易错题 在三角形ABC 中以知a=x,b=2,B=45度,如果利用正弦定理在三角形ABC 中以知a=x,b=2,B=45度,如果利用正弦定理解三角形有2解,则x的取值范围是（2,2倍根号2）_百度作业帮
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易错题 在三角形ABC 中以知a=x,b=2,B=45度,如果利用正弦定理在三角形ABC 中以知a=x,b=2,B=45度,如果利用正弦定理解三角形有2解,则x的取值范围是（2,2倍根号2）
在三角形ABC 中以知a=x,b=2,B=45度,如果利用正弦定理解三角形有2解,则x的取值范围是（2,2倍根号2）
因为AC=b=2要使三角形有两解,就是要使以C为圆心,半径为2的圆与BA有两个交点,当角A等于90时相切,当角A等于45时交于B点,也就是只有一解.所以角A大于45小于90.根号2/213.利用正弦定理和余弦定理解三角形_百度文库
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13.利用正弦定理和余弦定理解三角形
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于2015届高考数学总复习强化训练（北师大版）第四章：4.6《正弦定理、余弦定理及解三角形》的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：2015届高考数学总复习强化训练（北师大版）第四章：4.6《正弦定理、余弦定理及解三角形》 版权所有:中华资源库.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1. 正弦、余弦定理在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容asin A=bsin B=csin C=2Ra2=b2+c2-os_A;b2=c2+a2-2cacos_B;c2=a2+b2-2abcos_C变形(1)a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(2)sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R;(3)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C;(4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin Acos A=b2+c2-a22cos B=c2+a2-b22cos C=a2+b2-c22ab2. S△ABC=12absin C=12bcsin A=12acsin B=abc4R=12(a+b+c)r(r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R、r.3. 在△ABC 中,已知 (来源：淘豆网[/p-7693833.html])a、b 和 A 时,解的情况如下:A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin A bsin A&a&b a≥b a&b解的个数一解两解一解一解4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).版权所有:中华资源库)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°等.(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α(如图②).(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值.1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中,A&B 必有 sin A&sin B.( √)(2)若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( 3,2).( √)(3)若△ABC 中,acos B=bcos A,则△AB(来源：淘豆网[/p-7693833.html])C 是等腰三角形.( √)(4)在△ABC 中,tan A=a2,tan B=b2,那么△ABC 是等腰三角形.( × )(5)从 A 处望 B 处的仰角为α,从 B 处望 A 处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.( × )2. (2013湖南)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b,若 2asin B= 3b,则角 A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析在△ABC 中,利用正弦定理得2sin Asin B= 3sin B,∴sin A=32.又 A 为锐角,∴A=π3.3. (2013陕西)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos os B=asin版权所有:中华资源库 A,则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答案 B解析由 bcos os B=asin A,得 sin Bcos C+os B=sin2A,即 sin(B+C)=sin(来源：淘豆网[/p-7693833.html])2A,所以 sin A=1,由 0&A&π,得 A=π2,所以△ABC 为直角三角形.4. 在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则 AB+2BC 的最大值为________.答案 2 7解析由正弦定理知ABsin C=3sin 60°=BCsin A,∴AB=2sin C,BC=2sin A.又 A+C=120°,∴AB+2BC=2sin C+4sin(120°-C)=2(sin C+2sin 120°cos C-2cos 120°sin C)=2(sin C+ 3cos C+sin C)=2(2sin C+ 3cos C)=2 7sin(C+α),其中 tan α=32,α是第一象限角,由于 0°&C&120°,且α是第一象限角,因此 AB+2BC 有最大值 2 7.5. 一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 (来源：淘豆网[/p-7693833.html])h 后,船到 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为______km.