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《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第11章 无穷级数
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taylor级数和二项展开区别
请高手解答一下taylor级数展开和二项展开区别，taylor展开在指数&1时会有无穷项，这是为什么呢？而指数&1时仅有有限项，并且这有限项完全可以描述整个函数，而taylor展开是指某一点的邻域里里逼近原函数，当超出一定的范围之后就发散了，这怎么解释呢？一直没明白
Obviously~
数学上，对于在的某个领域内无穷可微的函数，我们可以定义它的Taylor级数为：。如果Taylor级数在的某个领域中都收敛并且级数收敛到，那么称是解析的。为了检查级数是否收敛，我们可以估计Taylor余项。如果在点解析，也只能说明它在点展开的Taylor级数在点的一个邻域内收敛到，一个典型的例子是：，该级数在上等式成立，否则后面的级数发散；当然也有Taylor展开在每个点都收敛到原函数，典型的例子是指数函数。对于广义的二项式定理，指的是如下结果：，其中：。很明显，如果不是正整数，上式将会有无穷多项。另外指出，当时，上面的级数是收敛的，等号才有意义，当时，对于某些，上式才是收敛的，这个结果可以由Taylor定理证明。总而言之，Taylor展开和二项式定理说的不是同一个东西，希望你能好好学习这两个概念；此外，在高等数学中不怎么考虑二项式定理 ^^
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于微积分 无穷级数-课件PPT（演讲稿）的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：第八章无穷级数微积分返回下页上页第八章无穷级数§8.1无穷级数的概念和基本性质§8.2正项级数§8.3任意项级数,绝对收敛§8.4幂级数第八章无穷级数微积分返回下页上页一、无穷级数的基本概念§8.1无穷级数的概念和基本性质给定一个数列u1,u2,u3,???,un,???,则由这数列构成的表达式u1?u2?u3?????un????叫做(常数项)无穷级数,简称(常数项)级数,记为???1nnu,即3211???????????????nnnuuuuu,其中第n项un叫做级数的一般项.叫做无穷级数,简称级数.第八章无穷级数微积分返回下页上页称为级数,其中第n项un叫做级数的一般项.表达式级数举例:级数的展开形式备注一般项简写形式???????????????nnn???????????????nnn???????????????nnn调和级数20???????????????nnnaqaqaqaaq)1((11?????????????????nnnnn)1((11?????????????????nnnnn等比级数20???????????????nnnaqaqaqaaqaqn-1几何级数??????????????pppnpnn??????????????pppnpnn??????????????pppnpnnp—级数)1((11?????????????????nnnnn第八章无穷级数微积分返回下页上页级数的部分和:级数的前n项的和nniinuuuuus???????????3211称为级数???1nnu的部分和.级数敛散性定义:如果级数???1nnu的部分和数列}{ns有极限s,即ssnn???lim,则称无穷级数???1nnu收敛,这时极限s叫做这级数的和,并写成3211????????????????nnnuuuuus?如果}{ns没有极限,则称无穷级数???1nnu发散.第八章无穷级数微积分返回下页上页余项:当级数???1nnu收敛时,级数的和s与部分和sn的差值rn?s-sn?un?1?un?2????叫做级数???1nnu的余项.例1证明级数1?2?3?????n????是发散的.证此级数的部分和为2)1(321??????????nnnsn.2)1(321??????????nnnsn.显然,????nnslim,因此所给级数是发散的.显然,????nnslim,因此所给级数是发散的.第八章无穷级数微积分返回下页上页其和为qa-1.如果q?1,则部分和解:qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn---?--?????????-11112.(3)当q?-1时,因为sn当n为奇数时等于a;当n为偶数qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn---?--?????????-11112.例2例1讨论等比级数nnaq???0(a?0)的敛散性.当|q|&1时,因为qasnn-???1lim,所以此时级数nnaq???0收敛,当|q|&1时,因为qasnn-???1lim,所以此时级数nnaq???0收敛,当|q|&1时,因为????nnslim,所以此时级数nnaq???0发散.当|q|&1时,因为????nnslim,所以此时级数nnaq???0发散.所以sn的极限不存在,从而这时级数nnaq???0也发散.