土木工程专业结构力学期末总复习_百度文库
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土木工程专业结构力学期末总复习
土​木​工​程​专​业​结​构​力​学​复​习​题
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北方工业大学：结构力学：13(1)
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第十三章结构的动力计算§ 13-1、动力计算的特点和动力自由度? 1、动力荷载的特点。? 静力荷载, 施力过程缓慢,不使结构物产生显著的加速度,因而是可以略去惯性力影响的荷载。? 静力荷载对结构的影响,静力荷载作用下，结构处于静力平衡状态，荷载的大小、方向、作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。? 动力荷载,施力过程较迅速，在动力荷载作用下，结构将产生不容忽视的加速度，必须考虑惯性力的影响。? 动力荷载对结构的影响,动力荷载作用下，结构将发生振动。荷载的大小、方向、作用点以及由它引起的结构的内力、位移等各种量值都是时间的函数。力系中包括惯性力，计算中考虑瞬间平衡。2、常见的动力荷载及分类? 1、周期荷载,荷载随时间作周期性变化。? （ 1）简谐周期荷载：荷载 FP(t) 随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示。是周期荷载中最简单，也是最重要的一种。? （ 2）一般周期荷载：简谐荷载以外的其它形式的周期荷载。t简谐荷载FP(t)t周期荷载FP(t)? 2、冲击荷载,在很短的时间内，荷载急剧增大或急剧减小。? （ 1）作用在结构物上的爆炸冲击荷载。? （ 2）突加荷载，突然施加于结构并在一定时间内荷载值维持不变。? （ 3）撞击荷载，物体之间相互撞击作用，在极短时间内出现，又突然消失的荷载。? 以上为数定荷载，确定性荷载。t非周期性的爆炸荷载FP(t)3、随机荷载（非数定荷载）：? 在任一时刻的数值无法预测。? （ 1）地震对建筑物的激振。? （ 2）风力的脉冲荷载。? （ 3）波浪对坝体的拍击。等? 动力荷载作用可以是分布的，也可以是集中的。其作用位置可以是固定的，也可以是随时移动的。? 本课程在此只讨论数定荷载作用。tüg3、结构动力计算的特点? 根据达朗伯 (J.le R,d’ Alembert) 原理，动力计算问题可以转化为平衡问题来处理。但这是一种动平衡，是在引进惯性力条件下的平衡。? 注意两个特点：? 1、在所考虑的力系中包括惯性力。? 2、这里考虑的平衡是瞬时平衡，荷载及其引起的内力等量值均为时间的函数。4、结构动力计算的内容? 结构动力计算的目的：确定动力荷载作用下结构的内力，位移等量值随时间而变化的规律，从而找出最大值，作为结构设计和验算的依据。? 研究结构受迫振动是动力计算的一项根本任务。而结构在受迫振动时各截面的最大内力和位移均与结构自身的动力特性有关，即与结构自由振动时的频率和振动形式密切相关。因此，寻求结构自身的自振频率与振型就成为研究受迫振动的前提。? （ 1）结构动力特性? 结构自由振动 （振动过程中无外干扰力作用）? 结构自身的自振频率 ω，? 自振周期 T，? 振动形式 {Y}，? 阻尼性质。? （ 2）结构的动力反应? 结构的受迫振动 （振动过程中受外干扰力作用）位移、内力等：,y(t),y(t)y(t) ;M(t),FN(t),FQ(t)5、动力计算中体系的自由度? （ 1 ）结构动力计算的计算简图及自由度。? 动力计算中由于要考虑惯性力的作用，因此需要研究体系的质量分布，即，质量在运动过程中的自由度问题。? 自由度,结构（体系）在变形过程中，确定全部质量位置所需要的独立参数的数目。? 一个结构（体系）的自由度是指，为了确定运动过程中任一时刻，全部质量位置所需确定的独立几何参数的数目。? 一般体系都是连续分布的，属于无限自由度问题。计算繁重，一般不必要。简化通常有两种方法。? ①,集中质量法：? 集中质量 （质点或刚体）? 弹性无重杆有限个自由度体系? 由于对问题的复杂性和计算精度的要求不同，同一结构可取不同的计算简图。? 为了简化计算，杆系 (受弯 )结构振动时，通常假定：? a,略去质量的角位移（转动惯量），把质量视为质点。? b,忽略质量运动在结构杆件中产生的轴向变形。y = y ( x,t )xym EI l n=∞xyy3( t )a a a am m mm/2 m/2mi=may1( t ) y2( t )xym EI ly = y ( x,t )Wy = y (t )xym=W/g +mlm无限自由度有限自由度②, 广义坐标法把一个无限自由度体系简化为有限自由度体系时,可以通过近似地假设振动曲线来实现。如：)()(1xaty kkk ?????其中 φ1(x),φ2(x),…φn(x)为满足位移边界条件的已知函数（形状函数）。a k ― 待定参数（广义坐标）。? 具有分布质量的简支梁是一个具有无限自由度的体系。简支梁的挠度曲线可用三角函数表示：lxkatykk?s in)(1????? 其中,sin (kπx/l)― 形状函数（满足位移边界条件）? a k ― 待定参数，广义坐标 (坐标选定后，由无限多个广义坐标 a k确定 y(t) )。lxkaty nkk?s in)(1???? 通常取前几项 。? 无限自由度简化为 n 个自由度体系。( 2 )、确定质点体系自由度数目的方法? 较简单的可以直接判定。? 较复杂的可以采用链杆法，即：加入最少数量的链杆，限制体系上所有质点运动的方法来判定。? 体系的自由度数目 =加入链杆数。m1 m2m3例：m1 m2m3y1( t ) y2( t )y3( t )n=3n=1EI=常数n=2EI=常数n=3EI=常数n=4EIEIEI=∞n=2动力自由度的特点：? （ 1）、与质量的分布，体系的支承和变形性质有关。? （ 2）、与体系是否有多余约束无确定关系。? （ 3）、动力自由度的数目不一定等于质点的数目。? （ 4）、动力自由度与体系几何构造自由度的异同？? 共同处：体系运动形式的独立参数个数。? 不同处：一为质点运动的自由度；一为刚体体系的运动自由度。§ 13-2、单自由度体系的自由振动? 1、自由振动微分方程的建立? （ 1）、建立动平衡方程（刚度法）? 杆头作用集中质量为 m；? 梁的刚度系数为 k。（ 使梁端产生单位位移时，在梁端所需施加的水平力）? 振动某一时刻 t, 质量离开其平衡位置的位移为 yd (t)。mydS st m静平衡位置kkmWFe (t)FI (t)? 取质量 m为隔离体，在振动的任一瞬时，质点上所受的力有：（ 1）、重力 W（ 2）、弹性力 Fe (t) 。（ 3）、惯性力 FI (t)mWFe (t)FI (t)弹性力 Fe (t),Fe (t)= - ky(t)= - k (S st+ yd )惯性力 FI (t),FI (t)= - m? (t)= - m(S st+ ? d )E则动力平衡方程：m?d + k yd = 0m(S st+ ?d )+ k (S st+ yd ) =WE有,W= kS st ES st=0? m ? + k y = 0 (13-1)若以静力平衡位置作为计算位移的起点，则所得的动力位移的微分方程与重力无关。故：? 质点在惯性力与弹性力的作用下维持动力平衡（达朗伯原理）。? 故,m ? + ky = 0? 或写成,? + k /m·y = 0? ? +ω2y = 0 (13-2)ω = √k /m? 即为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，反映了振动的一般规律。在运动的任一瞬时 t, 在质量 m上作用有惯性力 FI(t)= -m?,则质量在任一瞬时的位移为：(2)、建立动位移方程（柔度法）y (t)FI (t)静平衡位置y(t)=FI·δ= - m·? ·δ=(- m ·?) · k1? δ=1/k― 弹簧的柔度系数，即：梁端作用单位力时，梁端产生的位移。其值与刚度系数 k互为倒数。y (t)FI (t)静平衡位置? 质量 m在运动过程中任一时刻的位移,等于在当时的惯性力作用下的静力位移。2、自由振动微分方程的解? 由方程,?+ω2y = 0? （ 13-2）? 通解,y(t)= B cos ωt + C sin ωt? B,C由初始条件定。? t =0 y(0)= y0 ( 初位移 )? y(0)= y0 = v0 ( 初速度 )? 代入通解,可得：? B = y0,C = v0 /ωkm? ?称为“谐振动”。 a表示质点的最大位移，称为振幅； α为初相角。由于 cosωt,sin ωt都是周期函数，它们每经历一定时间，就会出现相同的数值。若给时间 t一个增量 T=2π/ω,则 y,y的数值均不变。? y(t)= y0cos ωt +v0 /ω sin ωt （ 13-3）若令,y0= a sinφ,v0 /ω = a cosφy(t)=a sin(ωt+α) (13-4)a= y02 +v02 /ω2α =1tan-1 (y0ω /v0 ) (13-5 )3、结构的自振周期和频率? （ 1）、周期 T― 振动一次的时间。对一定体系是常数。? T = 2π/ω （ 13-6）? 单位“秒 （ s）,? （ 2）,频率 f― 单位时间的振动次数（也称为工程频率）。? f =1/T=ω/2π （ 13-7）? 单位,1/秒,或称为,赫兹,? 圆频率 ω（ 习惯上简称为频率，自振频率） ― 2π个单位时间内振动次数。? ω=2π/T =2πf （ 13-8）? 单位,rad/s, 弧度 /秒。? （ 3）、自振周期和频率计算公式的几种形式：(13-10)kmω= = 1m δ =gW δ =gS stT=2π δm =2π m δ =2π W δg =2π gS st（ 4）、结构自振周期（频率）的一些重要性质? ①、自振周期 T（ 自振频率 ω） 只与结构的质量和刚度（柔度）有关，与外界干扰因素无关。（干扰力的大小只能影响振幅，是初始条件）。? ②,T与 m的平方根成正比（ m大,T大）； T与 k的平方根成反比（ k大,T小）。? ω与 m的平方根成反比（ m大,ω慢）； ω与 k的平方根成正比（ k大,ω快）。? 