1.把长90厘米,宽42厘米的长方形铁皮,剪成边长是整数厘米,面积相等的正方形铁皮,且恰好无剩余,请问至少能剪成多少块?2.达达、慧慧和聪聪都定期到图书馆,达达每6天去一次.慧慧没8天去一次,_百度作业帮
1.把长90厘米,宽42厘米的长方形铁皮,剪成边长是整数厘米,面积相等的正方形铁皮,且恰好无剩余,请问至少能剪成多少块?2.达达、慧慧和聪聪都定期到图书馆,达达每6天去一次.慧慧没8天去一次,
1.把长90厘米,宽42厘米的长方形铁皮,剪成边长是整数厘米,面积相等的正方形铁皮,且恰好无剩余,请问至少能剪成多少块?2.达达、慧慧和聪聪都定期到图书馆,达达每6天去一次.慧慧没8天去一次,聪聪每9天去一次,如果他们今天刚好一起去了图书馆,至少再过多少天三人又同时去图书馆?财富悬赏50
1、求90和42的最大公约数；90=2×3×3×5；42=2×3×7；所以最大公约数为2×3=6；所以至少块数=(90÷6)×(42÷6)=15×7=105块；2、求6,8,9的最小公倍数；6=2×3；8=2×4；9=3×3；最小公倍数=2×3×3×4=72；所以至少72天再次相遇如果本题有什么不明白可以追问,如果满意记得采纳如果有其他问题请采纳本题后另发点击向我求助,答题不易,请谅解,谢谢.祝学习进步
第二问：72
（1）∵ 42 = 6 × 7 ， 90 = 15 × 6
∴ 正方形铁皮边长为 6 厘米
∴ （90 × 42）÷ 6 ² = 15 × 7 = 105（块） （2）∵ 6 和 8 最小最小公倍数为 24.
又 ∵ 24 和 9 最小公倍数 为 72.
∴ 72 天后三人同时去图书馆星期日，聪聪与敏敏同时从家出发去图书馆．聪聪每分走65米，敏敏每分走50米．经过8分，两人同时到达图书馆．
（1）请你根据上图标出聪聪家与敏敏家的位置．（2）他们两家相距_____百度作业帮
星期日，聪聪与敏敏同时从家出发去图书馆．聪聪每分走65米，敏敏每分走50米．经过8分，两人同时到达图书馆．
（1）请你根据上图标出聪聪家与敏敏家的位置．（2）他们两家相距____
星期日，聪聪与敏敏同时从家出发去图书馆．聪聪每分走65米，敏敏每分走50米．经过8分，两人同时到达图书馆．
（1）请你根据上图标出聪聪家与敏敏家的位置．（2）他们两家相距______米．
（1）65×8=520（米），50×8=400（米），520米＞400米．即聪聪家距图书馆较远，如图：
（2）520+400=920（米）．答：两家相距920米．小华骑车从家去相距5千米···1、小华骑车从家去相距5千米的图书馆借书,从所给的折线统计图中可以看出：小华去图书馆路上停留了多少分钟?在图书室借书用了多少分钟?从家中去图书馆,平_百度作业帮
小华骑车从家去相距5千米···1、小华骑车从家去相距5千米的图书馆借书,从所给的折线统计图中可以看出：小华去图书馆路上停留了多少分钟?在图书室借书用了多少分钟?从家中去图书馆,平
小华骑车从家去相距5千米···1、小华骑车从家去相距5千米的图书馆借书,从所给的折线统计图中可以看出：小华去图书馆路上停留了多少分钟?在图书室借书用了多少分钟?从家中去图书馆,平均速度是每小时多少千米?从图书馆返回家中,平均速度是每小时多少千米?小华一共骑了多少千米?往返的平均速度是多少?2、从日起,宁波市出租车运价调整为：起步价由现价3公里8元调整为3.5公里10元同时取消现行每车次1元燃油费；超过起步里程,运价由现行每千米1.8元调整为2元.6月1日上午,王老师从镇海乘出租车到天一广场路程为15.5千米,调价后需付多少元?3、小欣和姐姐在同一所学校读书,早上他们同时从家出发沿同一路线去上学.当姐姐行了全程的4/7时,小欣步行了900千米,如果小欣和姐姐的速度比是3:5,那么小欣家到学校的路程是多少米?
