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算法（89）
作者同类文章X
如标题所示，不用平方根库函数，求解一个数字的平方根。
这个问题有两个思路：
思路1：采用二分的方式（无处不在的二分），上界初始化为数字本身，下界初始化为1，这样用二分，判断中间数字的平方和目标数字比较，再修改上界和下界，直到小于一定的阈值。
思路2：采用牛顿法（数值分析中提到），采用微分的方式，从初始点开始，每次迭代，微分求解切线，然后求解切线和x轴的交点，再以这个交点作为起点，迭代进行。比如求解24，那么写出函数：
f(x) = x^2 - 24
我们目标就是求解这个函数的根，函数一阶导数是：
f'(x) = 2*x
起始点可以选择x0 = 24，通过求解，可以得到下一个迭代点的公式为：
x1 = -f(x0) / f'(x0) + x0
这样迭代下去，直到最后小于一定的阈值。
算法代码如下：
* square.cpp
Created on:
Author: happier
#include &iostream&
#include &algorithm&
#include &cstdlib&
#define E 0.001
//精度设置
* 二分法求解
double bSearch(double number, int *count)
//int count = 0;
double start = 1.0;
double end =
while(true)
(*count)++;
double mid = (start + end) / 2;
if(mid * mid - number &= E && mid * mid - number &= -E)
if(mid*mid - number & E)
* 牛顿法求解
double newton(double number, int *count)
double x0 =
double x1;
while(true)
(*count)++;
x1 = -(x0*x0 - number) / (2 * x0) + x0;
if(x1 * x1 - number &= E && x1 * x1 - number &= -E)
return x1;
int main()
int count = 0; //统计迭代次数
cout && &Please input the number::& &&
cout && bSearch(number, &count) &&
cout && count &&
count = 0;
cout && newton(number, &count) &&
cout && count &&
通过运行发现，牛顿法的求解速度要比二分法快很多，例如求解30000，牛顿法只要11次迭代，可以达到0.001精度，但是二分法需要33次，所以数值分析普遍采用牛顿法进行求根。
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那位大神能帮我解这道多元函数求导的选择题，求详细过程
WLWQWLSQS 那位大神能帮我解这道多元函数求导的选择题，求详细过程
积分得f(m;2m^2+m+c=6x^2+2x+c=x^2+3x,-x=n,n),代入-x=n,即f(2x,则f(2x,n)=3&#47（D）令2x=m,即-5n^2-n,fx=fm=6x+1=3m+1;2m^2+m-5n^2-nfn=-10n-1,-x)=f(m,-x)=3&#47,
所以 c=-5x^2+x当前位置：
＞＞＞阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函..
阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数的最大值．他画图研究后发现，和时的函数值相等，于是他认为需要对进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数的对称轴为直线，∴由对称性可知，和时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则时，的最大值为2；若m≥5，则时，的最大值为．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当≤x≤4时，二次函数的最大值为_______；（2）若p≤x≤2，求二次函数的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数的最大值为31，则的值为_______．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）y="49" （2）y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.试题分析：(1) ∵y=2x2+4x+1∴y=2(x+1)2-1. ∴对称轴x="-1,又-2≤x≤4时，y的最大值，当x=4时，y有最大值为49.（2）∵P≤x≤2" 由于二次函数具有对称性，当x=2与x=-4时，函数值相等，而x=-1时，y有最小值，是因为a﹥0,图像开口向上。∴当p≤-4，x=p时，y有最大值，y=2p2+4P+1.当-4﹤p≤2，x="2时，y有最大值" y="17.(3)当t≥-1，x=t+2时，y有最大值，即2（t+2" ）2+4(t+2)+1=31& (t+7)(t-1)="0" ∴t1="1" t2="-7(舍去)" 当t﹤-1，x=t时，y有最大值，即2t2+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t1="-5" t2=3(舍去)。∴t=1或t=-5解：（1）当时，二次函数的最大值为 49 ；& ……&&& 1分（2）∵二次函数的对称轴为直线，∴由对称性可知，当和时函数值相等.∴若，则当时，的最大值为.& .................... 2分若，则当时，的最大值为17.& ............................. 3分（3）的值为 或 .& .................................................. 5分阅卷说明：只写或只写得1分；有错解得0分.点评：本题是难题，难点在于当自变量x的取值范围内要考虑到对称轴的关系，需要讨论。此题还可以依据函数的单调性来讨论，即是在对称轴为准，自变量x在那个范围上是y随着x的增大而增大，即为增函数，反之，减函数。由此得到函数的最值。
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据魔方格专家权威分析，试题“阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函..”主要考查你对&&二次函数的定义，二次函数的图像，二次函数的最大值和最小值，求二次函数的解析式及二次函数的应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
二次函数的定义二次函数的图像二次函数的最大值和最小值求二次函数的解析式及二次函数的应用
定义：一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。 ①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0） （3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。 二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0，c=0时，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。 二次函数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。开口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a&0时，二次函数图像向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素:常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）注意：顶点坐标为（h,k)， 与y轴交于（0,C)。与x轴交点个数：a&0;k&0或a&0;k&0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a&0;k&0或a&0,k&0时，二次函数图像与X轴无交点。