等差乘等比数列求和an的前n项和为sn若s3是2a1和a2的等差中项求q

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-02-26 07:04 标签： 等差数列与等比数列
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已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an3n，记数列bn的前n项和为Tn，求Tn．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）∵S3=12，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，所以a2=4．（1分）又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2a1o（a3+1），即a22=2（a2-d）o（a2+d+1），（3分）解得，d=3或d=-4（舍去），∴a1=a2-d=1，故an=3n-2．（6分）（Ⅱ）bn=an3n=3n-23n=(3n-2)o13n，∴Tn=1×13+4×132+7×133++(3n-2)×13n，①①×13得13Tn=1×132+4×133+7×134++(3n-5)×13n+(3n-2)×13n+1．②①-②得23Tn=13+3×132+3×133+3×134++3×13n-(3n-2)×13n+1=13+3×132(1-13n-1)1-13-(3n-2)×13n+1=56-12×13n-1-(3n-2)×13n+1，（10分）∴Tn=54-14×13n-2-3n-22×13n=54-6n+54×13n．（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“已知正项等差数列an的前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，a3+1成等..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如的形式，可以把表示为，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和； 2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如的数列，其中为等差数列，为等比数列，均可用此法； 3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：& 数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有的一类数列，在求时，要注意讨论n的奇偶性；（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
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已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，1a3成等比数列．（I求{an}的通项公式；（II记，
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已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3=12，且2a1，a2，1+a3成等比数列．（I求{an}的通项公式；（II记，求数列{bn}的前n项和Tn．
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图形验证：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn
已知等差数列{an}的前n项和为Sn=pn2-2n+q（p，q∈R），n∈N+．（Ⅰ）求的q值；（Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足an=2log2bn，求数列{bn}的前n和Tn．
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=p-2+q当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn2-2n+q-p（n-1）2+2（n-1）-q=2pn-p-2∵{an}是等差数列，a1符合n≥2时，an的形式，∴p-2+q=2p-p-2，∴q=0（Ⅱ）∵a3=a1+a52，由题意得a3=18又a3=6p-p-2，∴6p-p-2=18，解得p=4∴an=8n-6由an=2log2bn，得bn=24n-3．∴b1=2，bn+1bn=24(n+1)-324n-3=24=16，即{bn}是首项为2，公比为16的等比数列∴数列{bn}的前n项和Tn=2(1-16n)1-16=215(16n-1)．
考点解析：
举一反三：

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