线性代数_同济大学(第五版)课件_百度文库
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线性代数_同济大学(第五版)课件
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《​线​性​代​数​的​几​何​意​义​》​之​五​(​矩​阵​的​几​何​意​义​)
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4.1 数组运算和矩阵运算
从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表4.1.1列出了两种运算指令形式的实质内涵的异同.
4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵
非共轭转置
把标量s赋给数组A的每个元素
把标量s分别与数组B的每个元素相加
标量s分别与数组B的元素之差
标量s分别与数组A的元素之积
标量s分别与矩阵A的元素之积
s./B, B.\s
标量s分别被数组B的元素除
矩阵B的逆乘标量s
数组A的每个元素的n次方
A为方阵时,矩阵A的n次方
数组对应元素的相加
数组对应元素的相减
数组对应元素的相乘
内维相同矩阵的乘积
A的元素被B的对应元素除
一定与上相同
A左除B(一般与右除不同)
以e为底,分别以A的元素为指数,求幂
A的矩阵指数函数
对A的各元素求对数
A的矩阵对数函数
对A的积各元素求平方根
A的矩阵平方函数
从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维.
4.2 数组的基本运算
在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组.
4.2.1 点转置和共轭转置
. ' —— 点转置.非共轭转置,相当于conj(A').
这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量.
' —— 共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如:
&& d=a+i*a
Columns 1 through 3
1.0000 + 1.0 + 2.0 + 3.0000i
Columns 4 through 5
4.0000 + 4.0 + 5.0000i
1.0000 - 1.0000i
2.0000 - 2.0000i
3.0000 - 3.0000i
4.0000 - 4.0000i
5.0000 - 5.0000i
4.2.2 纯量 (标量) 和数组的四则运算
纯量和数组之间可以进行简单数学运算.如:加,减,乘,除及其混合运行.
&& g=[1 2 3 4
9 10 11 12]
13 15 17 19
4.2.3 数组间的四则运算
在MATLAB中,数组间进行四则运算时,参与运算的数组必须具有相同的维数,加,减,乘,除运算是按元素与元素的方式进行的.其中,数组间的加,减运算与矩阵的加,减运算要同,运算符为:"+","-".但是,数组间的乘,除运算与矩阵间的乘,除运算完全不同,运算符号也有差别,数组间的乘,除运算符为:".*","./"或".\".
1. 数组按元素相加,减
&& g=[1 2 3 4
9 10 11 12]
&& h=[1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3]
&& g+h % 按元素相加
12 13 14 15
&& ans-h % 按元素相减
9 10 11 12
&& 2*g-h % 混合运算
8 10 12 14
15 17 19 21
2. 按元素乘
10 12 14 16
27 30 33 36
3. 按元素除
数组间的除法运算符有两个,即左除:"./"和右除:".\",它们之间的关系是:
4.2.4 幂运算
在MATLAB中,数组的幂运算的运算为:".^",表示每一个元素进行幂运算.
&& g.^2 % 数组g每个元素的平方
25 36 49 64
81 100 121 144
&& g.^(-1) % 数组g的每个元素的倒数
&& 2.^g % 以g的每个元素为指数对2进行乘方运算
32 64 128 256
&& g.^h % 以h的每个元素为指数对g中相应元素进行乘方运算
25 36 49 64
&& g.^(h-1)
81 100 121 144
4.2.5 数组的指数,对数和开方运算
在MATLAB中,所谓数组的运算实质是是数组内部每个元素的运算,因此,数组的指数,对数和开方运算与标量的运算规则完全是一样的,运算符函数分别为:exp(
),log( ),sqrt( )等.
&& a=[1 3 4;2 6 5;3 2 4];
&& c=exp(a)
2.5 54.5982
7.8 148.4132
20.1 54.5982
数组的对数,开方运算与数组的指数运算,其方式完全一样,这里不详述.
4.3 向量运算
对于一行或一列的矩阵,为向量,MATLAB有专门的函数来进行向量点积,叉积和混合积的运算.
4.3.1 向量的点积运算
在高等数学中,我们知道,两向量的点积指两个向量在其中一个向量方向上的投影的乘积,通常用来定义向量的长度.在MATLAB中,向量的点积用函数"dot"来实现,其调用格式如下:
C=dot(A,B) —— 返回向量A与B的点积,结果存放于C中.
C=dot(A,B, DIM) ——
返回向量A与B在维数为DIM的点积,结果存放于C中.
&& A=[2 4 5 3 1];
&& B=[3 8 10 12 13];
&& C=dot(A,B)
&& C=dot(A,B,4)
6 32 50 36 13
4.3.2 向量的叉积运算
在高等数学中,我们知道,两向量的叉积返回的是与两个向量组成的平面垂直的向量.在MATLAB中,向量的点积用函数"cross"来实现,其调用格式如下:
C=cross(A,B) —— 返回向量A与B的叉积,即:,结果存放于C中.
