《导数的概念》教案
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本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．
教学内容分析
1．导数的地位、作用
导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.
2．本课内容剖析
教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．
基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．
1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；
2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；
3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；
4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；
5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．
通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．
使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．
1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；
2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；
3．制作《数学实验记录单》及上课课件．
教学流程框图
教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．
教学的主要过程设计如下：
教学过程设计
预计时间（分）
1．复习准备
设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．
（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．
（2）提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？
（3）高台跳水的例子中，在时间段里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.
（4）提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？
（5）提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2S的瞬时速度，应该怎么解决？
（6）我们一起来看物理中测即时速度（瞬时速度）的视频：
&&& （7）提问：这里所测得的真的是瞬时速度吗？
（8）提问：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？
（9）在学生回答的基础上讲述：
真正的瞬时速度根本无法通过仪器测定，我们将平均速度作为瞬时速度的近似值；
为了使平均速度更好的表示瞬时速度，应该让时间间隔尽量小．
回答问题后理解：
（3）学生在教师的讲述中思考用什么量来反映运动员的运动状态．
（4）让学生体会并明确瞬时速度的作用．
（5）学生思考．
（6）学生观看视频并思考．
（7）期望或引导答出“是平均速度”．
（8）学生回答，得出“时间间隔越小越好！”
（9）学生体会教师所
（1）复习过程应使学生明确函数的平均变化率表示．
（2）应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫．
2．体会模型
设计意图：让学生在信息技术平台上，通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程．
（1）向学生提出数学实验任务：
已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数h(t)=－4.9t2+6.5t+10，请你用计算器完成下列表格中t0=2秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．
数学实验记录单（1）
x＞0时，在[2，2+x]内，
x＜0时，在[2+x，2]内，
－0.000001
你认为运动员在t0=2秒处的瞬时速度为　　　 m/s．
（2）提问：x、g(x)的含义各是什么？
& 　（3）提问：观察你自己的实验记录单，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？
先展示一个同学的实验结果，并让他说说他的发现，再将计算器的结果投影，引导同学们一起观察．
（4）将学生分四个组，让他们分别完成 t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的实验记录单（2）的填写，说出他们观察的结果，并将4个结果写列在黑板上．
在学生实验与观察的基础上指出：
当趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．
（1）学生在TI－nspire CAS上完成以下操作：
（2）学生操作得出如下结果，完成数学实验记录单（1）的填写：
（3）让学生讲他所发现的规律．
（4）学生分4个组再次实验，分别完成本组的数学实验记录单（2）的填写，并观察平均速度的变化趋势，回答教师的提问．
（1）应使学生在技术平台上通过多次实验感受到平均速度在→0时趋近于一个常数，并理解这个常数的意义．
（2）应使学生从感性上获得求瞬时速度的方法．&
3．提炼模型
设计意图：使学生认识到平均速度当时间间隔趋向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型．
（1）提问：你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？
2）让学生动笔化简t0=2对应的平
均速度的表达式．（化简结果为）
&&& （3）引导学生从化简的表达式中发现当△t?0时，?－13.1．
（4）让学生动手化简t0=1.6对应的平均速度的表达式．（化简结果为）
&&& 启发学生归纳出结论：△t?0时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量△t无关，只与时刻t0有关．
（5）提问：我们得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9时的瞬时速度，但这还不足以代表所有时刻的瞬时速度，能不能用同样的办法，得到t0时的瞬时速度？
启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一起总结出：
（6）教师讲解：用表示所趋近的常数，即．今后把这个常数叫做在处，当趋近于0时，平均速度的极限．比如，－13.1是在处，当△t趋近于0时的极限．
（1）学生思考，也可以讨论．
（2）学生化简t0=2处对应的平均速度的表达式，观察当△t?0时平均速度表达式的变化趋势．
（3）学生化简t0=1.6处对应的平均速度的表达式，观察当△t?0时平均速度表达式的变化趋势．
（3）学生化简任意时刻t0处对应的平均速度的表达式，观察当△t?0时平均速度表达式的变化趋势．
（4）学生根据教师的讲解理解平均速度的极限的意义．
应使学生通过动手计算，得到平均速度在→0时趋近于一个常数，并且这个常数就是瞬时速度．使学生理解极限符号表示的意义．&
4．形成概念
设计意图：完成从运动物体的瞬时速度到函数瞬时变化率的过渡，形成导数的概念并给出定义．
（1）给出下列图示：
（2）针对上述图示，教师在启发后提问：
通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数h(t)的平均变化率．瞬时速度就是函数h(t)的瞬时变化率．同时，我们已经知道：平均速度在△t→0时的极限就是瞬时速度．那么，你能否说说，一般情况下，函数的平均变化率与瞬时变化率是一个什么关系？
（3）在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的关系后提问：函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
教师介绍如下的的表示方法：
函数f(x)在x= x0处的瞬时变化率可表示为
（4）教师给出导数的定义：
函数在处的瞬时变化率
称为在处的导数，记作或，即
（1）在教师的启发下思考函数的平均变化率与瞬时变化率之间的关系．
（2）回答教师的提问．
（3）理解函数导数的概念与导数的表示方法．
应使学生从“平均速度的极限是瞬时速度”这个具体的模型中抽象出导数的概念，并能理解导数是一个极限，明确导数的表示．
5．应用概念
设计意图：让学生进一步理解导数概念，体会导数的应用价值，熟悉求导数的步骤．
（1）提问：你能说说求函数y=f(x)在x= x0处的导数的步骤吗？
教师在学生说的基础上要总结出步骤．
（2）讲解例1：
将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果第 x(h)时，原油的温度（单位:）为:f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
第2小时的瞬时变化率为－3，说明在第2小时附近，原油大约以的速度下降．
（3）提出练习：计算3h时原油温度的瞬时变化率，表述你所得结果的意义．
（1）学生思考并交流求函数在 x0处的导数的步骤．
（2）在教师讲解完后完成教师提出的练习．
（3）求出后，回答的意义．
（1）检查学生是否清楚求导数的步骤．
（2）检查学生能否准确地求出函数在某点的导数．
（3）应使学生能利用计算结果解释导数（即瞬时变化率）的意义．
6．小结作业
设计意图：让学生通过总结，进一步体会导数的意义及极限的思想，训练学生的概括能力．通过布置作业，巩固所学内容．
&&& （1）让学生小结并交流．
（2）教师总结：
本节课学习了导数的概念，在这个过程中我们看到：数学使不可能的事情变成现实；
导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想．
求导数的步骤大致分为以下三步：
第一步，求函数增量；
第二步，求平均变化率并化简；
第三步，求平均变化率的极限，即导数．
A层：P10/2，3，4．&&&&&&&&&
B层：A层+补充．
（补充）已知y=x3．求：
（1）；（2）．
思考本节课所学内容，可以彼此之间交流自己的小结，回答教师提问.