所以sn的极限不存在,从而这时级数nnaq???0也发散.时等于零。(1)(2)第八章无穷级数微积分返回下页上页解:因为)1(????????????nnsn111)111()(?-??-?????-?-?nnn,提示:111)1(1?-???nnnnun.例3例3判别无穷级数????1)1(1nnn的收敛性.111)111()(?-??-?????-?-?nnn,所以1)111(limlim??-?????nsnnn,从而这级数收敛,它的和是1.所以1)111(limlim??-?????nsnnn,从而这级数收敛,它的和是1.仅当|q|?1时,几何级数nnaq???1(a?0)收敛,其和为qa-1.因此,当1q?时,几何级数1nnaq???发散.第八章无穷级数微积分返回下页上页级数收敛的必要条件:证:注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.(2)判断级数敛散时应首先验证是否满足收敛的必要条件.证设级数???1nnu的部分和为sn,且ssnn???lim,则0limlim)(limlim110?-?-?-?-????-???ssssssunnnnnnnnn.0limlim)(limlim110?-?-?-?-????-???ssssssunnnnnnnnn.推论:如果lim0,nnu???则级数必发散.1nnu???定理1如果收敛,1nnu???1limlim()nnnnnuss-?????-lim0.nnu???则第八章无穷级数微积分返回下页上页故0)(lim2?-??nnnss,矛盾.这矛盾说明级数???11nn必定发散.显然有ssnn???lim及ssnn???2lim.于是0)(lim2?-??nnnss.证假若级数nn11???收敛且其和为s,sn是它的部分和.证:但另一方面,112?????????????????-nnnnnnssnn,112?????????????????-nnnnnnssnn,112?????????????????-nnnnnnssnn,112?????????????????-nnnnnnssnn,证假若级数nn11???收敛且其和为s,sn是它的部分和.显然有ssnn???lim及ssnn???2lim.于是0)(lim2?-??nnnss.故0)(lim2?-??nnnss,矛盾.这矛盾说明级数???11nn必定发散.解:因为1sin1limlimsinlim101nnnnnunnn??????????所以级数11sinnnn???发散。例4判断级数11sinnnn???的敛散性。例5证明调和级数nn11???是发散的.第八章无穷级数微积分返回下页上页无穷级数的基本性质性质1性质1如果sunn????1,则kskunn????1.这是因为,设???1nnu与???1nnku的部分和分别为sn与?n,则)(limlim21nnnnkukuku???????????ksskuuuknnnn????????????lim)(lim21.ksskuuuknnnn????????????lim)(lim21.ksskuuuknnnn????????????lim)(lim21.播放器加载中，请稍候...
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第八章无穷级数微积分返回下页上页第八章无穷级数§8.1无穷级数的概念和基本性质§8.2正项级数§8.3任意项级数,绝对收敛§8.4幂级数第八章无穷级数微积分返回下页上页一、无穷级数的基本概念§8.1无穷级数的概念和基本性质给定一个数列u1,u2,u3,???,un,???,则由这数列构成的表达式u1?u2?u3?????un????叫做(常数项)无穷级数,...
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来源：　　作者：王耀荣;
Cantor级数的无理性　 1引言本文主要研究的是Cantor级数。其中α1,α2,…为大于1的整数,b1,b2,…为任意整数并使得Cantor级数收敛。对于无穷级数和中哪些是无理数,1776年Lambert证明了是无理数。本文主要对Hancl和Tijdeman[1]中定理4.1进行推广。2记号和引理本文主要研究的是Cantor级数。其中和是整数序列,对所有n,αn&1,且使级数收敛。为了方便,我们记S=。我们主要通过研究S的N项部分和Sn以及N项余项Rn来研究Cantor级数,并记引理1([1]):和是整数序列,对所有n,αn&1;若S=r/q,r∈Z,。则对所有N,有qRN∈Z。引理2:和是整数序列,对所有n,αn&1,任意给定正整数k,若存在正整数n0,使得Rn0+(i+1)k=Rn0+ik,i=0,1,2…。则为常数。证明:若Rn0+(i+1)k=Rn0+ik,i=0,1,2…。由Rn的定义,有Rn+1=αnRn-bn(n=1,2,…),则由得=Rn0+(i+1)k令Rn0+(i+1)k=Rn0+ik=C(常数)i=0,1,2…即为常数。3主要定理及其证明定理1:和是整数序列,对所有n,αn&1;若｛Rn(本文共计2页)　　　　　　　　　　
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