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3、感谢您使用本站，1秒后自动跳转恩，这个问题很有意思，也不可能有标准答案。在我自己看来，真正说服我复变函数很有用的，是它帮助我很好地理解了高数中的一个小问题:&br&&br&&br&为什么一元函数
&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D+& alt=&f(x)=\frac{1}{1+x^2} & eeimg=&1&& 的泰勒展开的范围是&img src=&///equation?tex=%28-1%2C1%29& alt=&(-1,1)& eeimg=&1&& ？&br&&br&这个问题之所以有趣，是因为这个函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的泰勒展开是 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D+%3D1-x%5E2%2Bx%5E4-x%5E6%2B...& alt=&\frac{1}{1+x^2} =1-x^2+x^4-x^6+...& eeimg=&1&&&br&用高数的观点看来，等式右边展开范围肯定是&img src=&///equation?tex=%28-1%2C1%29& alt=&(-1,1)& eeimg=&1&&，因为在-1 和1 这个点上，泰勒级数单项绝对值发散，所以肯定发散。但是看等式左边，其实并没有这个问题。&br&&br&函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D+& alt=&f(x)=\frac{1}{1+x^2} & eeimg=&1&& 在-1点和1点是非常完美的点，没有任何的不光滑性质。它的函数图像是：&br&&br&&br&&img src=&/6cf6d6ade5d72b1eaec2546_b.png& data-rawwidth=&1074& data-rawheight=&662& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1074& data-original=&/6cf6d6ade5d72b1eaec2546_r.png&&&br&光滑得可以溜冰了有木有！！！&br&&br&&br&所以非常奇怪啊，为什么在&img src=&///equation?tex=%5Cpm+1& alt=&\pm 1& eeimg=&1&&这两个点上，泰勒展开等式右边发散，但是等式左边收敛？初看可能会觉得这是一个高数级别的问题，但是要真正回答清楚，则必须用到复变函数！&br&&br&&br&用复变函数的观点来看，就是一句简单的话：&br&&br&&img src=&///equation?tex=x%3D%5Cpm+i& alt=&x=\pm i& eeimg=&1&&是&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B1%2Bx%5E2%7D+& alt=&f(x)=\frac{1}{1+x^2} & eeimg=&1&&的奇点，所以从原点进行泰勒展开的圆盘半径为1，投影到实轴上就是&img src=&///equation?tex=%28-1%2C1%29& alt=&(-1,1)& eeimg=&1&&&br&&br&&br&所以我们会很惊讶地发现，学习复变函数可以帮助理解实函数。这就好像在高维世界看可以更容易理解低维投影一样。&br&&br&从此以后我就很喜欢复变，并且它也确实告诉了很多更厉害的东西，量子力学什么的都要用到它。而积分变换，只是复变函数中的一小块应用。顺便说一句，复数是最完美的数域，因为它是世界上最大的数域。从实数到复数的扩展，是一次极大的跨越，而其中带来的有趣结论也是极为丰富的。&br&&br&&br&★★★★★ 知识创造乐趣，你是你的大学 &a href=&///?target=http%3A//www.wanmen.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&www.wanmen.org&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ★★★★★
恩，这个问题很有意思，也不可能有标准答案。在我自己看来，真正说服我复变函数很有用的，是它帮助我很好地理解了高数中的一个小问题: 为什么一元函数 f(x)=\frac{1}{1+x^2} 的泰勒展开的范围是(-1,1) ？ 这个问题之所以有趣，是因为这个函数f(x)的泰勒展开…
行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，&b&理解只需要三步&/b&。这酸爽~&br&&br&&br&1，行列式&img src=&///equation?tex=det%28A%29& alt=&det(A)& eeimg=&1&&是针对一个&img src=&///equation?tex=n%5Ctimes+n& alt=&n\times n& eeimg=&1&&的矩阵&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&而言的。&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&表示一个&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间到&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间中的一个新立方体。&br&&br&2，原来立方体有一个体积&img src=&///equation?tex=V_%7B1%7D& alt=&V_{1}& eeimg=&1&&，新的立方体也有一个体积&img src=&///equation?tex=V_%7B2%7D+& alt=&V_{2} & eeimg=&1&&。&br&&br&3，行列式&img src=&///equation?tex=det%28A%29& alt=&det(A)& eeimg=&1&&是一个数对不对？这个数其实就是 &img src=&///equation?tex=V_%7B2%7D+& alt=&V_{2} & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%5Cdiv+& alt=&\div & eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=V_%7B1%7D+& alt=&V_{1} & eeimg=&1&&
，结束了。&br&&br&就这么简单？没错，就这么简单。&br&&br&&br&&br&所以说：行列式的本质就是一句话：&br&&br&&b&行列式就是线性变换的放大率！&/b&&br&&br&&br&&br&&br&理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：&br&&br&&img src=&///equation?tex=det%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！&br&&br&&br&&br&你先进行一个&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&变换，再进行一个&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&变换，放大两次的放大率，就是式子左边。&br&你把“先进行&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&变换，再进行&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&变换”定义作一个新的变换，叫做“&img src=&///equation?tex=BA& alt=&BA& eeimg=&1&&”，新变换的放大律就是式子右边。&br&&br&然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：&br&&br&“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”&br&&br&&img src=&///equation?tex=3%5Ctimes+5%3D15& alt=&3\times 5=15& eeimg=&1&&&br&&br&翻译成线性代数的表达就是： &br&&br&&img src=&///equation?tex=det%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&&br&&br&这还不够！我来解锁新的体验哈~&br&&br&上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：&br&&img src=&///equation?tex=det%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&那么很自然，你很轻松就理解了：&br&&img src=&///equation?tex=det%28AB%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det(AB)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&so easy，因为&br&&img src=&///equation?tex=det%28AB%29%3Ddet%5Cleft%28+A+%5Cright%29+%5Ctimes+det%28B%29%3Ddet%28BA%29& alt=&det(AB)=det\left( A \right) \times det(B)=det(BA)& eeimg=&1&&&br&&br&&br&&br&同时你也必须很快能理解了&br&&br&&b& “矩阵&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&可逆”
完全等价于