（1）使学生不仅能从知识的角度看所学过的内容，还能体会到寓于知识中的数学思想与方法．
（2）分层次提供作业，是为了满足不同层次学生的需求．
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用导数定义求函数F(X)=1/X的导数
用导数定义求函数F(X)=1/X的导数
f(x)=1/xf(x+△x)=1/(x+△x)f(x+△x)-f(x)=1/(x+△x)-1/x=[x-(x+△x)]/[x*(x+△x)]=-△x/[x*(x+△x)]f'(x)=lim△x->0[f(x+△x)-f(x)]/△x=lim△x->0 -△x/[x*(x+△x)] △x=lim△x->0 -1/[x*(x+△x)]=-1/x*x=-1/x^2求“利用导数的定义求下列极限”问题！_百度知道
求“利用导数的定义求下列极限”问题！
一。△x趋于零时，lim{[f(x0+△x)-f(x0-2△x)]/2△x}二。h趋于零时，lim{[f(x0+h)-f(x0-h)]/h} 我实在没有分了，请好心人帮忙解答！o(&﹏&)o
提问者采纳
不是已经回了吗？一。在x0的导数存在下：lim{[f(x0+△x)-f(x0-2△x)]/2△x}=lim{[f(x0+△x)-f(x0)+f(x0)-f(x0-2△x)]/2△x}=lim[f(x0+△x)-f(x0)]/2△x+lim[f(x0-2△x)-f(x0)]/(-2△x)=(1/2)f'(x0)+f'(x0)=(3/2)f'(x0)二题类似：在x0的导数存在下：lim{[f(x0+h)-f(x0-h)]/h}=lim{[f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)]/h}=2f'(x0)
提问者评价
谢谢你帮我大忙了
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原式=lim{[f(x0+△x)-f(x0)]/2△x+[f(x0-2△x)-f(x0)]/(-2△x)}=f'(x0)+2f'(x0)=3f'(x0)第二个类似等于2f'(x0)
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＞＞＞已知曲线y=1x2上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率..
已知曲线y=1x2上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率．
题型：解答题难度：中档来源：不详
lim△x→0△y△x=lim△x→01(1+△x)2-1△x=lim△x→01-(1+△x)2△x(1+△x)2=lim△x→0-△x2-2△x△x(1+△x)2=lim△x→0-△x-2(1+△x)2=-2
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据魔方格专家权威分析，试题“已知曲线y=1x2上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率..”主要考查你对&&导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
导数的概念及其几何意义
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
与“已知曲线y=1x2上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率..”考查相似的试题有：
823122797797763976789855833677832928您所在位置： &
&nbsp&&nbsp&nbsp&&nbsp
探讨利用导数的定义及相关性质进行解题文献综述.doc8页
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探讨利用导数的定义及相关性质进行解题
一、前言部分(说明写作的目的,介绍有关概念,综述范围,简要说明有关主题的或争论焦点)本论文的主要目的是通过阅读书籍和文献搜集及整理利用导数的定义和性质解题的各种计算技巧,要求在充分理解的基础上进行归类总结.首先我们来介绍一些概念:
定义1:设函数在点的某邻域内有定义,若极限
(1)存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作.
令,,则式可改写为
所以,导数是函数增量与自变量增量之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差商),而导数则为在处关于的变化率.
若(1)(或(2))式极限不存在,则称在点处不可导.
定义2: 设函数在点的某右邻域上有定义,若右极限 ()存在,则称该极限值为在点的右导数,记作.
类似地,我们可定义左导数.
左导数和右导数统称为单侧导数.
定义3: 若函数在区间上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称为上的可导函数.此时对每一个,都有的一个导数(或单侧导数)与之对应.这样就定义了一个在上的函数,称为在上的导函数,也简称为导数.记作,或,即,.
定义4: 若函数在点的某邻域内对一切有
则称函数在点取得极大(小)值,称点为极大(小)值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.
通过以上导数的定义,我们将讨论导数的性质,并利用各种性质解题和解决实际问题.
二、主题部分(阐明有关主题的历史背景,现状和发展方向,以及对这些问题的评述)
导数的思想最初是由法国数学家费马Fermat为研究极值问题而引入的,但与导数概念直接相联系的是以下两个问题:已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.这是由英国数学家牛
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