得?u?u?u?v==0，同理也可求得==0，即u和v均为实常数，分别记为C2和C3，从而?x?y?x?yf(z)=u+iv=C2+iC3=C为一复常数。其中a、b和c为不全为零的实常数，这里a和b不全为0，即a2+b2≠0，（5）若au+bv=c，否则此时a、b和c全为零。对方程au+bv=c分别对于x和y求偏导，得?v??uab+=0???x?x ??u?v?a+b=0?yy???再利用解析函数f(z)=u+iv的实、虚部u和v满足C-R条件，得?u??ua?b=0???x?y??u?u?b+a=0??x?y?解得?u?u?v?v==0，同理也可求得==0，知函数f(z)为一常数。?x?y?x?y11.下列关系是否正确？（1）ez=e；
（2）cosz=cos；
（3）sinz=sin 解（1）e=ex(cosy+isiny)=ex(cosy?isiny)=ex?iy=e ?eiz+e?iz（2）cosz=??2??1iz?=e+e?iz=1e?i+ei=cos。 ?22?(()（3）sinz==1iz1iz1e?e?iz=e?e?iz=(e?i?ei) 2i?2i2i()()1ie?e?i=sin。 2i()12．找出下列方程的全部解。（3）1+e=0；
（4）sinz+cosz=0；
解（3）原方程等价于e=?1，于是它的解为：zz包含各类专业文献、高等教育、文学作品欣赏、外语学习资料、行业资料、中学教育、各类资格考试、复变函数―课后答案习题二解答14等内容。　
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证明：函数z=（x^2+y^2)^(1/2)在（0,0）处连续,但偏导数不存在
证明：函数z=（x^2+y^2)^(1/2)在（0,0）处连续,但偏导数不存在
证明：(以下sqrt是开方,abs是取绝对值)连续很好证,你只要求如下极限看是否是0即可(z(0,0)=0)：lim (x,y趋于0) z(x,y) = z(0,0) = 0.用二元函数的极限定义证.对于任意epsilon > 0,取delta = epsilon,则只要 (x,y) 位于 原点的 delta邻域内,即sqrt (x^2 + y^2) < delta,也就是 abs [sqrt (x^2 + y^2) - 0] < epsilon,这样二元函数的极限定义就满足了.所以极限是0.偏导数的话,对x和对y的偏导都是一样的证法,所以这里就只证 z对x的偏导不存在.根据偏导数定义：z 在原点对x的偏导数 = lim (x趋于0) [ z (x,0) - z (0,0) ] / x= lim (x趋于0) abs(x) / x马上可以看到这个极限是不存在的,因为当x从大于0的方向趋于0时,abs(x)=x从而极限为1；而从小于0的方向趋于0时极限为-1,而极限存在要求和方向无关,所以z对x的偏导数在原点不存在.同理可证对y的偏导也是如此.