高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）2） | 高中,数学,典型,例题,解析,第三章,基本,初等,函数,三角_教育学习_滕州生活网
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高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）2）
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摘要：四、典型习题导练 1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( ) A. B. C. D. 2．在 中，已知 ，给出以下四个论断： ① ② ③ ④ 其中正确的是 A．①③ B.②④ C.①④ D.②③ 3．设 ,且 ,则 A. B. C. D. 4．曲线 和直线 在y轴右侧的交点按横坐标从小
高中数学典型例题解析（第三章基本初等函数Ⅱ（三角函数）2）
　　四、典型习题导练1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为(&& )
　　D. 滕州生活网()
　　中，已知
　　，给出以下四个论断：
① 滕州生活网 　　②
滕州生活网 ③ 滕州生活网() 　　④ 滕州生活网()
滕州生活网 其中正确的是 滕州生活网 A．①③&&&&&&&&&&&&&&&&&& 　B.②④&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& C.①④&&&&&&&&&&&&&&&&& D.②③
3．设 滕州生活网 　　,且
A. 滕州生活网() 　　B. 滕州生活网() 　　C. 滕州生活网 　　D.
4．曲线 滕州生活网() 　　和直线
　　在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依 滕州生活网() 次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（ ）
滕州生活网() 5．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x． 滕州生活网 (1) 求f( 滕州生活网() 　　)的值；&&&&&(2) 设
　　∈(0，
　　，求sin
　　的值．
6．已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，
sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 滕州生活网 7．已知
　　的值； 滕州生活网() （2）求 滕州生活网 　　的值。 滕州生活网 3.3三角函数的恒等变换 滕州生活网 一、知识导学 滕州生活网() 1.两角和、差、倍、半公式
（1）&&&&&&两角和与差的三角函数公式
滕州生活网
（2）&&&&&&二倍角公式 滕州生活网()
滕州生活网()
滕州生活网
滕州生活网()
滕州生活网()
（3）&&&&&&半角公式
　　， 滕州生活网 　　，
滕州生活网
滕州生活网
滕州生活网 2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）. 滕州生活网 二、疑难知识导析
1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.
2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如 滕州生活网() 　　成立的条件是“ 滕州生活网 　　是任意角，
　　的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.
3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例
4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如 滕州生活网() 　　、 滕州生活网() 　　、 滕州生活网()
　　， 滕州生活网 　　等，注意到倍角的相对性.
5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等. 滕州生活网() 6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口. 滕州生活网() (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证. 滕州生活网 三、典型例题导讲 滕州生活网() [例1] 在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=
　　，则DC的大小应为(&&& )
　　B． 滕州生活网() 　　C．
　　或 滕州生活网 　　D．
滕州生活网 错解：C
错因：求角C有两解后未代入检验.
正解：A 滕州生活网 [例2] 已知tana tanb是方程x2+3
　　x+4=0的两根，若a，b?(-
　　)，则a+b=（&&& ）
　　B． 滕州生活网() 　　或- 滕州生活网 　　C．- 滕州生活网() 　　或 滕州生活网() 　　D．-
错解：B. 滕州生活网 错因：未能准确限制角的范围. 滕州生活网() 正解：D. 滕州生活网() [例3] △ABC中，已知cosA=
　　，sinB=
　　，则cosC的值为（&&& ）
　　B. 滕州生活网 　　C.
错因：是忽略对题中隐含条件的挖掘. 滕州生活网 正解：A 滕州生活网() [例4] 已知
　　， 滕州生活网 　　（
　　），则
　　（　　）
滕州生活网 错解：A
错因：是忽略
　　，而解不出
滕州生活网 正解：C
点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M= 滕州生活网 　　，N=
　　则MUN等于（　　）
A．M&&&&&&&&&B.N&&&&&&&&&&& C.ф&&&&&&&&&&&D. 滕州生活网()
滕州生活网() 2.若sinα+cosα= 滕州生活网 　　,则tanα+cotα=(　&&&& )
A.1&&&&&&&&&&&B.2&&&&&&&&&&& C.-1&&&&&& &&&&&D.-2
　　＜α＜л＜,sinα=
　　,则cos
　　的值为(&&&&)
A. 滕州生活网() 　　或-
　　C. 滕州生活网() 　　D.以上都不对
　　,则 滕州生活网 　　=&&&&&&&&&&.