C=cross(A,B, DIM) ——
返回向量A与B在维数为DIM的叉积,结果存放于C中.
&& A=[2 4 5];
&& B=[3 8 10];
&& C=cross(A,B)
4.3.3 向量的混合运算
&& D=dot(A, cross(B,C))
上例表明,首先进行的是向量B与C的叉积运算,然后再把叉积运算的结果与向量A进行点积运算.
4.4 矩阵的基本运算
如果说MATLAB的最大特点是强大的矩阵运算功能,此话毫不为过.事实上,MATLAB中所有的计算都是以矩阵为基本单元进行的.MATLAB对矩阵的运算功能最全面,也是最为强大的.矩阵在形式上与构造方面是等同于前面所述的数组的,当其数学意义却是完全不同的.
矩阵的基本运算包括矩阵的四则运算,矩阵与标时的运算,矩阵的幂运算,指数运算,对数运算,开方运算及以矩阵的逆运算,行列式运算等.
4.4.1 矩阵的四则运算
矩阵的四则运算与前面介绍的数组的四则运算基本相同.但也有一些差别.
1. 矩阵的加减
矩阵的加,减与数组的加,减是完全相同的,运算时要求两矩阵的大小完全相同.
&& a=[1 2; 3 5; 2 6];
&& b=[2 4; 1 8; 9 0];
2. 矩阵的相乘
对于矩阵的乘法,从线性代数中,我们知道,要求进行相乘的两矩阵有相同的公共维.如:
&& a=[1 2; 3 5; 2 6];
&& b=[2 4 1; 8 9 0];
设A矩阵为一个阶的矩阵,则要求与之相乘的B矩阵必须是一个阶,得到矩阵是阶的.即,只有当第一个矩阵
(左矩阵) 的列数等于第二个矩阵 (右矩阵)
的行数时,两个矩阵的乘积才有意义.
3. 矩阵的除法
对于矩阵的除法有两个运算符号,分别为左除符号"\"和右除符号"/".矩阵的右除运算速度要慢一点,而左除运算可以避免奇异矩阵的影响.
对于方程,若此方程为超定的方程,则使用除法可以自动找到使的平方最小化的解.若此方程为不定方程,则使用除法运算符至少求得的解至多有rank(A)
(矩阵A的秩)个非零元素,而且求得的解是这种类型的解中范数最小的一个.
&& a=[21 34 20; 5 78 20; 21 14 17; 34 31 38];
&& b=[10 20 30 40]';
0.7 0.8767
上面方程是超定方程.要注意的:结果矩阵x是列向量形式.如果,
&& a=[21 34 20 5; 78 20 21 14; 17 34 31 38];
&& b=[10 20 30]';
上面的方程为不定方程.
4. 矩阵与标量间的四则运算
矩阵与标量的四则运算和数组与标量间的四则运算完全相同,即矩阵中的每个元素与标量进行加,减,乘,除四则运算.需要说明的是,当进行除法运算时,标量只能做除数.
5. 矩阵的幂运算
矩阵的幂运算与标量的幂运算不同.用符号"^",它不是对矩阵的每个元素进行幂运算,而是与矩阵的某种分解有关.
&& b=[21 34 20; 78 20 21; 17 34 31];
6. 矩阵的指数,对数运算与开方运算
矩阵的指数运算,对数运算与开方运算与数组相应的运算是不同的.它并不是对矩阵中的单个元素的运算,而是对整个矩阵的运算.这些运算函数如下:
expm, expm1, expm2, expm3 —— 指数运算函数;
logm —— 对数运算函数;
sqrtm —— 开方运算函数.
&& a=[1 3 4; 2 6 5; 3 2 4];
&& c=expm(a)
1.0e+004 *
0.4 0.9200
0.5 1.5613
0.9 0.9475
&& c=logm(a)
0.5002 + 2.0 - 0.1 - 1.2493i
0.4148 + 0.0 - 0.8 - 0.2302i
0.5780 - 1.8 + 0.3 + 0.8263i
&& c=sqrtm(a)
0.6190 + 0.8 - 0.3 - 0.4157i
0.3347 + 0.2 - 0.5 - 0.0766i
1.0271 - 0.7 + 0.1 + 0.2750i
7. 矩阵的转置,逆运算与行列式运算
矩阵的转置的运算符为"'".求逆用运算函数:inv( ).而用函数:det(
)则可求的矩阵行列式的大小.
&& a=[1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1];
&& b=inv(a)
&& d=det(a)
4.5 矩阵的特殊运算
矩阵的特殊运算包括矩阵特征值运算,条件数运算,奇异值运算,范数运算,秩运算,正交化运算,迹运算,伪逆运算等,这些运算,MATLAB都可以非常方便地给出.
