三角三角函数倍角公式大全及变式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-02-27 01:37 标签： 三角函数和差倍角公式
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课程ID:21305
价格:192.00元
总课时:16课时
已学人数:44162人
适合掌握倍角公式 、半角公式、和差公式的知识基础，需要提高其运用，提高解题能力的高中学生
本课程是清大世纪自主研发的一系列课程。课程中把高中数学两角和公式、二倍角公式、半角公式的知识点进行了整理。从三方面类型做了总结。在每个常考的题目类型下又配了相应的典型例题5-6道。每道题目都给出了详细的解析和答案。每道试题也有相应的线上视频讲解。授课教师主要从给值求值、给值求角等方面进行讲解，重点是讲解如何运用知识点来解决相同类型的题目。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式；和、差、倍角公式的变式及应用、辅助角公式的运用是高中数学三角恒等变换知识模块中的基础，占有极其重要的地位，三角恒等变换是近几年高考的热点,也是每年高考必考的知识点之一. 考查方式灵活，主要以选择题、填空题的形式出现，若出解答题，出解答题时常作为其中的一问出现，多属于中、低档题目.除了三角函数的求值问题、三角函数的给值求值问题、三角函数的给值求角问题，还常与三角形的形状、面积、正、余弦定理等知识点相融合,渗透在各种题型中.通过本部分课程的学习,
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考点一三角函数的定义以三角函数的定义为载体，求三角函数的值是高考经常考查的一种方式，一般以选择题形式出现，试题难度不大，题目的鲜明特点是给出角的终边上的点的坐标，此时我们要联想到三角函数的定义求出所需三角函数值，然后结合三角公式进行求解化简.例已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则()A．B．C．D．思路分析：思路一，可设出P的坐标，因不清楚在P点在第几象限，故可用字母表示，然后利用三角函数的定义和二倍角公式求解函数值；思路二，因P点位置在第一或第三象限，故可求角的正切值，然后利用二倍角公式和弦化切的技巧求解；思路三，可随意从直线取，故可确定P点坐标，然后借助三角函数的定义，确定其正弦值，最后利用二倍角公式求解.解法一：在角θ终边上任取一点解法二：解法三：依题意在直线取一点P（1,2），则则故选B．【考点突破】任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，.【特别提示】三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关.故我们在解题时对于P点的确定有一定的灵活性，根据题设条件适当的选择.因某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.例如已知角的终边在直线求此时.【追踪训练】1.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角中边上的一点，且，则y=．2.已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.则=.追踪训练参考答案：1.提示：先计算,且，所以=，∴为第四象限角，则．2.提示：因为角终边经过点，所以，，，.考点二同角的三角函数关系和诱导公式的应用从近两年的高考试题来看，同角三角函数基本关系及诱导公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；主要考查诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．例已知函数（1）求的值；（2）设求的值．思路分析：（1）将代入函数解析式，然后利用特殊角的三角函数值求解；（2）根据已知等式和诱导公式化简明确然后利用同角的三角函数关系明确最后利用两角和的余弦公式求解.解：（1）；（2）【考点突破】1.同角三角函数的基本关系：平方关系：.商数关系：.2.三角函数诱导公式:奇变偶不变，符号看象限.3.运用诱导公式转化角的一般步骤：①负化正,②正化负,③主化锐.4.与通过平方关系联系到一起，即，【特别提示】（1）同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍．(2)使用诱导公式时要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现的形式时，需要对的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号.(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.【追踪训练】1.若，则（）A．B．C．D．2.已知，且，则的值为.追踪训练参考答案：1.C提示：由得，所以=.2.提示：由，且，得，所以.考点三和差角公式及二倍角公式利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称，利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点，常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题．例若且则的值等于（）A．B．C．D．思路分析：通过观察已知式子中的角，明确利用二倍角公式将转化，达到化简的目的，此时需注意三个二倍角公式的选择.解：由得，所以，即因为，所以于是所以故选D．【考点突破】1.两角和与差的三角函数公式：；；.2.二倍角公式的正弦、余弦、正切：；；.3.降幂公式：；；.4.升幂公式：;;.【特别提示】1.运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点.2.在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换.【追踪训练】1.若（）A．B．C．D．2.若，，，，则A．B．C．D．追踪训练参考答案：1B提示：将代入整理为：故答案为B.2.C 提示：，∴又∵考点四三角恒等变换的综合问题三角恒等变换的综合应用,常与诱导公式、同角三角函数的基本关系结合在一起，主要用于求值和化简，因新课标高考对三角恒等变换难度降低，故此类问题不应过深的研究.考查的形式一般以函数、向量等知识相结合命制综合的大题，但是试题难度不大，属于中低档题.例已知函数（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（II）设，若求的大小．思路分析：对于本题的第二问，需从名称角度将切化为弦，从角的角度将，从结构上将二次转会为一次，进而最终求解角的大小.解：（I）由，得.所以的定义域为,的最小正周期为（II）由得整理得因为，所以因此由，得.所以【考点突破】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．【追踪训练】1.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；（Ⅱ）若为第二象限角，且，求的值．2.如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．⑴如果、两点的纵坐标分别为、，求和；⑵在⑴的条件下，求的值；⑶已知点，求函数的值域．追踪训练参考答案：1.解：（Ⅰ）因为,，所以函数的周期为，值域为．（Ⅱ）因为，所以，即．因为，又因为为第二象限角，所以．所以原式．2.解：（1）根据三角函数的定义，得，．又是锐角，所以．（2）由（1）知．因为是钝角，所以．所以．（3）由题意可知，，．所以，因为，所以，从而，因此函数的值域为．
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