第五章& 光的偏振
干涉和衍射现象揭示了光的波动性，但还不能由此确定光是横波还是纵波。偏振现象则是判断横波最有力的实验证据。光的 偏振有五种可能的状态：自然光、部分偏振光、线偏振光（也叫平面偏振光）、圆偏振光和椭圆偏振光。自然界的大多数光源发出的光是自然光。在这一章里，我们要讨论的主要问题是如何
5.1 自然光与偏振光
一、光的偏振性
我们知道，波的振动方向和波的传播方向相同的波称为纵波；波的振动方向和波的传播方向相互垂直的波称为横波，在纵波的情况下，通过波的传播方向的所有平面内的运动情况都相同，其中没有一个平面显示出其他任何平面特殊，这通常成为波的振动对传播方向具有对称性。对横波说，通过波的传播方向方向且包含振动矢量的那个平面显然和其他不包含振动矢量的任何平面有区别，这通常称为波的振动方向对传播方向没有对称性，波的振动方向对于传播方向的不对称性叫做偏振，它是横波区别于纵波的一个最明显的标志，只有横波才有偏振现象。
&&在第一章中已经指出光波是电磁波,因此,光波的传播方向是电磁波的传播方向.光波中的电矢量E和磁矢量H都与传播速度v垂直,因此光波是横波,它具有偏振性.
&&实验事实已经表明,在光和物质相互作用的(如感光作用和生理作用)过程中,主要起作用的是光波中的电矢量E,所以讨论光的作用时,只需考虑电矢量E的振动.E称为光矢量,E的振动称为光振动.光的横波性只表明电矢量与光的传播方向垂直,在与传播方向垂直的平面内还可能有各种不同的振动状态.如果光在传播过程中电矢量的振动只限与某一确定平面内,则这种光称为平面偏振光.由于平面偏振光的电矢量在与传播方向垂直的平面上的投影为一条直线,故又称线偏振光.为简单起见,我们常用图5-1所示的标志表示线偏振光在传播方向上各个场点的电矢量分布.其中图(a)表示电矢量垂直于图面的线偏振光,图(b)表示电矢量在图面内的线偏振光.电矢量和光的传播方向所构成的平面称为偏振光的振动面.在图(a)中的振动面垂直于图面,在图(b)中的振动面平行于图面.&
二、 自然光与偏振光
普通光源发出的光一般是自然光,自然光不能直接显示偏振现象.关于这一点可以通过光源的微观发光机制来认识.任何一个普通发光体,从微观上看是由大量的发光原子或分子组成的,每个发光原子每次所发射的是一个线偏振波列,然而各个原子或分子发光的独立性,各波列的偏振方向及相位分布都是无规则的,因此若在同一时刻观测大量发光原子或分子发出的大量波列,相互间无相位关联,它们的电矢量可以分布在轴对称的一切可能的方位上,即电矢量对光的传播方向是轴对称分布的.另一方面,每个发光原子发光的持续时间约为10-8ｓ,而一般观测时间内,实际接收到的仍是大量的偏振波列,波列与波列之间相位彼此无关联,电矢量也是轴对称分布的.这种由普通光源所发射的光波,在光的传播方向上的任意一个场点,电矢量既有空间分布的均匀性,又有时间分布的均匀性.也就是在轴对称的各个方向上电矢量的时间平均值是相等的,具有这种特点的光叫做自然光.也可以说,自然光是由轴对称分布、无固定相位关系的大量线偏振光集合而成的。图5-2所表示的就是沿z轴传播的自然光。要注意的是图中所示的各矢量反映的只是电矢量的振动矢量间的相位差。
，则所有电矢量的振幅在两个相互垂直的方向上的总分量为在该方向的投影的矢量和，即
由于大量线偏振光分布的轴对称性，这两个垂直分量的振幅相同，即。换句话说，自然光可以看成是两个振幅相同，振动相互垂直的非相干的线偏振光的叠加。通常可用图5-3（b）表示自然光在传播方向上，场中各点的电矢量。值得注意的是，自然光的这两个垂直分量无固定的相位关系，决不能合成为一个单独的矢量。
若自然光的强度为I0，根据Ax和Ay的非相干叠加，应该有
令，，则&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
线偏振光与部分偏振光
如果 有一种光学元件,能以某种方式选择自然光中的一束线偏振光,而屏气另一种线偏振光,则称为起 偏器.自然光经过起偏器后可以转变成线偏振光.线偏振光也可以用相位相同的,振动相互垂直的两列光波的叠假来描述.若两列波沿z方向传播,则线偏振光的电矢量表达式为
& &&&(5-2)
分别是沿x,y的单位矢量.式中取正号时,矢量如图5-4(a)所示,取负号时, 矢量如图5-4(b)所示.