答案 30 2解析如图所示,依题意有AB=15×4=60,∠MAB=30°,∠AMB=45°,在△AMB 中,由正弦定理得60sin 45°=BMsin 30°,解得 BM=30 2 (km).版权所有:中华资源库 正、余弦定理的简单应用例 1 (1)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2-b2= 3bc,sin C=2 3sin B,则 A 等于( )A.30° B.60° C.120° D.150°(2)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,则 sin B+sin C 的最大值为( )A.0 B.1 C.12D. 2思维启迪(1)由 sin C=2 3sin B 利用正弦定理得 b(来源：淘豆网[/p-7693833.html])、c 的关系,再利用余弦定理求 A.(2)要求 sin B+sin C 的最大值,显然要将角 B,C 统一成一个角,故需先求角 A,而题目给出了边角之间的关系,可对其进行化边处理,然后结合余弦定理求角 A.答案(1)A (2)B解析(1)∵sin C=2 3sin B,由正弦定理得 c=2 3b,∴cos A=b2+c2-a22bc=- 3bc+c22bc=- 3bc+2 3bc2bc=32,又 A 为三角形的内角,∴A=30°.(2)已知 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,根据正弦定理,得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc.由余弦定理得 a2=b2+c2-os A,故 cos A=-12,又 A 为三角形的内角,∴A=120°.故 sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)=32cos B+12sin B=sin(60°+B),故当 B=30°时,sin B+sin(来源：淘豆网[/p-7693833.html]) C 取得最大值 1.思维升华(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两版权所有:中华资源库要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.(1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于( )A.725B.-725C.±725D.2425(2)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则角 A 的大小为________.答案(1)A (2)π6解析(1)由正弦定理bsin B=csin C,将 8b=5c 及 C=2B 代入得bsin B=85bsin 2B,化简得1sin B=852sin Bcos B,则 cos(来源：淘豆网[/p-7693833.html]) B=45,所以 cos C=cos 2B=2cos2B-1=2×(45)2-1=725,故选 A.(2)∵A+C=2B 且 A+B+C=π,∴B=π3.由正弦定理知:sin A=asin Bb=12,又 a&b,∴A&B,∴A=π6.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例 2 (2012课标全国)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0.(1)求 A;版权所有:中华资源库)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c.思维启迪利用正弦定理将边转化为角,再利用和差公式可求出 A;面积公式和余弦定理相结合,可求出 b,c.解(1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0.因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于 sin C≠0,所以 sinA-π6 =12.又 (来源：淘豆网[/p-7693833.html])0&A&π,故 A=π3.(2)△ABC 的面积 S=12bcsin A= 3,故 bc=4.而 a2=b2+c2-os A,故 b2+c2=8.解得 b=c=2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法:(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化.(2)合理运用三角函数公式,如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c.(1)若 c=2,C=π3,且△ABC 的面积为 3,求 a,b 的值;(2)若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.解(1)∵c=2,C=π3,∴由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C 得 a2+b2-ab=4.又∵△ABC 的面积为 3,∴12absin C= 3,ab=4.联立方程组a2+b2-ab=4,ab=4,解得 a=2,b=2.(2)由 sin C+sin(B-A)=sin 2A,版权所有:中华资源库得 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A(来源：淘豆网[/p-7693833.html]),即 2sin Bcos A=2sin Acos A,∴cos A(sin A-sin B)=0,∴cos A=0 或 sin A-sin B=0,当 cos A=0 时,∵0&A&π,∴A=π2,△ABC 为直角三角形;当 sin A-sin B=0 时,得 sin B=sin A,由正弦定理得 a=b,即△ABC 为等腰三角形.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.题型三解三角形的实际应用例 3 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在 A 处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为 45°,距离为 10 n mile 的 C 处,并测得渔轮正沿方位角为 105°的方向,以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以 21 n mile/h 的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间 t,找出等量关系,然后解三角形.