求老师 这个是 利用极限与无穷小的 关系求极限若lim（x→0）(sin6x+xf(x))/x^3=o 则lim（x→0）(6+f(x))/x^2为 但我 算的是0 对于 lim（x→0）(sin6x+xf(x))/x^3=o 等式左边 上下同除以x 不就得到 lim（x→0）(6+f(x))/x^2 =o 求解其中的错误
麻花疼不疼4398
你把其中的sin6x/x直接换成6了,我之所以用“换”而不是“求”,就是因为只有进行了极限运算sin6x/x才等于6,而和式sin6x/x+f(x)是一个分式的分子,分子既然可以求极限,那么就不能只对其中的一部分sin6x/x求极限,f(x)不求极限吗?分母不求极限吗?也就是说不能是lim [( (lim sin6x/x)+f(x) ) / x^3]这个样子?任何极限运算法则、公式都做不到这一点.正确的做法先“凑”出要计算极限的式子,即(sin6x+xf(x))/x^3=(6x+xf(x))/x^3＋(sin6x-6x)/x^3=(6+f(x))/x^2＋(sin6x-6x)/x^3,只要把(sin6x-6x)/x^3的极限计算出来,根据极限的和差运算法则就可以求出lim (6+f(x))/x^2.
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扫描下载二维码 上大学学高数时，记得书上给了个定理：有限个无穷小的乘积的极限为0。但对无穷个无穷小的乘积的极限却只字未提！ 后来我问我的数学老师，记得他是给出了否定回答的，即： 无穷个无穷小的乘积的极限不为0！还给出了反例，当时我是记在书上了的，但惭愧，书在我读完大学后0.3￥一斤卖了。 后来工作了，主要做工程，问了几个数学博士，一致认定：为0 我表示怀疑，有些博士水平是很差的！我很信任我的老师，因为他是一个纯做学问的，不可能当时会骗我，再说，得出一个为0的结果也很简单和直接。 求教高手。
楼主发言：1次 发图：0张
恐怕你记错了。
定理上有 有限 这样的定语哦
有限个无穷小的乘积的极限为0--奇怪，无穷小本身不是零，怎么乘都不可能得到零。当然，无穷个无穷小的乘积应该会有变化，但是一定不是零。
我可以很肯定地告诉你 是0 无穷个无穷小量的乘积分成两部分 前面N个是有限量后面从N＋1开始为无限个无穷小量的成绩 前面N个的乘积是0，后面从N＋1开始的乘积为有界变量 0乘有界变量还是0
是相加吧
不是无穷小量，是无穷小。请分清楚。
作者：意识海洋
回复日期： 23:34:00
是相加吧 ——非常有可能，呵呵。
是零。 鱼皮鱼子酱 先生，这里说的是“乘积的极限”，而不是乘积。乘积当然不会是零了。 楼主很可能记错了，或许是相加。
如果是相加，那么无穷个无穷小不一定为0，甚至可能是无穷。如果无穷个无穷小相乘，则必为0，可以用数学归纳法证明。 楼主可随便找本大学水平讲数列的书看看
我翻开了高数，她是这样描述的： 1.有限个无穷小的代数和还是一个无穷小。 2.有限个无穷小的乘积
还是一个无穷小。 3.无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小。 注意：（1）以上没有“的极限”字眼； （2）提法很精确——就是说是“无穷小”而不是“0”，因为0只是无穷小的唯一常量。 现在的问题是：无限个无穷小的乘积是多少？ 我认为：无限个无穷小的乘积是0（注意这回又不是无穷小而是0）！ 无限个无穷小的乘积＝k=前面有限的n个无穷小相乘
后面的无限个无穷小＝无穷小
后面的无限个无穷小＝k 很明显这个k值不是无穷小即是0！ 在这里我认为是0而不是无穷小，因为0 比
0以外的无穷小
都小，而我认为k值一定比0以外的无穷小小，所以k=0。
如题：我不可能记错的。因为当时我的数学学习还是很认真的，^_^（标榜下） 老师是给出了反例的，当然： 作者：drewlay
回复日期： 23:17:00
我可以很肯定地告诉你 是0 无穷个无穷小量的乘积分成两部分 前面N个是有限量后面从N＋1开始为无限个无穷小量的成绩 前面N个的乘积是0，后面从N＋1开始的乘积为有界变量 0乘有界变量还是0 这种方法是试过的，即：前面N个有限无穷小的极限为0，乘以后面无穷个无穷小的乘积，相当于乘以一个有界函数，必为0，这种论调有些想当然！这种错误论证的方法在数学中出的错不少了，大家应该比我清楚！ 再有，时过8年，我记得好像那位老师叫王什么柏的，现在大概60多岁了吧。
书在我读完大学后0.3￥一斤卖了。 ------------------------------------ 我也一样，我在毕业的时候，也是把书买掉了，大约是把师兄们的书也一起买掉了，然后搓一顿就散伙了。 想起来还是很有意思的，怎么毕业的时候都喜欢买书呢？ 然后一毕业就宣告从此以后再也不看书！ 看了这么多年实在是看得不耐烦了。
是不是楼主记错了？该不会说的是无穷多个无穷小之和吧？
不可能啊，我还不至于弱智到无穷多个无穷小之和的问题还搞不清在这儿显眼啦，就是题头的那个问题。
我现在想联系那位老师，可是时过这么多年，也不知上那儿了，如果运气好的话，我会把那个反例贴这儿。
首先需要明确一下楼主到底问的是什么。 在极限运算中，有限运算存在一下基本定理： lim (x(n)*y(n))=lim x(n) * lim y(n) 所以在说有限运算时，我们不需要区分这两种形式。 对于无穷运算，如果楼主问的是 lim x1(n) * lim x2(n) * ...