1.20到40分钟,停留了40-20=20分钟.
60到100分钟借书,借书用了100-60=40分钟. 从家到图书馆,行驶了20+（60-40）=40分钟=2/3小时 行驶了5千米所以时速为：
5/（2/3）=7.5（千米/时） 图书馆返回家中,用时20分钟（即1/3时）,行驶5千米：时速为：5/（1/3）=15（千米/时） 5+5=10千米 往返路程=10千米 往返时间=60分钟=1小时10/1=10千米/时 最好我们Q上谈,我Q：.我在Q上给你解决另外两个问题,我还没看呢![转载]《折线统计图》教学设计、反思及点评
《折线统计图》
安徽省淮北市黎苑小学　韩东
知识背景和目标定位：
《折线统计图》是义务教育课程标准实验教科书（人教版）四年级下册的内容，它是在学生已经掌握了收集、整理、描述、分析数据的基本方法，会用统计表(单式和复式)和条形统计图(单式和复式)来表示统计结果，并能根据统计图表解决简单的实际问题；了解了统计在现实生活中的意义和作用，建立了统计的观念的基础上，又一次认识一种新的统计图。
基于以上认识，把《折线统计图》的教学目标定位于以下几点：
1、认识折线统计图，并知道其特征。
2、能从折线统计图中发现数学问题，同时能够依据数据变化的特征进行合理的推测。
3、通过对数据的简单分析，进一步体会统计在生活中的意义和作用。
案例描述：
一、创设情境。
1、观看科技展录像。看到这些画面，你想说点什么？
2、为了使大家能更清楚地了解和分析这几年参观科技展人数的情况，你认为可以用哪些方法来表示参观人数呢？
3、课前我已收集了近几年来参观科技馆的人数，并把它制成了这样一张统计表。仔细观察，你能从统计表中了解到什么信息？
参观科技展人数统计表&& 2007年4月
人数（万人）
出示问题：在相邻的两个年份中，（& &
& ）年参观人数增加最快。
你怎么得到这个答案的？你是用什么方法知道的？（计算）
4、能不能不通过计算，换一种方式就可以直观得看出2004年到2005年人数增加最快呢？（条形统计图）
但是，我在科技馆发现了他们用这些数据制成了这样的一幅统计图。（课件折线统计图）
二、探究新知
1、初步感知
（1）这幅统计图中，横轴表示？纵轴表示？
（2）每年的参观人数在这幅统计图上都找到吗? 谁来指着说一说。
（3）这幅统计图是通过什么来表示出每年的参观人数的？（板书：点：数量多少）
（4）思考：目前这幅统计图也只是反映出了统计表里的信息，还不能解决刚才问题？
看来这个问题有必要我们研究研究。我们不妨带着下面三个问题来看一看。仔细观察，独立思考。然后再把你的想法在小组内说一说。
2、深入探究
（1）哪年参观人数最多？哪年最少？
（2）哪年到哪年人数没有变化？哪年到哪年人数增加最快？
分析：回到前面的问题，在统计表中想知道参观人数增加最快的是哪年到哪年，是通过什么方法得出的？那现在能直观的看出来了吗？（通过线的陡度来看）
板书：平—不变
（3）借助这幅统计图，体会一下这几年参观人数整体变化情况。你是怎么看出的？
让学生看整条线段，感受整体趋势。
课件演示整体上升的过程。
你们是通过什么看出来的上升的趋势的？（板书：线）
总结：通过折线的起伏，来反映出数量的增减变化。这正是这种统计图的特点，不仅能够看出数量多少，而且能够更清楚地看数量的增减变化情况。（补充板书：增减变化）。
3、为统计图起名字
你知道这种统计图叫什么名字吗？让学生根据这幅统计图的特点，自由起名。（板书课题：折线统计图）
能不能根据这幅折线统计图来猜想一下，2007年会有多少人来参观？
总结：同学们，这只是一种猜测，不管是多是少，都有可能，要想知道究竟有多少人来参观，还要年底再作一次调查。
5、感知生活中的折线统计图。
我们已经对折线统计图已经有了一定的认识，想想，生活中你还从哪儿见过折线统计图？（报纸上、股市上、父母单位、电视里……）
