极坐标和参数方程_图文_百度文库
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极坐标和参数方程
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极坐标与参数方程专题复习
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程　　在极坐标系下，已知圆O：和直线，（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标．1．解：（1）圆O：，即　　圆O的直角坐标方程为：，即
............　　直线，即　　则直线的直角坐标方程为：，即
............（2）由得　　故直线与圆O公共点的一个极坐标为
.........2．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）。（1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设直线与轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。2．解：（1）曲线的极坐标方程可化为： ，又所以，曲线的直角坐标方程为：5分（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：7分令得即M点的坐标为（2，0）又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1）半径，10分3．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为轴，求曲线的直角坐标方程；（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值。　　　　3．（1）；.........4（2）设，则=......6当时，的最大值为
............10　　4（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角．　　（I）写出直线l的参数方程；　　（II）设l与圆相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．4．解：（I）直线的参数方程是．........................... 3分（II）因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,则点A,B的坐标分别为． ................................. 5分圆化为直角坐标系的方程．................................. 7分以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．所以|PA|·|PB|= |t1t2|＝|－2|＝2． ................................. 12分5．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程　　已知直线经过点，倾斜角。（1） 写出直线的参数方程；（2） 设与圆（是参数）相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。56．(本题满分lO分)4-4(坐标系与参数方程)在直角坐标系中，以O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极方程为．圆O的参数方程为，（为参数，）(I)求圆心的极坐标；(Ⅱ)当为何值时，圆O上的点到直线Z的最大距离为3．6. （1）圆心坐标为
------ 1分设圆心的极坐标为则
-----2分所以圆心的极坐标为
------ 4分（2）直线的极坐标方程为直线的普通方程为
---- 6分　　　　圆上的点到直线的距离即
-----7分圆上的点到直线的最大距离为
----- 9分---- 10分7．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知直线的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：．（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线被曲线C截得的弦长．7．（1）由曲线得化成普通方程①
5分（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程（为参数）
②把②代入①得：整理，得设其两根为，则
8分从而弦长为
10分方法二：把直线的参数方程化为普通方程为，代入得 6分设与C交于则
8分10分1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数=
.　【解析】将化为普通方程为,斜率,　当时,直线的斜率,由得;　当时,直线与直线不垂直.　综上可知,.　答案3、(天津理13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。答案　　4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线　（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.【解析】直线的普通方程为，曲线的普通方程∴　答案6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程。已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；　　（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线　　
（t为参数）距离的最小值。　　解：（Ⅰ）　　为圆心是（，半径是1的圆.　　为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.　　（Ⅱ）当时，　　为直线　　从而当时，　C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程　已知曲线C的参数方程为（为参数，）.　求曲线C的普通方程。【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。　解 因为所以　故曲线C的普通方程为：.10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；（2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。　解（Ⅰ）由　从而C的直角坐标方程为　（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0）　N点的直角坐标为　　所以P点的直角坐标为　　所以直线OP的极坐标方程为1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方　　程分别为，，　　则曲线与交点的极坐标为
．　　答案5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲已知曲线C1：，曲线C2：.（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出，的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.　　解（1）是圆，是直线．　　的普通方程为，圆心，半径．　　的普通方程为．　　因为圆心到直线的距离为，　　所以与只有一个公共点．（2）压缩后的参数方程分别为　　：（为参数）； ：（t为参数）．化为普通方程为：：，：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．C：选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值.C.解：由椭圆故可设动点P的坐标为（）,其中因此,所以当1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程=cosθ化为直角坐　　标方程为
)　　A.（x+）2 +y2
B.x2 +（y+）2 =　　C.x2 +（y-）2 =