这个应该是等于0 如果楼主问的是 lim(x1(n)*x2(n)*...)
这个不一定是0 当所有的x(n)一致收敛到0时，两者才等价，否则不等价。
作者：筚路狼缕
回复日期： 14:24:00
如题：我不可能记错的。因为当时我的数学学习还是很认真的，^_^（标榜下） 老师是给出了反例的，当然： 作者：drewlay 回复日期： 23:17:00 我可以很肯定地告诉你 是0 无穷个无穷小量的乘积分成两部分 前面N个是有限量后面从N＋1开始为无限个无穷小量的成绩 前面N个的乘积是0，后面从N＋1开始的乘积为有界变量 0乘有界变量还是0 这种方法是试过的，即：前面N个有限无穷小的极限为0，乘以后面无穷个无穷小的乘积，相当于乘以一个有界函数，必为0，这种论调有些想当然！这种错误论证的方法在数学中出的错不少了，大家应该比我清楚！ 再有，时过8年，我记得好像那位老师叫王什么柏的，现在大概60多岁了吧 ================= 楼主高数重修过没有？ 呵呵 本人数学系的 请你指出我论证的错误
作者：筚路狼缕
回复日期： 10:30:00
我现在想联系那位老师，可是时过这么多年，也不知上那儿了，如果运气好的话，我会把那个反例贴这儿。 =================== 楼主 我只能说：你对自己的记性太有自信了 无穷个无穷小量的乘积只可能越乘越靠近零 最后取极限就是0
drewlay: 你的论证是错误的。无穷乘积只有在一致收敛的情况下，才可以分成两部分分别取极限。 有限乘积一定是一致收敛的，因为有限集一定有上界。估计大部分非数学专业的人学的时候都没有提到这一点。不过数学专业的不应该啊！
作者：drewlay
回复日期： 13:47:00
作者：筚路狼缕 回复日期： 10:30:00 我现在想联系那位老师，可是时过这么多年，也不知上那儿了，如果运气好的话，我会把那个反例贴这儿。 =================== 楼主 我只能说：你对自己的记性太有自信了 无穷个无穷小量的乘积只可能越乘越靠近零 最后取极限就是0 这里不是崔牛的地方，你证明看看吧。我说的错误是你以要求证明的结论本身来证明结论，这个你应该知道我说的意思吧？ 我数学牛比的时候你还真不知在干什么？ 就事论事，你先给出一个严谨的证明出来再说。 我的记性好是因为为当时毕业前还和某大学的一个数学专业的博士为这事争论过，他可没有像你这样给出过这么简单的结论！ 我说了，如果要得出一个很当然的为0的结果是很容易滴！
无穷运算和有穷运算是不同的，不能把有限运算直接推广到无穷运算中去。
看看这个怎样：
(n&=m ) xm(n){
) y(n)=TTxm(n) (m-&infinity) 不知道对不对。
看看这个怎样：
(n&=m ) xm(n){
y(n)=TTxm(n) (m-&infinity) 不知道对不对。
从直觉上看,不是.
数学对实无穷小回避了2000多年，其对此问题的回答难令人信服。
一定为0!
