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毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》
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毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》
官方公共微信多元函数非一致连续的充要条件--《泰安教育学院学报岱宗学刊》1999年04期
多元函数非一致连续的充要条件
【摘要】：本文给出多元函数非一致连续的两个充要条件并加以证明并且给出其应用。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O174【正文快照】：
定理1：设f（．y）在区域D一八三，y）la＜x＜b，c＜ywtd上连续．且关于每一变量在对应的区间上一致连续，则人X，y）在D上非一致连续的克要条件为证明：必要性（反证法）假设ZI＞0，：2＞0．取Z一Zin乙，ZZ｝则对V（，1，yi）、（12，yZ）CD，故人X，y）在D上一致连续，与假
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京公网安备74号多元函数条件极值的几种求解方法03-第3页
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多元函数条件极值的几种求解方法03-3
2.3.1直接代入消元法；这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以；前面介绍了关于极值的充分条件，求得其驻点后从定理；??(x0,y0),B?fxy??(x0,y0)；?3?；（1）当B2?AC?0时，f(x0,y0)一定为；?0时，f(x0,y0)为极小值；当A（或C）?；（2）当B2?AC?0时，f(x0,y0)不是极；（3）当B2?AC?0，还
2.3.1直接代入消元法这种方法是将条件极值问题转化为无条件极值问题加以解决,可以用来解决一些较为简单的条件极值问题。前面介绍了关于极值的充分条件，求得其驻点后从定理2.2可以知道设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域u(p0)连续且有一阶与二阶连续偏导数，如果fx?(x0,y0)?0，fy?(x0,y0)?0,设??(x0,y0),B?fxy??(x0,y0),C?fyy??(x0,y0),则 A?fxx?3?（1）当B2?AC?0时，f(x0,y0)一定为极值，并且当A（或C）?0时，f(x0,y0)为极小值；当A（或C）?0时，f(x0,y0)为极大值;（2）当B2?AC?0时，f(x0,y0)不是极值；（3）当B2?AC?0，还不能断定f(x0,y0)是否为极值。 就可以用以上定理来解决一些相关问题，下面看几个例题。
例2.3求函数 f(x,y,z)?xyz在x?y?z?0条件下的极值。
x?y?z?0 解得g(x,y)=xy(2-x+y)
，将上试代入函数f(x,y,z)?xyz，得g(x,y)?xy(2?x?y)，22?
求偏导数g?x?2y?2xy?y,gy?2x?2xy?x 2?22?g?x?2y?2xy?y?0p(0,0),p(,?)
由方程组?解得12233?y?2x?2xy?x?0?g??????
又g?xx??2y,gxy?2?2x?2y,gyy?2x根据极值存在的充分条件，在点p1处?1?AC?B2?0?0?22?4?0, 所以p1不是极值点，从而函数f(x,y,z)在点(0,0,2)处无极值；在点p2处，44424?2?AC?B2???(?)2??0,又A?，所以p2为极小值33333222点，因而函数f(x,y,z)在相应点(,?,)处有极小值，极小3332228值为F(,?,)??。33327例2.4 求函数f(x,y,z)?xyz在条件x?y?1下的极值。
解： 由两个条件可得2?z2z2,y?,
x?22将其带入目标函数f(x,y,z)?xyz中消去变量x和y可得
4f(z)?2z3?z5, 两边求导可得4f?(z)?6z2?5z4, 可得稳定点z1?0,z2?z3? 由于f??(0)?0，而f???(0)?12?0，即z1点的奇数阶导数不为零所以z1不是函数的极值点；又显然4f??值：f而4f??(?故函数在z2?处取得极大???0，??0，故函数z3??