解如图所示,根据题意可知 AC=1(来源：淘豆网[/p-7693833.html])0,∠ACB=120°,设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h,并在 B 处与渔轮相遇,则 AB=21t,BC=9t,在△ABC 中,根据余弦定理得 AB2=AC2+BC2-os 120°,所以212t2=102+92t2+2×10×9t×12,即 360t2-90t-100=0,解得 t=23或 t=-512(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时 AB=14,BC=6.在△ABC 中,根据正弦定理得BCsin∠CAB=ABsin 120°,所以 sin∠CAB=6×,即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去).即舰艇航行的方位角为 45°+21.8°=66.8°.版权所有:中华资源库以 66.8°的方位角航行,需23h 才能靠近渔轮.思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中,三角形可解,则至少要知道这个三角形的一条边长.解题中注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角表示出来,注意不要把角的含义弄错,不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为 15°,如图所示,向山顶前进 100 m 后,又从B点测得斜度为 45°,设建筑物的高为 50 m.求此山对于地平面的斜度θ的余弦值.解在△ABC 中,∠BAC=15°,∠CBA=180°-45°=135°,AB=100 m,所以∠ACB=30°.由正弦定理,得100sin 30°=BCsin 15°,即 BC=100sin 15°sin 30°.在△BCD 中,因为 CD=50,BC=100sin 15°sin 30°,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ,由正弦定理,得50sin 45°=100sin 15°sin 30°sin90°+θ,解得 cos θ= 3-1.因此,山对地面的斜度的余弦值为 3-1.代数式化简或三角运算不当致误典例:(12 分)在△ABC 中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC 的形状.易错分析(1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等,忽略两角互补情形;(2)代数运算中两边同除一个可能为 0 的式子,导致漏解;(3)结论表述不规范.规范解答版权所有:中华资源库解∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],∴2sin Acos Bb2=2cos Asin Ba2,即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. [4 分]方法一由正弦定理知 a=2Rsin A,b=2Rsin B,∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,又 sin Asin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B,∴sin 2A=sin 2B. [8 分]在△ABC 中,0&2A&2π,0&2B&2π,∴2A=2B 或 2A=π-2B,∴A=B 或 A+B=π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形. [12 分]方法二由正弦定理、余弦定理得:a2bb2+c2-a22bc=b2aa2+c2-b22ac,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0.即 a=b 或 a2+b2=c2.∴△ABC 为等腰或直角三角形. [12 分]温馨提醒(1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化,使之变为只含边或只含角的式子然后判断;注意不要轻易两边同除以一个式子.(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三角函数值的影响.方法与技巧版权所有:中华资源库 1. 应熟练掌握和运用内角和定理:A+B+C=π,A2+B2+C2=π2中互补和互余的情况,结合诱导公式可以减少角的种数.2. 正、余弦定理的公式应注意灵活运用,如由正、余弦定理结合得 sin2A=sin2B+sin2C-2sin os A,可以进行化简或证明.3. 合理利用换元法、代入法解决实际问题.失误与防范1. 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角,进而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解,所以要进行分类讨论.2. 利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组专项基础训练(时间:40 分钟)一、选择题1. 在△ABC,已知∠A=45°,AB= 2,BC=2,则∠C 等于( )A.30° B.60° C.120° D.30°或 150°答案 A解析在△ABC 中,ABsin C=BCsin A,∴2sin C=2sin 45°,∴sin C=12,又 AB&BC,∴∠C&∠A,故∠C=30°.2. △ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若cb&cos A,则△ABC 为( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形答案 A解析依题意得sin Csin B&cos A,sin C&sin Bcos A,所以 sin(A+B)&sin Bcos A,即 sin Bcos A+cos Bsin A-sin Bcos A&0,播放器加载中，请稍候...
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2015届高考数学总复习强化训练（北师大版）第四章：4.6《正弦定理、余弦定理及解三角形》 版权所有:中华资源库.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1. 正弦、余弦定理在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容asin A=bsin B=csin C=2Ra2=b2+c2-os_A;b2=c2+a2-2cacos_B;c2=a...
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