有函数f1(x)、f2(x)、f3(x)、...fk(x)...（k为正整数）。这些函数均为无穷小。 即lim f1(x)＝0、lim f2(x)＝0、lim f3(x)＝0、...lim fk(x)＝0、... 定义：F（n）＝|f1(x)*f2(x)*...fn(x)|
（n为正整数） 则 当n＝e时 F（e）＝|f1(x)*f2(x)*...fe(x)| （e为正整数）
当n＝e+1时 F（e+1）＝|f1(x)*f2(x)*...fe(x)*f(e+1)（x）|
＝F（e）|f(e+1)(x)| 很显然，这些无穷小函数中只要有一个为0那么本问题的答案就是0. 现在来讨论这些无穷小函数中本身没有一个为0的情况。即 0＜|f1(x)|＜1、0＜|f2(x)|＜1、0＜|f3(x)|＜1、...0＜|fk(x)|＜1、...的情况。 由前面的讨论知
|f1(x)|，
F（2）＝F(1)|f2(x)|，
F（3）＝F(2)|f3(x)|， 由于0＜|f1(x)|＜1、0＜|f2(x)|＜1、0＜|f3(x)|＜1 所以F（1）＞F（2）＞F（3） 再者 F（e+1） ＝F（e）|f(e+1)(x)| 由于0＜|f(e+1)（x）|＜1
所以F（e）＞F（e＋1）。 即F（1）＞F（2）＞F（3）＞F（4）＞...＞F（k）＞...（b） 本题求的是
lim【f1(x)*f2(x)*...fN(x)】（N为无穷大）
＝lim【±|f1(x)*f2(x)*...fN(x)|】
＝lim【±F（N）】 由于N是 无穷大，所以我们可以确定 F（N）在上面不等式链（b）中的位置肯定比F(1)靠后，即
1＞F（1）＞F（N）＞0
由于lim F（1）＝0
lim F（N）＝0 所以答案就是0啦！！！！ 忐忑不安中！！！
错误！ 0＜|f1(x)|＜1、0＜|f2(x)|＜1、0＜|f3(x)|＜1、...0＜|fk(x)|＜1、...的情况。 只讨论这个没有意义。无穷小即极限趋于0的数列，在趋于0以前这个数列的项区什么值都没关系。 设xm(n)为一簇数列，其中m,n均为自然数 |
m (n&=m ) xm(n){ |
1/n (n&m ) 可以看出这是一簇趋于0的数列组，即这是一簇无穷小量。另设 y(n)=TTxm(n) (m-&infinity) 即y(n)为一数列，其项y(k)为xm(k)（m从0到无穷大）的连乘，对于有限数k，因为小于1的项xm(k)仅为k项，而有无限项大于1，所以 数列y(n)对n每一项都是无穷大，现取极限，数列y(n)趋向于无穷大，即存在无穷个无穷小量的乘积趋向于无穷大。这就是反例。 论述完毕，不知道对不对。请各位指教。
leynice: 实在没看明白你的式子是什么意思。用tex的公式语言写一下吧
xm(n)为这样的一组数列，当n&=m时，xm(n)取值为m，当n&m时，xm(n)取值1/n， 例如x100(n),当n&=100时，x100(n)取值100， 当n=101,x100(101)取值1/101,当n=102,x100(102)取值1/102,依此类推，要注意我们在这个例子中m的取值为1到无穷大（自然数） y(n)为这样一组数列，其中各项为xm(n)按照m从1取到无穷大的连乘，例如y(1)=x1(1)*x2(12)*x3(1)*x4(1)*...... 这样，按照上边的论述，y(n)每一项均为无穷大，所以其极限也为无穷大。
好象看明白了楼上leynice 先生的证明。谈谈我的理解： 大概普通的想法是对所有趋于无穷小的数列，都能找到一个确定的“限”（如：认为对所有无穷小序列都可以找到“一致”的N，当大于N时可以认为绝对值都小于某个限定值（如0.1）,使用数学归纳法可以证明这样的N个不等式乘积的左边值小于0.1^n，再令n趋无穷，相当于无穷个不等式相乘，得0就证毕了）。而事实上，这个对所有无穷小序列都“一致”的，N下的某个限定值0.1很可能并不存在，这就是h_o_p 所说的一致收敛问题。leynice 先生正是依此构造了反例。
补充一下：上面仅是对leynice 先生证明思路的理解。 但我认为对最后也是最关键的一句： “这样，按照上边的论述，y(n)每一项均为无穷大，所以其极限也为无穷大。” leynice 先生需要进一步的证明。
leynice: 看明白了，反例没有问题。
更正一下,前面说一致收敛的帖子,其中“限“应为“界“. ------------ 请注意本楼的标题: “无穷个无穷小的乘积的极限是0吗？“ leynice 先生构造的y(n),对确定的n确实是无穷大,而其无穷大证明所依赖的正是n本身有界.但只要n是指定的,则所构造的y(n)就不是无穷个无穷小的乘积.而当n趋于无穷时(满足了无穷个无穷小的乘积要求),y(n)的无穷大就不能说是不证自明的(因为要证明无穷大就要破坏无穷个无穷小的乘积要求).观察到y(n)构造本身存在着上述内在矛盾性,所以我认为使用leynice 先生构造的y(n)尚不足以破解楼题.
所谓一个数列x（n）趋于无穷小，是指任给e〉0，存在自然数N，使得当自然数n大于N时，有x(n)&e。 首先看看我所构造的y(n),对于这样一个数列，是否对任给的e&0，都满足无穷小的定义呢？ 答案显然是否定的，所以，y(n)绝对不是无穷小量。到这里我们可以说，楼主给出的命题我们已经驳倒了,现在剩下的问题就是y(n)是否为无穷大。 什么是无穷大呢？ 所谓一个数列y（n）趋于无穷大，是指任给k〉0，存在自然数N，使得当自然数n大于N时，有y(n)〉k。 那么对于任给的k〉0，我们是否可以找到这样一个N来满足定义呢？ 从直观上看，这个问题比较复杂，因为在我给出的式子中，y(n)=TTxm(n) (m-&infinity)，可以说从第一项起，y(n)就是无穷大，而在其后的任意一个n为有限的项也是无穷大，而且这些项都是同阶无穷大，即任意两项相除都得到一个非0的有限数；在我们所学的知识中，无穷大是无法比较大小的，所以我们无法比较y(n)各项的大小。所以从一般的定义出发我们无法判断y(n)是否为无穷大。 但是我们不必想得那样复杂，我们可以暂且来剖析一下y(n)的表达式 y(n)=((n+1)*(n+2)*......)/(n^n)（这个大家没意见吧？） lim y(n)=lim {((n+1)*(n+2)*......*(n+n))/(n^n)}*(n+1)*(n+2)*......&lim{(n+1)*(n+2)*(n+3)*......}=无穷大 所以y(n)的极限还是无穷大。
写错了一些： y(n)=((n+1)*(n+2)*......)/(n^n) lim y(n)=lim {((n+1)*(n+2)*......*(n+n))/(n^n)}*(n+n+1)*(n+n+2)*......&lim{(n+n+1)*(n+n+2)*(n+n+3)*......}=无穷大 所以y(n)的极限还是无穷大。
以下是南京大学江惠坤副教授所给出的反例： 对自然数m, 令 X_m(n) = m/n. 则
limit_n_goes_to_infinity X_m(n) = 0. 所以, 对每一个自然数 m, X_m(n) 都是一个无穷小量. 考察 P(n) = Product_m_from_1_to_infinity X_m(n). 其意为: P(n) = limit_M_goes_to_infinity Product_m_from_1_to_M X_m(n). 依定义，上式右边 =
limit_M_goes_to_infinity M!/n^M. 显然, 其极限为无穷.