改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度入手。? ③,T（ 或 ω） 是结构动力特性的重要数量标志。? 两个外表相似的结构，如 T（ 或 ω）不同，则动力性能相差很大。? 两个外表相差很大的结构，如 T（ 或ω） 相同，则动力性能基本一致。例,? 图示各梁 EI=常数,跨中有集中质量 m,忽略梁本身的质量,求各梁的自振周期 T和自振频率 ω。? 解：? 本题用柔度法比较方便。? 先求出各梁的 δ,T、ω,再进行比较。? (a)? δ=2× (FP=1δ FP=1l/4M12l4l223l348EI× × )× ( l4× )=ω= ml348EI√T= ml348EIω2π =2π√? (b)? δ=[(1/2·3l/16·l/2)·? (2/3·l/2)-(1/2·? 5l/32·l/2)·? (1/3·l/2)]/EI? = 7l3/768EIω= 768EI/7ml3√T=2π 7ml3/768EI√FP=1δFP=13l/165l/32 MFP=1l/2M? (c)? δ=2[(1/2·l/8·l/2)·? (2/3·l/2)-(1/2·? l/8·l/2)·? (1/3·l/2)]/EI? = l3/192EIω= 192EI/m l3√T=2π m l3/192EI√FP=1δFP=1l/8 l/8l/8 MFP=1l/2M比较,? ω1, ω2, ω3 = 1, 1.512, 2? T1, T2, T3 = 1, 0.66, 0.52例,? 各柱 EI=常数,横梁 EI1=∞,各跨横梁的质量均为 m,柱的质量不计,求体系的自振周期 T和自振频率 ω。? 解：? 本题为单自由度体系的自由振动问题。当柱顶发生单位水平位移时，各柱剪力为 12EIi/H3。k12EIH324EIH324EIH312EIH3k= 72EIH3? ∑X=0? k = 2× 12EI/H3+2× 24EI/H3? = 72EI/H3EImHEImHT2427232 33 ?? ??3324372mHEImHEI ???§ 13-3、单自由度体系强迫振动? 一、运动微分方程? 1、质点运动方向上作用动荷载 FP(t)? 列动平衡方程：? ∑y=0? FI(t)+Fe(t)+FP(t)=0? m? + k y = F P(t)? ? +ω2y = FP(t)/m? (13-11)mkEI,lFP(t)y(t)FP(t)FI(t)Fe(t)? 列动位移方程：?在运动的任意时刻 t,? y(t)=FI(t)·δ+FP(t)·δmkEI,lFP(t)y(t)FI(t)FP=1δ2、动荷载作用在结构的任意位置? 列动位移方程：? 运动任意时刻 t,质点上作用有假想的惯性力 FI(t)。? y(t)=FI(t)·δ11+FP(t) ·δ1P? =-m? ·δ11+ FP(t) ·δ1P? m?·δ11+y(t) = FP(t) ·δ1P? m?+1/δ11 ·y = δ1P/δ11· FP(t)? 令, δ1P/δ11· FP(t)= FP(t)? ?+ω2y = FP(t)/mmkEI,lFP(t)y(t)FP=1δ11FP=1δ1PFI(t)3、基础运动? 基础发生运动 ug(t),列动平衡方程：? ∑X=0? FI(t)+ Fe(t) =0? m?+ky = - müg(t)? 令,FP(t) = - müg(t)? m?+ky = F P(t)? ?+ω2y = FP(t)/müg 地面加速度 Fe(t)= - k yFI(t)= - m(?+ü g )小结：? 1、单自由度体系 （ SDOF） 强迫振动时，荷载是否作用在质点运动方向上，在微分方程中影响非齐次项。动荷载如果不作用在质点运动方向上，应用 FP (t)代替 FP (t) 。? 2,注意各项系数的物理意义和计算方法。提问：? 1、第 2种情况下，是否可用动平衡法列出运动微分方程？如何列出？? 2、第 3种情况下，是否可用动位移法列出运动微分方程？如何列出？二、简谐荷载 FP (t) =Fsinθt 作用? 1、简谐荷载作用下的动力反应。? F― 荷载最大值（干扰力幅值）? θ― 简谐荷载圆频率? ?+ω2y =F/m·sinθt (a) 二阶线性非齐次方程? 齐次解,y(t)=B cosωt+ C sinωt? 特 解,y* = A·sinθt? 特解代入（ a） 式, (-θ2+ω2)D sinθt=F/m ·sinθt? 得,A=F /[m(-θ2+ω2)]? y* = F /[m(-θ2+ω2)] · sinθt? = F /[mω2(1-θ2/ω2)]· sinθt22( ) c o s s in s in()Fy t B t C t tm? ? ???? ? ? ? ? ??通解：? 若设零初始条件：22( 0 ) 0,0( 0 ) 0,()yBFyCm?? ? ????? ? ? ??代入通解：2 2 2 2( ) s in s in ( ) ( )FFy t t tmm? ??? ? ? ? ?? ? ? ???第一部分称为伴生自由振动,由于实际存在的阻尼，很快衰减。第二部分则按照干扰力的频率 θ振动。tyty st ??? ???s in11)(22很快进入 稳态受迫振动 阶段，或称为 纯受迫振动 阶段。此时有：22 2 221( ) s in s in()( 1 )FFy t t tmm???? ? ??? ? ???由于：221stkF Fym m m?? ??? ? ? ?有：? 最大动位移（即振幅）为：22m a x11)]([???? stytym a x22[ ( ) ] 11styty??????styty最大静力位移最大动力位移动力系数 m a x)]([?其中,yst― 将干扰力幅值视为静力荷载作用于体系时引起的位移。令：（ 13-13）( ) s i n sty t y t??? ? ?2、动力系数的特性? (1) θ/ω→0, β→1 。? y(t)与 FP (t) 同相,y(t) ＞ yst 。? (2) θ/ω＞ 1,θ＞ ω,β ＜ 0。? y(t)与 FP (t)反相 。? θ＞＞ ω,θ/ω→∞,β →0 。? (3) θ/ω→1,(θ=ω),β →∞,? y(t) →∞ 。 共振。? 实际上由于有阻尼的影响，动位移不会趋于无穷，但 y(t) ＞＞ yst。? 建筑上一般在 0.75≤θ/ω ≤ 1.25 区域内称为共振区，应避免。11 θ/ωβ0.75 1.253、动力位移与动力内力的计算（动静法）? 简谐荷载 FP (t) =F sinθt作用在质点运动方向上。? 求得最大动力振幅 yP = β ·yst? 求 最大动力内力时，将惯性力作用在质点上：? FI (t)= -m?= m β ·yst·θ2·sinθt=FI0 · sinθt? 无阻尼时，惯性力幅值 FI0与动力荷载幅值 F同时达到最大值。? 所以当动荷载幅值 F与惯性力幅值 FI0同时作用在质点上，求出的相应内力，即为体系的最大动内力。? 值得注意的是：当荷载作用在质点运动方向上，则 动位移系数 β =动内力系数 。此时：? F+ FI0 = β F? 故可用 β F 代替 F+ FI0的作用,将其作用在质点运动方向上，所求得的即为结构的最大动内力。Fsinθt FFI0β FβF=F+FI0EI l m EI l mEI l m（ 2）、一般情况 （荷载作用在任意位置）? 在质点上加惯性力FI(t),与原荷载一起，用（动）静力法求体系的位移和内力。? 无阻尼时，用动荷载和惯性力的幅值即可求出体系的最大动力反应。? 注,此时，不能μFP代替 FP和 FI0, 计算动位移和动内力。FP sinθtFPFI0为什么？三、一般动荷载作用? FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。? 微分方程为,?(t)+ω2y(t)= FP (t) /m? 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。1、瞬时冲量的动力反应? （ 1）、体系 t=0时处于静止状态，突然有 瞬时冲量 作用 S=FP·Δt,求任意时刻的动力反应。? S作用后，体系产生自由振动。? 由于冲量的作用，体系产生初速度。（初位移为零）? v0=S/m= FP· Δt /mFP(t)OtFPΔtS=FP·Δt? 利用自由振动公式：? y(t)= y0cos ωt +v0 /ω·sin ωt? ∴ y = S /mω·sinωt? (13-14 )? (2),如在 t=τ时作用瞬时冲量 S,则在以后任一时刻 t（ t＞ τ） 时的位移为：? y( t ) =S/mω·sinω(t-τ)FP(t)OtFPt-ττ dτtS=FP·dt2、一般动力荷载的动力反应? FP (t)的作用相当于连续冲量的作用。? 在 t = τ 时，作用荷载为FP (τ)? 在微分时段 dτ内产生的冲量为 dS = FP (τ) dτ 。? 此微分冲量引起如下的动力反应，对于 t＞ τ:FP(t)Ott-ττ dτtdI=FP·dtdy = ·sinω(t-τ)mωFP (τ)dτ? 总反应为所有冲量引起的微分反应进行叠加。? ??tP dtFmty 0 )(s i n)(1)( ?????（ 13-15）? 上式称为 杜哈梅（ J.M.C.Duhamel） 积分 （零初始条件）。即：初始处于静止状态的单自由度体系在任意动荷载 FP (t) 作用下的位移计算公式。? 如在初始条件中，初位移为 y0,初速度为 v0,则总位移：? ????? t P dtFmtvtyty 000 )(s i n)(1s i nc o s)( ????????? 注：只要知道 FP (t)的表达式，便可使用上述公式求体系的动力反应。如荷载未作用在质点运动方向上（或地面运动），可用FP (t)代替 FP (t)。（ 13-16）3、讨论几种动力荷载的动力反应? （ 1）、突加荷载0FP(t)tFP0设,y0= v0=0 (t = 0时 )FP(t)= 0 t & 0FP0 t & 0将 FP (t)的表达式代入 （ 13-15） 中,当 t & 000000211( ) sin ( ) sin ( ) ( )( 1 c os ) ( 1 c os )ttPPPstFy t F t d t d tmmFt y tm? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ???（ 13-17）? y(t) = yst (1- cosωt)? FP0 /mω2 = FPδ = yst? [ y (t) ]max=2 yst =2 FP/mω2? β = [ y (t) ]max / yst= 2 ――动力系数yst0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π ω t静位移位置（ 2）、短期荷载FP(t)=0 t&0FP0 0&t&u0 t& uFP(t)tFP0u解,阶段 Ⅰ, （ 0≤t ≤ u ）y(t) = yst (1- cosωt)或 y(t) = yst (1- cos2πt/T)阶段 Ⅱ,有多种作法。①、直接利用杜哈梅积分②、利用自由振动公式 （用突加荷载公式算出 t= u时的位移和速度，作为 t≥ u 时的初始条件）021( ) [ sin ( ) 0 sin ( ) ][ c os( ) c os ]2 sin sin ( ) ( 13 19 )22utPouPosty t F t d t dmFt u tmuuyt? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???00( ) ( 1 c o s )( ) sin()( ) ( ) c o s ( ) sin ( )ststy u y u yy u y u vyuy t y u t u t u??????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?&&? 体系最大反应（分两种情况）：? ①,u&T/2（ 加载时间大于半个自振周期）? 最大动力反应发生在阶段 Ⅰ,动力系数? β = [ y (t) ]max / yst= 2。? ②,u& T/2（ 加载持续时间小于半个自振周期）? 最大动力反应发生在阶段 Ⅱ,? [ y (t) ]max = yst? 2 ?sin(ωu /2)? 动力系数：? β = [ y (t) ]max / yst= 2 ?sin(ωu/2)=2?sin(πu/T)∴ 动力系数 β = 2sin(πu/T) u /T &1/22 u/T &1/2βu/T1/6 0.5 112β与 u /T之间的关系曲线，称为“动力系数反应谱”。§ 13-4、阻尼对振动的影响? 一、阻尼理论? 对振动起阻碍作用的因素称为阻尼。? 阻尼可分为几种，统称为阻尼力。? 1、来自外部介质，如空气、液体的阻力，支承的摩擦等。? 2、来自物体内部的作用，材料分子之间的摩擦和粘着性等。? 由于内外部阻尼的规律不同，且与各种建筑材料的性质有关，因而确切地估计阻尼的作用是一个非常复杂的问题。? 为此，提出了许多不同的建议，为使计算较简单，常用福格第 （ Voigt） 假定：? 振动中物体所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力。? FC(t)= - cy(t)? c ― 阻尼系数，粘滞阻尼系数。? （单位 N·s/m）二、单自由度体系有阻尼振动微分方程? 由动平衡：? FI(t)+FC(t)+Fe(t)+FP(t)=0?m y(t)+c y(t)+ k y(t)=FP(t)? (13-22)?m y(t)+c y(t)+ k y(t)= 0y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=0 ω=√ k/m?ξ=c/2mω―阻尼比 (13-24)mkcy(t)mFP(t)FI(t)Fe(t)FC(t)(一 )、有阻尼的自由振动（ 13-23）（ 1）、运动微分方程的解? 设微分方程 (15-26)的齐次解为? y(t)=C ert? r由特征方程确定? r2+2ξωr+ω2=0r1,2=ω(-ξ ± ξ2 C 1 )√一般解,y(t)=C1 er1 t + C2 er2 tξ是一个重要参数,ξ的大小，使体系的运动呈不同情况。ξ ＞ 1 ξ =1 ξ ＜ 1大阻尼 临界阻尼 小（弱）阻尼①,小 (低、弱）阻尼情况12( ) ( c o s s in )trry t e C t C t?? ??????方程的一般解为：令,ωr = ω √ 1-ξ2ri=ωξ ± iωr? 引入初始条件：001 0 2,rvyC y C ???????000( ) ( c o s sin )trrrvyy t e y t t?? ?????? ? ? ? ? ???( ) s in ( )t ry t e a t?? ??? ? ???22 000 2(rvyay ??????? ）000ta n ryvy?????? ? ?（ 13-27）（ 13-28）②、阻尼对振动的影响a,频率,ωr≈ω,ωrQ ω (Tr=2π/ ωr ≈T)∵ ωr = ω √ 1-ξ2如 ξ 很小，计算 ω 时可不考虑阻尼的影响。如 ξ＜ 0.2,则 0.96＜ ωr /ω ＜ 1,即,ω’≈ω注,建筑结构物 ξ一般很小，约在 0.01―0.1之间。? b,振幅,a·e -ξωt? 阻尼使振幅不断衰减，结构在振动过程中为克服阻力而作功，当初始时刻外界赋予结构的能量全部消耗贻尽，结构停止振动。tyyk yk+1a·e -ξωttk Trtk+1 T’=2π/ωr()1kktktTky a ey a e????? ? ?? ? ? ??????()1kktTTktky e eye??????? ? ? ???? ? ?? ? ? 相 邻 两 个 振 幅 比1l n kky Ty???? ? ? ? 振 幅 对 数 递 减 率因此：11 l n2krkyy???? ???如果 ξ＜ 0.2,则,≈1ωrω 而：11 l n2kkyy?? ??也可用 yk 和 yk+n表示两个相隔 n个周期的振幅，可得：(13-29)1 l n2krknyy???? ???当 ≈1ωrω1 l n2kknyy?? ??（ 2）、临界阻尼 （ ξ=1） 时的情况? y(t)=[ y0(1+ωt) + v0t ]e-ωt （ 15-34）? 体系受干扰后，偏离平衡位置所积蓄的初始能量，在恢复到平衡位置过程中，全部消耗于克服阻尼的影响，无多余能量引起振动。? 这时的阻尼称为“临界阻尼”。这时的阻尼常数称为临界阻尼常数 cr。由 c = 2mωξ 而 ξ = 1cr=2mω=2√ km (13-30)∴ ξ =c/ 2mω = c / cr临界阻尼 （ ξ=1） 时的情况tyoy oθotanθo =vo例：? 图示刚架，水平力FP=9.8kN,实测柱顶侧移 y0=0.5cm。 突然卸载，使结构发生水平振动（自由振动）测得T=1.50s,y1=0.4cm,求体系阻尼比 ξ和阻尼常数 c。FP解：EIEI=∞EIy0=0.5cm0111 1 1 0, 5 l n = l n = l n = 0, 0 3 5 52 2 2 0, 4kkyyyy? ? ? ????ω = 2π /T= 2 π/1.5 =4.189 s -1c = ξ ? 2mω =0.035× 2× 5; 4.189= 33220 N ?s/mm= k /ω2=196× 104 / (4.189) 2 =111695kgk=mω2k= FP /y0= (9.8× 103)/0.005=196× 104 N/m三、有阻尼强迫振动? 微分方程：? m y(t)+c y(t)+ k y(t)=FP(t)? y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=FP(t)/m? 1、简谐荷载,FP(t) = Fsinθt?y(t)+2ξωy(t)+ω2y(t)=F/m sinθt? 讨论平稳振动,? y(t)= yP sin(θt-α) ( 13-35a )2222221( 1 ) 4P s tyy?? ???????1222 ( )ta n1??????????2222221( 1 ) 4?????????(13-36)动力系数：(13-35b)?y(t)= yP sin(θt-α) ( 13-35a )式中：振幅,相位差,与无阻尼强迫振动相比,有阻尼强迫振动有以下特点：? （ 1）,θ＜＜ ω,θ / ω → 0, β→ 1 。? 由于振动很慢,因而惯性力和阻尼力都很小,动力荷载主要由结构恢复力平衡,此时 α →0 0,位移基本上与荷载同步。(y与 FP同步 )? （ 2）,θ＞＞ ω,θ / ω → ∞, β很小。? 体系振动很快，质点近似于作振幅很小的颤动。由于振动很快，因此惯性力很大，动力荷载主要由惯性力平衡。此时 α →180 0，位移与荷载反向。? （ y与 FP反向）? （ 3）,θ ≈ ω,θ / ω → 1, β 增加很快,动力反应即振幅很大 。? 此时 α→ 90 0, 位移 y(t)落后于荷载 FP(t)大约 900，即,FP(t)最大时,y(t)很小，所以 FI(t)和 Fe(t)都很小。? 此时,FP(t)主要由阻尼力 FC(t)来平衡。 θ在 ω附近时，阻尼力 FC(t)将起重大作用。动力系数明显受阻尼大小的影响。? 在 0.75＜ θ / ω＜ 1.25 之间，阻尼将大大减小简谐强迫振动的位移幅值。0 0.5 1.0 1.5 2.0θ/ω4.03.02.01.0βξ=1ξ=0.5ξ=0.2 ξ=02、有阻尼一般动力荷载作用? 有阻尼体系（ ξ＜ 1） 承受一般动力荷载的作用，其反应可由杜哈梅积分求出。? 推导方法与无阻尼体系一致。? 零初始条件，体系总反应：()0()( ) sin ( )ttPrrFy t e t dm? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ??(13-31)小结：? 1、干扰力是否作用在质点运动方向上，在动力微分方程中只影响右端项。? 2、强迫振动? 简谐荷载：? 无阻尼：? 有阻尼：( ) s i nsty t y t???? 2211?????2222221[ ( 1 ) 4 ]??? ????? ? ?( ) s i n ( )sty t y t? ? ?? ? ?? 一般动力荷载：? 无阻尼：? 有阻尼：? ??tP dtFmty 0 )(s i n)(1)( ?????