小学数列问题题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-03-19 15:22 标签： 数列求和
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数列综合问题
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MBA备考：四步解决联考中的数列类难题
　　详细研读本篇数列解法和例题，可快速解决任何MBA数列问题。
　　基本数列是等差数列和等比数列
　　一、等差数列
　　一个等差数列由两个因素确定：首项a1和公差d。
　　得知以下任何一项，就可以确定一个等差数列（即求出数列的通项公式）：
　　1、首项a1和公差d
　　2、数列前n项和s（n），因为s（1）=a1，s（n）-s（n-1）=a（n）
　　3、任意两项a（n）和a（m），n，m为已知数
　　等差数列的性质：
　　1、前N项和为N的二次函数（d不为0时）
　　2、a（m）-a（n）=（m-n）*d
　　3、正整数m、n、p为等差数列时，a（m）、a（n）、a（p）也是等差数列
　　例题1：已知a（5）=8，a（9）=16，求a（25）
　　解： a（9）-a（5）=4*d=16-8=8
　　a（25）-a（5）=20*d=5*4*d=40
　　a（25）=48
　　例题2：已知a（6）=13，a（9）=19，求a（12）
　　解：a（6）、a（9）、a（12）成等差数列
　　a（12）-a（9）=a（9）-a（6）
　　a（12）=2*a（9）-a（6）=25
　　二、等比数列
　　一个等比数列由两个因素确定：首项a1和公差d。
　　得知以下任何一项，就可以确定一个等比数列（即求出数列的通项公式）：
　　1、首项a1和公比r
　　2、数列前n项和s（n），因为s（1）=a1，s（n）-s（n-1）=a（n）
　　3、任意两项a（n）和a（m），n，m为已知数
　　等比数列的性质：
　　1、a（m）/a（n）=r^（m-n）
　　2、正整数m、n、p为等差数列时，a（m）、a（n）、a（p）是等比数列
　　3、等比数列的连续m项和也是等比数列
　　即b（n）=a（n）+a（n+1）+。。。+a（n+m-1）构成的数列是等比数列。
　　三、数列的前N项和与逐项差
　　1、如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的前N项和是关于N的多项式，最高次数为P+1。（这与积分很相似）
　　2、逐项差就是数列相邻两项的差组成的数列。
　　如果数列的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P，则数列的逐项差的通项公式是关于N的多项式，最高次数为P-1。
　　（这与微分很相似）
　　例子：
　　1，16，81，256，625，1296 （a（n）=n^4）
　　15，65，175，369，671
　　50，110，194，302
　　60，84，108
　　24，24
　　从上例看出，四次数列经过四次逐项差后变成常数数列。
　　等比数列的逐项差还是等比数列
　　四、已知数列通项公式A（N），求数列的前N项和S（N）。
　　这个问题等价于求S（N）的通项公式，而S（N）=S（N-1）+A（N），这就成为递推数列的问题。
　　解法是寻找一个数列B（N），
　　使S（N）+B（N）=S（N-1）+B（N-1）
　　从而S（N）=A（1）+B（1）-B（N）
　　猜想B（N）的方法：把A（N）当作函数求积分，对得出的函数形式设待定系数，利用B（N）-B（N-1）=-A（N）求出待定系数。
　　例题1：求S（N）=2+2*2^2+3*2^3+。。。+N*2^N
　　解：S（N）
　　=S（N-1）+N*2^N
　　N*2^N积分得（N*LN2-1）*2^N/（LN2）^2
　　因此设B（N）=（PN+Q）*2^N
　　则 （PN+Q）*2^N-[P（N-1）+Q）*2^（N-1）=-N*2^N
　　（P*N+P+Q）/2*2^N=-N*2^N
　　因为上式是恒等式，所以P=-2，Q=2
　　B（N）=（-2N+2）*2^N
　　A（1）=2，B（1）=0
　　因此：S（N）=A（1）+B（1）-B（N）=（2N-2）*2^N+2
　　例题2：A（N）=N*（N+1）*（N+2），求S（N）
　　解法1：S（N）为N的四次多项式，
　　设：S（N）=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
　　利用S（N）-S（N-1）=N*（N+1）*（N+2）
　　解出A、B、C、D、E
　　解法2：
　　S（N）/3！=C（3，3）+C（4，3）+。。。C（N+2，3）=C（N+3，4）
　　S（N）=N*（N+1）*（N+2）*（N+3）/4
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01058983379经典数列极值问题中的经典数列问题及其解答
& 前几天，我写了一篇博文《一道经典数列极值问题及其解答》，张小明教授指出文中的
递归数列，他也曾给出一个解答，但略嫌麻烦，且思路不太自然。我便将这个数列问题单独
摘出来，在原文的基础上略作修改，对该数列做了一个单独的解答，和大家分享。
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