二元二次函数求极值函数极值点求解，谢谢啦，谢谢啦，过程哦

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-02 02:24 标签： 求二元函数的极值
多元函数的极值及其求法
& 多元函数的极值及其求法
了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
多元函数极值的求法。
利用拉格朗日乘数法求条件极值。
一、 多元函数的极值及最大值、最小值
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1 0000(00)00000
00000000000
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1,01,2-3,0-3,2
(1,2) (1,2)
(-3,0) (-3,0)
(-3,2) (-3,2)(-3,2)=31
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二、条件极值 拉格朗日乘数法
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本节以一元函数极值为基础，研究多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后，介绍了二元极值的性质以及利用偏导数求极值的步骤，讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。5319人阅读
基础数学（75）
今天来讨论多元函数求极值问题，在Logistic回归用牛顿迭代法求参数会用到，所以很有必要把它研究清楚。
回想一下，一元函数求极值问题我们是怎样做的？比如对于凹函数，先求一阶导数，得，
由于极值处导数一定为零，但是导数等于零的点不一定就有极值，比如。所以还需要进一步判断，对
函数继续求二阶导得到，因为在驻点处二阶导数成立，所以
在处取得极小值，二阶导数在这里的意义就是判断函数局部的凹凸性。
在多元函数中求极值的方法类似，只是在判断凹凸性这里引入了一个矩阵，叫做Hessian矩阵。
如果实值多元函数在定义域内二阶连续可导，那么我们求它的极值，首先对所有求偏导，即
得到个方程如下
&&&&&&&&&&
通过这个方程可以解得驻点，这个驻点是一个长度为的一维向量。但是我们仅仅得到这个驻点，其实在这
个驻点有3种情况，分别是：局部极大值，局部极小值和非极值。
所以接下来要做的事就是判断这个驻点属于这3个中的哪一个。所以就引入了Hessian矩阵，也就是说它用来
判断在多元函数的凹凸性问题。
Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率，常用于牛顿迭代法解决优化问题。
例如对于上面的多元函数，如果它的二阶偏导数都存在，那么Hessian矩阵如下
如果函数在定义域内二阶连续可导，那么的Hessian矩阵在定义域内为对称矩阵，因为如果函数连
续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
有了Hessian矩阵，我们就可以判断上述极值的3种情况了，结论如下
&&（1）如果是正定矩阵，则临界点处是一个局部极小值
& （2）如果是负定矩阵，则临界点处是一个局部极大值
&&（3）如果是不定矩阵，则临界点处不是极值
接下来继续学习如何判断一个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的。
一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零。
由于这个方法涉及到行列式的计算，比较麻烦！ 对于实二次型矩阵还有一个方法，描述如下
实二次型矩阵为正定二次型的充要条件是的矩阵的特征值全大于零。为负定二次型的充要条
件是的矩阵的特征值全小于零，否则是不定的。
参考知识库
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求二元函数z=3(x+y)-x^3-y^3的极值点 求二元函数z=3(x+y)-x^3-y^3的极值点 12-3-24 求二元函数z=3(x+y)-x^3-y^3的极值点
A=Z'y=3-3y^2
令3-3x^2=03-3y^2=0解方程组得函数的驻点为(1;'yy=-6y
B=Z&#39,1);x=3-3x^2&#39,-1),(1,1),(-1;xx=-6x
Z'xy=0将驻点坐标代入上面的A.B C然后利用判别式 B^2-AC与0的大小关系解：Z'&#39,(-18.8多元函数的极值及其求法作业解答 - 百度文库
8.8多元函数的极值及其求法作业解答
8.8多元函数的极值及其求法作业题答案
8.8多元函数的极值及其求法作业题答案
1.求函数f(x,y)=-x-y+4xy-1的极值.
3??fx(x,y)=-4x+4y=0,解：解方程组?3f(x,y)=-4y+4x=0.?y?44
求得三个驻点(0,0),(1,1),(-1,-1)，又
2 fxx(x,y)=-12x,fxy(x,y)=4,fyy(x,y)=-12y2,
(x,y) (0,0)0 -16 (1,1)(-1,-1) A AC-B2-1
因此f(1,1)=1,f(-1,-1)=1都是极大值，而f(x,y)在点(0,0)没有极值。
2.求函数f(x,y)=x+2y在方程x+y=1约束下的最大、最小值。
解：根据拉格朗日乘数法，取 2222
L(x,y,λ)=x2+2y2+λ(x2+y2-1)，求解方程组
?Lx=2x-λ2x=0??Ly=4y-λ2y=0
?22?Lλ=x+y-1=0
由第一个方程得x=0或λ =1。当x=0时，从第三个方程即约束方程，可得y=±1；当
λ=1时，从第二个方程得y=0，再从约束方程得x=±1，于是求得四个可疑条件极值点
(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0).
f(0,1)=f(0,-1)=2,f(1,0)=f(-1,0)=1.
由于连续函数x+2y在有界闭集(x,y)x+y=1上必有最大最小值，故所求的最大值为2，最小值为1。
3. 求表面积为12m2的无盖长方形水箱的最大容积。
解：设水箱的长为xm，宽为ym，高为zm，我们要求容积V=xyz在方程22{22}
?(x,y,z)=2xz+2yz+xy-12约束下的最大值。
先作出拉格朗日函数
L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xz+2yz+xy-12)
然后求出L的驻点，即求解方程组
贡献者：bobuto0

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