一、 由二向色性产生的线偏振光&
二向色性指的是有些晶体对 振动方向不同的电矢量具有选择吸收 的性质.最早使用的是天然具有的晶体,例如电气石,它能强烈地吸收与晶体光轴(见§5-3节)垂直的点电矢量,而对与光轴平行的电矢量吸收得较少.
广泛使用的二向色性片是一种透明的聚乙烯醇片,通过加热和延伸,是得它的长链分子在特定方向上排列得很好,然后将该片用碘溶液浸染,碘原子依次沿聚乙烯醇分子的直线排列起来,与碘相联系的导电电子就能顺着长链聚合物分子上下循环流动,这些分子几好象是微观的导线.含有这种平行地排列起来的长链聚合物分子的 薄片叫做偏振片.当一束自然光射到偏振片上时,由于碘原子提供的高传导性,相互平行地排列起来的长链分子吸收平行与链长方向的电场分量,而与它垂直的电场分量
则几乎不受影响,结果透射光成为线偏振光.我们把偏振片上能透过电矢量振动的方向称为它的透射方向.
图5-5中P1和P2代表两块偏振片,其中偏振片P1用来产生线偏振光,叫做起偏器;偏振片P2用来检验线偏振光,叫做检偏器，P2与P1的透振方向互成角度。若通过P1的电矢量振幅为A,那么沿第二块片真片的透振方向的振幅分量为,从而透射光强
当 时,上式有最大值.令,可得
&&&&&&&&&&&&&&
式(5-3)所表达的线偏振光通过检偏器后的透射光强度随角变化的这种规律,叫做马吕斯定律.
，则从系统透射出来的光强为
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
若使P2 以光线方向为轴转动一周，将连续地改变360ο，光强就按上式从极大变到极小，又从极小变到极大作周期性的变化．当＝0、180ο、360ο时,光强为极大
当＝90ο、270ο时，光强为零。
&&& (2) 由（1)得到的可知，只有当＝0或180ο，同时＝0，通过系统的光强最大。因此，在实验步骤上应先固定P1、转动P2，使透射光强达到一最大值，表明已调到＝Oο或180ο；再让P1和P2同步旋转，使透射光强再度达最大值时，表明已调到＝0ο。此时因同时满足了＝0ο(或180ο)和＝0ο，所以通过系统的光强最大．
反射光的偏振状态
&&当一束自然光在两种介质的界面上反射和折射时,反射光和折射光的传播方向虽由反射和折射定律决定,但这两束光的振动取向,即偏振态，则须根据光的电磁理论,由电磁的边界条件来决定.如前所述,自然光的电矢量可以分解为平行于入射面的分量和垂直于入射面的分量.由菲涅耳公式可以知道,电矢量的平行分量和垂直分量的振幅比分别为
把这两式结合起来,不考虑方向,便有
在及的两种情况下，可得
现已经知道 ,因此上式表明反射光中电矢量的平行分量 值和垂直分量值 值相等.但由于这两个分量是不相干的,合成后的反射光仍然是自然光.
&&&& 此外,当自然光以除及外的任何角度入射时,都有不等式
这时,式（5-4）就可简化成
由此表明反射光中的电矢量的平行分量值总是小于电矢量的垂直分量 值.从内部结构来看,这两个分量是方向不同,振幅大小不等的大量振光的电矢量在这两个方向上投影的适量和.因此这两个分量仍然是不相干的,不能合成为一个矢量.具有这种特点的光叫做部分偏振光.
为某一部分偏振光沿某一方向上所具有的能量最大值, 为在其垂直方向上具有的能量最小值,由通常用
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
来表示偏振的程度,并称P为偏振度.在的特殊情况下,P=0,这就是自然光.所以自然光是偏振度等于0的光,也叫做非偏振光,.在的特殊情况下,P=1,这就是线偏振光,所以线偏振光是偏振度最大的光.
[例5-2] 通过偏振光观察一束部分偏振光。当偏振光由对应投射光强最大的位置转过
60°时，其光强减为一半。试求这束部分偏振光中的自然光和线偏振光的强度之比以及光束的偏振度。
解：部分偏振光相当于自然光和线偏振光的叠加，设自然光的强度为，线偏振光的强度为，则部分偏振光的强度为。当偏振片处于使透射光强度最大的位置时，通过偏振片的线偏振光的强度仍为，而自然光的强度为 ，即透光强过的总光强为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
偏振片转过60°后，透射光的强度变为
根据题意，即
这说明入射的部分偏振光相当于强度相等的自然光和线偏振光的叠加。
该束光的最大光强
最小光强&&&&&&&&&&&
由此可以求出偏振度
电矢量的平等分量就完全不能反射,反射光中只剩下垂直于入射面的分量.这样,反射光就成了线偏振光,如图5-7 所示.这个特殊的入射向用表示,如此令此时的折射角为,则,故&&&
& &&&&(5-6)
式中和分别为入射光束和折射光束所在的介质的折射率。公式(5-6)所表示的关系称为布儒斯特定律。这一引起全偏振的角也称为布儒斯特角。如光从空气入射到介质界面上，，对于一般的玻璃来说，,则 ;对于石英来讲, ,
则.因此,自然光一布儒斯特角入射到介质表面时,其反射光为线偏振光.