leynice:江教授的反例没有问题.符合楼题要求. 注意你原来的那个y(n)与这个P(n)不同.你原来的y(n)=((n+1)*(n+2)*......)/(n^n) 不是严格意义上的“无穷个无穷小量“相乘,因为乘积里面还有“无穷个无穷大量“乘在里面,这样的y(n)不符合题意要求,所以尽管“y(n)绝对不是无穷小量“。但却不可以说:“楼主给出的命题我们已经驳倒了“.而在江的反例没有你的问题.
无穷个无穷小量相乘依旧为无穷小量，这是楼主的命题。 什么叫无穷小量？无穷小量就是极限趋于0的函数，在参数趋近于指定值以前它取什么值无所谓，只要最后收敛（有限情况下）就可以了。在我给的反例里，xm(n)就是这样一个函数，而无穷个这样的函数相乘就是无穷个无穷小量相乘。这点没错吧？ 什么是y（n）？ y(n)为这样一组数列，其中各项为xm(n)按照m从1取到无穷大的连乘，例如y(1)=x1(1)*x2(1)*x3(1)*x4(1)*......，这是无穷个无穷小量相乘所得的函数中的一项，只不过最后可以化成y(n)=((n+1)*(n+2)*......)/(n^n)（请参考我前面的几篇回复），虽然它的构造比较特殊，但我认为还是符合题意的。 所以伯顿1217兄所说的“不是严格意义上的‘无穷个无穷小量’相乘”，恐怕是还没有理解我给出的式子，请再仔细看看。
另外，伯顿1217兄还说y(n)与P(n)不同，不是严格意义上的“无穷个无穷小量”相乘,因为乘积里面还有“无穷个无穷大量”乘在里面。 实际上江老师给出的P（n）里还是包含了你所说的“无穷个无穷大量乘在里边”的，请看看： X_m(n) = m/n. P(n) = Product_m_from_1_to_infinity X_m(n)，即X_m(n)按照m从1 到无穷大的连乘，这样，必然有你所说的“无穷个无穷大量”包含于其中，只不过我的那个反例里“无穷大量”更多更大一些，但在“无穷”这个条件的限制下就显得没有任何本质上的区别了。
若是还不理解我们可以看看P(n)的表达式： P(n)=(1*2*3*4*5*6*......)/(n*n*n*n......) ={(1/n)*(2/n)*(3/n)*......*(n/n)*[(n+1)/n]*......*[(n^2)/n]*......[(n^2+n)/n] }
[(n^2+n+1)/n]*[(n^2+n+2)/n]*[(n^2+n+3)/n]*...... &=[(n^2+n+1)/n]*[(n^2+n+2)/n]*[(n^2+n+3)/n]*...... -&infinity
leynice先生： 如果江教授的P(n)如您所的理解P(n)表达： P(n)=(1*2*3*4*5*6*......)/(n*n*n*n......) ={(1/n)*(2/n)*(3/n)*......*(n/n)*[(n+1)/n]*......*[(n^2)/n]*......[(n^2+n)/n] } * [(n^2+n+1)/n]*[(n^2+n+2)/n]*[(n^2+n+3)/n]*...... 其中的各项(n/n)、[(n+1)/n]、[(n^2)/n]、[(n^2+n)/n] 与江教授的 X_m(n)能对应么？当m是n的多项式表达，江教授还能得到 X_m(n)是无穷小量的证明么，即：
“limit_n_goes_to_infinity X_m(n) = 0. 所以, 对每一个自然数 m, X_m(n) 都是一个无穷小量.” 显然，如果m=n或m=2n的情形，X_m(n)不是无穷小量。 好在您与江教授可以联系，是否问一下他本人的想法？如果真是您理解的那样，那我前面所说的矛盾就依然存在，即当证明后面是无穷大时就推翻了前面的无穷小证明。（上面X_m(n)的引用已经说得很清楚了，窃以为从严格意义的数学证明讲，还不能被接受）。 也许是我太顽暝不化了。还是很欣赏您和江教授所构造的证明，学而时习之，不亦乐乎。 也感谢楼主。“筚路蓝缕，以启山林”，来自屈原吧？