“&img src=&///equation?tex=det%28A%29%5Cne+0& alt=&det(A)\ne 0& eeimg=&1&&”&/b&&br&&br&因为再自然不过了啊，试想&img src=&///equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&&是什么意思呢？不就是线性变换&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&把之前说的&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！&br&&br&请注意我们这里说的体积都是针对&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间而言的，&img src=&///equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&& 就表示新的立方体在 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间体积为0，但是可能在&img src=&///equation?tex=n-1& alt=&n-1& eeimg=&1&&维还是有体积的，只是在 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。&br&&br&所以凡是&img src=&///equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&&的矩阵&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 &img src=&///equation?tex=A%5E%7B-1%7D+& alt=&A^{-1} & eeimg=&1&&的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。&br&&br&&br&&br&当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：&br&&br&由
&img src=&///equation?tex=AA%5E%7B-1%7D%3DI+& alt=&AA^{-1}=I & eeimg=&1&&&br&&br&可知
&img src=&///equation?tex=det%28A%29%5Ctimes+det%28A%5E%7B-1%7D++%29%3Ddet%28I%29%3D1& alt=&det(A)\times det(A^{-1}
)=det(I)=1& eeimg=&1&&&br&&br&这怎么可能啊~？ &img src=&///equation?tex=det%28A%29%3D0& alt=&det(A)=0& eeimg=&1&&了，那么&img src=&///equation?tex=det%28A%5E%7B-1%7D+%29& alt=&det(A^{-1} )& eeimg=&1&&等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 &img src=&///equation?tex=A%5E%7B-1%7D+& alt=&A^{-1} & eeimg=&1&&不存在。所以&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&自然不可逆。&br&&br&&br&&br&&br&YES！竟然真的过1000了，我来加点儿烧脑的，第一次看以下结论如果没有毁三观亮瞎双眼的刺激感，请接受阿哲的膝盖：&br&&br&&b&傅里叶变换也可以求行列式！！！&/b&&br&&br&&br&是的你没有听错，大名鼎鼎的傅里叶变换 &img src=&///equation?tex=F%28k%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&& 居然也可以求行列式！！！&br&&br&&br&首先一定有很多人要问责我，是不是没有学过行列式，因为按照绝大多数教科书来说，行列式是这样定义的：&br&&br&&img src=&///equation?tex=det%28A%29%3D%5Csum_%7B%5Csigma+%5Cin+S_%7Bn%7D+%7D%5E%7B%7D%7B%7D++sgn%28%5Csigma+%29%5Cprod_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D+A_%7B%5Csigma+%28i%29i%7D+& alt=&det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n} }^{}{}
sgn(\sigma )\prod_{i=1}^{n} A_{\sigma (i)i} & eeimg=&1&&&br&&br&&br&然后还有什么好说的，拿到一个矩阵各种化简然后算就好了呗，可是怎么说傅里叶变换也可以求行列式？傅里叶变换又不是一个矩阵，更别说矩阵元&img src=&///equation?tex=A_%7Bij%7D+& alt=&A_{ij} & eeimg=&1&&了。我在痴人说梦吗？&br&&br&但是，等等！桥度麻袋，“傅里叶变换”里面有个&变换&，难道它也是“线性变换”？！！！&br&&br&&br&一检查，尼玛还真的是。所有函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&就组成了一个向量空间，或者说线性空间。可是为什么呢？从高中咱们就熟悉的&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&明明是函数啊，怎么就变成了向量&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&呢？向量&img src=&///equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&&不是一个&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&维空间中的箭头吗？长得也不像啊。&br&&br&&br&&br&其实 “所有&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&组成的集合” 确实满足一切线性空间的定义，比如：&br&&br&1，向量&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&和向量&img src=&///equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&可以相加，并且有交换律&img src=&///equation?tex=f%28x%29%2Bg%28x%29%3Dg%28x%29%2Bf%28x%29& alt=&f(x)+g(x)=g(x)+f(x)& eeimg=&1&&&br&&br&2，存在零向量 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D0%28x%29& alt=&f(x)=0(x)& eeimg=&1&&，即处处值为零的函数&br&&br&3，任何一个向量&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&都存在一个与之对应的逆向量&img src=&///equation?tex=-f%28x%29& alt=&-f(x)& eeimg=&1&&，使得相加之和等于零向量 &img src=&///equation?tex=f%28x%29%2B%28-f%28x%29%29%3D0%28x%29& alt=&f(x)+(-f(x))=0(x)& eeimg=&1&&&br&&br&以及存在数乘以及分配率等性质…… 总之“所有向量&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&组成的集合”完美满足线性空间的8条黄金法则。&br&&br&&br&&br&艾玛真是亮瞎了俺的钛合金左眼，原来咱们熟悉的函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&身世可不一般啊，其实它是一个掩藏得很好的向量！！！对，我没有说错，因为所有函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&组成的集合构成了一个线性空间！而且还是无穷维的线性空间！！！阿哲校长感动得哭了 T____T&br&&br&&br&好，下面准备亮瞎钛合金右眼吧~&br&&br&一旦接受了向量&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&是向量的设定，周围的一切都变得有趣起来了！轶可赛艇！！！&br&&br&&br&接下来不妨思考一下，傅里叶变换 &img src=&///equation?tex=F%28k%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&& 是把一个函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&变成了另一个函数&img src=&///equation?tex=F%28k%29& alt=&F(k)& eeimg=&1&&，难道不可以理解为把一个线性空间中的向量&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&变成了另一个线性空间中的向量&img src=&///equation?tex=F%28k%29& alt=&F(k)& eeimg=&1&&吗？ 我整个人都咆哮了！！！&br&&br&&br&&br&而且这个变换是妥妥的线性的，完美地满足线性变换的定义：&br&&br&&img src=&///equation?tex=A%28v_%7B1%7D%2Bv_%7B2%7D%29%3DAv_%7B1%7D%2BAv_%7B2%7D+& alt=&A(v_{1}+v_{2})=Av_{1}+Av_{2} & eeimg=&1&&
&img src=&///equation?tex=A%28k+%5Ctimes+v_%7B1%7D%29%3Dk%5Ctimes+++Av_%7B1%7D& alt=&A(k \times v_{1})=k\times
