内部锥类凸集值优化的 全局真有效性 ①23
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内部锥类凸集值优化的 全局真有效性 ①23
ol.35No.1；第3自然科学版)5卷第1期西南大学学报(2013；)JournalofSouthwestUnive；Jan.2013；()文章编号:01007；内部锥类凸集值优化的ε全局真有效性；宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春33600；余丽；摘要:在实赋范线性空间中引进了集值映射向量优化问；文献标志码:A；向量优化问题中
ol.35 No.1第3自然科学版)5卷第1期
西南大学学报(
2013年1月)JournalofSouthwestUniversitNaturalScienceEditiony(Jan. 2013()文章编号:内部锥类凸集值优化的ε全局真有效性宜春学院数学与计算机科学学院,江西宜春336000①余 丽摘要:在实赋范线性空间中引进了集值映射向量优化问题的ε全局真有效解的概念.在集值映射为内部锥类凸的假设下,利用凸集分离定理,分别得到了ε全局真有效解的标量化定理和ε-Larane乘子定理.gg关 键 词:ε全局真有效性;内部锥类凸;标量化定理;ε-Larane乘子定理gg中图分类号:O224文献标志码:A向量优化问题中充分条件的给出往往少不了凸性的假设.为此,不少学者相继提出了很多种广义凸性,例如类凸性、次类凸性、广义次类凸和近似次类凸等.在这些凸性中,近似次类凸是一种最广的概念,它已被成功地运用于推导各种有效性的充分必要条件,但是用近似次类凸证明最优性结果时,锥必须具备]非空内部的条件,然而这个要求在很多最优化问题中都不能被满足,例如空间Lp的正锥.为此,文献[1引进了一种新的广义凸性―内部锥类凸.它是近似次类凸的推广,它具有很好的性质,即在证明最优性结]讨论了在内部锥类凸假设下有效解的最优性条件.另一方果时,锥不必具备非空内部的条件,文献[1-4]面,对向量优化理论近似解的研究引起了人们的广泛关注:文献[分别定义了真有效解和5-6ε超有效有效解的最优化条件.为此,本文引进了ε全局真有效解的概念,在内部锥类凸的假设下,利用凸集分离定理,建立了关于ε全局真有效解的标量化定理和ε-Larane乘子定理.gg]研究了向量集值优化问题全局真解的概念,并且建立了ε真有效解和ε超有效解的最优化条件;文献[71 基本概念设M为Y的任一子集,我们以clM,intM和coneM分别表示M的闭包、内部和生成锥.M称为锥,如果以下总是假设X为实线性空间,Y和Z为实赋范线性空间,Y*和Z*分别为Y和Z的拓扑对偶空间.αm∈M,?m∈M,α≥0.锥M称为是凸的,如果M+M?M.M称为是点的,如果M∩(-M)={0}.设C和D分别是Y和Z中的闭凸点锥,凸子集B?C为锥C的基,如果0?clB且C=coneB=λ≥0i*)&0,?{}}{}?i(义为C+cc∈C\0.设Ω={H?Y:H是点凸锥且C\0ntH)≠?}.={f∈Y:f(,定义1 设M为Y的非空子集,ε∈C.E(M,C)y∈M称为M的ε全局真有效点,记作y∈ε-G*)B={λx:x∈B,λ≥0}.凸锥C的对偶锥定义为C+={cc∈C}.C的拟内部定∪λ≥0,?f∈Y:f(如果存在H∈Ω,使[]定义21 称F:X({}clconeM+ε-y)∩-H\0=?Y(ntconeF(X)+C)是凸的,并且→2在X上是内部锥C类凸的,如果i①收稿日期:)基金项目:江西省自然科学基金资助项目(0611081.,女,江西宜春人,讲师,主要从事集值优化及应用研究.作者简介:余 丽(1980)2://西南大学学报(自然科学版)
第35卷pj:记L(为由Z到Y的连续线性算子空间,Z,Y)L+(Z,Y)T∈L(Z,Y)T(D).设F:X={?C}x∈X((,其中F(coneF(X)lintconeF(X)X)x).+C)?c+C)=∪F(Y,2G:XZY×Z:(定义为(F,G)X→2F,G)x)x)x).F+TG:X→2.(=F(×G(()TG)x)x)G(x).=F(+T(考虑下面集值最优化问题(VP)YF+→2定义为(→s.t.x∈A={x∈X:G(x)∩(-D)≠?},的全局真有效解,若F(称为(