()0()( ) sin ( )ttPrrFy t e t dm? ? ?? ? ? ??? ? ?? ? ??? （ 3）、动力反应（动位移，动内力）的计算。? 动力设计应避免在共振区。? 共振区外可按无阻尼计算。? 共振区内必须考虑阻尼的影响。EI,l EI,lm mFP FPFP0 FP0习题课：单自由度体系振动? 要求：? 1、掌握建立动力微分方程的方法。? 2、掌握单自由度体系自振频率，自振周期的计算方法。? 3、会进行结构在动力荷载作用下的动力反应（动位移，动内力等）的计算。习题 1、? 求出下图所示结构 （ a）、（ b） 的自振频率，并比较。（要求列运动微分方程）lFP sinθtl lFP sinθt注意两结构的变形曲线FP sinθt FP sinθt习题 2：? 试求图示结构的自振频率和自振周期。? 列出质点的运动微分方程。? 求当 θ2/ω2=1/2时的振幅和弯矩。FP sintEI =常数l2l 2l11m习题 3：? 试比较图示两结构的自振频率。设 f为左图所示简支梁的 柔度系数 。右图中 k=4/f。 若在质点处作用有 P sinθt,求两个结构中点位移幅值，并进行比较。设 θ2=2ω2,ω为简支梁 (a)的自振频率,ω2= 1/mf 。FP sint FP sint习题 4:? 试求图示结构的自振频率和自振周期。? 列出质点的运动微分方程。EI=常数ml/2 l/2M sinθt习题 5：? 图示体系各杆 EA=24kN,m=1000kg,求水平振动时的自振频率 ωH，竖向振动时的自振频率ωV 。? （说明：当不考虑杆AB的转动时，本题为两个自由度体系。在此，水平位移与竖向位移相互之间不耦连，故可分成两个单自由度体系振动问题）。习题 6:? 习题 4结构,AB杆跨中作用垂直向下的突加荷载 FP(t)=30kN,求 Nmax。FP(t)=30kNFP+ FI0=60kNmm§ 13-5、多自由度体系的自由振动? 一、两个自由度体系的自由振动? 1、建立运动微分方程? （ 1）、列位移方程 (柔度法 )：? 在运动的某一瞬时 t,? 列出质量 m1,m2所在位置? y1(t),y2(t)。即质点 m1,m2? 的位移。? 即,质点 m1,m2的位移 y1(t),y2(t),是在惯性力FI1(t),FI2(t)共同作用下所产生的,静力” 位移。EI1EI2m m体系平衡位置y1(t)y2(t)? 自由振动的任一时刻 t,质量 m1,m2的位移 y1(t),y2(t),应当等于体系在当时的惯性力FI1(t),FI2(t)作用下所产生的静力位移。FI1(t)FI2(t)? 列位移方程：?y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12? y2(t)= - m1?1(t)δ21 C m2?2(t)δ22 (13-47)EI1EI2m m体系平衡位置y1(t)y2(t)? m1?1(t)δ11+m2?2(t) δ12+y1(t) = 0? m1?1(t)δ21+m2?2(t)δ22+y2(t) = 0? δij―― 在自由度 j方向加单位力，沿自由度 i方向产生的位移系数。（柔度系数）? 写成矩阵形式：????????????????????????????????????????000021212122211211yyyymm?????[ δ ][ M ]{?}+{y}={0}1δ11δ211δ12δ22y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12y2(t)= - m1?1(t)δ21 C m2?2(t)δ22?（ 1）、列动力平衡方程 (刚度法 )：? 在运动的某一瞬时 t, 取质量 m1,m2作为隔离体直接列出运动微分方程。FI1(t) r1r2FI2(t)? 惯性力 FI1(t),FI2(t)分别与位移 y1,y2方向相反。?? 弹性力 r1,r2分别与位移 y1,y2方向相反。 r1，r2是质量 m1,m2与结构之间相互作用力。? FI1(t)+r1=0? FI2(t)+r2=0? ri 的大小取决于结构的刚度。FI1(t) r1r2FI2(t)r1r2? r1 =k11y1+k12y2? r2= k21y1+k22y2? k i j― 结点 j发生单独的单位位移 S j=1时，在结点 i所需施加的力。（刚度系数）? m1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=0? m2?2(t)+k21y1(t)+k22y2(t)=0? （ 13-38）? 写成矩阵形式：?????????????????????????????????????????000021222112112121yykkkkyymmk11k21k22k12? [ M ]{?}+[ K ]{y}={0} (a)? m i―― 沿 y i 运动方向的（所有）质量。????????????????????????????????????????000021222112112121yykkkkyymm也可不将质点分离，按第八章所述的位移法来处理。R1=0R2=0-m1 ?1 (t)-m2 ?2 (t)k11k21 k22k12R1 =k11 y1(t)+k12 y2(t)+m1 ?1(t)=0R2 =k21 y1(t)+k22 y2(t)+m2 ?2(t)=0注：? （ 1）、两个自由度的各种体系，自由振动的运动微分方程的形式完全相同。只是系数的值不同。? （ 2）、比较两式，若：? [ δ ]-1[ δ ][ M ]{?}+ [ δ ]-1{y}={0}? 则,[ M ]{?}+ [ δ ]-1{y}={0}? 可知,[ δ ]-1= [ K ]? 刚度矩阵与柔度矩阵互逆。2、两个自由度体系自由振动的频率（周期）方程? 设二阶线性齐次微分方程组的特解为：? y1(t)=Y1 sin(ωt+α)? y2(t)=Y2 sin(ωt+α) (a)? 即：设所有质点按同一频率，同一相位作同步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。? Y1,Y2― 质点 m1,m2的振幅，与初始条件有关,Y1/Y2=常数。运动微分方程k11 y1(t)+k12 y2(t)+m1 ?1(t)=0k21 y1(t)+k22 y2(t)+m2 ?2(t)=0? ω― 体系自振频率。 α― 初相角。将特解代入公式（ 13-38），消去公因子。21 1 1 1 1 2 222 1 1 2 2 2 200(k ω m ) Y k Yk Y ( k ω m ) Y? ? ? ?? ? ? ?（ 13-39）?称为自由振动基本方程。是幅值 Y1,Y2的齐次线性方程。? 当 Y1=Y2=0,对应于静止状态。? 若要的非零解，则上式中的系数行列式为零。0)()()(2222211212112 ??????mkkkmkD???（ 13-39）称为特征方程，或频率特征方程。1 ???????? kk)mω(k)mω(k0)()(2122211122 ????????mmkkkkmkmk ??2122211122211122,1 )](21[)(21mmkkkkmkmkmkmk???????? ??展开：上式为 ω2的二次方程，可解出：其中,ω 1 ＜ ω2 不为负数。基本频率 第二圆频率第一圆频率? 相应的：? T1=2π/ω1 ; T2=2π/ω2? 由于 D=0,方程（ 13-38）是线性相关的。因此，只可确定 Y1,Y2的比值。即只能确定多自由度体系的振动形式，不能确定各质点的振幅值。? 多自由度体系的振型，就是多自由度体系相应于各自振频率的振动形式。3、主振型? 将 ω1代入自由振动基本方程第一式：? 第一振型：1 1 1 222 1 1 1 1 1YkY k m????12 12222 11 2 1YkY k m????将 ω2代入自由振动基本方程第一式：第二振型：（ 13-40a）（ 13-40b）频率的数目与振动自由度的数目相同。主振型特点：? （ 1）、两质点按同一自振频率 ωi振动，只同步振动。? （ 2）、位移比（振幅比）为常数，振型（振动形式）不变。Y11Y21Y12Y22主振型即为体系按某一频率所作的简谐振动。第一振型可视为由惯性力幅值 ω21m1Y11和 ω21m2Y21所产生的静力位移。第二振型可视为由惯性力幅值 ω22m1Y12和ω22m2Y22所产生的静力位移。ω12m1 Y11ω1 2m2Y21 Y11Y21 ω22m1 Y12ω22m2 Y22 Y12Y22由上述两种静力平衡状态应用功的互等定理：(ω12m1 Y11) Y12 +(ω12m2 Y21) Y22 =(ω22m1 Y12) Y11 +(ω22m2 Y22) Y21移项后,可得：(ω12 - ω22)(m1 Y11 Y12 - m2 Y21 Y22) = 0如果 ω12≠ ω22，则有：m1 Y11 Y12- m2 Y21 Y22 = 0或写为：∑mi Yi(1)Yi(2) = 0i= 12两个主振型之间的正交关系。主振型即为质点位移y1(i)(t)=Y1(i) sin (ωit+ α i )y2(i)(t)=Y2(i) sin (ωit+ α i )多自由度体系如果按某个主振型自由振动,由于振型保持不变,因此，这个多自由度体系实际上是象一个单自由度体系那样振动。发生主振动的条件：初位移和初速度应与主振型相对应。4、运动方程的一般解y1 (t)=A1 Y11 sin (ω1t+ α1 )+ A2 Y12 sin (ω2t+ α2 )y 2(t)=A1 Y21 sin (ω1t+ α1 )+ A2 Y22 sin (ω2t+ α2 )即为一般情况任意初始条件下的解。A1, α1, A2, α 2由初始条件定。在一般情况下，体系的自由振动不再是一个单一的简谐振动，而是由不同频率的简谐振动叠加而成的。归纳如下：（ 1）、在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。（ 2）、多自由度体系自振频率不止一个，其个数与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。（ 3）、每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。