5.计算sin 滕州生活网 　　sin
　　=&&&&&&&&&. 滕州生活网() 6．已知tanA?tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（　　）
A． 滕州生活网() 　　B．
　　C． 滕州生活网 　　D． 滕州生活网()
7．已知角A是△ABC的一个内角，且
　　，则△ABC是（&&）
A．锐角三角形 && B．钝角三角形 && C．直角三角形& D．形状不确定
8.已知向量
　　的值；
（2）若 滕州生活网 　　的值.
3.4三角函数的图像与性质
一、知识导学 滕州生活网 1.三角函数线.设角
　　的终边与单位圆交于点
　　，过点
　　，过点
　　做单位圆的切线，与角 滕州生活网 　　的终边或终边的反向延长线相交于点
　　，则有向线段
　　分别叫做角 滕州生活网() 　　的正弦线，余弦线，正切线. 滕州生活网 2.三角函数的图像
　　四种图像 滕州生活网() （2）函数 滕州生活网() 　　的图像 滕州生活网 ①“五点作图法”
②图像变化规律
3.三角函数的定义域、值域及周期
4.三角函数的奇偶性和单调性 滕州生活网() 二、疑难知识导析
　　中， 滕州生活网() 　　及 滕州生活网() 　　，对正弦函数
　　图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.
如： 滕州生活网 　　向右平移
　　个单位，应得
　　，而不是
2.用“五点法”作
　　图时，将 滕州生活网 　　看作整体，取
　　， 滕州生活网 　　来求相应的
　　值及对应的 滕州生活网 　　值，再描点作图. 滕州生活网() 3.
　　的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而
　　图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中 滕州生活网() 　　 滕州生活网() 　　的各个参数.
4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.
5.求三角函数的值域是常见题型.一类是
　　型，这要变形成 滕州生活网 　　；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域. 滕州生活网() 6.
　　 滕州生活网() 　　单调性的确定，基本方法是将
　　看作整体，如求增区间可由 滕州生活网 　　
　　 滕州生活网 　　 滕州生活网 　　解出 滕州生活网 　　的范围.若
　　的系数为负数，通常先通过诱导公式处理. 滕州生活网 7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数. 滕州生活网 三、典型例题导讲 滕州生活网() [例1] 为了得到函数 滕州生活网() 　　的图像，可以将函数
　　的图像（&& ） 滕州生活网() A& 向右平移 滕州生活网 　　B& 向右平移 滕州生活网 　　C& 向左平移
　　D向左平移
滕州生活网 错解：A
错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误. 滕州生活网 正解：B 滕州生活网 [例2] 函数
　　的最小正周期为(&&&&&) 滕州生活网 A
　　B 滕州生活网 　　C 滕州生活网() 　　D
错解：A 滕州生活网() 错因：将函数解析式化为
　　后得到周期
　　,而忽视了定义域的限制,导致出错.
正解：B 滕州生活网() [例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+
　　),其中以点( 滕州生活网() 　　,0)为中心对称的三角函数有（&&& & ）个.
A．1&&&&&&&&&&&&&&& B．2&&&&&&&&&&&&&&& C．3&&&&&&&&&&&&&&& D．4
错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握. 滕州生活网() 正解：D
　　为增函数的区间是(&&&& )
A. 滕州生活网 　　B. 滕州生活网() 　　C.
　　D. 滕州生活网
错解：B 滕州生活网() 错因：不注意内函数的单调性.
[例5]已知定义在区间 滕州生活网 　　上的函数 滕州生活网 　　的图像关于直线
滕州生活网 　　
　　对称，当
　　时，函数 滕州生活网 　　， 滕州生活网() 其图像如图所示.