定义3 xVP)xE(F(A)C)xVP)∩ε-G≠?.(0∈A称为(0)0,0)y,的ε全局真有效元,如果xxE(F(A)C).∩ε-G0∈A且y0∈F(0)]中性质2由文献[9.1及定义1可得如下引理1.引理1 设M为Y的非空子集,ε∈C,则ε-GE(M,C)ε-GE(M+C,C).=minF(x)D类凸的.+{},(引理2 设(在X上是内部锥C×D类凸的,则?在X上是内部锥RF,G)0°F,G)+×ψ∈C\ψ+{},(((证 由定义2,首先证明?是凸的.设对于任意的(0intcone°F,G)X)a+R1,+×D)ψ∈C\ψ,((((,存在Y中绝对凸的零点邻域U和Z中绝对凸的零点邻babntcone°F,G)X)∈i+R1)2,2)+×D)ψ域V,使得((((abU,V)?cone°F,G)X)
i=1,2+(+Ri,i)+×D)ψ(()abuvλ°z°cd
i=1,2+(=+(i,i)i,i)i(i,i)i,i)yψψ使得{},存在x,,,(,因为ψ∈C+\0xzxcdλuvU,V)∈(i∈X,i∈F(i)i∈G(i)i∈C,i∈D,i≥0i,i)y于是有(((((((((是凸的可知cD)lintconeF×G)X).由intconeF×G)X)lintconeF×G)X)?c+C×D)+C×D)+是凸的.C×D)由((((((λczoneF×G)X)lintconeF×G)X)
i=1,2∈c+C×D)?c+C×D)i(i+i,i+di)y],有可知?α∈[0,1()aλ°°c
i=1,21i+ui=i(i+ψi)i+i=i(i+di)yψ((((((由(在X上是内部锥C×D类凸的可知i是凸的,且cF,G)ntconeF×G)X)oneF×G)X)+C×D)+C×αλcz1-α)λcz+(∈1(1+1,1+d1)2(2+2,2+d2)yy(((clintconeF×G)X)+C×D)?(((clconeF×G)X)+C×D),,于是存在xxn)zxn)cdλn∈X,n∈F(n∈G(n∈C,n∈D,n≥0使得yαλcz1-α)λczlimλcz+(=1(1+1,1+d1)2(2+2,2+d2)n(n+n,n+dn)yyy),()式得由(12n→∞n→∞()2,),)limλ°(cz°(limλclimλz=(=n(n+n)n+dn)n(n+n)n(n+dn)yyψψn→∞n→∞(),()°(αλc1-α)λcαλz1-α)λz+(+(=1(1+1)2(2+2)1(1+d1)2(2+d2)yyψ(,)αλ°°c1-α)λ°°cαλz1-α)λz+(+(=1(1)2(2)1(1+d1)2(2+d2)y1+ψy2+ψψψ((,()∈α(a1-α)aα(bv1-α)bv+(+(1+u1)2+u2)1+1)2+2)()3由有(α(ab1-α)abU,V)+(+(1,1)2,2),(((λ°(czone°F,G)X)∈c+Rn(n+n)n+dn)y+×D)ψψ第1期
余 丽:内部锥类凸集值优化的ε全局真有效性)和()式,得由(34,(((limλ°(czlcone°F,G)X)∈c+Rn(n+n)n+dn)y+×D)ψψn→∞3()4((((α(ab1-α)abU,V)?clcone°F,G)X)+(+(+R1,1)2,2)+×D)ψ(,(因此,存在x∈X,(z)∈(F,G)x)c,d)∈C×D,λ≥0使得y,()∈c(((,于是有因为λ(°z)°c,d)one°F,G)X)+(+Ry,+×D)ψψψ((((α(ab1-α)abU,V)?cone°F,G)X)+(+(+R1,1)2,2)+×D)ψ(是凸的.G)X)+R+×D)((((((接下来证明cone°F,G)X)lintcone°F,G)X).+R?c+R+×D)+×D)ψψ()∈α((λ(°z)°c,d)ab1-α)abU,V)U,V)?+(+(+(+(1,1)2,2)y,ψψ(α(ab1-α)abU,V)+(+(1,1)2,2)+((((,故?