求求指数函数定义域值域及值域

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-10-10 05:10 标签： 已知函数定义域求值域
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求函数的定义域与值域的常用方法
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求函数的定义域与值域的常用方法
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已知函数f（x）=log2（ax2+2x﹣3a）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求该函数的定义域和值域；（Ⅱ）如果f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立，求实数a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：吉林省期末题
解：（1）当a=﹣1时，f（x）=log2（ax2+2x﹣3a）．令﹣x2+2x+3＞0，解得﹣1＜x＜3所以函数f（x）的定义域为（﹣1，3）．令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则0＜t≤4所以f（x）=log2t≤log24=2因此函数f（x）的值域为（﹣∞，2]（2）f（x）≥1在区间[2，3]上恒成立等价于ax2+2x﹣3a﹣2≥0在区间[2，3]上恒成立由ax2+2x﹣3a﹣2≥0且x∈[2，3]时，x2﹣3＞0，得令，则h'（x）=所以h（x）在区间[2，3]上是增函数，所以h（x）max=h（3）=﹣因此a的取值范围是[﹣，+∞）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=log2（ax2+2x﹣3a）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求该函数的定义域和..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，对数函数的解析式及定义（定义域、值域）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的最值与导数的关系对数函数的解析式及定义（定义域、值域）
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．对数函数的定义：
一般地，我们把函数y=logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R。
对数函数的解析式：
y=logax（a＞0，且a≠1）在解有关对数函数的解析式时注意：
在涉及到对数函数时，一定要注意定义域，即满足真数大于零；求值域时，还要考虑底数的取值范围。
发现相似题
与“已知函数f（x）=log2（ax2+2x﹣3a）．（Ⅰ）当a=﹣1时，求该函数的定义域和..”考查相似的试题有：
626945628904486255621285444289281002∵指数函数、二次函数的定义域都为R；指数函数的值域是大于零的集合∴函数y=（1／2）(x?-6x+17)的定义域
x∈R∵x?-6x+17＝(X－3)?＋8≥8& ∴0＜（1／2）(x?-6x+17)≤(1/2)8=1/256∴函数y=（1／2）^x?-6x+17值域
y∈(0,1/256]∵x≤3时，f(x)＝x?-6x+17单调递减，∴x≤3时，y＝(1/2)(x?-6x+17)单调递增∵x＞3时，f(x)＝x?-6x+17单调递增，
∴x＞3时，y＝(1/2)(x?-6x+17)单调递减
菁优解析考点：．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解：设t=x2-6x+17，则t=（x-3）2+8，则函数y=f（x）等价为y=（）t，则函数y=f（x）的定义域为R，∵y=（）t，在定义域上为减函数，当x＞3时，函数t=（x-3）2+8，单调递增，此时函数y=（）x2-6x+17为减函数，当x＜3时，函数t=（x-3）2+8，单调递减，此时函数y=（）x2-6x+17为增函数，故函数的减区间为（3，+∞），增区间为（-∞，3），∵t=（x-3）2+8≥8，∴y=（）t≤（）8=2-8=，∵y=（）t＞0即函数的值域为（0，]点评：本题主要考查与指数函数有关的性质，利用换元法结合复合函数之间的关系是解决本题的关键．答题：maths老师　
其它回答（2条）
定义域R,值域（0,1/256】，x≥3,单减；& x＜3,单增
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已知函数y=(2^x+2^-x)/2求函数的定义域和值域是多少？
已知函数y=(2^x+2^-x)/2求函数的定义域和值域是多少？
定义域为x∈R
因为2^x，2^(-x)＞0
所以：2^x+2^(-x)≥2√[2^x*2^(-x)]=2
当且仅当2^x=2^(-x)，即x=0时取等号
则，y=[2^x+2^(-x)]/2≥2/2=1
所以，值域y∈[1,+∞)
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