当a&0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x&h范围内是减函数，在x&h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y&k当a&0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x&h范围内是增函数，在x&h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y&k当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。二次函数的最值：1.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a&0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a&0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。 也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2 时，，当x=x1 时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时&。 求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况： （1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； （2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。 二次函数的应用：（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h&0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h&0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h&0,k&0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a&0时，开口方向向上；a&0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac&0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。
2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a&0，那么当 时，y有最小值且y最小=；如果a&0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式. （3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。
发现相似题
与“阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函..”考查相似的试题有：
509522683589433667507148690993735812查看: 2786|回复: 12
求解释：函数无界的一道题(已解决，谢谢大家）
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本帖最后由 hehaijun 于
14:11 编辑
如图：不知道怎么判断，求解释，谢谢啦
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选第一个吧，做个证充分很简单，做个变量代换，令xn=t,由条件，E&&t趋向正无穷大，有f（x）的极限是无穷大，当然函数无解，同理，由基本知识就知道，函数无界，是不能推出，函数是无穷大。
你的筹码都压我，我怎么忍心让你输！
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这个是充要条件
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充分条件简单不解释，必要条件关键如果无界那么存在xn，只要可以找到就可以，这就牵扯到无界和无穷的区别了，而无界中其实是可以有意识的挑选一组数列按一定顺序排列使之为无穷大比如xSinx虽然x趋近无穷是无界的可是如果你选择π/2，5π/2,9π/2……排成数列是无穷大
而只要无界又都连续会有这样的性质，所以充要
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是充要条件。
无界，有界的背景是区间。无界是有界的否定
f 在某区间有界的定义是|f|≤M
，M是确定的正数，
于是，f 在右半直线上连续但无界的充要条件是，对自然数列n，总能选出一点xn，使 |f（xn）| 大于n，
当然可选得xn单增。又已知连续性，xn必趋于正无穷
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先谢谢你；你举的例子很好理解，但是为什么只要无界又都连续会有这样的性质呢？这个还是不明白，如果可以希望能解释下，谢谢了
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哇塞，是老师耶，好激动......嘿嘿！！老师您讲的当然可选得xn单增。又已知连续性，xn必趋于正无穷。为什么一定可选得xn单增呢？连续为什么xn必趋于正无穷？
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像战地老师说的根据无界定义总能存在xn,|f(xn)|&n
这样就找到了x1,x2……然后你可以将这些数认为排列组合成一个新的递增的数列yn，因为函数连续既然它无界只能是无穷远处存在比你给出的更大的n所以只有yn无穷大时f(yn)才会大于n否则不满足连续
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中级战友, 积分 871, 距离下一级还需 2129 积分
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哦，原来这个Xn是可以随便排的，开始没想明白这一点。现在明白了，谢谢啦！
Powered by Discuz!用配方法解答一元二次方程;二次函数方程为与轴交点的横坐标就是方程的解,所以,只要求出方程的根,就可以求出二次函数方程为与轴交点;由解得,,再根据题意画出图象.
由原方程,得:,即;解得,.设二次函数方程为(,,均为实数,且).由图象得知,该函数过点,所以该点满足方程,把代入方程,得,二次函数方程为与轴交点的横坐标就是方程的解;,即;;由,得:;二次函数方程为.
本题考查的是二次函数与一元二次方程,在解答过程中,注意二次函数与一元二次方程之间的联系,并从中择取有用信息解题.
3826@@3@@@@图象法求一元二次方程的近似根@@@@@@255@@Math@@Junior@@$255@@2@@@@二次函数@@@@@@51@@Math@@Junior@@$51@@1@@@@函数@@@@@@7@@Math@@Junior@@$7@@0@@@@初中数学@@@@@@-1@@Math@@Junior@@
第三大题，第4小题
第三大题，第5小题
第三大题，第5小题
第三大题，第5小题
求解答 学习搜索引擎 | 小明在复习数学知识时,针对"求一元二次方程的解"整理了以下几种方法,请你将有关内容补充完整:例题:求一元二次方程{{x}^{2}}-x-1=0的两个解.(1)解法一:选择合适的一种方法(公式法,配方法,分解因式法).(2)解法二:利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解.如图,把方程{{x}^{2}}-x-1=0的解看成是二次函数y=___的图象与x轴交点的横坐标即{{x}_{1}},{{x}_{2}}就是方程的解.(3)解法三:利用两个函数图象的交点求解\textcircled{1}把方程{{x}^{2}}-x-1=0的解看成是二次函数y=___的图象与一个一次函数y=___的图象交点的横坐标\textcircled{2}画出这两个函数的图象,用{{x}_{1}},{{x}_{2}}在x轴上标出方程的解.