{},((因此α(ab1-α)abntcone°F,G)X)0intcone°F,+(∈i+R1,1)2,2)+×D)ψψ∈C\ψ,(((,存在λ≥0,设?(sk)∈cone°F,G)X)x∈X,x)∈G∈C,d∈+Ry∈F(+×D)ψD使得由(,sk)λ(,z+)=+ψψ()5可知存在nxn)dλn∈X,n∈Fn∈Gn∈C,n∈D,n≥0使得y)和()式得由(56(((+d)∈coneF×G)X)+C×D)?+c((((((clintcoF×G)X)lconeF×G)X)+C×D)?c+C×D)+d)lic=n(n+nn+n)+cyn∞→()6()7()8,(((由λ可得°zon°F,G)X)∈c+Rn(n+n)n+n)+×D)ψψ)和()式得由(78n→∞,))),limλ°cz°+d)sk)=(=(n(n+n)n+n)+cψψn→∞,(((limλ°(zlcone°F,G)X)∈c+Rn(n+n)n+dn)y+×D)ψψ(,(((sk)∈clcone°F,G)X)+R+×D)ψ～～～)～G(～,～C,～～0使得,于是存在xxzcdλ∈X,∈x)∈∈D,≥y∈F(～(～°～,～d～,λ°czsk)U,V)+)∈(+(y+ψψ～(～～,～d～(((,于是有因为λ°°czone°F,G)X)+)∈c+Ry+ψ+×D)ψψ(,(((sk)U,V)?cone°F,G)X)+(+R+×D)ψ因而+{},(于是?0°F,G)在X上是内部锥-R+×D类凸的.ψ∈C\ψ(,((((((sk)∈intcone°F,G)X)lintcone°F,G)X)+R?c+R+×D)+×D)ψψ2 标量化定理考虑下列向量优化问题(SP)φ{}其中φ∈Y*\0.)minφ(F(x)s.t.x∈A**,如果φ(,?,则称x*是问题(定义4 设x*∈A,x*)ε)A)SP)≤φ(+φ(y∈F(y)y)y∈F(φ*的ε最优解.(的ε最优元.x*,SP)y)是(φ*i**+,定理1 设x*∈A,是(的是(x*)x*,SP)ε最优元,则(x*,VP)y∈F(y)y)φφ∈C,若(4的ε全局真有效元.://西南大学学报(自然科学版)
第35卷pj*证 由(的ε最优元得x*,SP)y)是(φ*)ε
?A)+φ(y)≤φ(y)y∈F(φ(*下证(x*,VP)的ε全局真有效元.若不然,则?H∈Ω,有y)是(()9,使得于是存在∈F(A)i,设因为φ∈C+*({}≠?clconeF(A)0+ε-y)∩-H\*{}0+ε-y∈-H\()10B0={{y∈C:φ(y)=1}U=y∈Y:|φ(y)|&1}于是2B0+U?{y∈Y:φ(y)≥}因而B0+U是凸集且0?cl(B0+U).设H0=cone由文献[7]可知H0是点凸锥且C\{0(B0+U)φ}y?由(10)和(11)式得()in&tH00
?,所以H0y∈∈-Ω且H0\{0}+ε-y*与(9)式矛盾,故(x*,y*定理2 设x*∈A,y)*是(VPx)*的εφ全局真有效元)&0全局真有效元,则存在,φ∈F(),.F+ε-y*在A上是内部锥C类凸的,如果(x*,*是(V证 由(x*y)是(V∈PC+)使得(yi,x*,y*)是(SP)φ的ε最优元.)P*于是cl的ε全局真有效元及引理cone(F(A)+ε+C-y1知存在)H∈Ω*∩-H\{0}=?,使得由Fclintcone(F(A)+ε+C-y*)∩-H\{0}=?lint+εcone-(y*在A上是内部锥C类凸的可知+F(A)+ε+C-y*).于是clintconient(Fco(Ane)(F+ε(A+C)ε+C*是凸的-y*-y)).是凸的且由凸集分离定理知存在cone(F(A)+ε+C-y*φ使得∈Y*\φ于是(clintcone(F(A)+ε+C-y*))≥φ(-H\{0})φclintcone(F(A)+ε+C-y*且())≥0由C\{0}?H\{0}及(15)式知C\0φφ({})&0(,H即\φ{0}∈)C&+i0.由(φ14)式可知即(x*,y*)是(S的ε最优元.(FAP)()+ε-y*)≥0φε-Lagrange乘子定理
定义5[7] 称(VP)满足假设(C),如果G(x)?+)ψ∩∈(-Din\t({0R},存在x∈X,使+
