吉安市高一数学上学期期末试题（带解析）
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吉安市高一数学上学期期末试题（带解析）
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吉安市高一数学上学期期末试题（带解析）
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文章来源天添资源网 w ww.tT z Y w.C Om 学年江西省吉安市新干中学高一（上）期末数学　一、：（每题5分，满分60分）1．集合M={x|x= + ，k∈Z}，N={x|x= ，k∈Z}，则（　　）A．M=N&B．M⊇N&C．M⊆N&D．M∩N=∅　2．已知角α是第二象限角，则πα是（　　）A．第一象限角&B．第二象限角&C．第三象限角&D．第四象限角　3．函数y=log2（2cosx1）的定义域为（　　）A．（ ， ）&B．{x| +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z}C．[ ， ]&D．{x| +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z}　4．函数y=|lg（x1）|的图象是（　　）A． &B． &C． &D． 　5．函数y=xcosx的部分图象是（　　）A． &B． &C． &D． 　6．方程2x1+x=5的解所在的区间是（　　）A．（0，1）&B．（1，2）&C．（2，3）&D．（3，4）　7．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.20.3，则a，b，c三者的大小关系是（　　）A．b＞c＞a&B．b＞a＞c&C．a＞b＞c&D．c＞b＞a　8．把函数y=sinx的图象上所有点向右平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得解析式为y=sin（ωx+φ），则（　　）A． &B． &C． &D． 　9．设 ，则使y=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（　　）A．1&B．2&C．3&D．4　10．已知sinx+cosx= ，且x∈（0，π），则tanx=（　　）A． &B． &C． &D． 　11．下列6个命题中正确命题个数是（　　）（1）第一象限角是锐角（2）y=sin（ 2x）的单调增区间是（kπ+ π，kπ+ π），k∈Z（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα= （4）若y= sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω= （5）若cos（α+β）=1，则sin（2α+β）+sinβ=0（6）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=f（x），则y=f（x）是周期函数．A．1个&B．2个&C．3个&D．4个　12．函数f（x）=loga（ax2x）在[2，4]上是增函数，则a的取值范围是（　　）A． ＜a＜1或a＞1&B．a＞1&C． ＜a＜1&D．0＜a＜ 　　二、题：（每题6分，满分24分）13．已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是　　　　　　．　14．函数 的单调递减区间是　　　　　　．　15．已知tanx=2，则 =　　　　　　．　16．关于函数 有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为　　　　　　．　　三、：（本题满分76分，要求写出必要的步骤和过程）17．已知函数 ．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．　18．已知 ，求下列各式的值（1） （2） ．　19．若二次函数满足f（x+1）f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．　20．已知函数f（x）=5sin（x+ ）acos2（x+ ）的图象经过点（ ，2）（1）求a的值（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合（3）若函数定义域是[ ， ]，求函数的值域．　21．一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于 米．&　22．函数 的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．　　&
学年江西省吉安市新干中学高一（上）期末数学参考答案与解析　一、：（每题5分，满分60分）1．集合M={x|x= + ，k∈Z}，N={x|x= ，k∈Z}，则（　　）A．M=N&B．M⊇N&C．M⊆N&D．M∩N=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】；集合．【分析】由集合子集的定义去判断集合间的关系即可．【解答】解：若a∈M={x|x= + ，k∈Z}，则a= k+ = （2k1）+ ∈N，则M⊆N，又∵ ∈N，& ∉M，∴M⊊N，故选：C．【点评】本题考查了集合的包含关系的判断，属于基础题．　2．已知角α是第二象限角，则πα是（　　）A．第一象限角&B．第二象限角&C．第三象限角&D．第四象限角【考点】象限角、轴线角．【专题】．【分析】利用特殊值判断，令α= ，则& = ，得出结论．【解答】解：不妨令α= ，则& = ，为第一象限角，故选 A．【点评】本题考查象限角的定义，采用了特殊值代入检验的方法．　3．函数y=log2（2cosx1）的定义域为（　　）A．（ ， ）&B．{x| +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z}C．[ ， ]&D．{x| +2kπ≤x≤ +2kπ，k∈Z}【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，建立不等式即可得到结论．