看来伯顿1217兄对我和江教授构造的两个无穷小量理解有误，“当m是n的多项式表达”这句话就说明了这个问题。 我们说X_m(n)是无穷小量，是在m固定而n变动的情况下才能这样说的，虽然X_m(n)是一个二元函数，但我们是将两个自变量分开考虑的，数学系的课程里就有这种研究方法，而且还极为重要，因为重极限的研究依靠的就是这种方法，要置疑这种研究方法的合理性就等同于置疑现行的高等数学基础。本人还没有这个精力去做这样艰巨的工作。 研究X_m(n)时，我们不能做“当m是n的多项式表达”这样的假设，因为当m不同时，X_m(n)代表的就是不同的两列数列，而且是两列不断趋于0的数列。例如： X_1(1) X_1(2) X_1(3) X_1(4) X_1(5) X_1(6) X_1(7)...... X_2(1) X_2(2) X_2(3) X_2(4) X_2(5) X_2(6) X_2(7)...... X_3(1) X_3(2) X_3(3) X_3(4) X_3(5) X_3(6) X_3(7)...... X_4(1) X_4(2) X_4(3) X_4(4) X_4(5) X_4(6) X_4(7)...... ...... 上表中，我们从横向来看，这是无数组无穷小量，也就是我们所研究的对象，那么从纵向来看又是什么？只能说是无穷个趋于0的数列中角标相同的项，我们无法靠研究它们来判断它们各自所在的行是否为无穷小量，所以，即使有某个X_m(1)为无穷大又怎样呢？只要它所在的行是一组趋于0的无穷小量不就可以了吗？这样不就符合题意了吗？ 而要X_m(n)为无穷小量也很简单。因为在考虑“行”的收敛性时我们反倒可以令n为m的多项式，因为这时候m是固定的，而n趋向于无穷大。例如任给e〉0，若要使得X_m(n)&e,即m/n&e,只需要令n&m/e即可，这种不等式右端不确定甚至趋向于无穷大的情况在高等数学求极限时没少遇到吧？ 虽然m—〉infinity时的情况理解起来有些困难，但我们可以换一个问法：对于任给的自然数m和任给的e&0，我们能否找到这样一个自然数N，使得当n〉N时，m/n&e？ 这样的自然数N是可以找到的，只不过它是一个以m和e为参数的函数，但就任意一行而言，因为m的固定性（否则就不是同一个对象数列了），变动的参数也就只有e而已，但无论如何N是可以确定下来的，再由n可以取遍自然数域的性质，我们可以得出这样一个结论： 任意给定m（这个任意给定其实已经包含了m可以取遍整个自然数域的意思），X_m(n)对n—〉infinity时都是无穷小量（请注意，是对n—〉infinity） 罗罗嗦嗦说了这么多，其实江老师的解答过程中还有一个式子已经充分揭示了m-&infinity时的过程，即 P(n) = limit_M_goes_to_infinity Product_m_from_1_to_M X_m(n). 就是说P(n)=lim_(M—〉infinity） TT_(1)^M X_m(n) 即P(n)为X_m(n)按照m从1到M的连乘，其中M—〉infinity。 只要理解了这个式子，要明白这个过程就不是那么困难的了。
说实在的,楼主的问题在大学时遇到过,结论是不一定.反例也见过,方法与leynice先生类似.但当时大家对反例的讨论结果是,没有人有信心拿那个反例对学生做说明,倒是怀疑问题的提法可能有问题(怀疑的原因大概是要提出有力的反例困难,同时要正面证明也困难). 显然,对于江先生的表达M!/n^M.当M固定n趋于无穷时是无穷小,而当n固定M趋于无穷时是无穷大.但当M和n同时趋于无穷时说其极限是无穷大和说其极限是0我看都差不多,都不算是令人信服的证明. 我对M固定后的X_m(n) 在n趋于无穷时是无穷小并无疑义.江教授构造P(n)的目的就是要构造无穷个无穷小相乘这个楼题标的.但是如何使用标准的极限语言证明当n趋于无穷时,P(n)的中的每一项X_m(n)是无穷小而P(n)又是无穷大? 相反,我倒以为证明其为无穷小更为有利些(比较证明其无穷大而言). 将我以前看到过的反例也写出来供大家参考: 构造Fk(n),定义当n&k时Fk(n)=1,当n&=k时Fk(n)=k/(n-k+1); 对固定的k,当n趋于无穷时显然Fk(n)为无穷小. 然后构造F1(n)、F2(n)、...Fn(n)的连乘: F1(n)*F2(n)*...*Fn(n)=(1/n)*(2/(n-1))*(3/(n-2))*...*n=1; 当n趋于无穷时,连乘有无穷项无穷小,但极限为1不为0. (记得反例出自《著名反例300例》里) 从此反例可以看出,其证明原理与前面leynice先生和江教授的相同.实在说现在的数学课程也都是这么教的,信不信全在个人了,呵呵.