（ 4）、与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度（柔度）系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。? 例, 求图示刚架水平振动时的自振频率和相应的主振型 。m1m2k1k2y1y2? 解：? 1、计算刚度系数? 注：? 将刚度系数代入（ 13-39）层柱子总数层抗剪刚度ishEIksjji???? ?? 13120))((0222221221222221221????????????kmkmkkmkkkmkkD????k11=k1+k2k21= - k211k12= - k2k22= k2（ 1）、当 m1=m2=m,k1=k2=k 时mkmkmkmkmkmk61 803.1,61 803.225361 803.0,38 197.0253222121??????????????112112 0,3 8 1 9 7 1,6 0 8Y kY k k???122212 2,6 1 8 0 3 0,6 1 8Y kY k k? ? ???(2k-ω2m)(k- ω2m)-k2=0解出：?第一主振型：将 ω1代入 （ 13-40a）,?第二主振型：将 ω2代入 （ 13-40b）振型示意图? 第一主振型 第二主振型11.6181-0.618(2)、当 m1= n m2,k1 = n k2 时? [(n+1)k2-ω2 nm2](k2-ω2 nm2)? - k22=02222 ]14)12[(21mknnn??? ??主振型：211124Y nY ? ? ?当 n =90时：2111101YY ?221291YY ??m1=nm2m2k1=nk2k2注意：? 上部结构的质量和刚度很小时，结构顶部位移很大。? 建筑结构中，由于刚度突变，导致反响巨大，这种现象称为, 鞭稍效应,。二,n个自由度体系m1 mi mk mn1kik参照（ 13-38）可写出动平衡方程k11 y1(t)+k12 y2(t)+…+ k1n yn(t) +m1 ?1(t)=0k21 y1(t)+k22 y2(t)+…+ k2n yn(t) +m2 ?2(t)=0………………………………………kn1 y1(t)+kn2 y2(t)+…+ knn yn(t) +mn ?n(t)=0写成矩阵形式：????????????????????????????????????????????????????????????????????000000000212122221112112121???????????????????????nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm[M ]{ ? }+[ K ]{ y }={ 0 } (13 -43 b)(13-43 a)可缩写为：（ 13-43）的解，设：{ y } = { Y }sin(ωt+α)代入（ 13-43），消去公因子后，得自由振动基本方程：( [ K ]- ω 2 [ M ] ){ Y }= { 0 } (13-44)欲使 {Y }有非零解，则必有：[ K ]- ω 2 [ M ] = 0 （ 13-45a）解此频率方程，可以求得 n个频率。然后，,即可确定体系的振型。令,{ Y(i)}表示与频率 ωi相应的主振型向量：12(){}iiiniYYYY?????????????M把频率 ωi和 { Y(i)}代入式 (13-44)( [ K ]- ωi2 [ M ] ){ Y (i)}= { 0 }( 13-46 )令 i=1,2,······,n, 可得出 n个向量方程，由此求出 n个主振型向量 { Y(1)},{ Y(2)},····,{ Y(n)}。每一个向量方程( [ K ]- ωi2 [ M ] ){ Y (i)}= { 0 }均代表 n个联立代数方程，以 Y1i,Y2i,··· Yn i, 为未知数。这是一组齐次方程，如果Y1i,Y2i,··· Yn I是方程组的解，则：CY1i,CY2i,··· CYn i也是方程组的解。由（ 13-46）可以唯一地确定主振型 { Y(i)}的形状，但不能唯一地确定它的振幅。标准化主振型：规定主振型 { Y(i)}中的某个元素为某个给定值。例如规定第一个元素 Y1i等于 1,或规定最大的元素等于 1。作法 2：规定主振型 { Y(i)} 满足下式：{ Y(i)}T[M] { Y(i)} =1还有其他作法。作法 1：例, (书例 13-5)? 求图示体系的自振频率和主振型。? k,k/3,k/5 分别为一、二、三层的层刚度。? 解：? （ 1）、自振频率20 -5 0[ K ] = k/15 -5 8 -30 -3 32 0 0[ M ] = m 0 1 00 0 1K11= 4k/3K21= -k/3K31= 0K22= 8k/15K12= -k/3K32= -k/5 K33= k/5K23= -k/5K13= 0由自由振动基本方程：? ([ K ] Cω2[ M ]) { Y } = {0}? 其中，频率方程：? [ K ] Cω2[ M ] = 0令 η = 15mω2/k20 - 2η -5 0-5 8-η -3 = 00 -3 3-η展开,? 2η3 - 42η2 + 225ηC 225 =0? 由试算法,? η1 = 1.293 η2 = 6.680 η3 = 13.027mkmkmkmkmkmk .
?????? ??????mkmkmk .02936.0321 ??? ???2、主振型? 在此，规定主振型中的第三个元素 Y3i=1? 将 η1代入自由振动基本方程：? ([ K ] Cω2[ M ]) { Y（ 1） } = { 0 }? 20-2η1 -5 0 Y11 0? k/15 -5 8-η1 -3 Y21 = 0? 0 -3 3-η1 Y31 0? 17.414 -5 0 Y11 0? k/15 -5 6.707 -3 Y21 = 0? 0 -3 1.707 Y31 0保留后两个方程? -5 Y11 + 6.707 Y21 - 3 Y31 = 0? -3 Y21 + 1.707 Y31 = 0由 Y31 =1?将 η2代入自由振动基本方程：Y12 -0.924{ Y(2)}= Y22 = -1.227Y32 1.000Y11 0.163{ Y(1)} = Y21 = 0.569Y31 1.000将 η3代入自由振动基本方程：Y13 2.760{ Y(3)}= Y23 = -3.342Y33 1.000画出三个主振型的大致形状；三、柔度法1、柔度法方程：y1(t)= - m1?1(t)δ11 - m2?2(t) δ12y2(t)= - m1?1(t)δ21 C m2?2(t)δ22 (13-47)即：设所有质点按同一频率，同一相位作同步简谐振动。但各质点的振幅各不相同。2、设二阶线性齐次微分方程组的特解为：y1(t)=Y1 sin(ωt+α)y2(t)=Y2 sin(ωt+ α)(a)两个质点的惯性力为：21 1 1 122 2 2 2( ) sin ( )( )( ) sin ( )m y t m Y tbm y t m Y t? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ??&&&&将 （ a）, （ b） 代入（ 13-47）消去公因子后，得：221 1 1 1 1 2 2 1 2222 1 1 2 1 2 2 2 2( ) ( )( 1 3 - 4 8 )( ) ( )Y m Y m YY m Y m Y? ? ? ?? ? ? ???? ???? ??或：1 1 1 1 1 2 2 222 1 1 2 2 2 221( ) 0( )1( ) 0m Y m Ycm Y m Y???????? ? ?????? ? ???为了得到 Y1, Y2不全为零的解，应使系数行列式等于零，即：1 1 1 1 2 222 1 1 2 2 2 21()01()mmDmm??????????称为特征方程，或频率特征方程。1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 22211( ) ( ) 0m m m m? ? ? ???? ? ? ?展开：令, λ=1/ω2λ2-(δ11m1+δ22m2)λ+m1m2 (δ11δ22- δ12δ21)=0解得,? ? ? ?? ? ? ?21221222,1421212)4mmmmmmmmmmmm?????????????????????????（（ 13-49）22111,1???? ??可以求得频率的两个值为：λ1＞ λ2ω1＜ ω2其中最小频率 ω1称为第一频率或基本频率，而 ω2称为第二频率。? 将 ω1代入 （ c） 第一式，有：11 12 22111 1 21( 13 50 )1YmaY m???? ? ??? 将 ω2代入 （ b） 第一式，有：12 12 22211 1 22( 13 50 )1YmbY m???? ? ??主振型例,? 求图示体系的频率和主振型。EI=常数 。 l/3l/3 l/3mmFP1=1FP2=12l/92l/9?δ11 = δ22 = 4 l3/ 243EI?δ12 = δ21 = 7l3/ 486EI解, （ 1）（ 2）代入（ 13-49）得：λ2= （ δ11 - δ22） m= 486 EI1 ml3λ1= （ δ11+δ22） m= 486 EI15 ml3求得两个自振圆频率：1 311 5, 6 9 EIml???? 2 321 2 2, 0 4 5 EIml????（ 3）求主振型。由（ 13-50）112111YY? 122211YY??振型图：1 1第一振型：11第二振型：可利用对称性求解,利用对称性求解,须先估计大致振型。对于对称结构，振型必分为正对称和反对称两类。 如上题：δ11= 15l3/486EI3111 69.51mlEIm????ml/6l/31l/3δ22 = l3/486EI3222 0 4 5.221mlEIm????ml/6l/31l/93,n个自由度体系运动微分方程在运动的任一时刻 t,作用在质点上的惯性力为FIi = - mi ?i,可列出位移方程。