解：（1）①画图②结论是：BF⊥CE，BF=CE．（2）如图，①证明BF=CE∵BF为∠ABC的平分线，∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABF=45°∵DF⊥BF∴∠F=90°∵点B，A，D在同一条直线上，△BFD为直角三角形∴cos∠FBD=∴BF=又∵Rt△ABC≌Rt△EDA∴BC=AD，BA=DE设BC=AD=a，BA=DE=b∴BD=a+b∴BF=过E作EH∥BD交CB的延长线于H∵∠CBA=90°，∠ADE=90°∴∠CBA=∠ADE∴CH∥DE∴四边形BHED为矩形∴BH=DE=b，HE=BD=a+b∴CH=a+b∴△HCE等腰直角三角形由勾股定理，得CE=∴BF=CE②证明BF⊥CE∵Rt△CHE是等腰直角三角形∴∠HCE=∠HEC=45°∵∠FBC=45°∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°∴BF⊥CE∴BF⊥CE，BF=CE仍然成立．分析：（1）画图如图，比较简单；（2）结论是BF⊥CE，BF=CE．过E作EH∥BD交CB的延长线于H，容易证明△HCE等腰直角三角形，由此可以得到∠HCE=∠HEC=45°，而根据已知条件可以得到∠FBC=45°，∴∠BGE=∠HCE+∠FBC=90°，这样就可以得到BF⊥CE，然后根据已知条件和勾股定理计算证明BF=，CE=BD，从而证明了BF=CE．从证明过程可以看出无论三角形是等腰直角三角形还是普通直角三角形，对题目的结果没有影响．点评：此题把直角三角形，等腰直角三角形，勾股定理等知识结合起来，综合利用它们解题，有一定的难度，要求学生综合分析问题的能力比较强．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
10、如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（　　）A、2B、3C、4D、5
科目：初中数学
把两个全等的等腰Rt△AOB和等腰Rt△DCE（其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使等腰Rt△DCE的直角顶点C与等腰Rt△AOB的斜边中点C重合．现将等腰Rt△DCE绕C点逆时针方向旋转（旋转角a满足条件：0°＜a＜90°），四边形CPOQ是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．（1）在图1中，求点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）；（2）在上述旋转过程中，CP与CQ有怎样的数量关系？四边形CPOQ的面积有何变化？证明你的结论；（3）在（2）的前提下，BQ的长度是多少时，△CPQ的面积恰好等于△AOB面积的．
科目：初中数学
一个圆锥的三视图如图所示，主视图，左视图是两个全等的等腰三角形，腰长为12cm，底边长为10cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为150°．
科目：初中数学
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；若旋转到DE⊥AB时，当BP=a，CQ=时，求PQ（用含a的代数式表示）．
科目：初中数学
如图，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起．现将△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与B、C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于M点．请问：在△DEF运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请求出BE的长；若不能，请说明理由．
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A【答案】分析：（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan．解答：解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，∴OB=OC，∠BOC=90&．∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，∴OF=OD，∠DOF=90&．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90&+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90&+∠COF，∴∠BOF=∠COD．∵在△BOF与△COD中，∴△BOF≌△COD（SAS），∴BF=CD．（2）答：（1）中的结论不成立．如答图③所示，连接OC、OD．∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，∴=tan30&=，∠BOC=90&．∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，∴=tan30&=，∠DOF=90&．∴==．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90&+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90&+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BOF与△COD中，∵==，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，∴=．（3）如答图④所示，连接OC、OD．∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，∴=tan，∠BOC=90&．∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，∴=tan，∠DOF=90&．∴==tan．∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90&+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90&+∠COF，∴∠BOF=∠COD．在△BOF与△COD中，∵==tan，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，∴=tan．点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．
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科目：初中数学
题型：阅读理解
阅读：如图（1），正方形ABCD的边AB在x轴上，C、D在抛物线y=-x（x-2）的图象上，我们称正方形ABCD内接于抛物线y=-x（x-2）．抛物线y=-x（x-2）的对称轴交x轴于点M，设正方形ABCD的边长为a1，那么a1满足哪个二元一次方程呢？由对称性可知M是AB的中点，则AM=1，AD=a1．易知OM=1，所以OA=1，所以D点坐标为1，a1)，代入抛物线解析式并化简可知a1满足二元一次方程2a12+a1-1=0；根据以上材料探索：（第（1）小题要求写出过程，其它两小题只要写出答案，不必要过程）（1）如图（2），若并排两个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长a2满足的二元一次方程是；（2）如图（3），若并排三个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长a3满足的二元一次方程是；（3）如图（4），若并排n个正方形内接于抛物线y=-x（x-2），则每个正方形的边长an满足的二元一次方程是；
科目：初中数学
题型：阅读理解
（;盐城）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）
科目：初中数学
来源：学年辽宁鞍山第26中学九年级上学期第三次月考数学试卷（解析版）
题型：解答题
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）
科目：初中数学
来源：2012年苏教版初中数学七年级下 11.2全等三角形练习卷（解析版）
题型：解答题
阅读下列材料:
如图（1）所示，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离可以变到△ECD的位置；
如图（2）所示，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；
如图（3）所示，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置.