套用前面的表达M!/n^M和证明形式，来整一个“无穷个无穷大的乘积为无穷大”的反例。 还是用X_m(n)。“对自然数m, 令 X_m(n) = n/m. 则 limit_n_goes_to_infinity X_m(n) = ∞. 所以, 对每一个自然数 m, X_m(n) 都是一个无穷大量. 考察 P(n) = Product_m_from_1_to_infinity X_m(n). 其意为: P(n) = limit_M_goes_to_infinity Product_m_from_1_to_M X_m(n). 依定义，上式右边 = limit_M_goes_to_infinity n^M/M!. 显然, 其极限为0.”
估计各种反例原理都相近。刚才电话请教了一位北大数系教授，也是这个意思。观点与20年前教俺的老师差不多，对这类证明持怀疑态度。
我在上边的回复中已经说过，这种一个参数相对静止，另一个参数趋于无穷大的研究方法是高等数学中重极限研究的重要方法，否定这个方法的科学性就等同于否定现代高等数学的基础，而这种方法能够存在几个世纪，必然已经经过了无数次的论证与讨论，并参与建立起了现代数学的庞大精密而且精确的体系，其科学性并不是单单一句怀疑就可以抹煞的。要推翻这种方法，就是对整个现代数学界的挑战，这是一个大工程，本人没有这个精力去做这样的事情。打不过你的敌人那就加入他，一个答案如果在现行知识结构下找不出什么错误那就只能认为它是对的，这也是科学的时代局限性。另外，能怀疑权威是一件好事，但所做的怀疑未必是正确的。
还有，个人认为此类问题的关键在于弄清楚两个参数趋向于无穷大的先后顺序。 我们讨论X_m(n)为无穷小量，意思是n已经取遍了整个自然数域（否则它只是某个数列的前n项），而这时我们再来讨论m的变动，实际上就是在n“已经取遍了整个自然数域”这个前提下进行的，所以n要比m更早趋于无穷大；而讨论p(n)为无穷大时，m则要比n更早趋于无穷大，这一点我们可以从p（n）的表达式看出来，p（n）这个数列的每一项都是m趋近于无穷大的极限，注意，它是极限，代表了m已经取遍了整个自然数域，其后我们再在这个前提下讨论n的取值。 这就是重极限参数位置不同的结果，也是高等数学重极限课程中曾经讲过的。若是伯顿兄还不理解，可以去看看高等数学。
用同样的方法也能证明无限个无穷大乘积是无穷小。-- xm(n)为这样的一组数列，当n&=m时，xm(n)取值为m，当n&m时，xm(n)取值1/n， 例如x100(n),当n&=100时，x100(n)取值1/100， 当n=101,x100(101)取值101,当n=102,x100(102)取值102,依此类推，要注意我们在这个例子中m的取值为1到无穷大（自然数） y(n)为这样一组数列，其中各项为xm(n)按照m从1取到无穷大的连乘，例如y(1)=x1(1)*x2(12)*x3(1)*x4(1)*...... 这样，按照上边的论述，y(n)每一项均为无穷小，所以其极限也为无穷小。-- 问题关键应该不在与这个重极限的计算方法与计算结果是否合理，是这样的取极限运算还能不能理解为无穷个无穷量乘积的运算。
噢！没看完回复，原来已经有人这样做过了。真是多此一举拉~~ 这方法反正我感觉很牵强
f1(x)=x^2 f2(x)=(x-1)^2 所以两个函数分别是趋于0和1的无穷小,但相乘以后却不是任何基底的无穷小. 如果两个是同一个基底的无穷小(即趋于同一个数时同时趋于0),那么他们相乘也一定是这个基底的无穷小!毫无疑问的~~~~
无穷小的乘积当然是更高阶的无穷小了 无穷小的阶当然是没有最高，只有更高，但最终它还是无穷小 既然还叫无穷小，那极限自然为0 完毕！
各位高手，请教~ 1下。 下列例子可以作为反例吗？ 1.
（n→∞）】= 1
2.