（1）求函数
　　的表达式；
（2）求方程
　　的解. 滕州生活网 解：（1）当 滕州生活网 　　时，函数
　　，观察图像易得： 滕州生活网() 　　，即时，函数
由函数 滕州生活网() 　　的图像关于直线
　　对称得，
　　时，由 滕州生活网 　　得，
　　时，由
　　得， 滕州生活网 　　.
∴方程 滕州生活网 　　的解集为 滕州生活网()
3.5解三角形及三角函数的应用
一、知识导学
1.解三角形的的常用定理: 滕州生活网() (1)&&&&&&&&&&&&内角和定理: 滕州生活网() 　　结合诱导公式可减少角的个数.
(2) 正弦定理:
　　（ 滕州生活网 　　指△ABC外接圆的半径）
滕州生活网()
(3) 余弦定理: 滕州生活网 　　及其变形.
(4) 勾股定理: 滕州生活网
2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
三角函数的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.他的显著特点是（1）意义反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.（2）函数模型多种多样，有三角函数，有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用题多以“文字语言，图形语言”并用的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三角形联系起来，确定以什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思路；其次，寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到的是数学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
二、疑难知识导析 滕州生活网 1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利用方程的思想知道其中的部分量可求出其他量.
2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用. 滕州生活网 3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.
三、经典例题导讲 滕州生活网 [例1]已知方程 滕州生活网() 　　（a为大于1的常数）的两根为 滕州生活网 　　，
　　 滕州生活网() 　　
　　，则 滕州生活网() 　　的值是_________________.
错解： 滕州生活网() 　　
　　是方程
　　的两个根
　　， 滕州生活网
滕州生活网() 由
　　 滕州生活网() 　　= 滕州生活网() 　　=
　　= 滕州生活网 　　可得 滕州生活网()
错因：忽略了隐含限制
　　是方程
　　的两个负根，从而导致错误.
滕州生活网 　　
　　是方程 滕州生活网() 　　的两个负根
又 滕州生活网() 　　
　　 滕州生活网 　　= 滕州生活网() 　　= 滕州生活网() 　　=
　　可得 滕州生活网()
滕州生活网 答案: -2 .
　　中，已知
　　，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若 滕州生活网() 　　，则
　　在R上是增函数； 滕州生活网() ②若
　　的最小值为 滕州生活网 　　；
④若 滕州生活网 　　，则A=B； 滕州生活网 ⑤若
　　，则 滕州生活网() 　　，其中错误命题的序号是_____. 滕州生活网 错解：③④⑤中未考虑 滕州生活网 　　.
错因：④中未检验.
正解：错误命题③⑤. 滕州生活网 ①
滕州生活网
② 滕州生活网() 　　. 滕州生活网 ③
　　时最小值为
　　.得不到最小值为
滕州生活网() 或
　　(舍)& ，
　　. 滕州生活网() ⑤
滕州生活网
　　错误命题是③⑤. 滕州生活网 [例3]函数f(x)= 滕州生活网 　　的值域为______________. 滕州生活网 错解：
滕州生活网() 错因：令 滕州生活网 　　后忽视 滕州生活网 　　,从而
[例4] 滕州生活网() 　　＝
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
滕州生活网() ＝ 滕州生活网
滕州生活网()
滕州生活网()
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 滕州生活网() [例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,
　　,求证：a+ 滕州生活网()
滕州生活网() 解：∵B=60°&∴A+C=120°& cos(A+C)=-
又由已知 滕州生活网 　　=
　　∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0， 滕州生活网 ∴cosAcosC=
　　sinAsinC=
滕州生活网 ∴cos(C－A)=
　　即C－A=30°
∴A=45°&& B=60°&& C=75° 滕州生活网()
　　∴a+ 滕州生活网() 　　b=2R(sin45°+ 滕州生活网 　　sin60°)=2?2R
　　=2?2Rsin75°=2c
[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q，其中 滕州生活网 　　，
　　设△APB与△PQB面积为S、T，求S2+T2的取值范围.
