计算下列弧长的弧长曲线积分分xy ds 其中L是椭圆x2/a2+y2/b2=1在第一象限中的部分 第三小

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-05-09 02:11 标签： 第一类曲线积分
第一类曲线积分问题,计算I=∮L|xy|ds,其中L为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a&0,b&0,| |是绝对值_百度作业帮
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第一类曲线积分问题,计算I=∮L|xy|ds,其中L为x^2/a^2+y^2/b^2=1,a>0,b>0,| |是绝对值
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由于被积函数关于x和y均是偶函数,而积分曲线关于两坐标轴均对称,因此使用两次奇偶对称性,可得：原式=4∫ xy ds,其中积分区域L只剩第一象限部分使用参数方程：x=acosu,y=bsinu,u：0→π/2ds=√[(x')²+(y')²]du=√(a²sin²u+b²cos²u)du原式=4∫ xy ds=4ab∫[0→π/2] cosusinu√(a²sin²u+b²cos²u) du=4ab∫[0→π/2] cosusinu√[a²sin²u+b²(1-sin²u)] du=4ab∫[0→π/2] cosusinu√[(a²-b²)sin²u+b²] du=4ab∫[0→π/2] sinu√[(a²-b²)sin²u+b²] d(sinu)=2ab∫[0→π/2] √[(a²-b²)sin²u+b²] d(sin²u)=(2/3)[2ab/(a²-b²)][(a²-b²)sin²u+b²]^(3/2)
|[0→π/2]=(4/3)ab(a³-b³)/(a²-b²)=(4/3)ab(a²+ab+b²)/(a+b)希望可以帮到你,不明白可以追问,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮,谢谢.D11_1对弧长曲线积分25p_百度文库
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(1/2)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:X2/a2+y2/b2=1的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S为椭圆C上位...(1/2)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:X2/a2+y2/b2=1的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S为椭圆C上位于x轴上方的动
(1/2)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:X2/a2+y2/b2=1的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S为椭圆C上位于x轴上方的动
（1）由已知得,椭圆C的左顶点为A（-2,0）,上顶点为D（0,1）,∴a=2,b=1故椭圆C的方程为x24y21（4分）（2）依题意,直线AS的斜率k存在,且k＞0,故可设直线AS的方程为y=k（x+2）,从而M10316k3,由 ykx2\x09x24y21 得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0设S（x1,y1）,则2x116k2414k2得x128k214k2,从而y14k14k2即S28k214k24k14k2,（6分）又B（2,0）由 y14kx2\x09x103 得 x103\x09y13k ,∴N10313k,（8分）故MN16k313k又k＞0,∴MN16k313k216k313k83当且仅当16k313k,即k14时等号成立．∴k14时,线段MN的长度取最小值83（10分）（2）另设S（xs,yS）,M103yM依题意,A,S,M三点共线,且所在直线斜率存在,由kAM=kAS,可得yM163ysxs2同理可得：yN43ysxs2又xs24ys21所以,yMyN649ys2xs24=不仿设yM＞0,yN＜0MNyMyNyMyN2yMyN83当且仅当yM=-yN时取等号,即yM43时,线段MN的长度取最小值83．（3）由（2）可知,当MN取最小值时,k14此时BS的方程为xy20s6545,∴BS425（11分）要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于15,只须T到直线BS的距离等于24,所以T在平行于BS且与BS距离等于24的直线l'上．设直线l'：x+y+t=0,则由t2224,解得t32或t52．又因为T为直线l'与椭圆C的交点,所以经检验得t32,此时点T有两个满足条件．（14分）3计算下列对弧长的曲线积分_中华文本库
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文本预览：
第十章 习题 10-1 3．计算下列对弧长的曲线积分： （1）
+ y 2 ) n ds, 其中L为圆周 x = a cos t , y = a sin t (0 ≤ t ≤ 2π )
(a 2 cos 2 t + a 2 sin 2 t )
( a sin t ) 2 + (a cos t ) 2 dt
= ∫ a 2 n+1 dt = 2π a 2 n+1
∫ ( x + y )ds, 其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段
解：该直线方程： y = 1
x 所以，原式= （3）
x )′ 2 dx = ∫
所围成的区域边界
xds, 其中L为由直线y = x 及抛物线y = x 2
y = x与y = x 2的交点为（ ， 00 ），（ ， 11 ）
记： L1 : y = x ( 0 ≤ x ≤ 1); 所以
L2 : y = x 2 (0 ≤ x ≤ 1)
∫ xds = ∫ xds + ∫ xds
= ∫ x 1 + ( x )′ 2 dx + ∫ x 1 + ( x 2 )′ 2 dx
= 2 ∫ xdx + ∫ x 1 + 4 x 2 dx
2 1 1 + ∫ (1 + 4 x ) 2 d (1 + 4 x 2 ) 2 8 0
2 5 5 1 + 2 12
ds, 其中L为由圆周 x 2 + y 2 = a 2 , 直线y = x及x轴
在第一象限内所围成的扇形的整个边界。 解：
y = x与x 2 + y 2 = a 2的交点为(
2 2 a, a) 2 2
记： L1 : y = 0 ( 0 ≤ x ≤ a )
L2 : y = x (0 ≤ x ≤ a
2 ≤ x ≤ a)
L3 : y = a 2
e x 1 + 0 2 dx + ∫
a x a 0 2x
1 + ( x ′) 2 dx + ∫ a e a 1 + (
|0 2 + ∫ a e a
a2 π dx = e a ( 2 + a )
2 2 2 4 a x
1 ds ，其中 Γ 为曲线 x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t 上相应于 2 2 x + y +z
t 从 0 变到 2 的这弧段。 解：原式=
( e t cos t
e t sin t ) 2 + ( e t sin t + e t cos t ) 2 + e 2 t dt 2t e 1 + e
3 t 3 e dt = (1
x 2 yzds ，其中 Γ 为折线 ABCD,这里 A,B,C,D 依次为点（0，0，0） 、
（0，0，2）（1，0，2）（1，3，2） 、 、 ；
x = 0, y = 0, z = t ( 0 ≤ t ≤ 2 ) ,
ds = 0 + 0 + 12 dt = dt
x = t , y = 0, z = 2 ( 0 ≤ t ≤ 1)
ds = 1 2 + 0 + 0dt = dt
x = 1, y = t , z = 2 ( 0 ≤ t ≤ 3)
2 1 3 0 0 0
ds = 0 + 12 + 0dt = dt
∴ 原式 = ∫ 0dt + ∫ 0dt + ∫ 1 2
习题 10-2 3. 计算下列对坐标的曲线积分： （2）
xydx, 其中 L 为圆周 ( x
a ) 2 + y 2 = a 2 (a > 0) 及 x 轴所围成的在第一象限内的区域
的整个边界（按逆时针方向绕行）
解：圆弧的参数方程为： x = 2a cos
y = 2a cosθ sin θ
(0 ≤ θ ≤ π ) 2
0dx + ∫ 2 4a 2 cos 3 θ sin θ ( 4a cos θ sin θ dθ ) =
π a 3 0 2
其中 L 为圆周 x + y = a
( x + y )dx
y )dy ， x2 + y2
（按逆时针方向绕行）
解：该圆的极坐标方程： x = a cos θ , y = a sin θ ( 0 ≤ θ ≤ 2π )
1 [a cos θ + sin θ )(
a sin θ )
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