已知方程k(x的平方-2x+1)-2x的平方+x=o有实数根.求K的取值范围
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k(x²-2x+1)-2x²+x=0(k-2)x²-(2k-1)x+k=0k=2时,方程变为-3x+2=0 3x=2x=2/3,有解,k=2满足题意.k≠2时,方程为一元二次方程,方程有实根,判别式△≥0[-(2k-1)]²-4(k-2)k≥04k+1≥0k≥-1/4,又k≠2,因此k≥-1/4且k≠2综上,得k≥-1/4.注意：百度知道上这样的题很多.有很多解答直接使用判别式,结果是一样的,但过程是错的.因为首先要判断k的范围,例如本题,虽然k=2也满足题意,但k=2时,不能使用判别式.
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练习题及答案
已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数. （1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y=x+b (b&k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
题型：解答题难度：偏难来源：浙江省模拟题
所属题型：解答题
试题难度系数：偏难
答案（找答案上）
（1）由题意得，Δ=16-8(k-1)≥0．∴k≤3．          ∵k为正整数，∴k=1，2，3； （2）当k=1时，方程2x2+4x+k-1=0有一个根为零；当k=2时，        方程2x2+4x+k-1=0无整数根；         当k=3时，方程2x2+4x+k-1=0有两个非零的整数根．        综上所述，k=1和k=2不合题意，舍去；k=3符合题意．        当k=3时，二次函数为y=2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位长度        得到的图象的解析式为y=2x2+4x-6；（3）设二次函数y=2x2+4x-6的图象与x轴交于A、B两点，则A(-3，0)，B(1，0)．        依题意翻折后的图象如图所示． 当直线经过A点时，可得；当直线经过B点时，可得．由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为
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初中三年级数学试题“已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.（1）求”旨在考查同学们对
求二次函数的解析式及二次函数的应用、
一次函数的图像、
一元二次方程根的判别式、
二次函数的图像、
……等知识点的掌握情况，关于数学的核心考点解析如下：
此练习题为精华试题，现在没时间做？，以后再看。
根据试题考点，只列出了部分最相关的知识点，更多知识点请访问。
考点名称：
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a&0）；
（2）顶点式：y=a（x-h)2+k（a，h，k是常数，a&0）
（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
考点名称：
一般地，形如y=kx+b（k&0，k,b是常数），那么y叫做x的一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，即正比例函数（自变量和因变量成正比例）。
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。但不能说一次函数是正比例函数。
若自变量最高次数为1，则这个函数就是一次函数。
（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k&0)。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。
k，b决定函数图像的位置：
y=kx时，y与x成正比例：
当k&0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；
当k&0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k&0，b&0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；
当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；
当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；
当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。
当b&0时，直线必通过第一、二象限；
当b&0时，直线必通过第三、四象限。
特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。
这时，当k&0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。
当k&0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
特殊位置关系：
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的
（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
一般地，y=kx+b(k&0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。
正比例函数y=kx(k&0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。
（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
考点名称：
　　一元二次方程根的判别式
　　一元二次方程ax²+bx+c=0(a&0)的根的判别式：&D=b²-4ac。
　　根的判别式逆用定理
　　定理1&ax²+bx+c=0(a&0)中，方程有两个不等实数根 △&0;
　　定理2 ax²+bx+c=0(a&0)中，方程有两个相等实数根 △=0;
　　定理3&ax²+bx+c=0(a&0)中，方程没有实数根 △&0。
　　注意：
& & & (1)再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
　　(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
　　(3)如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac&0切勿丢掉等号。
　　(4)根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a&0。
　　(5)从方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围
　　一元二次方程根的判别式的应用
　　①不解一元二次方程，判断根的情况。
　　②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
　　③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
　　④应用根的判别式判断三角形的形状。
　　⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
　　⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
　　⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
考点名称：
二次函数图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由y=y=ax2平移得到的。
二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线
对称轴与二次函数图象唯一的交点为二次函数图象的顶点P。