&三、实践应用。
1、分析折线统计图
出示马鞍山师范附小四年级春季收费标准统计图，从图中你可以获得哪些信息？有什么想说的？
总结：全国在义务教育阶段，开始免收学杂费了，这项改革是真正惠及到咱们千家万户的好事、实事，使得大批因家庭经济困难辍学儿童能重返校园，是义务教育的一座新的里程碑。
2、聪聪、明明两人患病期间体温变化的统计图
请学生当小医生，分析一下聪聪和明明体温变化情况。
3、“小华学习了折线统计图，觉得折线统计图的优点很明显，就去文具店作了调查，并绘制了一幅统计图。请你认真观察分析这幅折线统计图，你发现了什么？”（不同文具的销售情况）
（1）、让学生体会到若描述的是不同事物，则需要制条形统计图；若描述同一事物的变化趋势，则制成折线统计图。
（2）、如果想让它合理，怎么在这张统计图上作一些简单的修改？（改成条形统计图）
（3）、做完这个问题后呢，就给咱们带来了一个新的问题：在什么情况下，绘制折线统计图，在什么情况下绘制条形统计图，这个问题其实是以后要研究的内容，你们刚才的发现已经很了不起了。
四、拓展。
（课件图文并茂出示）探究我国历史，于上古时代已能看见统计图理念的身影。周易系辞记载“上古结绳而治”，事大，大结其绳，事小，小结其绳，显示已使用“分组”的观念区分大、小事，并运用实体的图像表达所观察到的事象。
到商汤推行井田制度，把地划为九块，形如井字，八家各分一块为私田，中为公田，显见井田制度已略具统计图之轮廓。
到宋代，南宋史学家郑樵的图谱思想等，则与现代统计图表的制图原则相近。
至清朝，统计图已广泛的制作与运用，包括农工商统计图、交通统计图及教育统计图等。至今，统计图已广泛用于生产生活，也演变出形式各异的统计图。除了我们已学过的条形统计图、折线统计图以外，还有柱形统计图、饼形统计图、面积统计图、雷达统计图等等。
师：孩子，大自然的千姿百态，无穷无尽的变幻，造就了无以计数的物象形态。其实在自然界中也存在天然的统计图，看（课件出示树的年轮）这不正是大自然的杰作吗？
在实践反思中提升
安徽省淮北市教育局教研室& 田志锋
今年五月份，我市青年教师韩东参加了安徽省小学数学课堂教学优质课比赛，他执教的《折线统计图》（义务教育课程标准试验教科书&人教版&四年级下册）一课,给评委和听课教师留下了深刻的印象，结果获得一等奖。作为一名教研员，笔者参与了这次活动的前前后后，通过备课、研磨，经历了一段艰辛和愉悦，换来了个人和群体专业水平的提升。
一、关于情境创设
初次教学韩老师创设一天气温变化情境，出示气温变化情况条形统计图，然后提问：横轴表示什么？纵轴表示什么？从这幅图上你可以获得哪些信息？（生回答）。从这幅统计图上很直观地看出这一天不同时刻的温度，如果我们想一眼看出这一天气温的整体变化情况，该怎样画统计图？（学生沉默）。能不能发挥你想象的翅膀，在条形统计图上大胆作修改或补充？学生小组为单位交流、修改。教师提示、引导，最后引出折线统计图。
教师不拘泥教材，开发一天不同时刻气温的资源，并运用北师大版教材的处理方法。但当我们系统阅读北师大版教材并思考其编排意图时，发现北师大版教材是把条形统计图和折线统计图编排在同一单元，以条形统计图为基础，利用知识的迁移学习新知，并且都是围绕“栽蒜苗”这一情境开展活动，探究新知的，而人教版教材却是把它们分在两个学期学习的，显然这样处理是不妥的。在磨课时大家思考：学生怎能想到在条形统计图上进行修改？教师参与小组活动时是否已经暗示学生？另外统计气温这一情境，学生虽然熟悉，但不去关心它，学生的体温是自己关心的事，而且很多学生有住院治疗的经历，可否换成生病学生体温测量的情境？带着这些思考和困惑，备课组成员交流、研讨，共同改进。