Av_{1}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&因为积分变换的线性性：&br&&br&&img src=&///equation?tex=f%28x%29%2Bg%28x%29& alt=&f(x)+g(x)& eeimg=&1&&的傅里叶变换&img src=&///equation?tex=%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28f%28x%29%2Bg%28x%29%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&=\int_{-\infty }^{\infty} (f(x)+g(x))e^{ikx}dx& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx%2B%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+g%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx%3D& alt=&=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx+\int_{-\infty }^{\infty} g(x)e^{ikx}dx=& eeimg=&1&&&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&的傅里叶变换+&img src=&///equation?tex=g%28x%29%0A& alt=&g(x)
& eeimg=&1&&的傅里叶变换&br&&br&加法达成。当然数乘也轻松满足：&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%28kf%28x%29%29e%5E%7Bikx%7Ddx%3Dk%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&\int_{-\infty }^{\infty} (kf(x))e^{ikx}dx=k\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&&&br&&br&&br&于是乎，我们通过以上内容知道了一个重要的结论：&br&&br&&b&傅里叶变换其实也是线性变换，所以也可以求行列式&/b&&b&！！！&/b&&br&&br&&br&（其实傅里叶变换作为一个线性变换不但可以求行列式，更可以求它的特征向量！！比如&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3De%5E%7B-x%5E%7B2%7D+%2F2%7D+& alt=&f(x)=e^{-x^{2} /2} & eeimg=&1&&，以及其他很多很多牛逼的东东，恭喜你又一扇新世界的大门被打开了。千万不要小看傅里叶变换，比如量子力学不确定性原理的秘密就都在这里了）&br&&br&&br&&br&言归正传那么傅里叶变换神秘的行列式的值&img src=&///equation?tex=det%28F%29& alt=&det(F)& eeimg=&1&& 究竟是多少呢？难道这个无穷维线性变换也可以求出行列式吗？&br&&br&&br&&br&那阿哲就把&img src=&///equation?tex=det%28F%29& alt=&det(F)& eeimg=&1&& 求出来给你看：&br&&br&很明显的问题是这是一个比较困难的问题，如果不太困难的话评论中应该有人po出了答案。因为求傅里叶变换的行列式让我们觉得没有工具可以用，行列式的定义式毫无用武之地。毕竟没有谁能够写出傅里叶变换的&img src=&///equation?tex=%5Cinfty+%5Ctimes+%5Cinfty+& alt=&\infty \times \infty & eeimg=&1&&矩阵表达式并套用公式。&br&&br&所以一定要用到其他的化简办法，例如对称性啊等等。不妨先回顾一下之前的结论，对于任何可逆线性变换&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&有如下性质：&br&&br&&img src=&///equation?tex=det%28A%29%5Ctimes+det%28A%5E%7B-1%7D+%29%3Ddet%28I%29%3D1& alt=&det(A)\times det(A^{-1} )=det(I)=1& eeimg=&1&&&br&&br&如果把傅里叶变换&img src=&///equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&&看做是一个无穷维的&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&，那么也一定满足这个性质。所以只要求出了傅里叶变换的逆变换的行列式，求一个倒数就得到了傅里叶变换的行列式。&br&&br&艾玛~ 问题变得更难了。傅里叶变换的逆变换？还好我学过。。。&br&&br&若傅里叶变换是：
&img src=&///equation?tex=F%28k%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&&&br&&br&则它的逆变换是：&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+F%28k%29e%5E%7B-ikx%7Ddk& alt=&f(x)=\frac{1}{2\pi } \int_{-\infty }^{\infty} F(k)e^{-ikx}dk& eeimg=&1&&
（说明傅里叶变换可逆，因为表达式都出来了）&br&&br&现在的问题是，正负变换，我都不会求行列式，唯一知道的是 &img src=&///equation?tex=det%28F%29%5Ctimes+det%28F%5E%7B-1%7D+%29%3D1& alt=&det(F)\times det(F^{-1} )=1& eeimg=&1&& 为之奈何？我们还需要至少一个表达式能够反映二者的关系，连立起来才能够求解。&br&&br&没问题，因为这两个变换真是太像了，像到几乎完全对称。差异点仅仅在于逆变换多一个乘积系数&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+& alt=&\frac{1}{2\pi } & eeimg=&1&&，以及积分因子&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bikx%7D+& alt=&e^{ikx} & eeimg=&1&&多了一个负号。除此之外完全是同一个线性变换。而积分因子&img src=&///equation?tex=e%5E%7Bikx%7D+& alt=&e^{ikx} & eeimg=&1&&多一个负号是什么意思？意味着复数空间的手性定义相反，&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&变成了&img src=&///equation?tex=-i& alt=&-i& eeimg=&1&&，左手变成右手，或者说虚数部分取负号实数部分不变。这样的手性改变，并不会改变线性变换的体积放大率（之前的知识）。于是乎在线性变化的方法率的意义下，傅里叶变换和它的逆变换放大率是一样的（还差一个乘积系数&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+& alt=&\frac{1}{2\pi } & eeimg=&1&&）。&br&&br&于是也就是说&img src=&///equation?tex=det%28F%5E%7B-1%7D+%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi+%7D+det%28F%29& alt=&det(F^{-1} )=\frac{1}{2\pi } det(F)& eeimg=&1&&&br&&br&结合之前的式子 &img src=&///equation?tex=det%28F%29%5Ctimes+det%28F%5E%7B-1%7D+%29%3D1& alt=&det(F)\times det(F^{-1} )=1& eeimg=&1&&&br&&br&我们很容以得到 &img src=&///equation?tex=det%28F%29%3D%5Csqrt%7B2%5Cpi+%7D+& alt=&det(F)=\sqrt{2\pi } & eeimg=&1&&&br&&br&（更严格来说更对称的傅里叶变换版本&img src=&///equation?tex=F%28k%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi+%7D+%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+f%28x%29e%5E%7Bikx%7Ddx& alt=&F(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty }^{\infty} f(x)e^{ikx}dx& eeimg=&1&&的行列式为1）&br&&br&&br&我去，真的可以求啊。是的，你已经求出来了，虽然神一般的无穷维行列式的计算公式并没有出现，但你确实求出来了。而且阿哲再附送大家一个彩蛋：&br&&br&&br&都说求导可以把一个函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&变成另一个函数&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29& alt=&f'(x)& eeimg=&1&&，如果我们把“求导这个操作”&img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&&当做是一个线性变换，发现其实也是完全合理的：&br&&br&&img src=&///equation?tex=D%3A+++f%28x%29%5Crightarrow+f%27%28x%29& alt=&D:
f(x)\rightarrow f'(x)& eeimg=&1&&&br&&br&线性性完美地满足:
&br&&br&&img src=&///equation?tex=D%3A+++k_%7B1%7D+f%28x%29%2Bk_%7B2%7D+g%28x%29%5Crightarrow+k_%7B1%7Df%27%28x%29%2Bk_%7B2%7Dg%27%28x%29& alt=&D:
k_{1} f(x)+k_{2} g(x)\rightarrow k_{1}f'(x)+k_{2}g'(x)& eeimg=&1&&&br&&br&那么请问&求导作为函数空间下的线性变换行列式”等于多少呢？&br&&br&&br&思考一下。。。&br&&br&&br&再思考一下。。。前方剧透请小心手滑！！！&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&br&。。。&br&&br&&br&&img src=&///equation?tex=det%28D%29%3D0& alt=&det(D)=0& eeimg=&1&&&br&&br&&br&因为，它是不可逆的！&br&&br&你要问我兹次不兹次？我可以明确告诉你，不可逆的线性变换都是耍流氓，行列式都等于零。不要没事就搞个大新闻。&br&&br&（全剧终，其他文章连载继续。时间太少更新不够勤，请多包涵。另外数学中的严格性在本文中并不能体现，也请海涵。）&br&&br&&br&★★★★★
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行列式这个“怪物”定义初看很奇怪，一堆逆序数什么的让人不免觉得恐惧，但其实它是有实际得不能更实际的物理意义的，理解只需要三步。这酸爽~ 1，行列式det(A)是针对一个n\times n的矩阵A而言的。A表示一个n维空间到n维空间的线性变换。那么什么是线性变换…
&p&这20本书足够刷一遍世界观了。&/p&&br&&br&&p&它们是自洽的，但并非所有值得深挖的领域只选取一本，因为还考虑了一个循序渐进的过程。相信它们能够构建一个新的世界观，或者说构建新世界观的主要框架。正如知道所有省份之间的高速公路以后，本质上已经了解中国的框架，接下来遍可以再任性地随意深度漫游国道、省道甚至于乡间小路。所以无论如何最广泛的梗概漫游应该是值得先做的，没错大概就是这20本组成的书单。书单其实覆盖了少数骨干节点的深度教材，建议阅读方式是读到腻了就爽快地换另一本看，然后到合适的时候兴趣来了再继续接着读完上次中断的书。&/p&&p&Have fun~&/p&&br&&br&&br&&p&1，&b&《自由选择》&/b&by 米尔顿 弗里德曼&/p&&br&&p&了解亚当斯密以来社会运作的经济逻辑&/p&&br&&p&2，&b&《金融的逻辑》&/b&by 陈志武&/p&&br&&p&金融对现代社会无论如何太重要无法绕开。一个基本的对金融对国家和社会意义的普及。&/p&&br&&p&3，&b&《CFA注册金融分析师考试中文手册》&/b&by 金程教育&/p&&br&&p&有了上述两本做基础可以开始深挖了。CFA几乎是最好的经济金融定量入门读物，因为它是教材所以一次性把学界公认最重要的成熟理论总结并强化。&/p&&br&&p&4，&b&《知识分子与社会》&/b&by 托马斯 索维尔&/p&&br&&p&美国著名高级知识分子（黑人），但是种族观非常正确。有助于梳理一个精英对社会的认知和定位。&/p&&br&&p&5，&b&《想象的共同体》&/b&by 本尼迪克特 安德森&/p&&br&&p&知道现在文化概念的分布以及对社会的意义&/p&&br&&p&6，&b&《越轨—— 人为什么干坏事》&/b&by 亚历克斯 梯尔&/p&&br&&p&了解人性&/p&&br&&p&7，&b&《沐猿而冠》&/b&辉格&/p&&br&&p&社会现象的人性理解&/p&&br&&p&8，&b&《美德的起源》&/b&by 马特 里德利&/p&&br&&p&追加一本人性&/p&&br&&p&9，&b&《进化心理学》&/b&by 大卫 巴斯&/p&&br&&p&从基因角度理解人性&/p&&br&&p&10，&b&《失落的一代》&/b&by 潘鸣啸&/p&&br&&p&了解我们父母的年代，进而了解社会当下&/p&&br&&p&11，&b&《改革的逻辑》&/b&by 周其仁&/p&&br&&p&知道中国正在转型的哪个阶段&/p&&br&&p&12，&b&《公司法》&/b&by 全国人大&/p&&br&&p&读一读会发现1，不难理解 2，权力制衡 &/p&&br&&p&13，&b&《悖论研究》&/b&by 陈波&/p&&br&&p&理清逻辑悖论，强化理解社会的逻辑工具&/p&&br&&p&14，&b&《理性乐观派》&/b&by 马特 里德利&/p&&br&&p&非常好的击破阴谋论的书&/p&&br&&p&15，&b&《合作的进化》&/b&by 罗伯特 阿克塞尔罗德&/p&&br&&p&社会本质上注定在发展&/p&&br&&p&16，&b&《大而不倒》&/b&by 加里 斯特恩&/p&&br&&p&但是系统性的风险依旧需要克服&/p&&br&&p&17，&b&《历史的终结与最后的人》&/b&by 弗朗西斯 福山&/p&&br&&p&最终社会会趋于动态平衡，同质性的循环，但不断丰富&/p&&br&&p&18，&b&《贫穷的本质》&/b&by 阿比吉特 班纳吉&/p&&br&&p&必须绕开贫穷陷阱，我们有办法去设定好的制度&/p&&br&&p&19，&b&《数学桥》&/b&by 史蒂芬 休森&/p&&br&&p&掌握一点有益的数学工具方便学习任何定量的学科&/p&&br&&p&20，&b&《最小派》&/b& （未完成）&/p&&br&&p&为年轻人准备的世界观察整体解决方案&/p&&br&&br&&br&&p&★★★★★
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这20本书足够刷一遍世界观了。 它们是自洽的，但并非所有值得深挖的领域只选取一本，因为还考虑了一个循序渐进的过程。相信它们能够构建一个新的世界观，或者说构建新世界观的主要框架。正如知道所有省份之间的高速公路以后，本质上已经了解中国的框架，接…
卸腰。是时候祭出万门大学物理系自学书单了！&br&&br&&br&&p&个人认为国内好的物理教材不太多，不少教材内容严谨但是易读性不强。所以这个书单特意精选了一些适宜自学且架构严谨的国外大学热门教材分享~&br&&/p&&br&&p&
最重要的是，这套教材构成一个完整的物理教材体系，都是教得特别深入浅出的专著，特别适合自学提高。学物理是一件难得的乐事，为什么不学得乐在其中呢？这些教材在保留了趣味的情况下不失学术水平，所以特别推荐。&/p&&br&&br&&br&&br&&p&
以下是按照学习推荐进度排序的（从普通物理到弦论）&/p&&br&&br&&p&普通物理：&/p&&img src=&/41ecbfcd803670_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&309&&&p&《费曼物理学讲义》卷1、卷2、卷3及《习题解答》 （清华基科班普物选用教材）&/p&&p&诺奖大师费曼乐趣横生的经典之作，读起来津津有味，没有大段令人畏惧的公式和推导，几乎全文都在解释物理思想和有趣的现象，对于理解物理思想的本质有极大帮助。 &/p&&br&&br&&br&&p&数学物理方法：&/p&&img src=&/c21f7dc095c_b.jpg& data-rawwidth=&306& data-rawheight=&435& class=&content_image& width=&306&&&p&《Mathematical methods for Physics and engineering》by Riley （香港科技大学数学物理方法选用教材）&/p&&p&涵盖了几乎所有物理研究需要的数学知识，没有过度苛求证明严格性且解释形象有趣读起来超级有成就感，不像国内的数理方法写得过于太抽象，用户界面不太友好呵呵。&/p&&br&&br&&img src=&/57a9cf05b0e45868eba255dad3af40a6_b.jpg& data-rawwidth=&180& data-rawheight=&270& class=&content_image& width=&180&&&p&《All the Mathematics you missed but need to know》by Garrity&/p&&p&轻松的读物，高屋建瓴地整合了之前学过的数学知识，使读者很容易看透其中的数学本质。举重若轻地谈了很多深刻的数学领域，例如拓扑和“形式(form)”。可以给大三看，也可以给研一看，一定会有很大收获。&/p&&br&&br&&br&&p&四大力学：&/p&&br&&br&&img src=&/db5f8b71047cbaf15a9434fc8aaf7ed1_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&309&&&p&《Classical Mechanics- Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics》by Greiner&/p&&p&清晰地讲述了理论力学的内容，虽然书厚，但解释清晰没有冗余，非常适合自学。&/p&&br&&br&&img src=&/cc4dc0c093acdae58ea5_b.jpg& data-rawwidth=&306& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&306&&&p&《Introduction to Electrodynamics》及《习题解答》by Griffiths （香港科技大学电动选用教材）&/p&&p&深入浅出的一本书，把人轻松地从电磁学带进电动力学的世界。&/p&&br&&br&&img src=&/960be39b5cda977dba7a83_b.jpg& data-rawwidth=&363& data-rawheight=&363& class=&content_image& width=&363&&&p&《Classical Electrodynamics》及《习题解答》by Jackson （普林斯顿电动选用教材）&/p&&p&Jackson这个词几乎已经专指这本神作了，难度高但循序渐进不失自学性。&br&“你做完Jackson了吗？”&/p&&br&&br&&img src=&/8bb4acf2233e0afe7bb75d7b_b.jpg& data-rawwidth=&327& data-rawheight=&405& class=&content_image& width=&327&&&p&《An Introduction to Thermal physics》by Schroeder （香港科技大学热统选用教材）&/p&&p&一本趣味盎然的热力学和统计教材。&/p&&br&&br&&br&&img src=&/538c8a1d2e034fe5e75f3_b.jpg& data-rawwidth=&309& data-rawheight=&432& class=&content_image& width=&309&&&p&《Introduction to Quantum Mechanics》by Griffiths &/p&&p&妙趣横生的量子力学讲法，读起来让人欲罢不能。Griffiths的三本书都堪称绝赞神作，怎么国内就没有这种教材大神呢？&/p&&br&&br&&br&&img src=&/ffe56b38dab1bc2eaaf5a_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&444& class=&content_image& width=&300&&&p&《Topics in Statistical Mechanics》by Cowan&/p&&p&统计物理的提高教材，分专题讲述尖端概念。