像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换.
问题：如图（4），△ABC≌△DEF，B和E、C和F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角.
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A1）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（2）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍然成立吗?_百度作业帮
1）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（2）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍然成立吗?
1）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?（2）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍然成立吗?
1 两直角边的平方和等于斜边的平方 2 成立 斜边长13厘米
成立,斜边长十三
它们的关系就是，两直角边的平方和等于斜边的平方，这也就是著名的勾股定理。勾股定理对直角三角形都成立，当然对直角边为5和12的直角三角形成立了。因此，斜边为13。
1)c^2=a^2+b^22)成立5^2+12^2=13^2分析：（1）①连接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，证出△CDF≌△ADE即可；②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理证△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根据勾股定理得出CE2+CF2=EF2，代入求出即可；（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，连接GE，求出∠GCE=∠ECF，CG=CF，根据SAS证△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根据勾股定理求出即可．解答：（1）①证明：如右图4，连接CD，∵图1、2是两个相似比为1：2的等腰直角三角形，∴放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形的直角边，∴D为AB中点，CD⊥AB，∵∠ACB=90°，∴CD=AD=BD，∴∠4=∠A=45°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△CDF和△ADE中∠1=∠3AD=CD∠4=∠A，∴△CDF≌△ADE，∴DE=DF．②证明：∵由①知△CDF≌△ADE，∴CF=AE，与①证明△CDF≌△ADE类似可证△CED≌△BFD，得出CE=BF，∵在△CEF中，CE2+CF2=EF2，∴AE2+BF2=EF2．（2）证明：把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如右图5，连接GE，∵根据旋转得出：CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，∴∠GAE=90°，∵∠3=45°，∴∠2+∠4=90°-45°=45°，∴∠1+∠2=45°，∵在△CGE和△CFE中CE=CE∠GCE=∠FCECG=CF，∴△CGE≌△CFE，∴GE=EF，∵在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2，∴AE2+BF2=EF2．点评：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：此类问题证明过程类似．
请选择年级七年级八年级九年级请输入相应的习题集名称(选填)：
科目：初中数学
如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
科目：初中数学
题型：解答题
图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF．②求证：AE2+BF2=EF2；（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜和CD延长线分别与交于点，如图5，证明结论：AE2+BF2=EF2仍成立．
科目：初中数学
来源：2012年浙江省杭州市十五中中考数学模拟试卷（3月份）（解析版）
题型：解答题
如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
科目：初中数学
来源：2010年安徽省蚌埠市二中高一自主招生数学试卷（解析版）
题型：解答题
如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2=EF2；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A（1）通过三角形全等来分析CF=EF，进而代换求角（2）图二（3）不成立，正确的结论是AF-EF=DE
试题分析：证明：（1）连接BF（如图①）
∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，AC=DE。
∵∠ACB=∠DEB=900
∴∠BCF=∠BEF=900&&，∵BF=BF，
∵Rt△BFC≌Rt△BFE&
∴CF=EF。∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE
（2）画出正确的图形如图②。（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立
（3）不成立。此时AF、EF与DE之间的关系为AF-EF=DE
理由：连接BF（如图③），
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，AC=DE
∵∠ACB=∠DEB=900 ，
∴∠BCF=∠BEF=900&&，又∵BF=BF，
∵Rt△BFC≌Rt△BFE&
∴CF=EF。∵AF-CF=AC，∴AF-EF=DE
∴（1）中的结论不成立。正确的结论是AF-EF=DE
考点：三角形全等
点评：三角形全等的基本求法和判定是历来考察的重点，考生要熟练把握
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科目：初中数学
如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、F、D在同一条直线上，F为公共直角顶点．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（2）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．
科目：初中数学
如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、F、D在同一条直线上，F为公共直角顶点.小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段EG的长度；（2）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.&&&&&& &
科目：初中数学
如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、F、D在同一条直线上，F为公共直角顶点.小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段EG的长度；（2）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.
科目：初中数学
来源：2011年广东省汕头市植英中学八年级第一学期期末考试试数学卷
题型：解答题
如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、F、D在同一条直线上，F为公共直角顶点.小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段EG的长度；（2）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.
科目：初中数学
来源：2011年广东省汕头市八年级第一学期期末考试试数学卷
题型：解答题
如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张全等直角三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、F、D在同一条直线上，F为公共直角顶点.
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题，请你帮助解决。（1）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段EG的长度；（2）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.
吴老师30日19点直播线段的垂直平分线的性质
余老师30日20点直播unit5第二课时 Section A