m1 mi mk mn- m1 ?1- mi ?i - mk ?k- mn ?ny1= - m1?1 δ11 C m2?2 δ12 -…C mi?iδ1i - …C mn?n δ1ny2= - m1?1 δ21 C m2?2 δ22 -…C mi?iδ2i - …C mn?n δ2nyi= - m1?1 δi1 C m2?2 δi2 -…C mi?iδii -…C mn?n δin………………………………………………yn= - m1?1 δn1 C m2?2 δn2 -…C mi?iδni - …C mn?n δnn( a )可写成矩阵形式：??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????00002121212122222111121121????????????????????????????????nininnninniniiiinininiyyyymmmmyyyy????????????????可缩写为：? [ δ ][ M ]{?}+{y}={0}[ δ ] ――称为柔度矩阵。由位移互等定理 δik = δki可知是一个对称方阵。[ M ]―― 质量矩阵。在集中质量体系中，是一个对角矩阵。2、运动微分方程的解设特解为：{ Y } = { Y }sin(ωt+α)其中,{ Y }= [ Y1 Y2 … Yi … Yn ]T称为 幅值列向量将上式代入微分方程- ω2 [ δ ][ M ]{ Y }+{ Y }={ 0 }令,λ=1/ω2,得自由振动的基本方程。（ [ δ ][ M ] Cλ [ I ]） { Y } = { 0 } （ 13-51）上式为一个齐次线形代数方程组,欲使 { Y }有非零解,则系数行列式必为零，即：D = [ δ ][ M ] Cλ [ I ] = 0 （ 13-52）展开式为：…… …(m1δ11-λ) m2δ12 … mnδ1n(m2δ22-λ) …m1δ21 mnδ2n(mnδnn-λ)…m1δn1 m2δn2=0(13-52)展开 (13-52)式,可解出 n个正的实根, λ1,λ2,λ3,… λn。求出 n个频率,ω1,ω2,ω3,…ωn。由此得到关于 λ的 n次代数方程。其中最小的 ω1称为第一频率，其后按数值大小依次排列，并顺序排列称为第二频率、第三频率等。最后求与频率 ωi相应的主振型 { Y (i)}。为此，将 λ=1/ω2和 { Y (i)}代入式（ 13-51），得：（ [ δ ][ M ] Cλ i [ I ]） { Y (i)}= { 0 } （ 13-53）令 i=1,2,······,n, 可得出 n个向量方程，由此求出 n个主振型向量 { Y(1)},{ Y(2)},····,{ Y(n)}。§ 13-6、多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1、主振型的正交性主振型的正交性：多自由度（包括无限自由度）体系中,任意两个不同的主振型之间存在的相互正交的关系。证明, 由自由振动基本方程：([ K ] Cω2[ M ]){Y} = { 0 }可知，无论哪个特征对,ωl 与 {Y(l)}均能满足此方程。?即,([ K ] Cωl2[ M ]){Y( l ) } = { 0 } (a)? ([ K ] Cωk2[ M ] ){Y( k ) } = { 0 } (b)以 {Y( k )} T 和 {Y( l ) } T 分别左乘 ( a ),( b ),得,([ K ] Cωl2[ M ]){Y( l )} = { 0 } (c)([ K ] Cωk2[ M ]){Y( k )} = { 0 } (d){Y( k )} T{Y( l )} T将 (c)式转置{Y( l )}T ([ K ]T Cωk2[ M ]T) {Y( k )} = { 0 }由对称性，有,[ K ]T=[ K ],[ M ]T =[ M ]{Y( l )}T([ K ] Cωl2[ M ]) {Y( k )} = { 0 } (e)由 (d) C (e):(ωl2Cωk2) {Y( l )}T[ M ] {Y( k )} = { 0 }(ωl2Cωk2) {Y( l )}T[ M ] {Y( k)} = { 0 }如果 ωl ≠ ωk则,{Y( l)}T[ M ]{Y( k)} = { 0 } (l≠k) (13-54)∑mi YilYik = 0i= 1n? 相对于质量矩阵 [ M ],不同频率相对应的主振型是正交的，称为 第一正交条件 。? 即振型关于质量矩阵的正交条件。?{Y( l )} T([ K ] Cωk2[ M ]){Y( k )} = { 0 } (d){Y( l )}T[ M ]{Y( k )} = { 0 } (l≠k)将第一正交条件代入 （ d）,得：{Y( l )}T[ K ]{Y( k )} = { 0 } (l≠k)(13-55)相对于刚度矩阵 [ K ],不同频率相对应的主振型是正交的，称为 第二正交条件 。即振型关于刚度矩阵的正交条件。广义质量和广义刚度若 k = l,则：Mk = {Y(k )}T[ M ] {Y(k )} (13-56 a)―― 第 k个主振型的 广义质量Kk = {Y(k )}T[ K ] {Y(k )} (13-56 b)―― 第 k个主振型的 广义刚度([ K ] Cωk2[ M ]){Y( k ) } = { 0 } ( b )[ K ] {Y( k) } = ωk2[ M ] {Y( k ) }用 {Y(k )}T前乘上式两边，得：{Y( k )}T [ K ] { Y(k ) } = ωk2 {Y(k )}T[ M ]){ Y(k ) }有, Kk = ωk2 Mk由此,( 13-57 )kkkKM? ?? 主振型的正交性在结构动力计算中多次用到。? 一般用于：? （ 1）,判断主振型的形状特点（验算）。? （ 2）,利用正交性关系，确定展开公式中的系数。? 多自由度体系振动中，任一位移向量 {y}都可按主振型展开，写成主振型的线性组合。（任一位移向量 {y}均可看成为主振型的线性组合，即,{y}中含有各阶主振型）? {y}= η1{Y(1)}+ η2{Y(2)}+…+ ηn{Y(n)}? =∑ ηi{Y(i)} （ 13-58）? 其中，待定系数 ηi (广义坐标、正则坐标 )可根据正交关系确定 (正则坐标以 [Y]为基底 )。ni=1?{y} = ∑ ηi{Y( i )} （ 13-58）ni=1用 {Y( j )}T[M]前乘 （ 13-58） 式两边? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )1{}nTTj j ijiY M y Y M Y????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )1{}nTTj j ij j jiY M y Y M Y M??????上式右边，除第 j项外，其它各项均为零：由此可求出系数 ηj为：? ? ? ?jTjj MyMY }{)(?? （ 13-59）注：? 一般情况下，验算主振型的正交性时，应将计算结果写成 k 或 m 的函数形式。否则，由于在计算主振型的过程中出现的误差，可能导致正交性验算的结果看起来较大。关于正交条件示例,见教材 P.243。*2、主振型矩阵? n 个自由度体系，主振型矩阵,? ?( 1 ) ( 2 ) ( )1 1 1( 1 ) ( 2 ) ( )( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 2 2( 1 ) ( 2 ) ( ){ } { } { } ( 1 3 - 6 0 )nnnnn n nY Y YY Y YY Y Y YY Y Y?????????? ??????LLLM M O ML? ?( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )12( ) ( ) ( ) ()12[][]( 13 - 61 )[]TnTT nn n n nTnY Y Y YY Y Y YYY Y Y Y?? ???? ???????? ?????? ????LLM M O M ML? 主振型矩阵的转置,? ? ? ?? ? ? ???????????????? KKKKYKYnT???????00000021? ? ? ?? ? ? ???????????????? MMMMYMYnT???????00000021广义质量矩阵：广义刚度矩阵：[ Y ]的性质：当 [ M ]和 [ K ]为非对角矩阵时，如前乘 [ Y ]T,后乘 [ Y ],可得到 [ M* ]和 [ K* ]。§ 13-7 多自由度体系在简谐荷载下的强迫振动1、运动微分方程（刚度法）以两个自由度的体系为例，在动力荷载作用下的振动方程为：M1?1(t)+k11y1(t)+k12y2(t)=FP1(t)（ 13-64）M2?2(t)+k21y1(t)+k22y2 (t) =FP2(t)y1( t )y2( t )FP1(t)FP2(t)m221m1若：为简谐荷载FP1(t)= FP1sinθtFP2(t)= FP2sinθt(a)则在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：y1(t)= Y1sinθty2(t)= Y2sinθt(b)将 （ a）,（ b） 代入 （ 13-64） 消去公因子,? ( k11 - θ2 m1 )Y1 + k12Y2 =FP1? k21 Y1 + ( k22 - θ2 m2 )Y2= FP2位移幅值：Y1 = D1D0Y2 =D2D0 （ 13-65）D0= (k11 - θ2m1 ) k12k12 (k22 - θ2m2 )式中：D1= FP1 k12FP2 ( k22- θ 2m2) D2=( k11- θ2m1 ) FP1k21 FP2（ 13-66）将 Y1, Y2代入（ b）,可得任意时刻 t 的位移 {y(t)}。共振研究：若 θ = ωi （ i= 1,2）, 则 Do = 0① 一般情况：若 D1 ≠ 0,D2≠ 0则 Y1 →∞,Y2 →∞ 共振 。② 如果, D1 = 0,D2 =0则 Y1 = 0 / 0, Y2 = 0 / 0需分析研究。例：? 计算图示结构，找出振幅与频率之间的关系。