再次教学时，先播放护士量体温的情境，而后出示小明体温测量情况统计表，让学生观察讨论，你能从统计表中知道什么？（学生交流、发言）。老师对同学们的发言给予表扬、鼓励，然后问：从几时到几时小明的体温增加的最快？这时学生的答案不能统一，还有的学生开始动笔计算，这时教师满足学生的需要，让学生计算。当学生忙于计算时，教师提出一个挑战性的问题：我们能不能不计算就可以直观地解决这个问题？这一问题激发了学生的兴趣，激活了学生的思维。学生经过思考，争先恐后地回答可以画统计图……教师适时出示小明体温记录折线统计图，探究新知。
这次改变教材的呈现方式，由统计表到折线统计图，提出挑战性问题，让学生感悟折线统计图的优越性，激发学生探究新知的欲望。这样顺学而导，符合学生的心理规律和认知特点，让学生在矛盾冲突中找到新方法，学习情绪高涨。当大家非常满意时，我发现苏教版教材的编排是把小数加减法放在折线统计图后，学生不能通过计算解决问题（因比赛地马鞍山四年级用的是苏教版教材），教学又一次陷入了困境。
当我们苦思而不得其所时，一次南京之行为我们提供了一个素材。在南京科技馆我们很巧合的遇到马鞍山的学生正在参观科技展（其中有上课学校的学生），于是我们用摄像机录下了这一情境，把量体温的情境换成参观科技展的情境。学生对科技展很感兴趣，又看到自己亲身经历的事，学习主动，课堂气氛非常活跃，收到意想不到的效果。
让学生在生动具体的情境中学习数学，在现实情境中体验和理解数学，这时课标倡导的新理念。教师在教学过程中应充分利用学生的生活经验，创设与学生的生活环境，知识背景密切相关的，又是学生感兴趣的学习情境，激起学生的生活体验，并自觉用数学的思维方式来解决生活中的问题。
二、关于三个问题
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的生命历程。学生在课堂教学过程中，自主学习，合作交流，产生思维的碰撞，智慧的启迪，获得成功的体验，增强学好数学的信心。
教师要尽量给学生提供探索交流的空间，提出具有挑战性的问题，调动学生思维，提高教学实效。在深入探究折线统计图特点的教学中，最初是让学生观察折线统计图后，通过小组交流，指名汇报，由于比较开放，学生的思维没有一个明确的指向，所以学生说的五花八门，甚至离题万里，而且大部分学生还是用“比较相邻两个数字差”的方法比较何时上升最快，而不能根据线段的长度、“陡”度等作答，所以也就不能深刻理解折线统计图表示“增减变化”的特点。针对这一问题，后来设计了三个问题：
（1）哪年参观人数最多？哪年最少？
（2）哪年到那年人数没有变化？哪年到那年人数增加最快？
（3）借助这幅统计图，体会一下这几年参观人数整体变化情况。你是怎么看出的？
教学过程中，教师首先让学生在统计图上指点找数据，学习描点方法，并让学生体会折线统计图用点表示数量多少，而后让学生交流，说自己的发现，再出示三个问题，给学生明确思维的导向，教师再适度引导，让学生抓住折线统计图点、线的特点发现规律：折线统计图不仅能看出数量多少，还能更清楚地看出数量的增减变化，而且能对事物进行合理的判断和预测。从而培养和发展学生的统计观念。课堂教学中有师生情感的投入，闪现学生思维和智慧的火花，不时出现学生的独到见解和真知灼见。
三、关于实践应用
小学统计教学的核心目标是发展学生的统计观念，认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决简单的实际问题。在实践应用环节，教师为学生提供了富有现实意义的素材，让学生解决生活中的问题，使统计知识与生活建立紧密的联系。最初的教学我们选用奥运会、农民收入、沙尘暴三个素材，但学生的积极性不高，教学的效果不理想，这是什么原因？