在学过一遍统计物理之后看此书，会有天地贯通的畅快感。&/p&&br&&br&&br&&img src=&/f1ac0c25e61cfd9a8c2d1f_b.jpg& data-rawwidth=&306& data-rawheight=&435& class=&content_image& width=&306&&&p&《固体物理导论》by Kittel （巴黎高师固体物理选用教材）&/p&&p&世界著名大学物理系几乎人手一册的好教材，没得说的，不看你就out了&/p&&br&&br&&br&&p&本科高年级：&/p&&br&&img src=&/48a1cbb95de9ae405e5816f9_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&441& class=&content_image& width=&300&&&p&《Introduction to Elementary Pariticles》by Griffiths&/p&&p&图文并茂而不失公式推导的粒子物理的好书，纷乱的粒子世界变得前所未有的清晰。&/p&&br&&br&&img src=&/d9b21bafb2fda24c97aced883eab8c66_b.jpg& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&417& class=&content_image& width=&318&&&p&《Nuclear models》by Greiner&/p&&p&延续Greiner一贯的风格，从最简单的例题开始步步为营，直到最后搞定标准模型。&/p&&br&&br&&img src=&/45ecdfaa62fad_b.jpg& data-rawwidth=&315& data-rawheight=&423& class=&content_image& width=&315&&&p&《Statistical Mechanics, Algorithms and Computations》by Krauth&/p&&p&数值计算的神作，看完之后计算机就变成你的物理实验室了。&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&p&理论物理研究生入门：&/p&&br&&br&&img src=&/f85f526ab0c98abb26981c99_b.jpg& data-rawwidth=&288& data-rawheight=&459& class=&content_image& width=&288&&&p&《Advanced Topics in Applied Mathematics》by Sudhakar Nair&/p&&p&高级数学物理方法课程，很好的数理方法提高版教材，可以满足几乎所有物理研究中的数学要求。&/p&&br&&br&&img src=&/370afdc1cdec_b.jpg& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&417& class=&content_image& width=&318&&&p&《Field Quantization》by Greiner&/p&&p&场论的基础教材，个人认为场论不要一次学太深，例如Weinberg大神的场论三卷应该在学完标准模型后再学更合适。&/p&&br&&br&&img src=&/f11fadcd31bf8d97b6c32be4_b.jpg& data-rawwidth=&306& data-rawheight=&435& class=&content_image& width=&306&&《General Relativity》by Wald&p&用抽象指标记号清晰地区分了张量中的矢量与对偶矢量，为表述和推导带来极大便利。本书生动有趣，实在是不可多得的广相学习利器啊！&/p&&br&&br&&img src=&/93e8fa4bcd958accef468d2_b.jpg& data-rawwidth=&200& data-rawheight=&282& class=&content_image& width=&200&&&p&《微分几何入门与广义相对论》by 梁灿彬&/p&&p&梁教授求学于Wald教授，青出于蓝而胜于蓝，通过更多的例子和严谨性丰富了前一本Wald的广相教材。&/p&&br&&br&&img src=&/02108d3fff312d5aeae44a43dcedb69b_b.jpg& data-rawwidth=&318& data-rawheight=&417& class=&content_image& width=&318&&&p&《Introduction to Cosmology》by Roos&/p&&p&有了Wald的广义相对论基础后，宇宙学便可以高屋建瓴地去理解了。&/p&&br&&br&&img src=&/555c9ca223d41d4699408_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&475& class=&content_image& width=&378&&&p&《Quantum Chromodynamics》 by Greiner&/p&&p&场论的后续教材，对于理解标准模型不可或缺。&/p&&br&&br&&img src=&/037cdde1e60a650cd535_b.jpg& data-rawwidth=&235& data-rawheight=&336& class=&content_image& width=&235&&&p&《A First course in String Theory》by Zwiebach&/p&&p&Zwiebach成功实现了把弦论降低到低年级研究生也能读懂的水平，给了很多对物理模型的形象化理解，对于日后提高继续研习理论物理有莫大帮助。&/p&&br&&br&&br&&p&
我经常会感慨为什么外国的教材常能把深奥的问题讲得浅显生动，而不是像多数国内教材一样将原本清晰的概念说得晦涩难懂。所以万门大学物理系的目标就是在不降低学术标准的情况下把物理教得好玩有趣，学物理本来就是一大乐事，对世界越来越清晰的同时自我满足感也会随之加强。主页君会再接再励把万门大学物理系的课程录好，视频日后放上敬请期待。（要偷看主页君真身请见万门大学分享视频）&/p&&br&&br&&p&
回想自己这几年学物理的过程中，一直期盼的不就是这样一个适合自学提高的书单么？走了很多弯路甚至是错路，在差劲的教材上浪费了太多的时间，所以这书单其实是血泪换来的教训啊。于是更觉得这样的工作有意义，也更期待把万门大学做好。&/p&&br&&br&&br&&p&
共同收获好书，欢迎分享~！&/p&&br&&p&如果大家想系统学一遍理论物理，我推荐大家参加寒假的《万门大学理论物理一月特训班》，报名请加小万君微信wanmen007。&/p&
卸腰。是时候祭出万门大学物理系自学书单了！ 个人认为国内好的物理教材不太多，不少教材内容严谨但是易读性不强。所以这个书单特意精选了一些适宜自学且架构严谨的国外大学热门教材分享~ 最重要的是，这套教材构成一个完整的物理教材体系，都是教得特别深…
&p&正好我的每日一题第五期的前50题已经整理归档了，103页左右，我发上来大家一起学习吧，题题都是经典，题题都是套路，希望对大家有所帮助。&/p&&p&当然了，如果你看了觉得有帮助&/p&&p&希望打印出来学习，可以联系我的个人微信：guixiao198881&/p&&p&加我后说句话：发我每日一题第五期&/p&&p&注意：前方高能，103张图片，用流量的同学小心。&/p&&p& 第一次更新&/p&&p&有同学问道除了这50题还有好题么，当然有的，请关注我的“每日一题”专栏，每天我都会更新一个好题，以及呆哥我自己独到的解答在里面去。&/p&&a href=&/daigemahth& class=&internal&&高中数学每日一题 - 知乎专栏&/a&&br&&br&&img src=&/v2-0c1dfb0840a3eccad65dd60d_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-0c1dfb0840a3eccad65dd60d_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/v2-086fe4a99eb311e715c9cd_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-086fe4a99eb311e715c9cd_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-9bd6a34d8b1e6efe0da3a6_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-9bd6a34d8b1e6efe0da3a6_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-d9dfc1d1a595abaa15b971bfbae4edac_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-d9dfc1d1a595abaa15b971bfbae4edac_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-ac27f1ea15757_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-ac27f1ea15757_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-2d0ef17646bab850aabea6_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-2d0ef17646bab850aabea6_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-c093dbd4cea725692aef26_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-c093dbd4cea725692aef26_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-b70a9d2d2dbb109e2bd8a976a7b2f102_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-b70a9d2