解,刚度系数：k11= k1+k2k22= k2k12 = k21= - k2FP1= FP FP2= 0FP sinθtm1=m2=m, k1=k2=kk2m2m1k1荷载幅值：FP sinθt k2m2m1k1代入（ 13-66）（ 13-65）( k1+k2 - θ2m1 )Y1 + k2Y2 = FP- k2Y1 + ( k2 - θ2m1 )Y2 = 0Y1 = D1D0= ( k2 - θ2m2 )FPD0Y2 = D2D0= k2 FPD0其中,D0= ( k1+k2 -θ2m1 ) ( k2-θ2m2 ) - k22令,m1 = m2 = m k1= k2 = k则,Y1 =D1D0 =( k - 2m)FPD0 Y2 =D2D0 =k FPD0D0= ( 2k - θ2 m ) ( k - θ2 m ) - k2D0 = m2θ4C3kmθ2+k2= m2(θ4C3k/m?θ2+k2/ m2)= m2 (θ2 - ω12) (θ2 Cω22)与例 13-4中的特征方程相比：D0 == m2 (θ2 - ω12) (θ2 Cω22)已知：km25321???km25322???所以,)1)(1(122221221?????????kmkPY)1)(1(12222122???????kPY振幅参数：kPYkPY 21荷载频率参数：mk?可找出以上两种参数之间的关系曲线。由图可见 当10, 6 1 8km???? 21, 6 1 8km????时Y1,Y2趋于无穷大，体系发生共振。若计算动内力时，则由 { FI0 } = θ2[ M ]计算出惯性力的幅值，加在相应的位置上，由静力计算得出 Md,FQd 等。注：可用剪力分配法、无剪力分配法或反弯点法等方法计算动内力。k2m2m1k1FI10FI20FP讨论,本题当 k2 / m2= θ2 时 k2m2m1 k1FP sinθt由Y2 = D2D0= k 2FPD0Y1 = D1D0= ( k 2- θ2m2)FPD0可知：Y1=0 Y2= - FP/ k2在原结构上附加 k2, m2 系统，可消除 m1的振动。称为,动力吸振器” 。设计时，可根据m2 的许可振幅 Y2=- FP / k2,选定 k2, 再由 m2=k2 / θ2确定 m2 的值。k2m2m1 k1FP sinθt2、柔度法? 不考虑阻尼的影响。? 列位移方程：y2m1 m2FP1sinθt FP2sinθty1y1= - m1?1δ11 C m2?2δ12+Δ1Psinθty2= - m1?1δ21 C m2?2δ22+Δ2Psinθt( a )或写成：y1+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθty2+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt（ 13-69）y1+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθty2+ m1?1δ11 +m2?2δ12=Δ1Psinθt式中：ΔiP = ∑ δiP FPjj=1k (15-47)上式为各简谐荷载的幅值在质量 mi处引起的静力位移。因荷载是简谐荷载，各质点作简谐振动（只讨论平稳振动阶段）FP1 FP2FI10 FI20y10 y20在平稳振动阶段，各质点将按干扰力频率作同步的简谐振动。即：y1 (t)= y1 sinθt0y2 (t)= y2 sinθt0 (15-48)(15-48) (15-46)(m1δ11θ C 1)y1+m2δ12 θ y2 +Δ1P =022 0 0(m1δ21θ C 1)y1+m2δ22 θ y2 +Δ2P =022 0 0(15-45)各质点的惯性力为：FI1 (t)= - m1?1 (t)=θ m1y1 sinθt2 0FI2 (t)= - m2?2 (t)=θ m2y2 sinθt2 0(15-50)令,F11 = θ m1y12 00F12 = θ m2y22 00（ 15-51）FI1 (t)= FI1 sinθt0FI2 (t)= FI2 sinθt0（ 15-52）? 由（ 15-48）和（ 15-52）可知，位移、惯性力和简谐荷载均按同一频率作同步的简谐变化。(δ11 C 1/ m1θ )F11+δ12 F12 +Δ1P =02 0 0+(δ22C 1/ m2θ )F12+Δ1P =02 00δ21 F11(15-53)D=(δ11 C 1/ m1θ )2 δ12δ21 (δ22 C 1/ m2θ )2D=(δ11 C 1/ m1θ )2 δ12δ21 (δ22 C 1/ m2θ )2=m1 m21(m2 δ22 C )1θ 2m2 δ12m1 δ21(m1 δ11 C )1θ 2方程 (15-53)的系数行列式为,分析,当 θ=ω 时,D=0。一般情况下将有,F110=D1 /D=∞，F110=D1 /D=∞。 共振。两个自由度体系有两个频率，所以有两个共振区。例：试求图示体系的最大动位移图和动内力图。已知：m1=m2=m，EI=常数。θ=0.6ω1=3.4152,EI√ ml3l/3l/3 l/3m2m1FPsinθt解：设以 F110,F120分别代表质量的惯性力幅值，可写出方程为：(δ11 C 1/ m1θ )F11+δ12 F12 +Δ1P =02 0 0+(δ22C 1/ m2θ )F12+Δ1P =02 00δ21 F11柔度系数和自由项：? δ11 = δ22 = 8 l3/ 486EI? δ12 = δ21 = 7l3/ 486EI? S 1P = FP δ11 = 8 FP l3/ 486EI? S 2P = FP δ21 = 7 FP l3/ 486EIm1 θ2 = m2 θ2 = m (3.4152)2EI/ml3 =11.6636 EI/l3代入幅值方程：有- 0...01646FP =00 00.01440F11 - 0..01440FP =00 0F11=0.=0.2689FP0解得：按静力计算可得：486EI7l30y2 =1.2936FP× +0.2689FP× =0.023486EI8l3EIFP l3486EI8l30y1 =1.2936FP× +0.2689FP× =0.025486EI7l3EIFP l3FPF11=0.2936FP0F12=0.2689FP0+-最大动位移图可见图示。0.952FPEIFP l30.025EIFP l30.023动位移图最大动弯矩图可见图示。0.317FP l 0.204FP l0.342FP0.611FP 最大动剪力图可见图示。§ 13-8,振型分解法 (振型叠加法 )? 上述分析，以 y(t)―― 几何坐标表示位移，简谐干扰力作用下，可将微分方程组转化为代数联立方程组求解。但是当任意荷载作用于体系，尤其是考虑阻尼影响时，直接求解联立微分方程组，将是非常困难的。? 本节利用主振型的正交性，建立广义坐标（正则坐标），将联立的微分方程组（相互耦连）转化成为 n 个独立的微分方程，求解动力反应。? 微分方程：? [ M ]{?}+[ K ]{y}={F P(t)}? 每个方程中包含了全部的未知量 y(t)，因此方程是耦连的。? 建立广义坐标的目的：将上述微分方程转换为每式只含一个未知量的微分方程。一、广义坐标（正则坐标）的概念? 振动位移为各主振型的线性组合，因此可按主振型分解。主振型线性组合形式：x1(t) x2(t) x3(t)y1(t)y2(t)y3(t)Φ1(1)Φ2(1)Φ3(1)Φ1(2)Φ2(2)Φ3(2)Φ1(3)Φ2(3)Φ3(3)yi(t)= Φi(1)x1(t)+ Φi(2)x2(t)+…+ Φi(n)xn(t)(i=1,2,…,n )? 体系的位移可以视为，由各固有振型分别乘以相应的组合系数后，叠加而成。? 式中,? y(t) ―― 原坐标，几何坐标。? x(t)―― 正则坐标，广义坐标，以振型为基底。? 可写成：? {y(t)}=[ Φ ]{x(t)} (15-89)? {y(t)}={Φ(1)}x1+{Φ(2)}x2+…+{Φ(n)}xn二、用振型分解法计算多自由度体系的受迫振动（不考虑阻尼）? 1、运动微分方程：? [ M ]{?}+[ K ]{y}={F P(t)} （ 15-90）? 将 {y}=[ Φ ]{x}代入上式：? [ M ][Φ ]{ x } +[ K ][Φ ]{x} ={FP(t)}E上式前乘 {Φ(i)}T{Φ(i)}T[ M ][Φ]{x} + {Φ(i)}T[ K ][Φ]{x} = {Φ(i)}T{FP(t)}E其中：{Φ(i)}T[ K ][Φ]{ x }={Φ(i)}T[ K ]{Φ(1)} x1+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(2)} x2+…+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} xi+…+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(n)} xn{Φ(i)}T[ M ][Φ]{ x }={Φ(i)}T[ M ]{Φ(1)} x1+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(2)} x2+…+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} xi+…+{Φ(i)}T[ M ]{Φ(n)} xnEE EEE根据正交条件，可知：{Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} xi+{Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} xi={Φ(i)}T{FP (t)} (15-91)E引入如下符号：mi = {Φ(i)}T[ M ]{Φ(i)} (15-92)～k i = {Φ(i)}T[ K ]{Φ(i)} (15-93)～FPi (t)= {Φ(i)}T { FP (t)} (15-94)～分别称为对应于第 i 振型的 广义质量, 广义刚度, 广义荷载 。式（ 15-91）可以改写为：mi xi +ki xi =FPi (t) (19-95)～ ～ ～E可写出 n 个相应的单自由度体系受迫振动的运动方程。相当于解算 n 个单自由度体系的受迫振动。