&&[例5-3] 在折射率为的玻璃基板上,涂上一层折射率为n的介质薄膜,一束电矢量在入射面内的线偏振光入射到基板和薄膜上.改变入射光的方向,使直接从基板透射的光和通过介质薄膜后再透射的光的光强差最小,那么就可利用此时的入射角来确定介质薄膜的折射率n,为什么?
恰好等于布儒斯特角.所以只要测出两束透射光强差达最小时的入射角,根据布儒斯特定律就可测定介质薄膜的折射率
三、透射光的偏振态
入射到一片透明介质上，经介质上表面折射一次后，由（1—33）式可知，电矢量平行分量的振幅为
式中右上角的（1）表示折射了一次，其中是布儒耳特斯角，因此，利用,上式可简化成
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
当这束光经介质下表面第二次折射后，投射光中矢量的平行分量为
右上角的（2）表示折射了二次。对上、下表面平行的介质来说.因此
利用,上试可简化为
&&&（5-8）
把（5-7）式代入（5-8）式，即得
&&&&&&&&&&&&&&&&&
这表示光以布儒耳特斯角入射到一片透明介质时，在没有吸收的情况下，投射光中电矢量的平行分量，即平行分量100%投射。
同样，经介质上表面一次折射后，垂直分量的振幅由菲涅耳公式可得
由于式中是布儒耳特斯角，所以
&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&(5-10)
这束光经介质下表面第二次折射后，电矢量的垂直分量变为
把（5-10）试代入上试，可得自然光以布儒耳特斯角入射时，经过一片透明介质后，投射光中矢量的垂直分量为
&&&&&&&&&&&
因为在自然光入射的情况下，,所以（5-9）式和（5-11）式表明了即使以布儒耳特斯角入射，从一片介质透射出来的光仍然是部分偏振光。
为了利用折射获得线偏振光，往往采用多次折射的方法，如图5-9所示。当一束自然光以布儒耳特斯角射入n片互相平行的透明介质扳后，折射光连续经过2n次折射，在透射光中矢量的平行分量由（5-9）试得
而在透射光中电矢量的垂直分量由（5-11）试得
,当n值很大时，
由此可见，自然光以布儒耳特斯角布入射到透明介质堆上时，透射光几乎是线偏振光，它电矢量平行于入射面。
目前为了提高激光的输出功率，在激光器中也采用了布儒耳特斯角的装置。图5-10所示的是一种外腔式气体激光器。在激光器的两端装有布儒耳特斯窗B。当光在两镜面M间来回反射并以布儒耳特斯角射到窗B时，平行于入射面（相当于纸面）振动的光不发生反射而完全透过，而垂直于入射面振动的光则陆续被反弹掉，以致不能发生振荡。这样，最后就只有平行于入射面的振动的光能在激光器内发生振荡而形成激光。所以外腔式激光器输出的是线偏振光。
，但入射角；而从晶体出射时，，，这显然是违背折射定律的，因此这一束光称为非常光（简称为e光）。要注意的是“寻常”和“非常”仅仅是指光在折射时是否符合折射定律，它反映了光在晶体内沿各个方向的传播速度不同，因此它们只有在双折射晶体的内部才有意义。射出晶体以后，就没有o光和e光之分了。此外，当入射光改变时，o光的入射角正弦与折射角正弦之比保持不变，且入射角和折射面始终保持在同一平面内；e光的入射角正弦与折射角正弦之比不是一个常数，且在一般情况下，e光不在入射面内。它的折射角以及入射面和折射面之间的夹角，不仅和原来光线的入射角有关，而且还和晶体的取向有关。
二、光轴与主截面
变更入射光的方向时，可以发现晶体内存在着一些特殊的方向，沿着这些方向传播的光并不发生双折射。即o光和e光的传播速度以及传播方向都一样。在晶体内平行于这些特殊方向的任何直线叫做晶体的光轴。光轴仅标志一定的方向，并不限于某一条特殊的直线。
只有一个光轴的晶体叫做单轴晶体，有两个光轴的晶体叫做双轴晶体。方解石、石英红宝石等是最常见的单轴晶体，云母、硫磺、黄玉等都是双轴晶体。光通过双轴晶体时，可以观察到比较复杂的现象。本章讨论的仅以单轴晶体为限。
在单轴晶体中，我们定义包含晶体光轴和一条给定光线的平面叫做与这条光线相对应的晶体的主截面。显然，通过 o光和光轴所作的平面就是和o光对应的主截面，通过e光和光轴所作的平面就是和e光所对应的主截面。
用检偏器来观察时，可以发现o光和e光都是线偏振光，但它们光矢量的振动方向不同， o光的振动面垂直于自己的主截面，e光的振动面平行自己的主要截面。一般来说，对应于一给定的入射光束，o光和e光的主截面并不重合，仅当光轴位于入射面内时，这两个主截面才严格地重合。但在大多数情况下，这两个主截面之间的夹角很小，因而o光线和e 光线的振动面几乎互相垂直。