我在思考：奥运会、农民收入、沙尘暴都是当今社会倍受关注的问题，但学生关注吗？与学生的现实生活联系紧密吗？如沙尘暴对我国东部学生来说，只是在电视、报纸上看过，有深刻体会吗？奥运会虽是家喻户晓，但不能充分体现折线统计图的优势。后来备课组认真讨论，集体研磨，又求教小学数学专家，决定把三道实践应用题改为：义务教育阶段学生学费问题，在应用新知解决问题的过程中使学生感受到国家对教育的重视，对少年儿童的切身关怀；看聪聪、明明两人生病时的体温统计图，让学生判断谁病情好转了；统计文具店一月中卖出不同文具的问题，让学生通过辩论后感悟用折线统计图不合理，最后经过讨论后学生认为用条形统计图比较合理。这样的素材是发生在学生身边的，贴近学生生活的，学生比较感兴趣的，能激起学生的学习欲望，收到预期效果。
比赛结束了，但我的思考没有结束：参观科技馆的情境学生熟悉，但统计参观人数这样的统计表离学生是远的，“万人”更远，有更好的情境吗？探究折线统计图时，非要从学生嘴里抠出“陡”度，流失了很长时间，有这样的必要吗？这样对学生的牵引迹象是不是太重？本来安排向学生介绍“折线统计图的发展史”，对学生进行数学文化的渗透，而因时间关系未能介绍，遗憾吗？&
边走边停边回望
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
——对“指向性问题”的探讨
安徽省淮北市黎苑小学　　韩东
边走边停：
这是在《教学大纲》时代设计的一课片断：
出示：比较3/4和5/6的大小。
师：怎样比较这两个分数的大小呢？请你们带着下面三个问题想一想，然后再小组内说一说。
（1）这题和我们以前学习的分数比较大小有什么不同的地方？
（2）怎样用我们以前学过的知识来解决这个问题呢？
（3）什么叫通分？
这是五年级《通分》一课的片断，还记得以前的课经常用到这种指向鲜明的问题，来引导学生的思维，使学生能心无旁骛的投入到所学的知识点上。正是这种主题明确的问题，使学生的思维不会偏离所教的知识点，总是很好的围绕着这几个浓缩性很强的问题来研究讨论。这种方法的一个最大优点就是教学层次鲜明，井然有序，扎实高效。
从2001年开始，全国上下轰轰烈烈地进行了一次意义重大、影响深远的新课程改革实验。新的教育理念，新的教育思想，新的教育方法给教师们的心灵带来巨大的冲击，一时间课堂和学生学习出现了巨大的变化，新型的课堂氛围迅雷不及掩耳地形成，呈现出了一派繁荣的景象。于是，我们开始对以前教学总喜欢提出明确问题，让学生就几个问题展开学习提出了质疑：这样做有利于学生的创新思维吗？会不会禁锢学生天真独到的想法？这时像跟风似的一些新的教法出现了：
片断一（通分）：
出示：比较3/4和5/6的大小。
师：你能想办法来比较这两个分数的大小吗？把你的想法和小组内的同学说一说。
片断二（小数的初步认识）：
播放超市购物的录像，里面有很多超市的商品价格。
师：看到以上画面，你了解到了哪些信息？
生：我看到了我最爱吃的&&。
生：里面还有变形金钢呢。真好看，真想买一个回家玩。
生：老师，我知道这是哪儿。这是我们“亿家人”超市，星期天妈妈还带我去那买东西呢
对于片断一的教学，比以前更开放了，学生的思维也更活跃了，随之而来的想法也更多了。学生能从多视角、多维度、全方位地理解和学习知识，在开放的情境中不断地有所发现、有所创造、有所前进。而片断二更是让学生充分发挥自己的观察表达能力，学生不断地有新的发现，他们的情绪也不断地高涨。
课改进行了一两年后，这种盲目追风、人云亦云的“空泛性问题”逐渐被人们所批判，这时我们的脚步又慢慢停了下来，开始了一定程度上的反思。“你了解到了哪些信息？”类似于这样的话，在我们的数学课堂中有什么用呢？学生对于一些非数学信息的表达，只会浪费课堂宝贵的时间，根本就无利于数学思维的发展。于是新的探索又开始了。为了兼顾课改开放思想与数学思维发展，我们又想到了一句比较“完美”的话：“你了解到了哪些数学信息？”虽然只是加了“数学”两个字，却是和前者有着很大的差异。“信息”包罗万象，而“数学信息”则圈定了学生的思考范围。因此上面片断二的教学就会出现以下情节：