由此求出广义坐标 x1(t), x2(t), …,xn(t)后，即可由式 {y(t)}=[ Φ ]{x(t)}求出原体系的动力位移。2、广义坐标的解? 由杜哈梅积分：? ??tiPiiii dtFmtx 0 )(s i n)(~~1)( ?????3、几何坐标解：由 {y}= [ Φ ]{x}{y} = {Φ (1)} x1 +{Φ (2)} x2 +…+{Φ (n)} xn将 {x(t)}的值代入上式，可以得出几何坐标中 {y(t)}的动力反应。主振型分量加以叠加，从而得出各质点的总位移。4、方法特点? ①、运动微分方程解耦，使计算成为可能。计算体系动力反应使可用单自由度体系的方法。? ②、当体系的自由度数目较多时，可用少数影响大的主振型叠加求体系的动力反应。? ,在一般动力荷载作用下，前几个振型对体系的动力反应影响较大，而高振型的影响较小。计算时可根据精度要求，考虑到某振型为止，更高振型可忽略不计。? ,质量分布对称的对称结构,在正对称动荷载作用下,只有正对称反应。质量分布对称的对称结构,在反对称动荷载作用下,只有反对称反应。? ③、若考虑阻尼影响：? [ M ]{?}+ [ C ] {y} +[ K ]{y}={F P(t)}式中：[ C ]―― 阻尼系数矩阵，一般为耦联矩阵。同时，与主振型 [Φ]矩阵不满足正交条件。为求解方便，通常令：[ C ] = α [ M ] + β [ K ]系数 α,β由实验或《规范》定出。解耦后的振动微分方程由考虑阻尼的杜哈梅积分求反应。5、计算步骤? ①、由多自由度体系自由振动求出体系的自振频率 ω和主振型 [Φ]。? ②,建立坐标转换关系 {y}= [Φ ]{x}。? ③、求广义质量（广义刚度）。? ④、求广义荷载。? ⑤、求广义坐标下的动力反应。? ⑥、求几何坐标中的质点位移。? ⑦、作内力图。§ 17-10 近似法求自振频率? 工程实践中，有时只要求计算结构的基频或几个低阶频率。当自由度数目较多时，精确计算工作量繁重，可用近似法计算。? 近似法种类很多，这里只介绍常用的几种。一、能量法求体系的第一频率瑞利（ Ragleigh） 法? 理论：能量守恒? 方法,假定振型曲线，计算出相应的应变能和动能，代入能量守恒公式，计算体系的自振频率。? 质量分布：集中、分布均可。1、能量守恒? 无阻尼弹性体系，自由振动时，体系在运动的任一时刻 t总能量 = 应变能 （ V） + 动能 （ T）保持不变考查两个特殊位置：平衡位置,∵ y=0 ymax ∴ V=0,Tmax·振幅位置,∵ ymax y=0 ∴ Vmax T=0·? 因此有：? Vmax = Tmax? 2,基本方程? 设体系有分布质量和集中质量，只考虑弯曲变形。? 设位移为,y(x,t)=y(x)sin(ωt+α)? 其中 y(x)― 位移幅值，振幅函数。·速度为,y(x,t)=ωy(x)cos(ωt+α)弯曲应变能：dxxyEItdxxyEIV ll 20220 22)]([)(s i n21)(21 ???????? ?? ??最大值：dxxyEIV l 20m a x)]([21 ??? ?梁的动能：dxxyxmtdxtyxmT ll 202220)]()[()(c o s21))((21 ?? ?????? ???最大值：dxxyxmT l 202m a x )]()[(21 ?? ?? 由 Vmax = Tmax)12615()]()[()]([02022 ??????lldxxyxmdxxyEI?如梁上有集中质量：??????????????niiiliniilymdxxyxmttymdxxyxmT1220222120})]()[(){(c os21)(21))((21????? 则：)12715()]()[()]([0122022?????? ???lniiilymdxxyxmdxxyEI?如有多个杆件，则：? ????????liilymdxxyxmdxxyEI022022)]()[()]([?3、振幅曲线 y(x)的选取? 如所选曲线 y(x)为第 k阶主振型曲线，代入公式（ 17-85），即可求出 ωk。? 如果所设位移形状函数 y(x)正好与第一主振型相似，则可求得第一主振型对应的第一频率的精确值。如果所设位移形状函数 y(x)正好与第二主振型相似，则可求得第二频率的精确值。? 因为第一主振型最易发生，也较易假设，故以上公式便于求得第一主频率。? 因此，瑞利法主要用于求第一频率的近似值。? 取 y(x)的条件：? （ 1）、满足边界条件（主要是位移边界条件）。? （ 2）、符合振型形状。? 取 y(x)的方法：? （ 1）、某种数学曲线 ― 需检查边界条件。y(x) = a sinπx/ly′(x) = aπ/l·cosπx/ly(x) = a(1- cosπx/2l)y′(x) = aπ/2l·sinπx/2l? (2),静荷载作用下的位移曲线如取静荷载作用下的位移曲线作为 y(x),则应变能可用外力功表示,V = 1/2·∫q(x)y(x)dx)12915()]()[()()(0122012?????? ?? ???lniiilmjjPjymdxxyxmyFdxXyxq?? （ 3）、自重作用下的变形曲线作为? y(x)的近似表达式：? ?? ??????lniiilniiiymdxxymgymdxxgym0122012)]([)(?（ 4）、讨论? ①、正弦曲线是简支梁第一主振型的精确解，所以由它求得的 ω是简支梁第一频率的精确解，因此用近似法求基频有时可以获得较好的结果。? ②、一般来说,ω1（ 用近似法求得的） ω精,是真实频率的上限，想一想为什么？? 因为,y(t)不是实际的振幅曲线，就等于在原体系上加了约束，增大了体系的刚度。二、能量法求最初的几个频率瑞利 ―里兹法（ Rayleigh-Rilz)? 1、哈密顿 (W.R.Hamilton) 原理? 体系自由振动时，在所有可能的运动状态中，精确解使：? ????20)( 驻值dtTU对时间 t 的积分取一个周期。dxXYEItU l 202 )]([)(s i n21 ????? ???dxXYmtT l 2022 )]([)(c o s21 ???? ???)9017()]([21])([21 2020??????? ?? 驻值dxXYmdxxYEI ll式中, Y（ x） ―满足体系边界条件的任意可能的位移函数。2、瑞利 ― 里兹法? 瑞利法是根据一个假设近似振型，计算体系一个频率。? 瑞利 ― 里兹法则把假设振型写成一组给定向量的线性组合，组合系数由使泛函 Π（ ω2） 为驻值的条件确定。这样做：? （ 1）,可以得到更好的基频近似值。? （ 2）,还可以得到一批前几阶自振频率的近似值。? 其中,ai为待定常数。? φi(x)为 n 个独立的可能位移函数，均满足体系的位移边界条件。? 将（ 17-91）代入（ 17-90）9 1 )-( 1 7, )(a)Y(1i xx ini????设dxxamdxxaEI iniiinii21221)]([2)]([21??? ??? ???????（ 17-92）? 令,? kij =∫EIφi&φj&dx (17-93)? mij =∫mφi&φj&dx (17-94))9517()(21 21 1???? ? ?? ?jiijninjij aamk ?应用驻值条件,)9617(),,2,1(0)(),,2,1(02??????????niamkniajijiji???矩阵形式, ([ k ] Cω2[ m ]){a}={0}当 ai不全为零时,则：[ k ] Cω2[ m ] = 0由此可求出 n 个根,22221 n??? ????三、集中质量法 (求 ω的近似方法 )? 1、等效原则：? 将无限自由度体系或多自由度体系通过集中质量，转化为有限个自由度体系或但自由度体系。? 方法：? ①、静力等效：? 集中后的重力 =原体系的重力 （合力等效）? ②、动能等效：? 集中后的动能 =原体系的动能? 还有一些简化等效方法。2、静力等效? 每段分布质量可按杠杆原理换成位于两端的集中质量。? (1)、梁mEIl 2180.9??mEIlmEIl 22212.3886.9 ?? ??mEIlmEIlmEIl 2322216.842.39865.9 ??? ???mEIlmEIlmEIl 23222183. ??? ???? （ 2）、刚架? 对称刚架的主振型一般分为正对称和反对称两组。通常对称刚架发生最低频率的振型是反对称的。? ①、反对称振型质量集中如右图。? ②、正对称振型质量集中如图。习题课,多（两个）自由度体系的振动? 重点,? 1、掌握多自由度体系自由振动的计算方法（两个自由度体系的自由振动，柔度法、刚度法）。? 2、掌握多自由度体系强迫振动的计算方法（简谐荷载作用下，两个自由度体系的强迫振动）。习题 1：? 图示刚架已知：k1=k4=200× 106N/m,k2=k3=100× 106N/m,m1=100t,m2=200t,求自振频率 ω和主振型 。k11=k1+k2+k3 k21= - k3k22=k3+k4k12= - k3? 频率, ω1=36.25 1/s ω2=64.70 1/s? 主振型, {Φ (1)} = [ 1 2.686 ]T? {Φ (2)} = [ 1 - 0.186 ]T第一主振型第二主振型习题 2,? 习题 1刚架,在 m1方向上有荷载? FP(t)=FP sinθt,? FP=200kN,θ=0.6ω1=21.75 1/s。 求振动的最大? 幅值,并计算动力弯矩,画动力弯矩图。FP sinθt EI =∞EI =∞将求出的惯性力幅值作用体系的相应位置上，用静力方法计算最大动力弯矩。20031.1230.30习题 3,? 图示刚架，各杆 EI=常数。求刚架的自由振动频率和主振型。 y1y2? 自振频率：31 6 3 5.2 mlEI??32 6 5 3.6 mlEI??第一主振型 第二主振型?主振型, {Φ(1)} = [ 1 0.305 ]T? {Φ(2)} = [ 1 - 1.639 ]T习题 4,? 习题 3刚架,在m1方向上有荷载FP(t)= FP sinθt,? FP=10kN,θ=0.6ω1。? 求振动的最大幅值,并计算动力弯矩,画动力弯矩图。FP sinθt最大动力弯矩图
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