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层次分析法中高阶平均随机一致性指标RI的计算
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层次分析法0引言由于近几年高等教育的
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层次分析法及其在工作选择中的应用&&&&&&&&郑飞鹰&&&&（绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000）&&&&摘要：随着高校的大规模扩招，高校毕业生的求业形势越来越严峻．本文采用调查卷的形式对一&&&&些毕业生进行调查，得到了影响毕业生工作选择的6个因素及该6个因素相互之间的重要度值．&&&&通过一致性验证，得出该方法有现实的可接受性，最后应用于毕业生工作选择得一个实例中．&&&&关键词：高等学校；毕业生；影响因素；层次分析法&&&&&&&&0 引言&&&&由于近几年高等教育的大众化，高校大规模扩招，以至于高校毕业生就业难的问题愈来愈严重．不仅&&&&大专生、本科生面临着严峻的考验，研究生的就业形势也不容乐观．许多高校毕业生成为社会上的待业青年．这导致了许多的潜在的问题．一方面，应届毕业生在当年不解决就业问题，矛盾积累，导致以后几年的毕业生就业形势更为严峻；另一方面，这对在校的学生也造成了许多无形的压力，从而给人们一种毕业就等于失业的感觉．事实上，许多毕业生找不到工作不是因为没有工作，而是对于所提供的工作不屑一顾或对几项工作的选择没有做出及时的决定，从而导致工作的失之交臂．毕业生的这种不正确的观点，一方面是由于自己的认识不全面，另一方面是由于无法从多方面判断选择合适的工作，缺乏一种权重选择工作的方法．&&&&由于不同的人有着不同的想法，对于工作的选择的认识也有着不同的见解，但基于大多数人的的想法比较相似与接近，本人采取调查问卷的形式来得出一般人的想法，即在选择工作的过程中考虑到的各种因素及其重要性，以便寻求一种综合的方法，也为包括本人在内的毕业生们的就业选择提供一些借鉴．&&&&1 层次分析方法&&&&近年来，系统的观点越来越受到人们的重视，特别是在各种决策与规划中．所谓系统的观点就是从整&&&&个系统的全局出发，在考虑系统中各个因素之间的相互影响相互作用的前提下分析和处理问题．在现实生活中，人们也通常会处于各种系统当中，常常需要对一些复杂的情况作出决策．如公司的上层管理人员如何对职工的贡献作出全面的分析；地方行政官员如何对人口、交通、经济、环境等邻域的规划作出相应的决策．在日常生活中，我们也会遇到各种问题．譬如假期到了，人们打算外出旅游，如何恰当的选择旅游景点则是非常重要的．选择旅游景点，经常会考虑到景点景色、费用、居住、饮食及交通等条件是否舒适和方便，然后做出一个合适的选择．因此无论处理什么问题，具备系统的观点是非常有必要的．当然这种决策的问题是相对简单的．&&&&但是并不是所有的问题都是相对简单的，有许多问题要涉及经济、社会、人文等多方面的因素．这些问题中含有大量的主、客观因素，许多要求与期望是模糊的，而且往往缺少必要的数据．此类问题的研究与解决，仅仅依靠原有的数学方法是无法实现的．于是在20世纪70年代初，美国运筹学家T．L．Saaty的层次分析法应运而生．层次分析法是一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，是一种定性和定量相结合的系统化、层次化的分析方法，它把一个复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后应用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性．这种方法比较适用于无结构问题的建模，由于层次分析法的实用性和有效性，故被广泛用于各个领域．&&&&层次分析法是进行系统分析的数学工具之一，它把人的思维层次化、数量化，是数学方法为复杂系统的分析、预报、决策或控制提供定量的依据．运用层次分析法，大体上可按下面四个步骤进行：&&&&1） 分析系统中各个因素间的关系，建立系统的递阶层次结构；&&&&2） 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩&&&&阵；&&&&3） 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验；&&&&4） 计算各层次对于系统的总排序权重，并进行排序．&&&&按照层次分析法运用的步骤，应用层次分析法分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型．