片断二（小数的初步认识）：
播放超市购物的录像，里面有很多超市的商品价格。
师：看到以上画面，你了解到了哪些数学信息？
生：我知道了&&的价格。
生：我知道了&&比&&要贵得多。
生：我知道了&&和&&两种在一起都没有&&贵。
生：我看到了里面有很多小数。
瞧，加上“数学”两个字，就是不一样吧，学生的思维不再是漫无边际了，他们已能围绕着数学知识在观察思考，数学味变得越来越浓了，所以时下，这种方法依然受到大家的推崇与应用。
思考与回望：
课改在历经检验的过程中一步步地前进，我们在教学过程中也在静静地思考。从之前的提出“指向性问题”到提出“空泛性问题”，我们的思维开始出现了两种观点的碰撞：一种观点认为不要提出指向明确的要求，这样会约束学生的思维空间；另一种观点认为一定要提出指向明确的要求，知识的提升来源于有效的引领。
于是我有针对性地进行了实验，下面是《折线统计图》中的片断（基于“空泛性问题”的设计）：
师：同学们，目前看来这幅统计图也只是反映出了统计表里的信息，还是不能解决刚才的问题？（不通过计算，换一种方式就可以直观地看出2004年到2005年人数增加最快）
让学生想一想后，师：看来这个问题有必要我们研究研究。仔细观察这幅统计图，看看你能发现些什么？然后把你的发现在小组内说一说。
生1：我发现这里面有很多网格。
生2：我知道为什么要有网格，因为这样更好地找点。
生3：我发现了这幅统计图把点用线连起来了。
师：那这些线有什么用处呢？
生3：可能是为了美观吧。
生4：我不同意，我认为用线连起来可以看出参观人数在上升。
师：是吗？能具体说一说吗？
生4：如果线升了，就表明人数在增加，下降了就表明人数在减少。
师：了不起的发现！那你认为从整体上看，这几年的参观人数是怎样变化的？
生4：有下降，也有上升的。
师：你是一段段看的，从整体上看呢？还有别的意见吗？
生5：上升的多，下降的少。
师：那也就是从整体上看是上升的。你们还有什么发现吗？
生6：我发现这种统计图很好玩，就像一个“之”字。
生7：这种统计图不要标数字就可能看出参观人数。
在这个片断中，不难发现学生在思考交流时，虽然提出“看看你能发现些什么？”这一问题，但学生思考交流盲目、泛泛而谈，东一榔头，西一棒槌，没有一个明确的方向。这种“答案的丰富多彩”掩盖了对折线统计图特点的探讨，虽有部分学生提出了“线的变化反映人数的变化”，但这毕竟只是部分，而另一部分学生只是在交流中白白浪费时间。学生的思考交流要凸显数学知识的本质属性，要能够从问题中有效的引出数学知识，不要让他们雾里看花般讨论了老半天还没有什么所以然。这时我想到了《教学大纲》时代的教学方式，可不可以在思考交流前提出明确要求，引领学生有序思考？
下面是《折线统计图》中的片断（基于“指向性问题”的设计）：
同学们，目前看来这幅统计图也只是反映出了统计表里的信息，还是不能解决刚才的问题？（不通过计算，换一种方式就可以直观得看出2004年到2005年人数增加最快）
让学生想一想后，师：看来这个问题有必要研究研究。我们不妨带着这三个问题来看一看，（课件出示）仔细观察，独立思考，然后把你的想法在小组内说一说。
（1）哪年参观人数最多？哪年最少？
（2）哪年到哪年人数没有变化？哪年到哪年人数增加最快？
（3）借助这幅统计图，体会一下这几年参观人数整体变化情况。你是怎么看出的？
有了这三个问题，学生的独立思考、自主探究、合作交流有了有效的平台，面对问题，学生大多能够凭借思考交流，顺利发现折线统计图的另一个优点：通过折线的变化，来反映出数量的增减变化。通过这两者的对比，不难发现在探讨折线统计图的特点时，如果没有明确的问题导向，学生的思维虽然能展开，但有可能造成喧宾夺主的结局。