引理3[ ψ1]设F在X上是内部锥C(类凸的,则下列条件中有且只有一个成立))≠?:1)的2)3)}?,4)5)(1)ε(1(1{c0)(1(13第1期
余 丽:内部锥类凸集值优化的ε全局真有效性()1F(X)∩-intC≠?.()?f∈C+\{},20s.t.inff(y)≥0.()y∈FX5,,则存在T*∈L+(,使得(满足假设(G)在X上是内部锥C×D类凸的,(VP)C)0∈G(x*)Z,Y)x*,*y)是下面无约束优化问题的ε全局真有效元.且*()UVP) minF(x)G(x)+T(*定理3 设(是(的ε全局真有效元,x*,VP)F+ε-y*在A上是内部锥C类凸的,(F+ε-y*,y)x∈X*)?C({})G(x*)∩(\ε+C\0-T(-D)*i,使得
证 由(x*,VP)的ε全局真有效元及定理2知存在φ∈C+y)是(定义H:X上是内部锥C×D类凸的知H在X上是内部锥R+×D的.不难证明→2×RZ*)ε
?A)+φ(y)≤φ(y)y∈F(φ(*,?x∈X.由引理2及(为H(x)F(x)x)F+ε-y*,G)在X=φ(+ε-y)×G(*()∩(()F(x)x)ntR+ε-y)×G(-i=?
?x∈X+×D)φ(+{},使由引理3,存在(r,R0,0=(+×D)\ψ)*)≥0
?x∈XrF(x)G(x)+ε-y)+ψ(φ(～{},由假设(,存在x下证r≠0.若不然,则ψ∈D+\0C)∈X,使得～))&0G(xψ()式,有另一方面,由(16()16()17()18()19)≥0
?x∈XG(x)ψ(*()与()式矛盾,故r&0.取c*∈C{},使r1718\0c*)Z=1.定义T:φ(,且由0∈G())于是T*∈L+(Z,Y)x*)可知0=0?c*∈ψ(G(x*)c*=T*(G(x*).于是有)和()式有由(1619**)x*)?F(x*)G(x*)+T(y∈F(T*(z)z)c*
?z∈Z=ψ(→Y为()20()21**)))))≥rrF(x)G(x)rF(x)εG(x)
?x∈X+ε+T(=+r+ψ(y)φ(φ(φ(φ()式除以r,有将(21**))≥φ(F(x)G(x)
?x∈X+ε+T(y)φ(ε全局真有效元.*{},则因为?有ψ(z∈G(x*)z)z)z)c*∈C.若-T*(z)\0∩(-D)≤0,故-T(=-∈ε+Cψ(i{},由φ∈C+)&0,即r)式知φ(ε+T*(z)∈-C\0ε)T*(z)ε)z)&0.另一方面,在(16+φ(+ψ(φ(*中取x=x*,z=z*,有rε)z)≥0,矛盾,所以+ψ(y=y,φ(*)?C({})G(x*)∩(\ε+C\0-T(-D)**i*)]因此(是m的ε最优元.由φ∈C+以及定理1知(是(的x*,inF(x)G(x)x*,UVP)+T(y)y)φ[x∈X参考文献:[]S[]1ACHPH.NewGeneralizedConvexitotionforSetValuedMasandAlicationtoVectorOtimizationJ.JOyNppppp--[][]2 LITY,XUYH.TheStrictlfficientSubradientandtheOtimalitonditionsofSetValuedOtimizationJ.BulyEgpyCp--[]]:3 余国林,刘万里.生成锥内部凸锥类凸集值优化问题的HeniJ.数学物理学报,)g真有效性[800-809.,():letinoftheAustralianMathematicalSociet-371.y,():timTheorl-179.yApp包含各类专业文献、各类资格考试、应用写作文书、专业论文、高等教育、外语学习资料、内部锥类凸集值优化的 全局真有效性 ①23等内容。　
　[14]余丽.内部锥类凸集值优化的ε -全局真有效性[J].西南大学学报:自然科学版,):79-84. [15]刘豹,彭作祥.有限混合短尾对称分布的极值分布[J]....一个二阶锥规划的光滑化方法二阶锥规划,光滑
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