高中数学题求几何体的体积&
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高中数学空间几何体的表面积和体积人教版必修2
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2015高考数学二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积试题(含答案)
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2015高考数学二轮复习空间几何体的三视图、表面积与体积试题(含答案)
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文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om 高考专题训练(十一)　空间几何体的三视图、表面积与体积A级――基础巩固组一、1．(;武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)& &解析　A、B、C与俯视图不符．答案　D2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)&解析　抓住其一条对角线被遮住应为虚线，可知正确答案在C，D中，又结合直观图知，D正确．答案　D3．(;安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为(　　)&A．21＋3& &B．18＋3C．21& &D．18解析　&由三视图知，该多面体是由正方体割去两 个角所成的图形，如图所示，则S＝S正方体－2S三棱锥侧＋2S三棱锥底＝24－2×3×12×1×1＋2×34×(2)2＝21＋3.答案　A4．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝2，则球O的表面积等于(　　)A．4π　　　　&B．3π& C．2π　　　　&D．π解析　&如图所示，由AB⊥BC知，AC为过A，B，C，D四点小圆直径，所以AD⊥DC.又SA⊥平面ABCD，设SB1C1D1－ABCD为SA，AB，BC为棱长构造的长方体，得体对角线长为12＋12＋ǡ2＝2R，所以R＝1，球O的表面积S＝4πR2＝4π.故 选A.答案　A5．(;湖南卷)一块石材表示的几 何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)&A．1& &B．2& C．3& &D．4解析　&由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1－ABC，且AB＝8，BC＝6，BB1＝12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，BCC1B1，ACC1A1相切，故此时球的半径与△ABC内切圆的半径相等，故半径r＝6＋8－102＝2.故选B.答案　B6．点A，B，C，D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为(　　)A．323π& B．48π& C．643π& D．163π解析　&如图所示，O1为三角形ABC的外心，过O做OE⊥AD，∴OO1⊥面ABC，∴AO1＝33AB＝3.∵OD＝O A，∴E为DA的中点．∵AD⊥面ABC，∴AD∥OO1，∴EO＝AO1＝3.∴DO＝DE2＋OE2＝23.∴R＝DO＝ 23.∴V＝43π(23)3＝323π.答案　A二、题7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是________．&解析　&由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中DC＝2，AB＝3，BC＝3，所以四棱锥的体积为13×&#×32×2＝533.答案　5338．如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1wV2＝________.&解析　设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝13×14S•12h＝124Sh＝124V2，即V1wV2＝1w24.答案　1w249．在四面体ABCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝4，AD＝BC＝5，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．解析　构造一个长方体，使得它的三条面对角线分别为4、5、6，设长方体的三条边分别为x，y，z，则x2＋y2＋z2＝772，而长方体的外接球就是四面体的外接球，所以S＝4πR2＝772π.答案　772π三、解答题10．下列三个图中，左边是一个正方体截去一个角后所得多面体的直观图．右边两个是其正(主)视图和侧(左)视图．&(1)请在正(主)视图的下方，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图(不要求叙述作图过程)．(2)求该多面体的体积(尺寸如图)．解　(1)作出俯视图如图所示．&(2)依题意，该多面体是由一个正方体(ABCD－A1B1C1D1)截去一个三棱锥(E－A1B1D1)得到的，所以截去的三棱锥体积VE－A1B1D1＝13•S△A1B1D1•A1E＝13×12×2×2×1＝23，正方体体积V正 方体AC1＝23＝8，所以所求多面体的体积V＝8－23＝223.11.&(;安徽卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过 A1，C，D三点 的平面记为α，BB1与α的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比．解　(1)证明：因为BQ∥AA1，BC∥AD，BC∩BQ＝B，AD∩AA1＝A，所以平面QBC∥平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QC∥A1D.故△QBC与△A1AD的对应边相互平行，于是△QBC∽△A1AD.所以BQBB1＝BQAA1＝BCAD＝12，即Q为BB1的中点．&(2)如图，连接QA，QD.设AA1＝h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC＝a，则AD＝2a.VQ－A1AD＝132a•h•d＝13ahd，VQ－ABCD＝13•a＋2a2•d•12h＝14ahd，所以V下＝VQ－A1AD＋VQ－ABCD＝712ahd，又V四棱柱A1B1C1D1－ABCD＝32ahd，所以V上＝V四棱柱A1B1C1D1－ABCD－V下＝32ahd－712ahd＝1112ahd.故V上V下＝117. B级――能力提高组1．(;北京卷)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(　　)A．S1＝S2＝S3& &B．S2＝S1且S2≠S3C．S3＝S1且S3≠ S2& &D．S3＝S2且S3≠S1解析　作出三棱锥在三个坐标平面上的正投影，计算三角形的面积．如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1＝12×2×2＝2.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DE F(E，F 分别为OA，BC的中点)全等，所以S2＝12×2×2＝2.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S3＝12×2×2＝2.所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.&答案　D2．(;山东卷)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则V1V2＝________.解析　由于VP－ABE＝VC－ABE，所以VP－ABE＝12VP－ABC，又因VD－ABE＝12VP－ABE，所以VD－ABE＝14VP－ABC，∴V1V2＝14.答案　143.&(理)(;课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．解　(1)连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB.EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，|PA→|为单位长，建立空间直角坐标系A－xyz.&则D(0，3，0)，E0，32，12， AE→＝0，32，12.设B(m,0,0)(m&0)，则C(m，3，0)，AC→＝(m，3，0)，设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1•AC→＝0，n1•AE→＝0，即mx＋3y＝0，32y＋12z＝0，可取n1＝3m，－1，3.又n2＝(1,0,0)为平面DAE的法向量，由题设|cos〈n1，n2〉|＝12，即 33＋4m2＝12，解得m＝32.因为E为PD的中点，所以三棱锥E－ACD的高为12.三棱锥E－ACD的体积V＝13×12×3×32×12＝38.3．(文)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°。&(1)求证：EF⊥PB；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P－EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P－EFCB的体积．解　(1)证明：∵AB＝BC，∴BC⊥AB，又∵EF∥BC，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E，∴EF⊥平面PBE，∴EF⊥PB.(2)设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.∴S△PEB＝12BE•PE•sin∠PEB＝14xy≤14x＋y22＝1.当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．此时，BE＝PE＝2.由(1)知EF⊥平面PBE， ∴平面PBE⊥平面EFCB，在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P－EFCB的高．又PO＝PE•sin30°＝2×12＝1. S梯形EFCB ＝12(2＋4)×2＝6.∴VP－BCFE＝13×6×1＝2. 文 章来源莲山 课件 w w w.5Y k J.C om
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