【解答】解：要使函数有意义，则2cosx1＞0，即cosx＞ ，则 +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z，即函数的定义域为{x| +2kπ＜x＜ +2kπ，k∈Z}，故选：B【点评】本题主要考查函数定义域的求解，根据函数成立的条件是解决本题的关键，比较基础．　4．函数y=|lg（x1）|的图象是（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】函数的图象．【专题】数形结合．【分析】由x1＞0求出函数的定义域，在对照选项中的图象的定义域，就可以选出正确答案．【解答】解：由x1＞0解得，x＞1，故函数的定义域是（1，+∞），由选项中的图象知，故C正确．故选C．【点评】本题考查了对数函数的图象，先求函数的定义域即定义域优先，考查了作图和读图能力．　5．函数y=xcosx的部分图象是（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．【专题】数形结合．【分析】由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进行鉴别．【解答】解：设y=f（x），则f（x）=xcosx=f（x），f（x）为奇函数；又 时f（x）＜0，此时图象应在x轴的下方故应选D．【点评】本题考查函数的图象，选择图象的依据是根据函数的性质与函数本身的局部特征．　6．方程2x1+x=5的解所在的区间是（　　）A．（0，1）&B．（1，2）&C．（2，3）&D．（3，4）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】方程2x1+x=5的解所在的区间就是函数f（x）=2x1+x5的零点所在的区间，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的区间，由此可得结论．【解答】解：令f（x）=2x1+x5，则 方程2x1+x=5的解所在的区间就是函数f（x）=2x1+x5的零点所在的区间．由于f（2）=45=1，f（3）=4+35=2＞0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=2x1+x5的零点所在的区间为（2，3），故选 C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．　7．已知a=log20.3，b=20.3，c=0.20.3，则a，b，c三者的大小关系是（　　）A．b＞c＞a&B．b＞a＞c&C．a＞b＞c&D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数的性质，分别判断a，b，c的大小即可得到结论．【解答】解：log20.3＜0，20.3＞1，c=0.20.3∈（0，1），∴b＞c＞a，故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．　8．把函数y=sinx的图象上所有点向右平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），所得解析式为y=sin（ωx+φ），则（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】把函数y=sinx的图象上所有点向右平移 个单位，得到y=sin（x ），再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，得到y=sin（2x ），写出要求的结果．【解答】解：把函数y=sinx的图象上所有点向右平移 个单位，得到y=sin（x ）再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，得到y=sin（2x ）∵解析式为y=sin（ωx+φ），∴ω=2，φ= ，故选B．【点评】本题考查三角函数图形的变换，注意在图象平移时，要看清楚函数的解析式中x的系数是不是1，若只考查图象变换，则一般先平移后伸缩．　9．设 ，则使y=xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的a值的个数为（　　）A．1&B．2&C．3&D．4【考点】幂函数的性质．【专题】试验法．【分析】由幂函数在（0，+∞）的单调性缩小a的范围，再由幂函数的奇偶性即可确定a的值【解答】解：∵y=xa在（0，+∞）上单调递减∴a＜0∴a的可能取值为3，2，1， 又∵y=xa为奇函数当a=2时， 是偶函数；当a= 时， 是非奇非偶函数不合题意∴a=3或a=1∴满足题意的a的值有2个故选B【点评】本题考查幂函数的性质，要注意幂函数的指数a与第一象限内的图象的单调性之间的关系，a＜0是单调递减，a＞0时单调递增；同时要求会判断幂函数的奇偶性．属简单题　10．已知sinx+cosx= ，且x∈（0，π），则tanx=（　　）A． &B． &C． &D． 【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】把sinx+cosx= 平方求出，可得2sinxcosx= ＜0，根据x的范围进一步判断x为钝角，可得 sinxcosx=& 的值，解方程组求得 sinx 和cosx，即可得到tanx．【解答】解：∵sinx+cosx= ，且x∈（0，π），∴1+2sinxcosx= ，∴2sinxcosx= ＜0，∴x为钝角．∴sinxcosx= = = ，∴sinx= ，cosx= ，tanx= = ，故选B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，求出sinxcosx= = ，是解题的关键，属于基础题．　11．下列6个命题中正确命题个数是（　　）（1）第一象限角是锐角（2）y=sin（ 2x）的单调增区间是（kπ+ π，kπ+ π），k∈Z（3）角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα= （4）若y= sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω= （5）若cos（α+β）=1，则sin（2α+β）+sinβ=0（6）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=f（x），则y=f（x）是周期函数．A．1个&B．2个&C．