0 * ∞ ≠ 0
的情况。（不定式）
不好意思，第一个不能
：） 就看第二个了
无数个无穷小的积是这个无穷小的高阶无穷小，其极限当然是O啦
肯定是0，无穷个无穷小的和是0，有限个无穷小的乘积是0，无穷个无穷小的乘积可以看作是无穷个无穷小的和，所以就是0
答案是可能存在反例，leynice没有必要抱神秘态度 这个东西，应该能够严格证明，不用信与不信，规定一下 重极限的意义，就应该能证明出来，以上的江教授的反例 如果按双变量的方式写出来，就成了，我的感觉。
有限个无穷小的乘积的极限为0，原命题真，其否命题不一定就假，我们可以不做乘积，只算加减不影响性质，无穷个=N个有限个相加，所以其否命题为真拉，结果也是0。第一次来科学这里，留个记号。。。DREW
不是我在玩神秘，在上边的回复中我已经多次重申：解决这个问题的方法是重积分研究中的重要方法。但是伯顿兄却认为这种方法没有说服力，或者说不够科学，这就否定了任何从该角度解决问题的可能性；三岛甚至还说我和江教授所构造的这类反例不符合题意。我无力了，我是一个懒散的人，对于比较另类的思想没有太大的研究兴趣。
已经很多天没有上来了，本以为这帖子已经沉下去了，没想到还在。大家的研究热情还真高啊！
我想能不能用简单点的思维来推测（当然大多数人可能都会如下简单分析）呢？ 假定p为无穷小（看作一个数），那楼主的问题应该就是p*p*p*p*…=?，简记做∞个p相乘=？的问题。假定T=∞*p,如果T是一般的常数，那么他应该会有加减乘除的一些性质，用常数2乘T，可以看出，2*T=2*p*(∞-1个p相乘),显然.,2*p还是无穷小（p），即2T=p* p*(∞-1个p相乘)=∞个p相乘=T，即2T=T；同理T/2=T，从这两个运算特征来看，符合T=0的特征，但不符合T无穷大或者为其它任意实数的特征。 所以，我简单地认为，T可能是0。 当然，涉及到无穷的计算不会这么简单，因为我们有太多关于无穷大，无穷小的的基础性问题都没解决，所以再讨论这类问题时大多感到很吃力。 还有一种可能，如果T不是复数范围内的数，那它一定是超出了我们现有认知范围的数（这种可能性极大），而这样的数，在我们现在的复数（包括实数）范围内来解释应该是行不通的。这个问题和在我的帖子“大家讨论一下，存不存在比光速还快速度运动的物体？”的道理是一样的——我们缺少认知他们（无穷量问题以及超光速运动物体）的工具。 个人浅见，供大家批判。
“假定p为无穷小（看作一个数），那楼主的问题应该就是p*p*p*p*…=?” 首先，这个论证的基础就存在很大的问题，无穷小量有许多种，讨论这种问题的反例时单是用一个p代替是不可能的，认真阅读前面的回复可以看出这点。 “假定T=∞*p,如果T是一般的常数，那么他应该会有加减乘除的一些性质，用常数2乘T，可以看出，2*T=2*p*(∞-1个p相乘),显然.,2*p还是无穷小（p），即2T=p* p*(∞-1个p相乘)=∞个p相乘=T，即2T=T；同理T/2=T，从这两个运算特征来看，符合T=0的特征，但不符合T无穷大或者为其它任意实数的特征。” 这段运算问题很大，逻辑错误比较严重。如果T是无穷大，那就不可以用一般的运算规则来计算，而如果一开始就把T设定为一般的常数，那最后得出结果为0的时候，并不足以推出T不能为无穷大，因为这段运算的基本出发点已经改变了。 说来说去，楼主所提出的问题只是一个稍微有点儿难度的重极限问题而已，只要对重极限的概念熟悉，而且充分理解了题意，那要解决起来并不是很困难，江教授和我所给出的那些反例都是符合题意而且最后推倒了原命题的，请各位要批驳这类反例的朋友先认真看完回复再发帖，不要提出旧问题。
我觉得既然要探讨无穷个无穷小乘积是否为零能不能先探讨一下几个问题： 1：无穷个0的乘积是否为零？ 2、无穷个0.5的乘积是什么？由此延伸出：无穷个0.5的乘积是否一定大于无穷个0.4的乘积？两者能否进行比较？ 3、无穷个1的乘积是什么？ 4、无穷个2的乘积是什么？同样延伸出：无穷个3的乘积是否一定大于无穷个3的乘积？两者能否进行比较？ 我还是坚持我的观点：实际到无穷的数可能不是复数或实数范围内的数，它可能超出了我们现有认知范围的数，而这样的数，在我们现在认知的数（包括实数）范围内来解释可能是行不通的。因为我们缺少认知他们无穷量问题的工具（极限理论也是探索无穷问题的工具之一，但我感觉这个工具还不够完全能彻底阐释清楚无穷量的问题）。
补正，第4个应该为：无穷个2的乘积是什么？同样延伸出：无穷个3的乘积是否一定大于无穷个2的乘积？两者能否进行比较？
为什么在教科书内只小心翼翼地提“有限多个无穷小的乘积”？但对无穷多个的时候却只字不提？难道让咱讨论过瘾。
我觉得题目的困难主要在于“无穷个*相乘”的问题，而前面大部分争论的重点好像是更多地集中在“无穷小”的定义和构建的上问题上。
*************************************************************************** 以下是南京大学江惠坤副教授所给出的反例： 对自然数m, 令 X_m(n) = m/n. 则 limit_n_goes_to_infinity X_m(n) = 0. 所以, 对每一个自然数 m, X_m(n) 都是一个无穷小量. 考察 P(n) = Product_m_from_1_to_infinity X_m(n). 其意为: P(n) = limit_M_goes_to_infinity Product_m_from_1_to_M X_m(n). 依定义，上式右边 = limit_M_goes_to_infinity M!/n^M. 显然, 其极限为无穷. *************************************************************************** 重新用计算机的语言写一下，你们写的太糟糕了 对自然数m, 令 X_m(m,n) = m/n. Limit X_m(m,n) = 0 when n-&infinity
注意了 是n无穷大时才成立哦 所以, 对每一个自然数 m,
