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如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）k=_____，点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y=x2-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形。
题型：解答题难度：偏难来源：甘肃省中考真题
解：（1），& A（-1，0），& B（3，0）． （2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM． 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=， △MOB的面积=6，& ∴ 四边形 ABMC的面积 =△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． （3）如图（2），设D（m，），连结OD．则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， △DOB的面积=-（）， ∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 = =．& ∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为． （4）有两种情况： 如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为． 由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）． 如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴ 点F的坐标为（-3，0）． ∴ 直线CF的解析式为． 由 解得 ∴点Q2的坐标为（1，-4）． 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．..”主要考查你对&&求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．..”考查相似的试题有：
475227893092195824140113166829905698如图,抛物线y=1/2x^2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值._百度作业帮
如图,抛物线y=1/2x^2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.
如图,抛物线y=1/2x^2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.
过(0,-4),y = c = -4y = x&#178;/2 + bx - 4过(2,0):1 + b - 4 = 0,b = 3y = x&#178;/2 + 3x - 4 = (1/2)(x - 2)(x + 4)A(-4,0)令P(p,0),-4 < p < 2AC的斜率为(-4 - 0)/(0 + 4)= -1PE的斜率也是-1,PE的方程为y = -(x - p)BC的方程为:x/2 + y/(-4) = 1解得E((p+4)/3,(2p - 4)/3)△PCE的面积 = △PCB的面积 - △PEB的面积= (1/2)*PB*CO - (1/2)*PB*|E的纵坐标|= (1/2)(2 - p)*4 - (1/2)(2 - p)(4 - 2p)/3= (1/3)(2 - p)(p + 4)此为开口向下的抛物线,对称轴为(2 - 4)/2 = -1△PCE的面积的最大值为 (1/3)(2 + 1)(-1 +4) = 3
一些简单的过程我省略了，应该没算错，在计算三角形面积时，注意BC是已知定直线，所以要用BC作为底来求，这样才可以做的简单些！！！你仔细看看已知抛物线y=ax的平方+bx+c过点A（1,3/2）其顶点E的横坐标为2此抛物线与X轴分别交于B（X1,0）（X2，0）两点（X1小于X2）且X1的平方+X2的平方等于16
已知抛物线y=ax的平方+bx+c过点A（1,3/2）其顶点E的横坐标为2此抛物线与X轴分别交于B（X1,0）（X2，0）两点（X1小于X2）且X1的平方+X2的平方等于16 10
1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标
2）若D是y轴上一点且三角形CDE为等腰三角形求点D的坐标
1）由A在抛物线上得a+b+c=3/2,由E点的横坐标得b/(-2a)=2,由且X1的平方+X2的平方等于16可得(x1+x2)^2-2x1×x2=16&&&&韦达定理得x1+x2=b/a,x1×x2=-c/a及b/(-2a)=2，代入前式得c=0，再由a+b+c=3/2，b/(-2a)=2，解得a=-1/2,b=2.所以解析式：y=(-1/2)x^2+2x。E点的坐标是（2，2）
2）三角形CDE，题目中没有c点。若三角形ADE,可设D的坐标为（0，Y）再根据两点间的距离公式列出方程，求出y。
其他回答 (2)
因为定点横坐标是2& 所以x1+x2=4
X1的平方+X2的平方+2x1x2=16+2x1x2=16，x1x2=0&& 所以c=0
(-b/2a)=2,A点带入抛物线方程
得a=-1/2&&& b=&2
（1）根据题意，依次可以列出下列3个等式，即：
a+b+c=1.5&&&&&&& （1）
-b/2a=2&&&&&&&&&&&&&（2）
（b/a）^2-2c/a=16&&&&&& （3）
由（2）式可得b=-4a，带入（3）式可得c=0，再带入（1）式可得a=-0.5，b=2，所以抛物线的解析式为y=-0.5x^2+2x，顶点E的坐标为（2，2）。
（2）题中未明确C点位置，假设C点是抛物线与X轴的第二个交点（x2,0），则很明显C点坐标为（4,0）。
若DE=CE，则很显然D点与B点重合，即D点坐标为（0，0）；
若DE=DC，则D点位线段CE的垂直平分线与Y轴的焦点。显然，直线CE的斜率为-1，则其垂直平分线的斜率为1，又线段CE的中点坐标为（3,1），则3+b=1，b=-2，则线段CE的垂直平分线为y=x-2，其与y轴的交点为D（0，-2）；
若CE=DC，可做以C点（4,0）为圆心，过E点（2,2）的圆，易知圆半径r=CE=2*根号2，而该圆与y轴的距离为4，大于半径，不可能与y轴相交。（不必求该圆的解析式）
综上所述：D点坐标为（0，0）或（0，-2），若不考虑D点与B点重合，则D点坐标为（0，-2）。
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数学领域专家
& &SOGOU - 京ICP证050897号如果一个抛物线的开口方向、形状与抛物线y=-1/2x^2相同,且与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）1.求这条抛物线的解析式2.设此抛物线顶点为P,求△ABP的面积_百度作业帮
如果一个抛物线的开口方向、形状与抛物线y=-1/2x^2相同,且与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）1.求这条抛物线的解析式2.设此抛物线顶点为P,求△ABP的面积
如果一个抛物线的开口方向、形状与抛物线y=-1/2x^2相同,且与x轴交于A（-1,0）,B（3,0）1.求这条抛物线的解析式2.设此抛物线顶点为P,求△ABP的面积
(1)根据题意可设这条抛物线的解析式y=-1/2x^2+bx+c将A、B代入可得-1/2-b+c=0-9/2+3b+c=0解之得4-4=0b=1c=3/2这条抛物线的解析式为：y=-1/2x^2+x+3/2(2)y=-1/2x^2+x+3/2=-1/2(x^2-2x+1-4)=-1/2(x-1)^2+2顶点坐标为P(1,2)△ABP的面积=1/2*[3-(-1)]*2=4（1）根据直线y=x+3求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式，最后转化成顶点式即可；
（2）根据P的坐标求得D、E的坐标，然后根据E的坐标求得F的坐标，依次求得DE、EF的长，即可求得矩形的周长L与m的解析式，然后转化成顶点式即可；
（3）先根据A、B的坐标求得AB的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得Q的纵坐标，进而求得Q的坐标；
解答： 解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．可知A（3，0），B（0，3），
∵抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，
解得：b=2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=x22x+3，
∵y=x22x+3=（x+1）2+4，
∵顶点C（1，4）；
（2）∵直线DP⊥x轴，点P（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，m22m+3），F（m22m，m22m+3），
∴DE=（m22m+3）（m+3）=m23m，EF=m22mm=m23m，
∴L=2DE+2EF=2（m23m）+2（m23m）=4m212m，
即L=4m212m；
∵L=4m212m=4（m+）2+9，
∴当m=时，L有最大值；
（3）存在；
理由：∵A（3，0），B（0，3），
∴AB===3，
∵Q在直线x=1上，
∴设Q（1，n），
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①当AQ=AB=3，
∴22+n2=，
∴n=，或n=，
②当BQ=AB=3，
∴12+（3n）2=
∴n=3+，或n=3
∴Q（1，）；（1，）；（1，3+）或（1，3）
点评： 本题考查了直线与x轴的交点坐标，待定系数法求解析式以及解析式的顶点式，勾股定理的应用，函数的最值问题以及等腰三角形的性质等，根据点的坐标依据函数的解析式求得相应点的坐标是本题的关键；
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（2014数学模拟）25.如图，经过原点的抛物线（）与x轴的另一交点为A，过点P（1，）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的对称点为C.连结CB，CP.
（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；
（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；
（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.
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