&三、o光和e光的相对光强
无论是自然光，还是线偏振光，当它们入射到单轴晶体时，一般来说都会产生双折射，只是自然光如社的情况下，o光和e光的振幅相等；而当线偏振光入射时，o光和e光的振幅不一定相等，随着晶体方向的改变，它们的振幅也发生变化。图5-12a中的表示垂直入射的线偏振光的振动面与纸面的交线，表示晶体的主截面与纸面的交线，即为振动面和主截面的夹角。由于o光的振动面垂直于主截面，e光的振动面平行于主截面，则o光和e光的振幅分别为
式中A是入射线偏振光的振幅。在考虑两束光的强度问题时，应注意光强是与折射率成正比的。在下一节中我们将要介绍晶体中o光和e光的折射率并不相同，而且e光的折射率还与传播方向有关。因此，在晶体中o光和e光的强度分别为
相对光强为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(5-12)
式中α为e光传播方向和光轴的夹角。如果o光和e光射出晶体后，这两束光都在空气中传播，那么这时就没有o光和e光之分了，它们的相对光强应为
显然，o光和e光的相对光强随角的改变而改变，当晶体以入射光传播方向为轴旋转时，见图5-12b，这两束光的相对光强也就不断变化。若晶体主截面（可以近似地认为对这两束光是同一平面）垂直于入射偏振光的振动面，即，则o光的强度为最大，e光完全消失，即,；若晶体主截面平行入射偏振光的振动面时，即，则e光的强度为最大，o光完全消失，即,。如果扩大入射光束使两束光互相重叠，则由于总光强
是一个常量。不论晶体怎样转动，重叠部分强度不变，如图5-12b所示。
当时，这两束光射入第二块晶体后，又分别被分解为o光和e光，其传播方向也要继续分离，最后的透射光将有四束，这四束光的强度分别为
相对强度为&&&&&&
当时，第一块晶体中的o光在第二块晶体中仍为o光；第一块晶体中的e光在第二块晶体中仍为e光。但由于原来这是相同的两块晶体，此时它们的光轴方向关于表面的法线对称，如例5.4图所示，e光在第一块晶体中的偏折方向与在第二块晶体中的偏折方向相反，因此从第二块晶体出射时，两束光的传播方向重合，成为一束光。非相干叠加的结果其强度为
即与入射光强度相同。
。由此可见，振动方向垂直于主截面的光是o光，它们沿着一切方向传播的速度都相同。将该图绕通过C点的光轴转过180°，即得从发光点C发出的o光的波面，它是一个球面。
其次研究振动方向平行于主截面的光线[图5-13(b)]。由图可以看出，对于不同的传播方向，光振动的方向和光轴不同的角度。例如沿着C方向的振动垂直于光轴，沿着C方向的振动平行于光轴。前者使振子作受迫振动时，受迫振动和入射光的电矢量之间的位相差决定于固有频率ω2，因而仍以速度v传播，但后者使振子作受迫振动时的位相差决定于固有频率ω1，因此它的传播速度不等于,以v来不示。在任何其它方向传播的光线C将以速度传播, 介乎v和v之间。由此可见振动方向平行于主截面的光是e光，它在不同方向有不同的传播速度。绕着通过C的光轴转过180°，即得e光的波面。这个波面是旋转椭球面，它和一个主截面的交线是椭圆。对于截面不大的e光束来说，它的传播方向不一定垂直于波面。这是晶体中特有的现象。
光在单轴晶体中传播时，某一时刻旋转椭球波面和球波面在光轴的方向上相切，沿着光轴方向传播的光，无论它的振动方向如何，速度都相同，因而不发生双折射。
单轴晶体分为两类：一类是旋转椭球面在球面之内，如图5-14（c）、（d），也就是e光的速度在除光轴外的任何方向上都比o光小，这类晶体叫做正晶体。石英就属于正晶体。另一类是旋转椭球面在球面之外，如图5-14（a）、（b），也就是e光的速度在除光轴外的任何方向上都比o光大，这类晶体叫做负晶体。方解石就属于负晶体。
的半球面（在纸面上是一个半圆），以及一个半短轴和半往昔轴分别为v和v的半椭球面。椭球的半短轴沿光轴方向。经D点作球面的切面DO和椭球面的切面DE。这两个平面就是界面AD上所有各点所发次波波面的包络面，它们分别代表晶体中的o光和e光的折射波面。如果切点是O和E,o光和e光分别沿AO和AE方向传播，应当注意o光的传播方向垂直于它的波面DO，e光的传播方向不垂直于它的波面DE，当光轴在入射面内时，o光和e光在图面内振动，以短线段表示，o光的振动垂直于图面，以小黑点表示。