解：设∠BAP=α&& α∈[0, 滕州生活网() 　　]
∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中
由余弦定理cosβ=cosα-1 滕州生活网 ∴S2+T2＝(
　　sinα)2+( 滕州生活网 　　sinβ)2 滕州生活网 ＝－ 滕州生活网() 　　(cos 滕州生活网 　　－ 滕州生活网 　　)2+ 滕州生活网
滕州生活网 ∴当cosα=1时，S2+T2有最小值
　　时，S2+T2有最大值
滕州生活网() [例7]已知函数f(x)=sin(wx+j)，x?R，(其中w&0)的图像与x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）,又f(2+x)=f(2－x),f(0)&0,求这个函数的解析式.
　　f(2+x)=f(2-x) 滕州生活网
　　f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）
　　 滕州生活网 　　=6-2=4，即T=16，
　　 滕州生活网 　　=
　　. 滕州生活网 将N（6,0）代入f(x)=sin(
　　x+j)得：sin(
　　+j)=0， 滕州生活网 得：j=2k 滕州生活网 　　+
　　或j=2k
　　(k?Z), 滕州生活网()
滕州生活网 　　f(0)&0, 滕州生活网 　　j=2k
　　(k?Z),满足条件的最小正数j= 滕州生活网 　　,
滕州生活网() 　　所求解析式f(x)=sin( 滕州生活网 　　x+ 滕州生活网 　　). 滕州生活网() [例8]已知△ABC的周长为6， 滕州生活网() 　　成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值； 滕州生活网 （2）
　　的取值范围.
解 &设 滕州生活网 　　依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac， 滕州生活网() 由余弦定理得 滕州生活网() 　　, 滕州生活网 故有 滕州生活网 　　，又
　　，即 滕州生活网()
滕州生活网 （2）所以
滕州生活网()
滕州生活网 　　，
四、典型习题导练
1.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAcos2(45°－
　　cos 滕州生活网()
A.有最大值
　　和最小值0&&&&&&&&&&&&&&&B.有最大值 滕州生活网 　　但无最小值 滕州生活网() C.即无最大值也无最小值&&&&&&&&&&&&&&&D.有最大值
　　但无最小值
2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-
　　)的图像(&&&& )
A.向右平移
　　B.向左平移
　　C.向右平移
　　D.向左平移
滕州生活网() 　　3．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数 滕州生活网 I=
　　的图像如图
所示，则当
　　秒时，电流强度是&&&安.
4.在△ABC中,sin
　　,则△ABC的形状为&&&&&&&&&&&&&&&．
5.直角三角形的周长为定值2l,则斜边的最小值是&&&&&&&&&&&&. 滕州生活网 6．如果方程x2-4xcosθ+2=0与方程2x2+4xsin2θ-1=0有一根，互为倒数求θ值，其中0＜θ＜π. 滕州生活网() 7. 如图，已知一半径为1，圆心角为
　　的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD， 滕州生活网() 求该矩形的最大面积. 滕州生活网() 8．在
　　分别是角A、B、C的对边，设
　　，求sinB的值
滕州生活网
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一、选择题
1．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是(
A．等腰三角形
C．等边三角形
[解析] ∵sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0，
∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为(
a2＋c2－b2[解析] 由(a＋c－b)tanB＝3ac得，·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝ac222B．直角三角形 D．等腰直角三角形 πB. 3π2πD.或 33
a2＋c2－b23π2π得，2cosB·tanB＝3，即sinB＝，∴角B的值为或D. 2ac233
3．(文)在△ABC中，已知b·cosC＋c·cosB＝3a·cosB，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边，则cosB的值为(
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝3sinAcosB，
∴sin(B＋C)＝3sinAcosB，
∴sinA＝3sinAcosB，
1∵sinA≠0，∴cosB3
(理)(2013·东北三省四市联考)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值1B322D 3
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贡献者：赵权忠