在这个模型下，复杂的问题被分解为元素的组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元素作为准则对下一层有关元素起支配作用．这些层次可以分为三类：&&&&1）最高层（目标层）：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定的目标或理想结果；&&&&2）中间层（准则层）：这一层次包括为了实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、予准则；&&&&3）最底层（方案层）：这一层次包括为了实现目标可供选择的各种措施、决策方案等．&&&&在这个递阶层次结构中，从上到下顺序的存在着支配关系，结构中层次数不受限制．建立了递阶层次&&&&结构以后，上下层元素间的隶属关系就确定了．假定以上层次的元素为准则，所支配的下一层次的元素为、、、，目的是要按它们对于准则的相对重要性赋予、、、相应的权重，当、、、对于的重要性可以直接定量表示时，它们相应的权重量可以直接确定，但对于大多数的社会经济问题，特别是比较复杂的问题，需要通过适当的方法导出它们的权重，层次分析法一般采用两两比较的方法导出权重．&&&&针对准则，两个元素和哪一个更重要，重要程度如何，往往通过的比例标度对重要性程度赋值．即对于准则，个被比较元素通过两两比较可以构成一个判断矩阵．其中的比例标度的含义为：&&&&1两个元素相比，具有相同的重要性；&&&&3两个元素相比，前者比后者稍重要；&&&&5两个元素相比，前者比后者明显重要；&&&&7两个元素相比，前者比后者强烈重要；&&&&9两个元素相比，前者比后者极端重要．&&&&2，4，6，8表示上诉相邻判断的中间值．&&&&若用表示元素与相对于准则的重要性比例标度．则通过与比较，可得到一判断矩阵，记作．&&&&定义1：在矩阵中，，，且，通常满足这些性质的判断矩阵被称为正互反矩阵．&&&&定义2：对于正互反矩阵，若满足，则称为一致性矩阵．&&&&显然，矩阵不一定是一致性的．所以要应用层次分析法，接下去是对该矩阵进行一致性判断．若为一致阵时，则显然有：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&其中为权向量，，且有．&&&&定理1：阶正互反矩阵是一致性矩阵的充分必要条件是：的最大特征值．&&&&当互反矩阵不是一致矩阵时，将对应于最大特征值的特征向量标准化后仍称为权向量．能否表示各个元素在中占的比重，要视不一致性的程度而定的．比大的越多，不一致程度越大，衡量不一致程度的指标叫做一致性指标，定义为：&&&&（1．1）&&&&由公式可看出，实际上是个特征根（除最大特征根）的平均值．由定理1可知，对于一致性正互反矩阵来说，&&&&由于，仅仅依靠的值作为判断矩阵是否具有满意一致性的标准是不够的．因此为了找出衡量一致性指标的标准，定义随机性指标：&&&&（1．2）&&&&其中为最大特征值的平均值．&&&&由于人们客观事物的复杂性和认识的多样性，以及可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大小有关，即随着值的增大，误差也增大，所以一般都采用了平均随机一致性指标．对于，有平均随机一致性指标：&&&&n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13&&&&RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56&&&&定义一致性比：&&&&（1．3）&&&&通常时，则认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性．&&&&层次分析法计算的根本问题是如何求出判断矩阵的最大特征值根及其对应的特征向量．往往有精确计算和近似计算．&&&&精确计算即为幂法，主要步骤如下：&&&&&&&&1） 通过任取初始正向量，计算:&&&&；&&&&2） 通过迭代计算，求出；&&&&3） 检查时转下步，否则令转回上一步；&&&&4） 将标准化，即得：，此即为所求的最大特征根和权向量．&&&&近似计算法有两种，一种为方根法（即几何平均法），另外一种为和积法．&&&&方根法主要步骤如下：&&&&1） 计算判断矩阵每一行元素的乘积；&&&&2） 计算的次方根：；&&&&3） 对向量归一化，即，则为所求特征向量；&&&&4） 计算判断矩阵的最大特征根：（式中，表示向量的第个元素）&&&&和积法的主要步骤如下：&&&&1） 将判断矩阵的每一列归一化：；&&&&2） 归一化后的矩阵按行相加：；&&&&3） 对向量归一化，即：，则为所求特征向量；&&&&4） 计算判断矩阵的最大特征根：（式中，表示向量的第个元素）&&&&通过以上一系列的计算可以得到一系列数据，同时可以根据的值判断矩阵是否具有满意的一致&&&&性，以决定是否有可行性．