3个&D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题；简易逻辑．【分析】对6个命题一一验证，可以举反例来简化判断过程．【解答】解：361°是第一象限角但不是锐角，故（1）不正确；（2）y=sin（ 2x）的单调增区间是（kπ+ π，kπ+ π），k∈Z，正确；角α终边经过点（a，a）（a≠0）时，sinα+cosα= 或 ，故（3）不正确；若y= sin（ωx）的最小正周期为4π，则ω=± ，故（4）错误；若cos（α+β）=1，则sin（2α+β）+sinβ=sin（2πβ）+sinβ=0，成立，故（5）正确；若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=f（x），则可得f（x+2）=f（x），则y=f（x）是周期函数，故（6）正确．故选C．【点评】本题借助命题真假性判断，实质上考查了三角函数部分的相关性质，属于基础题．　12．函数f（x）=loga（ax2x）在[2，4]上是增函数，则a的取值范围是（　　）A． ＜a＜1或a＞1&B．a＞1&C． ＜a＜1&D．0＜a＜ 【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=ax2x的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．【解答】解：令t（x）=ax2x，则y=logata＞0且a≠1，t（x）=ax2x的对称轴为x= 当a＞1时，t（x）在[2，4]上单调递增，∴t（2）=4a2＞0，t（4）=16a4＞0， ∴a＞1当0＜a＜1时，t（x）在[2，4]上单调递减，∴t（2）＞0，t（4）＞0， ≥4，此时a不存在综上所述：a＞1故选B．【点评】本题主要考查复合函数的单调性和对数函数的真数一定大于0．答中容易漏掉定义域的考虑，解属中档题．　二、题：（每题6分，满分24分）13．已知A，B是圆O上两点，∠AOB=2弧度，AB=2，则劣弧AB长度是　 　．【考点】弧长公式．【专题】计算题．【分析】通过解直角三角形求出圆的半径，然后利用弧长公式求出劣弧AB长度．【解答】解：圆的半径r= ∴劣弧AB长度是l= 故答案为： 【点评】利用弧长公式l=Rα求圆中的弧长时，一定要注意公式中的角α的单位是弧度．　14．函数 的单调递减区间是　（2，+∞）　．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域，然后分解函数：令t=x22x，则y= ，而函数y= 在定义域上单调递减，t=x22x在（2，+∞）单调递增，在（∞，0）单调递减，根据复合函数的单调性可知函数 可求【解答】解：由题意可得函数的定义域为：（2，+∞）∪（∞，0）令t=x22x，则y= 因为函数y= 在定义域上单调递减t=x22x在（2，+∞）单调递增，在（∞，0）单调递减根据复合函数的单调性可知函数 的单调递减区间为：（2，+∞）故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合而成的复合函数的单调区间的求解，解题的关键是根据复合函数的单调性的求解法则的应用，解题中容易漏掉对函数的定义域的考虑，这是解题中容易出现问题的地方．　15．已知tanx=2，则 =　 　．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．【解答】解：∵tanx=2，∴ = = = ，故答案为： ．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．　16．关于函数 有下列命题：①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；②在区间（∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；③函数f（x）的最小值为lg2；④在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．其中正确命题序号为　①③④　．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，再由函数t（x）= ，的单调性可判其他命题．【解答】解：∵函数 ，显然f（x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；当x＞0时， ，令t（x）= ，则t′（x）=1 可知当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增，即在x=1处取到最小值为2．由偶函数的图象关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确．故答案为：①③④．【点评】本题为函数的性质的应用，正确运用函数的性质及图象的关系式解决问题的关键，属基础题．　三、：（本题满分76分，要求写出必要的步骤和过程）17．已知函数 ．（1）求证：不论a为何实数f（x）总是为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先设x1＜x2，欲证明不论a为何实数f（x）总是为增函数，只须证明：f（x1）f（x2）＜0，即可；（2）根据f（x）为奇函数，利用定义得出f（x）=f（x），从而求得a值即可．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，则 = （4分）∵x1＜x2，∴ ，∴f（x1）f（x2）＜0，（6分）即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（7分）（2）∵f（x）为奇函数，∴f（x）=f（x），即 ，解得： ．∴ ．（12分）【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想．属于基础题．　18．已知 ，求下列各式的值（1） （2） ．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由已知利用正弦加法定理求出sinxcosx= ，由此利用余弦加法定理能求出cos（ ）．（2）利用正弦加法定理能求出sin（ ）的值．