已知函数f(x)=x+a/x+lnx(a属于R)求函数的单调区间与极值点
已知函数f(x)=x+a/x+lnx(a属于R)求函数的单调区间与极值点
合肥三模的理科数学第十九题
答：定义域为x∈(0，+∞)，f'(x)=1-a/x?+1/x=(x?+x-a)/x?f'(x)=0时x?+x-a=0(x+1/2)?=a+1/4因为x∈(0，+∞)，g(x)=(x+1/2)?在x∈(0，+∞)上递增，所以g(x)值域为(1/4,+∞)。所以(x+1/2)?=a+1/4&1/4，即a&0。①当a≤0时f'(x)=0无解，此时f'(x)恒&0，f(x)在定义域上为增函数，即单调增区间为(0,+∞)，无减区间，无极值点。②当a&0时，f(x)=0当且仅当x=(√(4a+1)-1)/2（另外一根为负值不在定义域内舍去）。x(0,(√(4a+1)-1)/2),(√(4a+1)-1)/2,((√(4a+1)-1)/2,+∞)f'(x)&0,=0,&0f(x)递减,极小值,递增f((√(4a+1)-1)/2)=√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)所以f(x)的单调增区间为((√(4a+1)-1)/2,+∞)，减区间为(0,(√(4a+1)-1)/2)，极小值点为((√(4a+1)-1)/2),√(4a+1)+ln((√(4a+1)-1)/2)，无极大值点。
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理工学科领域专家知识点梳理
【函数极值的判定】设函数f\left({x}\right)在{{x}_{0}}处连续，判别f\left({{{x}_{0}}}\right)是极大（小）值的方法是：（1）如果在{{x}_{0}}两侧f'\left({x}\right)符号相同，则{{x}_{0}}不是f\left({x}\right)的极值点．（2）如果在{{x}_{0}}附近的左侧f'\left({x}\right)>0，右侧f'\left({x}\right)<0，那么，f\left({{{x}_{0}}}\right)是极大值．（3）如果在{{x}_{0}}附近的左侧f'\left({x}\right)<0，右侧f'\left({x}\right)>0，那么，f'\left({{{x}_{0}}}\right)是极小值．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“设函数f（x）=\frac{e^{x}}{x^{2}}-k（...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=\frac{lnx+k}{e^{x}}(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)&在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x)，其中f′(x)是f(x)的导函数．证明：对任意x＞0，g(x)＜1+e-2．
已知函数f(x)=\frac{lnx+k}{e^{x}}(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)=xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．证明：对任意x＞0，g(x)＜1+e-2．
已知函数f(x)=\frac{lnx+k}{e^{x}}(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求f(x)的单调区间；(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．证明：对任意x＞0，g(x)＜1+e-2．已知函数f(x)=x+a/x+lnx求单调区间和极值点
已知函数f(x)=x+a/x+lnx求单调区间和极值点
1.求函数f(x)的单调区间与极值点2.若对任意a∈[1/e,2e^2],函数f(x)满足对任意x∈[1,e]都有f(x)&m成立,求实数m的取值范围
f&(x)=1-(a/x2)+1/x=(x2+x-a)/x2即a&-1/4，则函数在负无穷到[-1-减去根号下（
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理工学科领域专家函数y=x2-18lnx的单调递减区间为（0，3）．【考点】．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数的导数，解不等式求出即可．【解答】解：∵y′=2x-，令y′＜0，解得：0＜x＜3，故答案为：（0，3）．【点评】本题考查了函数的单调性，考查对数函数的性质，是一道基础题．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：老师　难度：0.67真题：1组卷：0
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已知x=1是f(x)=2x+bx+lnx的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）-3x，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：信阳模拟
（Ⅰ）∵x=1是f(x)=2x+bx+lnx的一个极值点，f′（x）=2-bx2+1x，∴f′（1）=0，即2-b+1=0，∴b=3，经检验，适合题意，∴b=3．（II）由f′（x）=2-3x2+1x＜0，得2x2+x-3x2＜0，∴-32＜x＜1，又∵x＞0（定义域），∴函数的单调减区间为（0，1]．（III）g（x）=f（x）-3x=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0，y0），∴y0-5x0-2=g′(x0)，即2x0+lnx0-5=（2+1x0）（x0-2），∴lnx0+2x0-5=（2+1x0）（x0-2），∴lnx0+2x0-2=0，令h（x）=lnx+2x-2，h′(x)=1x-2x2=0，∴x=2．∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∵h（12）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=2e2＞0，∴h（x）与x轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知x=1是f(x)=2x+bx+lnx的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的极值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的极值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&极值的定义：
（1）极大值： 一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值=f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0），x0是极小值点。
极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点， 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。
求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）； （2）求方程f′（x）=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值。
对函数极值概念的理解：
极值是一个新的概念，它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：①按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图②极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图．&&③若fx）在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．④若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，&&&
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