和W并不重合。到达同一位置时，两者之间有一定的位相差。在这两个例子中，o光和e光虽然没有分开，但因传播速度不等，故仍然有双折射存在，只是从现象上看两束光的方向一致罢了。利用渥拉斯顿棱镜（见下1800，即得从节）就可以把它们分开。
其实图5-17中的（b）和(c)是对应于相同的情况，或者说，或者说，它们代表同一组球面和椭球面的两上不同的截面。
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中c是光在真空中的传播速度，是e光在负晶体内传播速度的最大值（或正晶体内速度的最小值）。说明入射角的正弦与折射角的正弦之比值是一常数，因此在这光轴垂直于入射面的特殊情况下，e光也尊从折射定律。所以真空中的光速c与e光在垂直于光轴方向的传播速度之比(）叫做晶体对e光的主折射率。
对于负晶体，e光的主折射率小于O光的折射率；对于正晶体，大于。对于大多数晶体来说，和的差别不大，例如对应入的光，方解石晶体的和的值分别是1.65836和1.48641；石英体的和分别是1.54425和1.55336。
[例5-5]应该怎样切割单晶体制成棱镜，才能用最小偏向角的方法测定该晶体的两个主折射率。
[解]为测定O光的主折射率，晶体可以任意切割。为测定e光的主折射率，必须使晶体光轴与c光的传播方向垂直。已经知道，光以最小偏向角入射到棱镜上时，折射光正好平行于棱镜的底边，因此切割棱镜时，可使晶体的光轴垂直于棱镜的底面，如例5-5图（a），或者平行于棱镜的折射棱，如例5-5图（b）这样e光与c光波面垂直，就是说，在此情况下，测定的是e光的主折射率。
在平面A’BCD’内，部面（即胶合面）垂直于这个平面，是它们的交线。光轴位于图面内，和入射界面所成的角为480[图5-19(b)]。
的入射光，沿着方向进入棱镜，在第一棱镜内分解为o光和e光，其中o光以760的入射到树胶层上，由于入射角大于临界角，o光将在树胶层上产生全反射，而被四周涂黑的棱镜壁所吸收。但e光却是由光疏介质向光密介质折射，不可能产生全反射，所以从尼科耳棱镜透射出来的光就是和e光相应的平面振光，其振动方向平行于主截面且平行于尼科耳的横截面（与图面垂直的菱形）的短对角线，另画在图5-19（c）中由箭头所示。
当入射光不是平行于棱镜的，而是沿着下偏的[图5-19(b)]方向入射时，o光射到树胶层的入射角就有可能小于临界角700，而不发生全反射；或是沿着上偏的方向入射时，e光与光轴的夹角变小，折射率变大，且入射在树胶层上的入射角也增大，e光也有可能产生全反射。为了避免这种情况出现，入射光线上、下两方存在一个极限角。将瑞面从710研磨并抛光到680，就使上、下两个极限角近乎相等。计算表明，此极限角SMS0≈140（见例5-6），入射光的会聚会不能超过这个极限角的范围。因此在使用尼科耳时，要避免用高度会聚或发散的光束。激光的发散角一般都很小，作为入射光束最为理想。
尼科耳可以作为起偏器，也可以作为检偏器。作为检偏器时，如入射的平面偏振光的振幅为Ao，它的振动方向与尼科耳主截面（总是指e光的主截面）之间的夹角为θ，则尼科耳内的e光的振幅为，o光的振幅为。e光透射出尼科耳后，这一平面偏振光的强度可用下式表示：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中Io（等于A20）为入射平面偏振光的强度。当自然光连续通过两上尼科耳时，第一个尼科耳N1即作为起偏器，第二个尼科耳N2作为检偏器。上式中的θ即为两个尼科耳主截面之间的夹角。也就是两个尼科耳的相对位置，当=0时，则由N1产生的偏振光也能通过N2，这种装置称为平行尼科耳，当时，则由N1产生的偏振光的振动方向垂直于N2的主截面，因而完全不能通过N2这种装置称为正交尼科耳，自然光通过平行尼科耳时透射光最强，通过正交尼科耳时光强为零。
加拿大树胶对紫外线有强烈的吸收，故尼科耳对此波段不适用。傅科棱镜以空气层代替树胶，O光和e光对于空气层的临界角分别为37014’和42023’。如设计镜使O光和e光入射到空气层的角度介乎这两个临界角之间，也可使O光和e光全反射，而使e光透射。在傅科棱镜中，由于这个临界角较尼科耳为小，所以用横截面相等的方解石来制造时，长度可较尼科耳短些，棱面之比AC/AB=0.9。这样，非但制造成本较低，而且短的棱镜在结构上较之长的棱镜更坚固耐用。
[例5-6] 一束钠黄光入射在例5-6图所示的尼科耳棱镜上，试计算此时能使O光在棱镜粘合面上发生全反射的最大入射角度i。以及棱镜外表面相应的角度∠S.MS.