d2dbb109e2bd8a976a7b2f102_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-f0b7e16a0468efc5908dd_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-f0b7e16a0468efc5908dd_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-aeda5f29e3ec55b40192fc_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-aeda5f29e3ec55b40192fc_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-e9be08ee096fa063a0716ec_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-e9be08ee096fa063a0716ec_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-165e46bd7_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-165e46bd7_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-46ecba1f7c17d63bb3dfa87d0fc97c72_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-46ecba1f7c17d63bb3dfa87d0fc97c72_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-9eed12ba420ea2_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& 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src=&/v2-b321cdf8aa0cc7fc8ac24b87e053b143_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-b321cdf8aa0cc7fc8ac24b87e053b143_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-dc2acf2c44e004f827242_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-dc2acf2c44e004f827242_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-611f50cfc148e69c4067cdd7bd26df53_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-611f50cfc148e69c4067cdd7bd26df53_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-dccb11eabaddc_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-dccb11eabaddc_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-13e581f669d67b75a3b5_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-13e581f669d67b75a3b5_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-fd36eca7fb23e90cc38a1_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-fd36eca7fb23e90cc38a1_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-8b1868ffb460e3b866da_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-8b1868ffb460e3b866da_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-23a3c555a59ce092ea2dfb7fdc6113fe_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-23a3c555a59ce092ea2dfb7fdc6113fe_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-548aae9c1c7c_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-548aae9c1c7c_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-b91b370adf_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-b91b370adf_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-1011985bdbf2d141e7623abc807d2cd3_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-1011985bdbf2d141e7623abc807d2cd3_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-2ad19d844e_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-2ad19d844e_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-273bec6f59ad_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-273bec6f59ad_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-3e5f90b13bddc9a894d85b7a_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-3e5f90b13bddc9a894d85b7a_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-3abc2ba84fd2a55b0f501_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-3abc2ba84fd2a55b0f501_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-fd87ce8b3ceeec3889ac36_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-fd87ce8b3ceeec3889ac36_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-deadec0e455ea_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-deadec0e455ea_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-bedea706fe_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-bedea706fe_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-5cadbbccf35_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-5cadbbccf35_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-b8e52b54d28fa1e0ee8dc_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-b8e52b54d28fa1e0ee8dc_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-6cbcbca8cc_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-6cbcbca8cc_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-c62a7b0d5a0fd96d47a505ff87bb1532_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-c62a7b0d5a0fd96d47a505ff87bb1532_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-744ee8faf92ff_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-744ee8faf92ff_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-7a52f75b9c992eaa4bdaecb073cc3287_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-7a52f75b9c992eaa4bdaecb073cc3287_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-b791c17e7_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-b791c17e7_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-bb19b661748_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-bb19b661748_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-c41c1ed3be916e3fc11b5_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-c41c1ed3be916e3fc11b5_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-99cd171fcacf6eca35d263_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-99cd171fcacf6eca35d263_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-ce9f6c2581_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-ce9f6c2581_r.jpg&&&br&&img src=&/v2-158f21f2c3a49d927c2d470f4f00712d_b.jpg& data-rawwidth=&1240& data-rawheight=&1754& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1240& data-original=&/v2-158f21f2c3a49d927c2d470f4f00712d_r.jpg&&
