补充一下，我是大一新生，曾经也是物理竞赛党，我并非不知道e的x次方在x趋近于0时近似为x+1，只是求众位讲一下为什么，这些都是书上的结论以及在已知a的x次方求导为a的x次方×㏑a的前提下知道的，但是对e的本质，以及它在微积分里的重要地位并不知道。 晚生愚笨，没有诸位大神那么博学，只是小小的物竞一等奖而已，也浅学过一些微积分，但只学了用法，其他一概不知，对各位大神指点。
发现知乎秀优越抖机灵冷嘲热讽的回答越来越多了一堆回答说题主伸手党的，说什么高中书上有的真的有吗？这个看上去简单的问题真有那么容易解答？我只想说一句话：对于非专业的问题请保持敬畏之心想必题主是对数学有兴趣才有此一问，那我就当介绍下高数的内容了本文力求从定义出发经过严格证明得出结论，有高中基础的皆可了解文章较长且定义定理及证明较多，对数学无感的请直接跳到最后看结论即可分三个部分来解释这个问题，一二分别为预备知识，三给出证明，最后总结一、自然底数e到底是什么鬼？要回答这问题还得从极限说起，什么是极限？先来看看数列极限数列极限的定义为一数列，如果存在常数a，满足对于任意给定的正数（不论多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者说数列收敛于a，记作或对于极限的定义可以理解为可以无限接近于a，只要n足够大就可以了可以用反证法证明，极限存在则必然唯一，就是说同一数列不可能有两个不等的极限下面介绍两个重要的关于数列极限存在性的判定定理夹迫定理如果数列满足下列两条件：(1)从某项起，即存在当时总有：(2)那么数列的极限存在且证明：因为,所以根据极限的定义，可知对于任意的存在正整数当时有
同样的存在正整数当时有取则当时可得同时成立且结合可得到即根据极限的定义即知定理得证夹迫定理可以理解为两边的数列控制着中间的数列，让他收敛到a所以也叫控制收敛定理介绍第二个定理前介绍两个概念的定义如果数列单调递增或者单调递减，称数列为单调数列如果数列满足存在某个实数M使得恒成立那么称数列为有界数列单调有界原理如果数列是单调且有界的，那么必定有极限证明：不妨假设是单调递增的，即满足又已知是有界的，则也是有上届的，即存在实数M使得并且存在一个最小的上界称之为上确界（此处用到了确界原理：即任何有界数集必有确界，定理的证明需要用到实数的连续性，将又是另一浩大工程，此处不再详细介绍，有兴趣的自行搜索）设上确界为即任何比小的数都不再是的上界也就是说对于任意的，存在，使得
（不再是上界的严格的数学描述）又由于是单调递增的，所以对于任意的都是即
由极限定义可知定理得证自然底数e的定义好，有了上面的知识我们可以来了解e到底是个什么鬼了被称为数学英雄的欧拉曾研究并证明了下面这个数列是收敛的于是把它的极限定义为自然底数e即证明：考虑和的展开式，根据二项式定理我们知道的第k-1项得到的第k-1项得到经比较不难发现又因为展开后还多一项，所以有即单调递增又考虑所以即是有上界的根据单调有界原理所以是收敛的往下继续前我们要先补充一下关于函数的极限，类似于数列极限函数极限的定义设在点的某一去心领域（可理解为该点附近去掉该点的一个集合）有定义，如果存在常数，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当满足时，对应的满足，那么就称常数为函数当时的极限，记作或特别的有当时的函数极限的定义，大致意思相同，不再赘述理解同数列极限函数值可以无限接近，只要自变量足够接近就够了可以证明夹迫定理和单调有界原理同样适用于函数极限下面指出证明：任意的，都存在使得成立，则由于和同时趋向于根据极限运算法则和的定义可以知道上式左右两边极限均等于根据夹迫定理即可得证注：由于未详细介绍极限运算法则故证明中只指出了事实并且只给出了趋向于正无穷的极限的简要证明，趋向于负无穷略去不表至此准备工作已经完成一半，我们还需要了解导数的本质二、导数——瞬间变化率导数想必大家都有所了解就不多说直接给出定义导数的定义设函数在点的某领域有定义，当自变量增加，相应的函数值取得增量，如果极限
存在，则称在处可导，极限值称为该点的导数，记作，如果在上每一点均可导，那么可以建立一个映射，则得到函数的导函数，简称函数的导数，可记为或或下面给出一个关于反函数的导数的重要性质反函数求导法则函数定义域上存在反函数，可记作由于立马得到理解此式要抓住自变量不同ok，至此准备工作全部完成，下面来给出最终问题的证明三、证明exp'(x)=exp(x)首先我们来看看的导数由于当时所以上式由此得到了下面考虑指数函数它的反函数为根据上式所求知又根据反函数求导法则知则得到得证！总结exp(x)的导数等于他本身的最最根本的原因就是在于自然底数e的定义数学就是这么奇妙！！！看问题要看本质，数学也是一样，数学的本质就是定义数学不是一门实验科学，任何未经严格证明的东西都不能算作真数学就是这么较真，希望能解决部分人的疑惑吧ps对数学有兴趣的朋友可以看一看：
历史的顺序不是先定义e，再发现相应指数函数的导数是它本身。&br&而是先考虑一个函数的导数是它本身，然后诱导出e.&br&&br&也就是说，应该从微分方程&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dy& alt=&\frac{dy}{dx}=y& eeimg=&1&&出发导出e.&br&&br&具体的方法，幂级数是一种，不过大多数人都知道。&br&除此之外，还有一个东西叫做欧拉折线法。&br&&br&假设初始值&img src=&///equation?tex=y%280%29& alt=&y(0)& eeimg=&1&&已知,那么你用欧拉折线法很容易得解：&br&&br&&img src=&///equation?tex=y%3Dy%280%29+%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D%281%2B%5Cfrac+xn%29%5En& alt=&y=y(0) \lim_{n\to\infty}(1+\frac xn)^n& eeimg=&1&&&br&&br&当然，严格讲应当先检查微分方程解的存在唯一性，以及欧拉折线法的适用性。
历史的顺序不是先定义e，再发现相应指数函数的导数是它本身。而是先考虑一个函数的导数是它本身，然后诱导出e.也就是说，应该从微分方程\frac{dy}{dx}=y出发导出e.具体的方法，幂级数是一种，不过大多数人都知道。除此之外，还有一个东西叫做欧拉折线法。假…
这真的&b&不是&/b&一个显然的问题。&br&&br&首先，你需要知道&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&的定义。&img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&&的定义有好几个。很不幸的是，用最常见的定义：&br&&img src=&///equation?tex=e+%3D+%5Clim_%7Bn%5Cto%5Cinfty%7D+%5Cleft%281+%2B+%5Cfrac1n+%5Cright%29%5En& alt=&e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n \right)^n& eeimg=&1&&&br&不容易推出导数的性质。所以要借助另一个等价的定义：&br&&img src=&///equation?tex=e+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D+%3D+%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%3D+0%7D%5EN+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D& alt=&e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n= 0}^N \frac{1}{n!