[解]& 对于钠黄光，加拿大树胶的折射率n=1.55，晶体对于o光的折射率=1.65836，设o光在树胶界面上全反射临介角为，则由折射定律
由于∠BA’C’为直角，所以这时光在棱镜表面的折射角为
相应的最大入射角为
二、渥氐棱镜
渥拉斯顿（Wollaston）棱镜能产生两束互相分开的、振动相互垂直的平面偏振光。它是由两个直棱镜组成的，如图5-20，材料也是用方解石，两棱镜的光轴互相垂直。自然光垂直入射到 表面时，o光和e光无折射地沿同一方向进行，但分别以不同的速度和传播[图5-17(c)]。当它们先后进入第二棱镜以后，由于第二棱镜的光轴垂直于第一棱镜的光轴，所以，第一棱镜中的o光在第二个棱镜来说就变为e光，而e光就变为o光，因此原来在第一棱镜中的o光在两棱镜的界面上以相对折射率折射，而原来在第一棱镜中的e光以相对折射率折射。因为方解石是负晶体（），所以在第二棱镜中的e光远离BD面的法线传播，在第二棱镜中的o光靠近BD面的法线传播。结果两束光在第二棱镜中分开。这样，经CD面再次折射而由渥氏棱镜射出的是两束按一定角度分开的偏振光，它们的振动方向互相垂直，当棱镜顶角β=∠ABD不太大时，这两束折射光差不多地称地分开。它们之间的夹角近似为（证明见附录5-1）
&&&&&&&&&&&&&&&&&
三、波晶片
由图5-17(b) 、(c)可知，一块表面平行的单轴晶体，基光轴与晶体表面平行时，O光和e光沿同一方向传播，我们氢这样的晶体叫做波晶片，当一束振幅为Ao的平行光垂直地入射到波晶片上时，在入射点分解成的e光的传播速度不同，所以二者的波长也不同，就逐渐形成位相不同的两束光。这两束光在晶片内引起的振动分别为
其中和表示在晶片中e光和o光的波长，r表示光波进入晶片内部某点离晶片表面的距离。因此，在晶片中两束光的位相差就为
以代入。得
其中为该光在真空中的波长。由此可见，两束光在晶片内不同深度的各点位相差不同，当两束光射出晶片后，位相差即为
&&&&&&&&&&&&&&&&&
其中d为晶片厚度，由此可见，o光和e 光通过晶片后的位相差，除与折射率之差（-）成正比外，还与晶片厚度成正比。不同的厚度d，两束光之间的位相差就不同。在实际工作中，较常用的波晶片是四分之一波片和二分之一波片。四分之一波片的厚度满足
&&&&&&&&&&
这说明光通过四分之一波片后，o光和e光的位相差 &。当然，四分之一波片只是对某一特定波长而言的，不同波长，四分之一波片的厚度也不同。对于的黄光，方解石的折射率差值-=0.172，四分之一波晶片的厚度d=8.6×10-5cm。对于的蓝光。-=0.184，厚度d=6.3×10-5cm，制造这样薄的波片相当困难，通常采用的四分之一波片的厚度是上述数值的奇数倍，即
, K=0,1,2,……&&&&&&&&&
对应的位相差为
如果晶片的厚度使两束光引入的光程差为
或者说，引入的位相差为
这种晶片称为半波片，平面偏振光垂直入射到半波片而透射后，仍为平面偏振光。如入射时振动面和晶体主截面之间的夹角为，则透射出来的平面偏振光的振动机从原来的方位转过2角。
5.7&& 椭圆偏振光和圆偏振光
椭圆偏振光指的是在光的传播方向上，任意一个场点电矢量既改变它的大小，又以角速度ω（即光波的圆频率）均匀转动它的方向，或者说电矢量的端点在波面内描绘出一个椭圆，而圆偏振光指的是在光的传播方向上，任意一个场点电矢量以角速度ω匀速转动它的方向，但大小不变，或者说，电矢量的端点在波面内描绘出一个圆，实际上圆偏振光是椭圆偏振光的一个特例。
一、圆和椭圆偏振光的描述
椭圆偏振光可用两列频率相同，振动方向相互生某些，且沿同一方向传播的平面偏振的叠加得到，在光波沿z方向传播的情况下，便有
由此可得合成波的表达为
&&&&&&&&&&&&&
上式表明，任意一个场点电矢量端点的轨迹是一个椭圆，椭圆的方程可从（5-20）式中消去因子（ωt-kz）后得到