如果验证出矩阵有可行性，即可应用到解决问题的方法中．&&&&由于各种相对的权向量值已计算出来，则我们需要应用递推原理自上而下的计算出各层次元素对目标层的合成权向量值，直到得出最底层各方案对目标层的合成权向量值为止，并最终确定个方案的优劣次序，以便我们能够得到最佳的选择．&&&&合成权向量值的步骤主要如下：&&&&1)若假定已经算出第层上个元素对于总目标的权向量，设&&&&第层上个元素对第层上第个属性的权向量为，其中不受属性支配的元素的权向量值为；&&&&2)令表示第层上各个元素的阶权矩阵，那么第&&&&层上元素对总目标的合成向量为：&&&&&&&&或写成：&&&&；&&&&3）如果第层上的所有元素都被第层上的每一个元素所支配，这样的层次结构被称为完全结构．对于完全结构的层次分析，第层上诸元素关于总目标的合成权向量可以表示为：&&&&&&&&这里的是为总目标设定的权向量值，如果总目标是单一元素，通常令．&&&&通过以上一系列的计算，我们可以最终得到合成的权值，从而得出结论．&&nbs
p;&&高校毕业生的工作选择问题，同样是一决策问题．毕业生需要考虑多方面的因素，如：工作待遇、工作环境、未来的发展前途及保障等等．那如何合理的考虑种种因素，以得到最佳的选择呢？本人采用层次分析法来解决这一问题．事实上，针对高校毕业生工作选择这一问题，我们采用层次分析法，首先要确定影响这一问题的因素，从而建立递阶层次结构；其次对结构中的各个元素进行两两比较，确定相对重要程度，并得出判断矩阵；即而通过重要度计算、一致性检验及总排序权重来求的最佳选择．我们可以结合实例对这一问题进行分析．&&&&2 影响毕业生工作选择的因素的确定&&&&为了得到一系列客观的数据，本人制作了一份调查卷，希望通过对即将走上工作岗位的大学生的问卷调查，来初步得到他们对工作选择中遇到的多项因素的权重．&&&&2．1调查表内容&&&&调查的目的主要是为了得到一系列有用的数据，而且对象是即将走上工作岗位的高校毕业生．所以调查表的内容主要有四点．&&&&第一点， 列出可能会影响到工作选择的多个因素．主要考虑因素有:&&&&（a）职业是否有良好的发展前景；&&&&（b）是否可以建立起良好的同事关系；&&&&（c）是否有满意的工资、福利；&&&&（d）地理环境是否优越；&&&&（e）是否符合个人的兴趣爱好；&&&&（f）是否提供住房、饮食等；&&&&（g）单位是否有住房公积金、劳动保险金、医疗保险金等劳保福利；&&&&（h）单位是否有良好的声誉；&&&&（i）是否能为自己提供良好的进一步提高科研的条件；&&&&（j）是否能为自己提供培训或出国深造的机会．&&&&第二点， 列出1-9比例标度．&&&&第三点， 请毕业生按1-9的比例标度，对的因素进行赋值．&&&&第四点， 请毕业生在中选择自认为在找工作过程中影响作用最大的项指标．&&&&2．2调查结果&&&&通过一些毕业生对调查表的认真填写，经过本人整理，初步确定了影响毕业生工作选择的最重要的个因素以及它们之间的重要度关系，其中最重要的个因素为：、、、、、．简而言之，即在毕业生选择工作时，最看中的是：发展前景、同事关系、工资福利、地理环境、个人兴趣和“三金”体制．结合大多数毕业生的判断，对这几个因素的重要性进行整理，得到了一个如下的数据：&&&&&&&& 发展前景&&&&同事关系&&&&工资福利&&&&地理环境&&&&个人兴趣&&&&“三金”体制发展前景&&&&1 6 3 3 2 5&&&&同事关系&&&&1/6 1 1/2 1/2 1/3 1/2&&&&工资福利&&&&1/3 2 1 2 1/2 1&&&&地理环境&&&&1/3 2 1/2 1 1/2 1/2&&&&个人兴趣&&&&1/2 3 2 2 1 2&&&&“三金”体制&&&&1/5 2 1 2 1/2 1&&&&表一、影响高校毕业生工作选择因素的重要度&&&&3 毕业生工作选择评价体系的建立&&&&根据之前的调查所得的结果，我们可以初步建立一个判断影响毕业生工作选择的模型．如下：&&&&&&&&高校毕业生的工作选择&&&&&&&& &&&&发&&&&展&&&&前&&&&景&&&& 同&&&&事&&&&关&&&&系&&&& 工&&&&资&&&&福&&&&利&&&& 地&&&&理&&&&环&&&&境&&&& 个&&&&人&&&&兴&&&&趣&&&& 三&&&&金&&&&体&&&&制图一、影响高校毕业生工作选择因素的模型&&&&其中为目标层，、、、、、为准则层，根据层次分析法的基本步骤，建立模型后，即而是构造判断矩阵，由调查结果可得判断矩阵，即为表一．&&&&下面对该判断矩阵进行整理．