D.（x-）2 + y2
D.4、（2009广州一模） (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+)=2被圆ρ=4截得的弦长为
．答案7、（2009广东三校一模）(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为和　　的两个圆的圆心距为____________；　　答案11、（2009东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点到直线的距离为
．答案13、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）是曲线（是参数）上一点，到点距离的最小值是
．答案16、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程化为直角坐标方程是
．答案22、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为_
.答案25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线在极坐标系中的方程为．若曲线与有两个不同的交点，则实数的取值范围是
．答案28、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点，则_________
_．答案41、（2009厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线经过点,倾斜角，设与曲线（为参数）交于两点，求点到两点的距离之积。　解
直线的参数方程为，即　曲线的直角坐标方程为，把直线代入　得　，则点到两点的距离之积为42、（2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线的参数方程：（为参数），圆C的极坐标方程：，试判断直线与圆C的位置关系．解 将直线的参数方程化为普通方程为：将圆C的极坐标方程化为普通方程为：从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径
，　　所以，圆心C到直线的距离　　所以直线与圆C相交．　　　　　　　　　　　　43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线过点的切线方程.，消去参数得.设切线为，代入得令，得，故即为所求.或，设切点为，则斜率为，解得，即得切线方程.44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中,设圆上的点到直线的距离为,求的最大值.　解
将极坐标方程转化为普通方程：可化为　在上任取一点A,则点A到直线的距离为,它的最大值为445、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为 ，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．解 由题设知,圆心∠CPO=60°,故过P点的切线飞倾斜角为30°设,是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中，∠MOP=由正弦定理得，即为所求切线的极坐标方程。46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值．解 由 即则易得，由易得
圆心到直线的距离为* 又圆的半径为2 , 圆上的点到直线的距离的最小值为.53、（2009通州第四次调研）求经过极点三点的圆的极坐标方程.　解 将点的极坐标化为直角坐标，点的直角坐标分别为，　故是以为斜边的等腰直角三角形，圆心为，半径为，　圆的直角坐标方程为，即，　将代入上述方程，得，　即.54、（2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，求线段的长．解 由得，　又　，　由得,．1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆的参数方程为（为参数），若以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆的极坐标方程为______
__．答案16.（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为?=l与?=2cos（θ+），它们相交于A，B两点，求线段AB的长．解
由得，　　又　　，　　由得,　　．......7分17.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，)．若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径.(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.解（Ⅰ）直线的参数方程为，圆的极坐标方程为　（Ⅱ）因为对应的直角坐标为直线化为普通方程为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.1．（泰兴市蒋华中学基础训练）若直线的参数方程为，则直线的斜率为（
D．【解析】答案
D2．（泰兴市蒋华中学基础训练）下列在曲线上的点是（
D．【解析】 转化为普通方程：，当时，答案 B3．（泰兴市蒋华中学基础训练）将参数方程化为普通方程为（
D．【解析】转化为普通方程：，但是答案
C4．（泰兴市蒋华中学基础训练）化极坐标方程为直角坐标方程为（
D．【解析】答案 C5．（泰兴市蒋华中学基础训练）点的直角坐标是，则点的极坐标为（
D．【解析】都是极坐标答案 C6．（泰兴市蒋华中学基础训练）极坐标方程表示的曲线为（
）A．一条射线和一个圆
B．两条直线
C．一条直线和一个圆
D．一个圆【解析】则或答案 C11．（泰兴市蒋华中学基础训练）直线的斜率为______________________。【解析】答案12．（泰兴市蒋华中学基础训练）参数方程的普通方程为__________________。【解析】答案13．（泰兴市蒋华中学基础训练）已知直线与直线相交于点，又点，　　则_______________。【解析】 将代入得，则，而，得答案14．（泰兴市蒋华中学基础训练）直线被圆截得的弦长为______________。【解析】直线为，圆心到直线的距离，弦长的一半为，得弦长为答案15．（泰兴市蒋华中学基础训练）直线的极坐标方程为____________________。【解析】
，取答案　　22．（泰兴市蒋华中学基础训练）已知点是圆上的动点，（1）求的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围。解（1）设圆的参数方程为，　　（2）23．（泰兴市蒋华中学基础训练）求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。解 将代入得，　　　　得，而，得24．（泰兴市蒋华中学基础训练）在椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。解 设椭圆的参数方程为，当时，，此时所求点为。25.(2007宁夏区银川一中)选考题（本题满分10分，只能从A、B、C三道题中选做一道）A．（1）已知点C 的极坐标为（2，），画图并求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，Q（6，0），M是PQ中点①画图并写出⊙O的参数方程；②当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。解A．（1）如图，设M（，θ）则∠MQC=θ－或－θ由余弦定理得4+2－4cos（θ－）=4∴ QC的极坐标方程为=4cos（θ－）（2）如图①⊙O的参数方程②设M（x，y），P（2cosθ，2sinθ），因Q（6，0）∴M的参数方程为即点拨:利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义,在解决诸如直线上两点间的距离,直..
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直线的参数方程及应用
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