}& eeimg=&1&&&br&&br&知道了这个定义后，接着要对任意实数，定义函数&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29& alt=&\exp(x)& eeimg=&1&&。&br&&br&首先，对于任何的正实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，级数&br&&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%3D+%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%3D+0%7D%5EN+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n= 0}^N \frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&&&br&的部分和是柯西列，所以级数存在（收敛），所以对任何的实数，都可以定义：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%3D+%5Clim_%7BN%5Cto%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%3D+0%7D%5EN+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = \lim_{N\to\infty} \sum_{n= 0}^N \frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&&&br&因为此级数&b&绝对收敛&/b&。&br&&br&接下来，我们可以证明对任何实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&，有：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%2By%29+%3D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+%5Cexp%28y%29& alt=&\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)& eeimg=&1&&&br&这是由于在相关级数绝对收敛的时候，有等式：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D+%26%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty++%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Csum_%7Bk+%3D+0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Csum_%7Bn%2Bm%3Dk%7D+%5Cfrac%7Bx%5En+y%5Em%7D%7Bm%21n%21%7D+%5C%5C%0A%26+%3D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28x+%2B+y%29%5Ek%7D%7Bk%21%7D%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} &=\sum_{n=0}^\infty
\sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \frac{y^m}{m!} \\
&= \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{n+m=k} \frac{x^n y^m}{m!n!} \\
& = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x + y)^k}{k!}
\end{align}& eeimg=&1&&&br&&br&从以上等式出发，证明函数&img src=&///equation?tex=x%5Cmapsto%5Cexp%28x%29& alt=&x\mapsto\exp(x)& eeimg=&1&&的连续性，只需证明&br&&img src=&///equation?tex=%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D+%5Cexp%28x%29+%3D+1+%3D+%5Cexp%280%29.& alt=&\lim_{x\to 0} \exp(x) = 1 = \exp(0).& eeimg=&1&&&br&由于函数&img src=&///equation?tex=x%5Cmapsto%5Cexp%28x%29& alt=&x\mapsto\exp(x)& eeimg=&1&&对任何&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的函数值都是相应的级数绝对收敛的级数和，所以当我们考虑求&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的极限时，可以&b&交换求极限与求级数和的符号。&/b&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D+%5Cexp+%28x%29+%26%3D+%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Clim_%7Bx%5Cto+0%7D++%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+1+%2B+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7B0%7D%7Bn%21%7D++%5C%5C%0A%26+%3D+1%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\lim_{x\to 0} \exp (x) &= \lim_{x\to 0} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
&= \sum_{n=0}^\infty \lim_{x\to 0}
\frac{x^n}{n!} \\
&= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{0}{n!}