由此我认为指向性问题，在我们数学课中很有必要，它和课改的思想，理念没有冲突，所以我们不应该惧怕它，厌恶它，认为它已过时，其实只要你用得合理，用得适度，必将会为数学课堂增添针对性和实效性。
当思考到这儿时，不禁又产生了一个新问题：什么时候运用“指向性问题”合理？怎样设计“指向性问题”才叫适度？“指向性问题”和“空泛性问题”的融合点在哪里？这些问题必将成为我以后思考、探讨和实践的方向。
有无相生：课之佳境
——观摩韩东老师《折线统计图》一课后有感
北京第二实验小学& 华应龙
欣赏完韩东老师的《折线统计图》，我的脑子里一下子冒出了老子的话语：“有无相生”、“众妙之门”。再三回味，还是觉得：一节好课妙就妙在这四个字——“有无相生”。
《老子》中专门讨论“有”“无”问题的有十四章之多，“有”“无”的含义又极为丰富。“无，名天地之始。有，名万物之母。故常无，欲以观其妙。常有，欲以观其。此两者，同出而异名，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门。”本无是天地的原始，妙有是万物万有的来源。人们要想体认大道有无之际，必须要修行到常无的境界，才能观察到有生于无的妙用。冯友兰先生说：“《老子》所说的‘道’，是‘有’与‘无’的统一。”“道”既是“无”又是“有”。用“无”来称呼“道”，是因为它不是被别的东西生出来的，是本来就有的，是初始的；用“有”来称呼“道”，是因为它具有生出天地万物的能力，可以把“有”解释成“制造出来的”更好懂。南怀瑾先生说：“这个有无互为生灭的观念，从周末而到现代，几千年来，一直成为中国文化中普遍平民化的哲学思想。”
从经验来讲，天地万物的从有还无，是很自然的事实。但是要说万物的有，是从无中生出，实在是一件不可思议的事情。东西方数千年的哲学，也没有一个明确的结论。在此，我只是借话说话。
韩东老师为什么能把一般老师不敢上、不愿上的一节数学课上得如此动人？如此深入人心？
我想是因为——无中生有。
他课中所设情境的“有”，在我们头脑中“无”，又是生活中本来就有的，是老子所说的“无”，因此我们觉得玄妙无比。
南京科技馆的话题切入，激活生活，调动已知，引领探究，一石三鸟。不过，令人惊奇的是——淮北的老师要到马鞍山借班上课比赛，上课前去南京科技馆正好遇上马鞍山的孩子来参观。真是巧合，几个小概率事件竟然在韩东一个人身上都变成了现实。真是“文章本天成，妙手偶得之”？只有自己心中有，眼中才会有吧？
“马鞍山师范附小四年级春季收费标准统计”情境具有现实意义。话题的讨论，更有教育意义。当代的孩子享受了太多的爱，但是他们往往感受不到，更不会表达和回报。
上这样的课，老师们都会想到医院的体温记录表，但韩老师一下子出示两幅图：“聪聪、明明的体温变化记录统计图”，让学生当一名小医生仔细观察分析这两幅图，给大家详细地说说这两天他俩的治疗情况，有情有趣，有理有据。
回顾全课，由学生头脑中没有折线统计图，到创造出来；由一幅到两幅，再到学生举例的多幅。哈哈，一幅完美的“道生一，一生二，二生三，三生万物”的演绎图景。
在小结全课之后，韩东老师使出一招漂亮的回马枪：“小华学习了折线统计图，觉得折线统计图的优点很明显，就去文具店作了调查，并绘制了一幅统计图。请你认真观察分析这幅折线统计图，你发现了什么？”“你发现了什么？”是开放度很大的问题，有的孩子可能不明就里，但培养的是学生的独立思考，敢于批判，不人云亦云。
我惊叹这一反例！这一反例在生活中是没有的，是一种“无”，但无中生出了“有”，促使学生深刻地认识到“在什么情况下，绘制折线统计图，在什么情况下绘制条形统计图”，真是相反相成，精妙独到！
韩东老师为什么能把一般老师不敢上、不愿上的一节数学课上得如此动人？如此深入人心？
我想是因为——有中生无。
毫无疑问，对这节课韩老师是精心预设的，但他上得没有斧凿的痕迹，水到渠成，一气呵成，叹为观止。师生之间的圆融，让我想到庄子的“鱼相忘乎江湖，人相忘乎道术。”这种消除了主客对立的“相忘”境界，“无我”“浑沌”状态，我以为是课堂教学的至高境界。