&&&&&&&&&&&&&
都有关系。
此外，任意一个场点电矢量的端点，椭圆运动的方向也与位相差的数值有关。图5-22表示各种形状的椭圆，图上横坐标是x轴，纵坐标是y轴，图上所注表示y轴的振动超前于x轴的数值。
当我们迎着光的传播方向观察时，若一个场点的电矢量端点描出的椭圆沿顺时针方向旋转，我们称之为右旋椭圆偏振光。如图5-22中(b)、(c)、(d)所示的情况都是右旋椭圆偏振光。当我们迎着光的传播方向观察时，若一个场点的电矢量端点描出的椭圆沿逆时针方向旋转，则可称之为左旋椭圆偏振光。如图5-2中(f)、(g)、(h)所示的情况都是左旋椭圆偏振光。
值得指出的是：在光的传播方向 z上，各点的电矢量的位相是随z的增加而逐点落后的，因此同一时刻沿z方向场中各点电矢量的相对取向与传播方向之间，在右旋椭圆偏振光中，正好构成右手螺旋，如图5-23（a）所示；在左旋椭圆偏振光中正好构成左手螺旋，如图5-23(b)所示。
时，（5-22）式变成一个圆方程，这时在光的传播方向上任意一个场点电矢量端点的轨迹是一个圆，这种光我们称之为圆偏振光，由（5-21）式可得电矢量的表达式为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
式中的第二项取正号时，表示左旋圆偏振光；取负号时，表示右旋圆偏振光。
[例5-7]（波长λ=5.893nm的一束左旋圆偏振光）垂直入射到5.141×10-14cm厚的方解石波晶片上，试问透射光束具有什么样的偏振态？已知=1.65836，＝1.48641。
[解] 左旋圆偏光的电矢量的分量为
按题意可以算得出射e光和o光之间的位相差为
显然方解石波晶片是半波片，透射光的分量将是
它表示的是右旋圆偏振光。由此可见，半波片使左旋圆偏振光转变成右旋圆偏振光了。
二、椭圆偏振光和圆偏振光的获得
根据以上讨论，我们可以知道要获得椭圆（或圆）偏振光，首先必须造成两束同频率、振动方向互相垂直，且有确定的位相关系，并沿同一方向传播的平面偏振光。这个目的可以让一束平面振光垂直入射在波晶片上，除电矢量振动方向与波晶片光轴平行或垂直外，波晶片所分解出来的o光和e光正好满足频率相同、振动方向互相垂直，且位相相同并沿同方向传播的条件。而且由于O光和e光的传播速度不同，经波晶片出射时，两束光具有怛定的附加位相差，出射后两束光合成的结果，一般地说是椭圆偏振光。电矢量端点所描绘的椭圆运动的方向由两束光的位相差△p及波片的光轴取向决定。例如，当一束平面偏振光垂直入射到四分之一波片上，且电矢量的振动方向与波片的光轴成一角度时，一般来说，出射光是椭圆偏振光，它可用上式表示：
如果波片是由负晶体制成的，其光轴沿y轴，入射的平面偏振光的振动在第一、三象限里，式中取时，出射光是图5-22中(c)所示的右旋正椭圆偏振光；若入射的平面偏振光的振动方向不变，而波片的光轴沿x轴，那么式中取，出射光是图5-22中（g）所表示的左旋正椭圆偏振光。
一种特殊的情况是入射平面偏振光的电矢量振动与四分之一波片的光轴成450角，这时o光和e光的振幅相等，从四分之一波片出射的光成为圆偏振光。
应该指出，如果四分之一波片的厚度 ，则光通过四分之一波片时，o光（x方向）和e光（y方向）间要引入的位相差，出射后的合成波应为
当K=0，2，4……时，出射光是右旋圆偏光；当K=1，3，5……时，透射光是左旋圆偏振光。
三、自然光改造成椭圆或圆偏振光
自然界中大多数光源发出的光是自然光，如果把自然光直接入射到波品片上，出射后，不可能得到椭圆偏振光．因为自然光是屯矢量轴对称分布的大量平面偏振光的集合，这里平面偏振光有各种可能的取向，各种取向的电矢量彼此之间没有固定的位相差。其中对于那些电矢量沿光轴或垂直光轴的平面偏振光，出射后是偏振方向不变的平面偏振光，其它大量的是电矢量与光轴成—任意角度的平面偏振光，这些平面偏振光在波晶片内都要被分成。光和e光，出射后，一般地说合成的是椭圆偏振光．所以自然光经过波晶片后的偏振态，是大量的、有各种长短轴比例的椭圆偏振光的集合．这些大量的椭圆偏振光仍然是无规分布的，彼此之间没有固定的位相关系一因此这种光从宏观上看是轴对称分布的，仍然是自然光。