【解答】解：（1）∵ ，∴ = = ，∴sinxcosx= ，∴12sinxcisx= ，∴sinxcosx= ，∴cos（ ）=cos cosx+sin sinx= （sinx+cosx），∴cos2（ ）=[ ]2= = ，∴ =± ．（2）sin（ ）=sin cosx+cos sinx= = ．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦加法定理和余弦加法定理及同角三角函数关系式的合理运用．　19．若二次函数满足f（x+1）f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；待定系数法．【分析】（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）f（x）=2x可得a，b的值，从而问题解决；（2）欲使在区间[1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x23x+1m＞0，也就是要x23x+1m的最小值大于0即可，最后求出x23x+1m的最小值后大于0解之即得．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=1，∴c=1，∴f（x）=ax2+bx+1∵f（x+1）f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，∴ ∴f（x）=x2x+1（5分）（2）由题意：x2x+1＞2x+m在[1，1]上恒成立，即x23x+1m＞0在[1，1]上恒成立 其对称轴为 ，∴g（x）在区间[1，1]上是减函数，∴g（x）min=g（1）=13+1m＞0，∴m＜1（10分）．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．　20．已知函数f（x）=5sin（x+ ）acos2（x+ ）的图象经过点（ ，2）（1）求a的值（2）若函数定义域是R，求函数的最大值及此时x的取值集合（3）若函数定义域是[ ， ]，求函数的值域．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）点（ ，2）代入函数式，能求出a=2（2）利用同角三角函数关系式求出f（x）=2[sin（x+ ）+ ]2 ，由此利用正弦函数的性质能求出函数的最大值及此时x的取值集合．（3）定义域是[ ， ]时，先求出x+ 的范围，再求出sin（x+ ）的范围，由此能求出函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵函数f（x）=5sin（x+ ）acos2（x+ ）的图象经过点（ ，2），∴点（ ，2）代入函数式得：f（ ）=5sin0acos20=a=2解得a=2（2）f（x）=5sin （x+ ）2cos2（ x+ ）=5sin （x+ ）2+2sin2（x+ ）=2[sin（x+ ）+ ]2 ，故当sin（x+ ）=1时，f（x）最大值为5，此时x+ = +2kπ，即x的取值集合为{x|x= +2kπ，k属于Z}．（3）定义域是[ ， ]时，x+ 的范围是[ ， ]，sin（x+ ）的范围是[ ，1]∴函数f（x）的值域为[4，5]．【点评】本题考查三角函数的最大值及对应的x的集合的求法，考查值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．　21．一半径为4米的水轮如图，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时．（1）将点P距离水面的高度h（米）表示为时间t（秒）的函数；（2）点P第一次到达最高点要多长时间？（3）在点P每转动一圈过程中，有多少时间点P距水面的高度不小于 米．&【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】．【分析】（1）先根据h的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，h=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即 可求得时间；（3）根据条件建立不等式 ，求出t的范围，从而求出时间．【解答】解：（1）依题意可知h的最大值为6，最小为2，∴有 ，求得 ， ，ω= ，t=0时，h=0，∴sinφ= ，∴φ= ，∴函数的表达式为 ；（2） ，即 ，解得t=5s；（3） ，即 ，解得 ，即在点P每转动一圈过程中，有2.5s点P距水面的高度不小于 米．【点评】本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型的问题．考查了运用三角函数的最值，周期等问题确定函数的解析式．　22．函数 的定义域为（0，1]（a为实数）．（Ⅰ）当a=1时，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域上是减函数，求a的取值范围；（Ⅲ）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值域；函数的单调性与导数的关系．【专题】综合题．【分析】（I）将a的值代入函数解析式，利用基本不等式求出函数的值域．（II）求出导函数，令导函数大于等于0在定义域上恒成立，分离出a，构造函数，通过求函数的最小值，求出a的范围．（III）通过对a的讨论，判断出函数在（0，1）上的单调性，求出函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）显然函数y=f（x）的值域为 ；（Ⅱ）∵ 在定义域上恒成立而2x2∈（2，0）∴a≤2（II）当a≥0时，函数y=f（x）在（0.1]上单调增，无最小值，当x=1时取得最大值2a；由（2）得当a≤2时，函数y=f（x）在（0.1]上单调减，无最大值，当x=1时取得最小值2a；当2＜a＜0时，函数y=f（x）在 上单调减，在 上单调增，无最大值，当 时取得最小值 ．【点评】求函数的单调性常借助导数，当导函数大于0对应的区间是函数的单调递增区间；当导函数小于0对应的区间是函数的单调递减区间．求含参数的函数的性质问题时，一般要对参数讨论．　文章来源天添资源网 w ww.tT z Y w.C Om
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