特别地，当b=0时，二次函数图象的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。
a，b同号，对称轴在y轴左侧
a，b异号，对称轴在y轴右侧
二次函数图象有一个顶点P，坐标为P(h,k)。
当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k，
二次项系数a决定二次函数图象的开口方向和大小。
当a&0时，二次函数图象向上开口；当a&0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则二次函数图象的开口越小。
二次函数抛物线的主要特征
①有开口方向，a表示开口方向：a&0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；
②有对称轴；
③有顶点；
④c 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
决定对称轴位置的因素
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a&0,与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a&0,与b异号时（即ab&0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab&0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab&0 ），对称轴在y轴右。
事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值，可通过对二次函数求导得到。
考点名称：
轴对称定义：
轴对称或线对称指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合。更广泛的对称形式为旋转对称。
轴对称定理：
定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。
定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
定理3：两个图形关于某条直线对称，如果他们的对称轴或延长线相交，那么交点在对称轴上。
定理2的逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
轴对称图形举例：
例如：等腰三角形、 正方形、 等边三角形、 等腰梯形和 圆和 正多边形都是轴对 轴对称图形2 示例 称图形.有的轴对称图形有不止一条对称轴,但轴对称图形最少有一条对称轴。圆有无数条对称轴，都是经过圆心的直线。&
要特别注意的是线段，它有两条对称轴，一条是这条线段所在的直线,另一条是这条线段的中垂线。
坐标轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
坐标轴夹角平分线对称
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）
点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）
平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；
轴对称图形的方法和画法：
1、找出所给图形的关键点。 蝴蝶也是一种轴对称图形
2、找出图形关键点到 对称轴的距离。&
3、找关键点的对称点。&
4、按照所给图形的顺序连接各点。
1、找出图形的一对对称点。&
2、连接对称点。&
3、过这条线段的中点作这条线段的垂线
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一般的，式子&{{b}^{2}}-4ac&叫做&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“&Δ&”表示它，即&Δ{{=b}^{2}}-4ac．①&当&Δ>0&时，方程有两个不相等的根；②&当&Δ=0&时，方程有两个相等的实数根；③&当&Δ<0&时，方程无实数根．
【一元二次根与系数的关系】如果&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根是&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}，那么&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}（隐含&a≠0）．特别地，当一元二次方程的二次项系数为&1&时，设&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是方程&{{x}^{2}}+px+q=0&&的两个根，则&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-p，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}=q．【一元二次方程根与系数关系得逆用】如果实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&满足&{{x}_{1}}{{+x}_{2}}=-{\frac{b}{a}}，{{x}_{1}}o{{x}_{2}}={\frac{c}{a}}&，那么&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&是一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（）的两个根．以两个实数&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&为根的一元二次方程（二次项系数为&1）是&{{x}^{2}}-\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{x+x}_{1}}o{{x}_{2}}=0&．【一元二次方程根与系数的应用】（1）不解方程，利用根与系数的关系求关于&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&&的对称式的值，如&{{{{x}_{1}}}^{2}}+{{{{x}_{2}}}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}{{-2x}_{1}}o{{x}_{2}}&，&\left({{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}=\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}，&{{|x}_{1}}{{-x}_{2}}|=\sqrt[]{\left({{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}-4{{x}_{1}}o{{x}_{2}}}，&{\frac{1}{{{x}_{1}}}}+{\frac{1}{{{x}_{2}}}}={\frac{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}，&{\frac{1}{{{{{x}_{1}}}^{2}}}}+{\frac{1}{{{{{x}_{2}}}^{2}}}}={\frac{\left({{{x}_{1}}{{+x}_{2}}}\right){{}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{\left({{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\right){{}^{2}}}}．（2）根的符号的讨论．利用根与系数的关系可以讨论根的符号，设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&．i）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0&时，两根同号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}>0.}\end{array}}\right&&&两根同正．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}>0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&两根同负．ii）Δ≥0，且&{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0&时，两根异号．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}0.}\end{array}}\right&&&两根异号且正根的较大．&\left\{{\begin{array}{l}{Δ≥0,}\\{{{x}_{1}}{{x}_{2}}<0,}\\{{{x}_{1}}{{+x}_{2}}<0.}\end{array}}\right&&&&两根异号且负根的绝对值较大．（3）其他结论．①&设一元二次方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）的两个根&{{x}_{1}}，{{x}_{2}}&（其中&{{x}_{1}}≥{{x}_{2}}&），若&m&为实数，当&Δ≥0&时，一般会有以下结论存在：i）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0