我们可以一起回顾他在学生回答、展示后的评价语——“瞧！他关注了什么？”“多了不起的发现！”“哎！这回说得更专业了。你说倾斜度，什么是倾斜度，能比划比划吗？”“真好！提出挑战了，我最喜欢这样的课堂，有争议才有进步吗！听到他质疑，你们作何解释？”……丰富多彩，准确灵动。语言的丰富正由于理解的准确，认识的到位。我想这是“有中生无”。
《老子》说“有之以为利，无之以为用。”它的意思是说：“有”给人便利，“无”发挥了它的作用。我们写出的教案是“有”，它让我们更好地把握课的走向，我们实际用的是教案字里行间的“无”。
不过，看上去的“无”，其实还是老师心中“有”。老子说:“天下万物生于有，有生于无。”请看在分析“聪聪、明明的体温变化记录统计图”时——
生3：她分析得很好，但我会比他分析得更好。
师：那么自信，你贵姓？（姓胡）胡医生，可不要胡说哟！我们可要听听你精彩分析。
我猜想韩东老师心中是有著名作家、翻译家胡愈之到大学讲课时开场的故事的。“我姓胡，虽然写过一些书，但都是胡写；出版过不少书，那是胡出；至于翻译的外国书，更是胡翻。”我没有看到孩子的眼睛，韩老师可以回忆一下，当自己说“胡医生，可不要胡说哟！”胡姓学生的目光有何变化。自己说自己“胡说”，那是一种调侃，别人说呢？
有无相生，生生不已。一切作为，如行云流水，义所当为，理所应为，做应当做的事。做过了，如雁过长空，风来竹面，不着丝毫痕迹。
韩东老师的课后反思也很见功力。“学习素材无处不在，也取之不尽，用之不竭。只要我们关注学生，关注他们的生活现实，关注身边的大事，小事，必然会使数学“材”源茂盛，使课堂焕发魅力。”说得真好！只有“风声雨声读书声声声入耳，家事国事天下事事事关心”，才能找到恰当的、学生喜闻乐见的、既有数学味道又富有思想含量的例子，找到“这一个”。你见青山多妩媚，料青山见你亦如是。著名数学教育家波利亚曾形象地说：“好问题同某种磨菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”韩老师的反思可以启发我们更多的思考，我相信我们会有所得。
我觉得反思应该是“道通天地有形外，思入风云变幻中”的形而上学，应该“有中生无”，从课中的“有”，反思出课中没有觉察的问题。因为反思主要是为了发现问题，分析问题，解决问题，提高自己。教是修行，思是觉悟。在思想光芒照耀下的课堂更有利于学生成长。
比方说——
在“探究新知”环节，老师出示参观科技展人数统计图后问：“在这幅统计图中，横轴表示什么？（年份）纵轴表示什么？（参观人数）每年的参观人数在这幅统计图上都找到吗?
”韩老师是不是可以反思一下：前两个问题需要老师提出来吗？这两个问题可是看懂统计图的关键啊，看不懂统计图的学生往往就是不知道先看懂横轴、纵轴分别表示什么。这一关键能不能让学生自己体悟出来？还可以再问自己一句：这两个问题老师不说，学生会想到吗？学生有没有相关基础？条形统计图是基础，这在“知识背景和目标定位”已经分析了的，那这么做又是为什么呢？赶时间？图效率？在教学的关键环节，我们是不是应该“舍得浪费时间”（卢梭语）呢？
同样，在“深入探究”环节的三个问题：
（1）哪年参观人数最多？哪年最少？
（2）哪年到哪年人数没有变化？哪年到哪年人数增加最快？
（3）借助这幅统计图，体会一下这几年参观人数整体变化情况。你是怎么看出的？
是不是也可以反思：问题是数学的心脏，这三个问题来自哪里？是来自学生，来自老师，还是来自教参，来自以往的教学习惯？
我似乎听到老子在说：“无可无不可。”
哈哈，以老子看来，应当是“知者不言，言者不知”，我不敢乱说了。
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