本人采用层次分析法的运算方法中的和积法．对数据进行一步步的处理、运算，得到该矩阵的特征向量,且，（其中为的第个分量，）．&&&&对以上数据进行整理可得：&&&&&&&&表二、影响高校毕业生工作选择因素的重要度的权和矩阵&&&&&&&&&&&&发展前景&&&&同事关系&&&&工资福利&&&&地理环境&&&&个人兴趣&&&&“三金”体制&&&&发展前景&&&&1 6 3 3 2 5 0．347&&&&同事关系&&&&1/6 1 1/2 1/2 1/3 1/2 0．076&&&&工资福利&&&&1/3 2 1 2 1/3 1 0．154&&&&地理环境&&&&1/3 2 1/2 1 1/2 1/2 0．139&&&&个人兴趣&&&&1/2 3 2 2 1 2 0．201&&&&“三金”体制&&&&1/5 2 1 2 1/2 1 0．083&&&&其中，&&&&下面验证该矩阵的一致性．由于平均随机一致性指标RI为：&&&&n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13&&&&RI 0 0 0．58 0．90 1．12 1．24 1．32 1．41 1．45 1．49 1．51 1．54 1．56&&&&则对于的表一的矩阵数据，我们可以得到：&&&&，由于当时，可以认为矩阵具有满意的一致性．所以我们可得知表一中的矩阵具有满意的一致性．即本人通过调查从而得到的高校毕业生选择工作时起到影响作用的因素及其各占的比重（发展前景：；同事关系：；工资福利：；地理环境：；个人兴趣：；“三金”体制：）是客观的，并且具有现实的可接受性．那么，我们就可以把这一套数据应用到实际生活中．&&&&4 实际应用举例&&&&通过层次分析法，我们可以初步将影响毕业生工作选择的因素由高到低排列为：发展前景，个人兴&&&&趣，工资福利，地理环境，“三金”体制，同事关系．这个结论在某种程度上具有一定的代表性和普遍性．当然并不是每个人的想法都是一样的，再次我强调该套数据是以一般性作为分析，其中对某些特例不加以考虑．&&&&既然已知得出一套有现实接受意义的数据，我们用此来对一些实例加以应用．如：有一名高校毕业生正在寻找工作，有3家单位愿意聘用他，这三家单位在某方面都各有其优势，但具体该选择哪家呢？我们从影响毕业生工作选择的6个因素着手，来分析这一情况，以便帮助其作出合适的选择．&&&&首先由该毕业生对这几家单位在每个因素上做一一比较，得出每个因素上的重要度矩阵如下：&&&&&&&&表3．1&&&&发展前景a A B C&&&&A 1 5 2&&&&B 1/5 1 1/2&&&&C 1/2 2 1&&&&&&&&表3．2&&&&同事关系b A B C&&&&A 1 3 6&&&&B 1/3 1 2&&&&C 1/6 1/2 1&&&&&&&&表3．3&&&&工资福利c A B C&&&&A 1 2 5&&&&B 1/2 1 3&&&&C 1/5 1/3 1&&&&&&&&表3．4&&&&地理环境d A B C&&&&A 1 5 3&&&&B 1/5 1 1/3&&&&C 1/3 3 1&&&&&&&&表3．5&&&&个人兴趣e A B C&&&&A 1 1/5 1/3&&&&B 5 1 3&&&&C 3 1/3 1&&&&&&&&&&&&表3．6&&&&
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平均随机一致性指标当RI=0时怎么办
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这说明只有当原正互反矩阵CI=0才能符合检验RI=0仅出现在N=1,2的情况一般还是比较少见的
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出门在外也不愁&&&平均随机一致性指标
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平均随机一致性指标R·I的新探讨
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&2008中国知网(cnki) 中国学术期刊(光盘版)电子杂志社平均随机一致性指标-学术百科-知网空间
平均随机一致性指标
平均随机一致性指标
average random consistency scale用以检验Satty氏权重法的判断矩阵的一致性,即检验专家组对各因子的相对重要程度打分有无...判断矩阵的平均随机一致性指标RI（random index）值如下表：3～10阶判断矩阵的RI值mRI0.520.891.12
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