{{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}<m&．ii）\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&& {{x}_{1}}>m，{{x}_{2}}>m&．iii）&\left({{{x}_{1}}-m}\right)\left({{{x}_{2}}-m}\right)>0&且&\left({{{x}_{1}}-m}\right)+\left({{{x}_{2}}-m}\right)<0&& {{x}_{1}}<m，{{x}_{2}}<m&．②&若有理系数一元二次方程有一个根是&a+\sqrt[]{b}，则必有另一个根为&a-\sqrt[]{b}&．③&若&ac<0，则方程&{{ax}^{2}}+bx+c=0（a≠0）必有两个实数根．④&逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．以上利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的&Δ，一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．
一次函数&y=kx+b（k，b&是常数，k≠0）的图象与性质
【的解法】第一步：去分母，在两边同乘以所有分母的最小公倍数，如果乘的因数是负数，不等号的方向要改变；第二步：去括号，先去小括号，再去中括号，最后去大括号；第三步：移项，把含有未知数的项移到不等式的一边，其他项移到另一边；第四步：合并同类项，把不等式化为&ax>b（a≠0）或&ax<b（a≠0）的形式；第五步：系数化为&1，把不等式两边同除以未知数的系数&a，得到&x>{\frac{b}{a}}（a≠0）或&x<{\frac{b}{a}}（a≠0），如果除以的系数是负数，不等号的方向要改变．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k=0有实数根，（1）...”，相似的试题还有：
已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个实数根．(1)求m的范围；
(2)若方程两个实数根为x1、x2，且x1+3x2=8，求m的值．
已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0(1)方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)设x1、x2为方程的两个根，且m为最大的负整数，求x1x2+x1+x2的值．
(1)求证：关于x的一元二次方程x2+(m-3)x-3m=0一定有两个实数根；(2)若关于x的方程x2-2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；(3)设题(1)中方程的两根为a、b，若恰有一个直角三角形的三边长分别为2、a、b，试求m的值．已知关于x的一元二次方程.kx的平方+2x+2-k=0(k≥1)(1)求证：方程总有两个实数根 （2）当K取哪些整数时方_百度知道
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两根之和=-2&#47；带入两根之积，满足要求，看两根之和=-2/k，那么k只能取11,都要是整数,两根之积=(2-k)&#47、判别式=4-4k(2-k)=4k&#178，所以4k&#178,因为k≥1，发现都是整数,2;k;-4≥0;k，方程总有两个实数根2;-4
提问者评价
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出门在外也不愁解：∵x?+2x+k+1=0&&&&&& ∴由韦达定理：1x2=ca=k+1x1+x2=-ba=-2&&&&& ∴1+x2-x1x2=-k-3-3&&& ∴-k-3＜-1&&&&& 解之：k＞-2&&& 又∵此方程有两个实数根&&&&∴△=b?-4ac=-4k≥0&&&&∴k≤0&&&&故：0≥k＞-2&&&&而：k为整数&&&&则：k=-1,0
菁优解析考点：；．分析：先利用一元二次方程根与系数的关系把x1+x2-x1x2＜-1转化成关系k的不等式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出k所满足的范围，求出范围内的整数解即可．解答：解：由一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=-2，x1x2=k+1，所以不等式x1+x2-x1x2＜-1可化为-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2，又因为一元二次方程有两个实数根，所以其判别式满足：4-4（k+1）≥0，解得k≤0，所以k的取值范围为：-2＜k≤0，且k为整数，所以k的值为-1或0．点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式的应用，容易漏掉其判别式所满足的条件而错解．答题：老师　
其它回答（11条）
x1+x2=-2x1x2=k+1-2-（k+1）＜-1∴k＞-2△=4-4×1×（k+1）& =-4k≥0∴k≤0即-2＜k≤0k=-1或0
∵x1+x2=-2,x1x2=k+1& ∴-3-k＜-1即k＞-2又因方程有两个实数根，则△=4-4k-4=-4k＞0即k＜0k为整数，∴k=-1
x1+x2=-2x1x2=k+1-2-（k+1）＜-1∴k＞-2△=4-4×1×（k+1）=-4k≥0∴k≤0即-2＜k≤0k=-1或0
解：(1)∵方程有实数根，∴△=22-4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1x1+x2-x1x2=-2-（k+1）．由已知，得-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2．又由（1）k≤0，∴-2＜k≤0∵k为整数，∴k的值为-1和0．
x1+x2=-2x1x2=k+1-2-（k+1）＜-1∴k＞-2△=4-4×1×（k+1）& =-4k≥0∴k≤0即-2＜k≤0k=-1或0
解：(1)∵方程有实数根，∴△=22-4（k+1）≥0，解得k≤0．故K的取值范围是k≤0．&（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1x1+x2-x1x2=-2-（k+1）．由已知，得-2-（k+1）＜-1，解得k＞-2．又由（1）k≤0，∴-2＜k≤0∵k为整数，∴k的值为-1和0．
此问题可应用韦达定理解决。x1与x2分别为一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个实数根，则有：x1*x2=c/a&&&&&&&&& x1+x2=-b/a用两根之和的平方减去两根之积的四倍，就得到了两根之差的平方了。然后开方就得到两根之差了，注意开方时不要丢解。比如说x 平方的平方根就是x的绝对值。
解：& 先找出x1+x2=-2，在找出x1x2=k+1&& 在带入 就算出来了
x1+x2=-2x1x2=k+1-2-（k+1）＜-1∴k＞-2△=4-4×1×（k+1）& =-4k≥0∴k≤0即-2＜k≤0k=-1或0
&&&&，V2.20133