\end{align}& eeimg=&1&&&br&&br&从&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%2By%29+%3D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+%5Cexp%28y%29& alt=&\exp(x+y) = \exp(x) \cdot \exp(y)& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的连续性，通过经典的柯西函数证明，可以推出：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+%5Cexp%281%29%5Ex+%3D+e%5Ex& alt=&\exp(x) = \exp(1)^x = e^x& eeimg=&1&&。&br&具体如下：&br&1.对所有的自然数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28n%29+%3D+%5Cexp%281%2B1%2B%5Ccdots+%2B1%29+%3D+%5Cexp%281%29%5En+%3D+e%5En& alt=&\exp(n) = \exp(1+1+\cdots +1) = \exp(1)^n = e^n& eeimg=&1&&.&br&2.对所有的有理数&img src=&///equation?tex=q+%3D+%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D& alt=&q = \frac{m}{n}& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=e%5Em+%3D+%5Cexp%28m%29+%3D+%5Cexp%28%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%2B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%2B%5Ccdots+%2B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%29+%3D+%5Cexp%28q%29%5En& alt=&e^m = \exp(m) = \exp(\frac{m}{n}+\frac{m}{n}+\cdots +\frac{m}{n}) = \exp(q)^n& eeimg=&1&&，所以&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28q%29+%3D+e%5E%7B%5Cfrac%7Bm%7D%7Bn%7D%7D+%3D+e%5Eq.& alt=&\exp(q) = e^{\frac{m}{n}} = e^q.& eeimg=&1&&&br&3.对所有的实数&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&，通过有理数逼近，以及&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的连续性，可以证明&img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+e%5Ex& alt=&\exp(x) = e^x& eeimg=&1&&.&br&&br&同样地，求它的导数的时候，也可以交换求极限与求级数和的符号：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D%0A%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%5Cexp+%28x%2Bh%29+-+%5Cexp+%28x%29%7D%7Bh%7D+%26%3D%5Cexp+%28x%29+%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%5Cexp%28h%29+-+1%7D%7Bh%7D%5C%5C%0A%26%3D%5Cexp%28x%29+%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bh%5En%7D%7Bn%21%7D++-1%7D%7Bh%7D%5C%5C%0A%26%3D+%5Cexp%28x%29+%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bh%5En%7D%7Bn%21+%5Ccdot+h%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Cexp%28x%29%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty++%5Clim_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7Bh%5En%7D%7B%28n+%2B+1%29%21%7D+%5C%5C%0A%26%3D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+1+%3D+%5Cexp%28x%29%0A%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{\exp (x+h) - \exp (x)}{h} &=\exp (x) \lim_{h\to 0} \frac{\exp(h) - 1}{h}\\
&=\exp(x) \lim_{h\to 0}\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{h^n}{n!}
&= \exp(x) \lim_{h\to 0} \sum_{n=1}^\infty \frac{h^n}{n! \cdot h} \\
&= \exp(x)\sum_{n=0}^\infty
\lim_{h\to 0} \frac{h^n}{(n + 1)!} \\
&= \exp(x) \cdot 1 = \exp(x)
\end{align}& eeimg=&1&&&br&这就证明了&img src=&///equation?tex=%5Cexp& alt=&\exp& eeimg=&1&&函数的导数等于其自身。
这真的不是一个显然的问题。首先，你需要知道e的定义。e的定义有好几个。很不幸的是，用最常见的定义：e = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac1n \right)^n不容易推出导数的性质。所以要借助另一个等价的定义：e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = \lim_…
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录
黑夜给了我黑色的眼睛，我却用它来寻找光明In2x的导数问题Inx 的导数是1/X,那In2x的导数不应该是1/(2x) *2=1/X么,但是(In2x)’=(Inx *In2)’=1/X * In2 + Inx * 0=In2/X.不相等啊.而且Inx 和In2x的导数怎么会一样啊.
殇诘丶zoreeH
楼主后边的推导：ln(2x)=(ln2)×lnx,是错误的.正确的应该是：ln(2x)=ln2+lnx[ln(2x)]'=(ln2+lnx)'=1/x
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In2x=ln2+lnx.....
应该是这样的ln(a*b)=lna+lnb，(In2x)’=(ln2+lnx)'=1/X
扫描下载二维码函数求导g(x) = 1 / (1 + exp(-x))书上说g(x)的导数g'(x)可以化成 g'(x) = 2 * g(x) * (1 - g(x))但是我化出来是 g'(x) = g(x) * (1 - g(x))
你做的没错书上的答案不是百分百都对校对、审核的人如果走神了的话,.
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你把题目打清楚点啊。。
扫描下载二维码1/x*exp(–1/2x2)的导数_百度知道
1/x*exp(–1/2x2)的导数
f'x^2-1)e^[(-1/2)x^2]f(x)=(1/x)e^[(-1/2)x^2];(x)=(-1&#47
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