f(将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单，缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决。2.3.2拉格朗日乘数法首先我们利用全微分判断[5]，在无条件极值问题中，可以利用全微分判断函数是否在驻点处取得极限值。
设函数u?f(x,y,z)在点处df(x0,y0,z0)?0若d2f(x0,y0,z0)?0，则函数在p0处取得极大值 若d2f(x0,y0,z0)?0，则函数在p0处取得极小值； 其他情况则不能确定是否有极值。如果求函数f(x,y,z)在g(x,y,z)=0条件下的极值，可先构造拉格朗日函数F(x,y,z)?f(x,y,z)??g(x,y,z)在求出驻点后，可根据F(x,y,z)在驻点处的二阶微分d2F的符号，来判断函数f(x,y,z)是否在该点取得极值。例2.5求函数f(x,y,z) ?x?2y?2z在x2?y2?z2?1条件下的极值。解：构造拉格朗日函数F(x,y,z)?x?2y?2z??g(x2?y2?z2?1)?Fx??1?2?x?0??Fy???2?2?x?0解方程组??Fz??2?2?x?0?F??x2?y2?z2?1?0???1??2? ?3??4?111,y?,z??,代入（4）2???3122122得???于是的驻点p1(?,,?)与p2(,?,)。2333333由（1）（2）（3）式可得x??又?2F2?2F2?2F2?2F?2F?2FdF?2dx?2dy?2dz?dxdy?dydz?2dzdx?2?(dx2?dy2?dz2)?x?y?z?x?y?y?z?z?x2122数的极小值为f(?,,?)??3；当???时，即在点p2(,?,)处，3332333122d2F?0，所以p2为极大值点，极大值为f(,?,)?3。333当??时，即在点p1(?,,?)处，d2F?0，所以p1为极小值点，函32再就是我们利用二阶偏导数矩阵判断[6]若要求函数f(x1,x2,?,xn)则条件gk(x1,x2,?,xn)?0，k?1,2,?,mm?n(?)下的极值还可以采用以下方法。（1）构造拉格朗日函数L(x1,,x2,?,xn,?1,?2,?,?m)?f(x1,x2,?,xn)???kgk(x1,x2,?,xn);i?1m（2）求出驻点(x1,0,x20,?,xn0,?10,?20,?,?m0),设p0(x1,0,x20,?,xn0),
令F(x1,x2,?,xn)?L(x1,x2,?,xn,?10,?20,?,?m0);（3）利用以下定理判断函数f(x1,x2,?,xn)的极值定理。
记矩阵M??Fx?1?x1??Fx?2?x1????Fx??x?n1Fx?1?x2Fx?2?x2?Fx?n?x2?Fx?1?xn?????Fx2xn??????Fx?n?xn??①若M正定，则在条件(?)下，f(x1,x2,?,xn)在点p0处取得极小值；②若M负定，则在条件(?)下，f(x1,x2,?,xn)在点p0处取得极大值；③若M不定，则在条件(?)下，f(x1,x2,?,xn)在点p0处无条件极值。例2.6求函数f(x1,x2)?x2?y2?3在y?1?x条件下的极值。
解：构造拉格朗日函数F(x1,x2)?x2?y2?3??(1?x?y)?Fx??2x???0?解方程组?Fy??2y???0???F??1?x?y?01212(1)(2) (3)1122解得x??,y?,??1，下面判断p0(?,)是否为极值点。由F(x1,x2)?x2?y2?x?y?2得??2,
Fx??2x?1,Fy??2y?1,Fxx???2,Fxy???0,Fyx???0
Fyy矩阵M??所以函数在点p0(?,)处取得极小?正定，22?02?值，且极小值为f(?,)??。112252?20?11包含各类专业文献、高等教育、文学作品欣赏、应用写作文书、生活休闲娱乐、幼儿教育、小学教育、外语学习资料、多元函数条件极值的几种求解方法03等内容。　
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多元函数条件极值的几种求解方法1
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二元函数中,为什么存在连续的偏导,函数就在某点可微,而函数偏导存在只是可微的一个必要条件呢?
二元函数中,为什么存在连续的偏导,函数就在某点可微,而函数偏导存在只是可微的一个必要条件呢?
这个问题曾经也困扰我好久好久.现在说一下子我的理解.在一元函数中,具体到某一点,可导那么他在这个点的临域必连续,而根据可微的几何意义,只有这个点存在临域才可微(相信你看得这么深,肯定理解这句,单独一个点根本不涉及到可微,因为微分可以看成求无限短的线段).而在二元中,一个点的两个偏导都存在,也不一定连续(这个有这样的类型题).那么要使他可微,就要这个点有连续的临域.假设,这个点与一个精确到了无穷无穷精确的点(我们称这个点为a)靠着,若a点处有一个偏导不存在,就不可以连续下去（这里就是自己想的了,因为这里涉及到的是曲面,如一个方向平滑,另外一个不平滑,就矛盾了）,这样的话我们也不能说开始那个点有连续临域(此时只有两个连续点,而临域是无穷个点连续).只有a点存在偏导,才能保证a这里有希望可以可微,继续往下连续另外一个这样的a.以此类推,只有无数个这样无穷精确的,存在偏导的a才能组成一开始那个点的临域.此时也就是,开始那个点,存在连续的,偏导.
教材上不是有证明吗？你可以看几个具体例子啊