由此可以看出，要使自然光转化为椭圆偏振光，首先必须通过一个偏振器产生出平面偏振光，然后将它垂直地入射到一块波晶片上，如图5—24所示，通常把一个恰当取向的起偏器和一块波晶片的串接组合叫做椭圆偏振器．自然光通过椭圆偏振器后转化为
，则两束透射光的振幅分别为
最后从偏振片P2透射出来的光，其强度是这两束同频率，同一直线上振动的相干光的叠加结果，若两束光之间有位相差，则合强度就是
必须注意的是（5-26）式中的是指从偏振片P2出射时两束光之间的位相差。按图5-27所示装置，入射在波晶片上的光是平面偏振光，因而可令刚进入波晶片表面时，o光和e光的位相相等。在这种情况上，是由波晶片以及P2相对于P1的取向决定的，其中
（1）波晶片引入的位相差
式中d为波片的厚度
（2）假如P2和P1的透振方向处在相同的象限内，如图5-28（a）所示。A20和A20同向，这时不需要引入附加的位相差；假如P2和P1的透振方向处在不同象限内，如图5-28（b）所示，A20和A20必然相反，这时就要引入π的附加位相差。
综合上面两点可得（5-26）式中的位相差&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
若再令θ=450，便有
&&&&&&&&&&&&
当两块偏振片的透振方向相互垂直时，[注意a取锐角]，由此可把（5-25）式可简化成
此两式表示两束光在P2振动方向上的振幅相等，因此叠加后的总强度为
&&&&&&&&&&&&
若再令，可得
&&&&&&&&&&&&&&
现在我们用单色光照在厚度一定的波晶片上，这时可看作恒定，因的值在可见光范围内变化很小，若以图5-27中光线前进方向为轴，转动晶片的光轴，即改变图5-27中y相对于P1和P2的方向，则当θ为0、π/2、π和3π/2中的任一值时，I 达最大值，I1=0。这是因为θ为π/2和3π/2时成为o光。它们从晶片透射出来时，都是平面偏振光，其振动面和强度都和未通过晶片前相同的缘故。当θ为π/4、5π、4和7π/4中的任一值时，I1达最小值，I1达最大值。在任何情况中，按（5-27）式和（5-29）式，I1+ I1≡A21=常量。如果晶片厚度一定而用不同小鸡毛蒜皮的光来照射，则透射光的强弱随波长的不同而变化。
用白光照射时，由于对各种波长的光，干涉最大和最小的条件不是同时满足的，所以不同波长的光有不同程度的加强或减弱，混合起来出现彩色，不同厚度的晶片出现不同的彩色。对于给定的晶片，转动偏振片P2（改变a）时，彩色跟着变化。P1和P2平行时某些波长加强到什么程度，两偏振片正交时，这些波长就减弱到同样程度，总是符合常量的条件。如果把正交时出现的混合彩色和平行时出现的混合彩色二者一同混合起来，就将得行恢复入射光的白色。任何两种彩色如果混合起来能够成为白色，则每一种都称为另一种的互补色。对于同一块晶片，在白光照射下，偏振片正交和平行时所见的彩色不同，但它们总是互补的。把其中一块偏振片连续转动，则视场中的彩色也就跟着连续变化。上述的结论都已在实际观察中获得证实。
偏振光干涉时出现彩色的现象称为显色偏振或色偏振，显色偏振是检定双折射现象极为灵敏的方法。当折射率差值很小时，用直接观察o光和e光的方法，很难检定是否有双折射存在。但是只要把这种物质薄片放在两块偏振片之间，用白光照射，观察是否有彩色出现即可鉴定是否存在双折射。
必须指出的是，图5-27所示装置中，在晶片厚度均匀的情况下，随着偏振片P2的转动，视场中只有均匀的亮暗变化（单色光入射）或色彩的变换（白光入射）要在视场中出现干涉条纹，必须插入一块厚度不均匀的晶片。