正好我的每日一题第五期的前50题已经整理归档了，103页左右，我发上来大家一起学习吧，题题都是经典，题题都是套路，希望对大家有所帮助。当然了，如果你看了觉得有帮助希望打印出来学习，可以联系我的个人微信：guixiao198881加我后说句话：发我每日一题第…
&p&在多元的情况下，可微可导的关系要比在一元情况下复杂，但是只是要复杂一些，如果我们从一元开始去理解，你会发现并不困难。&/p&&p&这篇文章主要阐述以下三个概念：&/p&&ul&&li&偏微分&/li&&li&偏导数&/li&&li&全微分&/li&&/ul&&p&全导数这里暂时不讲，看名字好像和全微分关系很大，其实和“方向导数”的关系更大，所以留到讲“方向导数”的时候再一起来说。&/p&&p&&b&1 偏微分&/b&&/p&&p&在一元函数中的微分就是函数的切线：&/p&&img src=&/v2-89dba9df218f4_b.png& data-rawwidth=&647& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&647& data-original=&/v2-89dba9df218f4_r.png&&&p&关于微分就是切线，我写的很多文章（比如我最近的 &a href=&/question//answer/& class=&internal&&如何通俗解释全微分？&/a& ）都希望大家可以理解这一点，虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识，但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。&/p&&p&我们发挥一下空间想象力，把它从平面中拽出来，进入三维空间：&/p&&img src=&/v2-df90e05f7f6db683ed361a2_b.png& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&/v2-df90e05f7f6db683ed361a2_r.png&&&p&之前是平面曲线，现在是空间曲线。切线仍然是切线，微分仍然是微分。&/p&&p&我们再想象一下，其实这个空间曲线是&img src=&///equation?tex=y%3D0& alt=&y=0& eeimg=&1&& 这个空间平面与&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 这个空间曲面的交线：&/p&&img src=&/v2-4a02ad6d343bfd_b.png& data-rawwidth=&481& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&481& data-original=&/v2-4a02ad6d343bfd_r.png&&&p&我们就把这个切线称为&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 对于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的偏微分。为什么是对于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的呢？因为这是&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 与&img src=&///equation?tex=y%3D0& alt=&y=0& eeimg=&1&& 的交线，在这条线上无论点怎么变化，都要满足&img src=&///equation?tex=y%3D0& alt=&y=0& eeimg=&1&& ，即&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 是常数不会变化。&/p&&p&你来玩玩下面这个互动操作就知道了，点在线上变化只会改变&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 和&img src=&///equation?tex=z& alt=&z& eeimg=&1&& ：&/p&&img src=&/v2-6d888d51554b99baa78b4bdf3d5a2567_b.png& data-rawwidth=&477& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&477& data-original=&/v2-6d888d51554b99baa78b4bdf3d5a2567_r.png&&&br&&blockquote&此处有互动内容，&a href=&///?target=http%3A///madocs/219.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&理解了这个，就可以举一反三，所有&img src=&///equation?tex=y%3DC& alt=&y=C& eeimg=&1&& （ &img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& 为常数）的平面与&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 的交线都是满足刚才说的特点：&/p&&img src=&/v2-a6cd47bd658a62590e04_b.png& data-rawwidth=&582& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&582& data-original=&/v2-a6cd47bd658a62590e04_r.png&&&p&这些交线上的点的切线都是&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 关于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的偏微分。&/p&&p&当然，如果&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 与&img src=&///equation?tex=x%3DC& alt=&x=C& eeimg=&1&& （ &img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& 为常数）得到的交线，这些交线的切线就是&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 关于&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 的偏微分。&/p&&p&总结，偏微分就是：&/p&&ul&&li&固定&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& ，变换&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 得到的就是&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 关于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的偏微分&/li&&li&固定&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& ，变换&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 得到的就是&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 关于&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 的偏微分&/li&&/ul&&p&&b&2 偏导数&/b&&/p&&p&偏微分理解了偏导数就好理解了，就是偏微分的斜率，现在你应该可以明白为什么我们在求&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 对于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的偏导数的时候，我们把&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 当作常数来看待了吧。&/p&&p&只是有一点需要说明，在三维空间中角度可以有不同的定义，计算斜率的时候我们是看下面这个