4.5.1 矩阵的特征值运算
在线性代数中,计算矩阵的特征值过程相当复杂.而在MATLAB中,矩阵特征值运算只需用函数"eig(
)"或"eigs( )"计算即可得到.其使用格式如下.
E=eig(X) —— 生成由矩阵X的特征值所组成的一个列向量;
[V,D]=eig(X) ——
生成两个矩阵V和D,其中V是以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵,D是由矩阵X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵.
eigs( )函数使用迭代法求解矩阵的特征值和特征向量.
D=eigs(X) ——
生成由矩阵X的特征值所组成的一个列向量.X必然是方阵,最好是大型稀疏矩阵;
[V,D]=eigs(X) ——
生成两个矩阵V和D,其中V是以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵,D是由矩阵X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵.
&& a=[1 2 0; 2 5 -1; 4 10 -1];
[b,c]=eig(a)
-0.7 0.4472
-0.3 0.0000
-0.0 0.8944
0 0.2679 0
0 0 1.0000
4.5.2 矩阵 (向量) 的范数运算
为了反映了矩阵 (向量)
某些特性,线性代数中引入了范数的概念,它分为2-范数,1-范数,无穷范数和Frobenius范数等.在MATLAB中,用函数norm(
)或normest( ) 计算矩阵 (向量) 的范数.其使用格式如下.
norm(X) —— 计算矩阵 (向量) X的2-范数;
norm(X,2) —— 同上;
norm(X,1) —— 计算矩阵 (向量) X的1-范数;
norm(X,inf) —— 计算矩阵 (向量) X的无穷范数;
norm(X,'fro') —— 计算矩阵 (向量) X的Frobenius范数;
normest(X) —— 只计算矩阵 (向量)
X的2-范数;并且是2-范数的估计值,适用于计算norm(X)比较费时的情况.
&& X=hilb(4)
&& norm(4)
&& norm(X)
&& norm(X,2)
&& norm(X,1)
&& norm(X,inf)
&& norm(X,'fro')
&& normest(X)
4.5.3 矩阵的条件数运算
矩阵的条件数是判断矩阵"病态"程度的一个量值,矩阵A的条件数越大,表明A越"病态",反之,表明A越"良态".如Hilbert矩阵就是一个有名的病态矩阵.
cond(X) —— 返回矩阵X的2-范数的条件数;
cond(X, P) ——
返回矩阵X的P-范数的条件数,其中P为1,2,inf或
rcond(X) ——
用于计算矩阵条件数的倒数值,当矩阵X为"病态"时,rcond(X)就接近0,X为"良态"时,rcond(X)就接近1.
condest(X) —— 计算关于矩阵X的1-范数的条件数的估计值.
&& M=magic(3)
&& H=hilb(4)
&& c1=cond(M)
&& c2=cond(M)
&& c3=rcond(M)
&& c4=condest(M)
&& h1=cond(H)
&& h2=cond(H,inf)
&& h3=rcond(H)
&& h4=condest(H)
从上计算可以看出,魔方矩阵比较"良态",而Hilbert矩阵是"病态"的.
4.5.4 矩阵的秩
秩是线性代数中的相当重要的概念之一,通常矩阵可以经过初等行列式或列变换,将其转化为行阶梯形矩阵,而行阶梯矩阵所包含非零行的行数是一个定的,这个确定的非零行的行数就是矩阵的秩.矩阵中的秩用函数rank(
&& T=rand(6)
0.5 0.3 0.3
0.5 0.6 0.8
0.4 0.9 0.1
0.7 0.9 0.8
0.4 0.2 0.0
0.9 0.9 0.6
&& r=rank(T)
由上计算可知,矩阵T为满秩矩阵.
&& T1=[1 1 1; 2 2 3]
&& r=rank(T1)
由上计算可知,矩阵T1为行满秩矩阵.
以上网友发言只代表其个人观点，不代表新浪网的观点或立场。线代问题 a1=（1,2,1,3） a2=（4,-1,-5,-6）a3=（1,-3,-4,-7） 求最大线性无关组我知道要化简矩阵为阶梯形矩阵,但化简出来后就不知怎么去找了,麻烦详细告诉我下到底怎么做（别说一个个去算,这个少了可以一多就不行了_百度作业帮
线代问题 a1=（1,2,1,3） a2=（4,-1,-5,-6）a3=（1,-3,-4,-7） 求最大线性无关组我知道要化简矩阵为阶梯形矩阵,但化简出来后就不知怎么去找了,麻烦详细告诉我下到底怎么做（别说一个个去算,这个少了可以一多就不行了
我知道要化简矩阵为阶梯形矩阵,但化简出来后就不知怎么去找了,麻烦详细告诉我下到底怎么做（别说一个个去算,这个少了可以一多就不行了）,最好多说几种方法 要详细点,谢谢了大学数学线性代数经典课件3-习题课_百度文库
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