&img src=&///equation?tex=%5Calpha& alt=&\alpha& eeimg=&1&& 角：&/p&&br&&img src=&/v2-da6d1dfec9a9020095bca_b.png& data-rawwidth=&484& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&484& data-original=&/v2-da6d1dfec9a9020095bca_r.png&&&br&&p&总结，偏导数就是偏微分的斜率。&/p&&p&&b&3 全微分&/b&&/p&&p&其实，不光是&img src=&///equation?tex=x%3DC& alt=&x=C& eeimg=&1&& 或者&img src=&///equation?tex=y%3DC& alt=&y=C& eeimg=&1&& 这样的平面可以和&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 相交得到交线，所有和&img src=&///equation?tex=xy& alt=&xy& eeimg=&1&& 平面垂直的平面都相交得到交线，这些交线都会有切线（微分）。&/p&&p&这个平面相交得到的交线：&/p&&img src=&/v2-7d2addee2b802a808a72_b.png& data-rawwidth=&668& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&668& data-original=&/v2-7d2addee2b802a808a72_r.png&&&p&这个平面也可以：&/p&&img src=&/v2-7e8b30f4ad54db5dd52cb_b.png& data-rawwidth=&668& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&668& data-original=&/v2-7e8b30f4ad54db5dd52cb_r.png&&&p&总之，应该是360°无死角，自己动手试试：&/p&&img src=&/v2-abb2de2cf6cc_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&361& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-abb2de2cf6cc_r.png&&&br&&blockquote&此处有互动内容，&a href=&///?target=http%3A///madocs/219.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&如果这些切线都存在，并且这些切线（无数条）还都在同一个平面上（平面不是曲面），那么得到的这个平面就是全微分（也叫做切平面，或者说切空间）：&/p&&img src=&/v2-421dd4cdabdab9_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&197& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-421dd4cdabdab9_r.png&&&br&&blockquote&此处有互动内容，&a href=&///?target=http%3A///madocs/219.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&总结，全微分就是：&/p&&ul&&li&360°微分都存在&/li&&li&并且这些微分要共面，得到的就是全微分&/li&&/ul&&p&&b&4 全微分与偏导数、偏微分的关系&/b&&/p&&p&根据全微分的定义，如果全微分存在，那么偏导数、偏微分一定存在。&/p&&p&但是反过来不一定成立，即偏导数、偏微分存在，全微分不一定存在。因为偏导、偏微分只是&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 或者&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 方向的导数、微分，而全微分要求的是360°无死角。&/p&&p&举个例子，看这个
：&/p&&img src=&/v2-eb12eacbe5f2cff805d22_b.png& data-rawwidth=&546& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&546& data-original=&/v2-eb12eacbe5f2cff805d22_r.png&&&p&我们考察这个函数在&img src=&///equation?tex=A%3D%280%2C0%2C0%29& alt=&A=(0,0,0)& eeimg=&1&& 点的全微分和偏微分的情况。&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 与&img src=&///equation?tex=y%3D0& alt=&y=0& eeimg=&1&& 的交线是：&/p&&img src=&/v2-edfd61cdbd1a_b.png& data-rawwidth=&598& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&598& data-original=&/v2-edfd61cdbd1a_r.png&&&p&平面与曲面所交曲线与&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴重合：&/p&&img src=&/v2-c6cf361b78f0a4ad0b90dfe2e6c7b09b_b.png& data-rawwidth=&541& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&541& data-original=&/v2-c6cf361b78f0a4ad0b90dfe2e6c7b09b_r.png&&&p&在&img src=&///equation?tex=A%3D%280%2C0%2C0%29& alt=&A=(0,0,0)& eeimg=&1&& 点的微分（切线）很明显，就是交线（&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 轴）自身，因此关于&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的偏微分存在。&/p&&p&但是&img src=&///equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&& 与&img src=&///equation?tex=y%3Dx& alt=&y=x& eeimg=&1&& 的交线是：&/p&&img src=&/v2-1eaf1c0fd3aac14de172a_b.png& data-rawwidth=&652& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&652& data-original=&/v2-1eaf1c0fd3aac14de172a_r.png&&&p&在&img src=&///equation?tex=A%3D%280%2C0%2C0%29& alt=&A=(0,0,0)& eeimg=&1&& 点形成了一个尖点，很显然此时的微分不存在：&/p&&img src=&/v2-d6b0106ae_b.png& data-rawwidth=&609& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&609& data-original=&/v2-d6b0106ae_r.png&&&p&因此，全微分不存在。&/p&&p&总结，全微分与偏导数、偏微分的关系：&/p&&ul&&li&全微分存在偏导数、偏微分一定存在&/li&&li&偏导数、偏微分存在全微分不一定存在&/li&&/ul&
在多元的情况下，可微可导的关系要比在一元情况下复杂，但是只是要复杂一些，如果我们从一元开始去理解，你会发现并不困难。这篇文章主要阐述以下三个概念：偏微分偏导数全微分全导数这里暂时不讲，看名字好像和全微分关系很大，其实和“方向导数”的关系更…
&p&对有些人实际，对另外一些人不实际。&/p&&p&得票率最高的答案是，“等你上大学就知道了...任何学科都可以在一周内学完...”。&/p&&p&从我的经验来看，这个答案的正确率为80%以上。我在大学的同学们一周内突击一科成功率超过80%，以人次为单位。同时也意味着有相当比例挂科的。也有挂科率太高以至于退学的。&/p&&p&所以实际不实际要看人。&/p&&p&看人的哪些方面呢？最核心的有3个。&/p&&h2&1.&b&方法正确&/b&&/h2&&p&我见到过，体验过，使用过的大学里成功突击的方法是这样的。借到笔记，所有题目都做一遍。遇到不会的，看书。看书还不懂得，赶紧跟同学请教，死缠烂打。同学没空的时候，抄书也要抄懂。老师留的作业题目，如果能独立的全都刷出来，及格是能保障的。要拿更高的分数就要做更多的题目。&/p&&p&对于高中数学来说，所有定理公式（书上有推导和证明过程的），自己独立推导一遍。推导不出来的，抄书，直到能独立推导出来。这样，基本定义明晰了，基本逻辑掌握了，而且已经有了一定的数量度。然后就是运用了。&/p&&p&这个程序过了之后。刷高考真题吧。把十年来的高考真题，刷上5遍。做错的、起初不会后来通过各种方式弄懂的，记下来，反复重做，复习。直到能够在规定时间内，全都高效、准确的刷出来。到了这里应该可以120左右了。&/p&&p&做完这些，就刷那些高难的模拟题，要找有答案且有详细解题步骤的参考书。熟练程度如上。这个过程中最好找到可以及时请教的人，看你的人缘了。说最好，是因为，不是必要条件，有了更好，没有也仍然有可能。&/p&&br&&h2&2.&b&斗志&/b&&/h2&&p&大学里成功短期突击的人，都有强烈的斗志。那就是挂科的威胁，挂了就必须补考。挂的科目达到一定数量，弄不好就拿不到学位证，再弄不好连毕业证都没了，高中三年加上大学时光都白瞎了。&/p&&p&如此重压，激发了人强烈的求生欲望。所以，日以继夜，忘乎所以的学，然后成功了。虽然突击的时候活得像狗，期末考之后，都灰头土脸，但胸有成竹不会挂科，听舒畅的。劫后余生的心满意足。&/p&&p&另外一波突击失败的，有人因为没有掌握方法，有人因为内心已经溃败。&/p&&p&溃败的原因是，游戏上瘾，或者各种其他上瘾，已经近乎完全丧失斗志。有的是在搏斗过程中，各种犹豫，“成还是不成，成还是不成，万一挂了怎么办......”，这种心理消耗了精力，耽误了抄书刷题请教的时间，总之消耗掉了本应该放在突击上的注意力。&/p&&p&斗志这个方面，玄机最大。因为如有没有旺盛的斗志，绝大多数人都把精力消耗在了各种心理斗争上了。例如，“我行吗？不行吧？值得吗？不值得吧？这样做好吗？不好吧”。这些声音不断在大脑里徘徊，甚至自己都意识不到。以为自己在学习，实际在内斗。&/p&&br&&p&孙正义三个星期把高中三年的可能学完，通过考试。当然，他非常的努力。在努力背后是他的强烈动机，他初中时已然立下志向，