X_m(m,n) 都是一个无穷小量当n无穷大时. ------------------------------------------------------------ 考察教授的 P(n) = Product [X_m(m,n)] 函数意为 所谓的无穷个无穷小乘积的函数咯 其中m 定义from_1_to_infinity . 其意为:所谓的无穷个 X_m(m,n) 就是刚刚前面定义无穷小的函数咯 P(1) = Product [X_m(m,1)] = m/1 P(2) = Product [X_m(m,2)] = m/1 * m/2 .......... P(n) = Product [X_m(m,n)] = m/1 * m/2 * ...... * m/n 显然结果为无穷大， 慢，见下面分析 看到m 定义无穷个 跟 n 没有关系， 由于定义无穷小需要使用n变化为无穷大，但n同时为P(n) 的函数的变量时n为定值 结果P(n)就不是无穷个无穷小乘积的函数， m/1 显然不是无穷小， P(n) 显然不是楼主想要 “无穷个无穷小乘积的函数” 这个就是所谓大学教授的偷梁换柱 m ,n 的概念 ------------------------------------------------------------ 再来考察 P(m) = Product [X_m(m,n)] 函数意为 所谓的无穷个无穷小乘积的函数咯 其中m 定义from_1_to_infinity . 其意为:所谓的无穷个 X_m(m,n) 就是刚刚前面定义无穷小的函数咯 (注意了 是n无穷大时才成立哦) P(1) = Product [X_1(1,n)] = 1/n P(2) = Product [X_2(2,n)] = 1/n * 2/n P(3) = Product [X_3(3,n)] = 1/n * 2/n *3/n .......... P(m) = Product [X_m(m,n)] = 1/n * 2/n * .... * m/n = m!/n^n 这个才是楼主要的函数 (注意了 n无穷大所以无穷小函数成立哦) (m 定义from_1_to_infinity . 其意为:所谓的无穷个) P(m) = m!/n^n 大家一起大声说 m,n同时为无穷大时这个P(n) 是多少 我看这个大学教授可以下岗了, leynice,How about your comments? 哈哈
y(n)= ((n+1)*(n+2)*......)/(n^n) lim y(n)=lim {((n+1)*(n+2)*......*(n+n))/(n^n)}*(n+n+1)*(n+n+2)*......&lim{(n+n+1)*(n+n+2)*(n+n+3)*......}=无穷大 所以y(n)的极限还是无穷大。 xm(m,n)为这样的一组数列，当n&=m时，xm(m,n)取值为m，当n&m时，xm(m,n)取值1/n， 例如x100(100,n),当n&=100时，x100(100,n)取值100， 当n=101,x100(100,101)取值1/101,当n=102,x100(100,102)取值1/102,依此类推，要注意我们在这个例子中m的取值为1到无穷大（自然数） y(n)为这样一组数列，其中各项为xm(m,n)按照m从1取到无穷大的连乘，例如y(1)=x1(1,1)*x2(2,12)*x3(1)*x4(1)*...... 这样，按照上边的论述，y(n)每一项均为无穷大，所以其极限也为无穷大。 ------------------------------------------- y(1)=(1+1)/1 y(2)=(2+1)/2 * (2+2)/2 .... y(n)= ((n+1)*(n+2)*......)/(n^n) 这个y(n) 是楼主想要 “无穷个无穷小乘积的函数”吗 当我是个傻子阿
这是一个很有趣的问题。我以前的回答现在看来是错的了。 问题可以具体到以下形式.如果lim P(m,n)(m趋于无穷大)=0对所有的固定n都成立,那么一定有lim P(1,n)*P(2,n)*...(n趋于无穷大)=0么?(注意，第二个式子是无穷乘积.)显然不成立.令 P(m,n)=n/m,就是反例. 即使问题限制到以下形式也不成立.如果lim P(m,n)(m趋于无穷大)=0对所有的固定n都成立,那么一定有lim P(1,n)*P(2,n)*...P(n,n)(n趋于无穷大)=0么?令 P(m,n)=n/m,也是反例.
axiaozi009： 请你先弄明白所谓“无穷个无穷小量的乘积”这句话的含义。或者你可以先从“有限个无穷小的乘积”出发，看看你所谓的p（n）是否是这样理解的。 —————————————————————————————— P(1) = Product [X_1(1,n)] = 1/n P(2) = Product [X_2(2,n)] = 1/n * 2/n P(3) = Product [X_3(3,n)] = 1/n * 2/n *3/n .......... P(m) = Product [X_m(m,n)] = 1/n * 2/n * .... * m/n = m!/n^n ————————————————————————————— 按照你的理解，10个无穷小的乘积所成的数列只有10项，分别是P（1）、P（2）、P（3）、P（4）、P（5）、P（6）、P（7）、P（8）、P（9）、P（10），后面就没有了。有限个无穷小的乘积是无穷小量，但你给的叫什么东西？ 另外：江教授还没有下岗，而且很得学生的尊重，我想他的学术水平并不是你我可以评价的。
Xm(n)是所谓的无穷小量，这是在n趋近于无穷大时才能够这样说的，若是把n固定了，那还能叫无穷小量吗？
———————————————————————————— y(1)=(1+1)/1 y(2)=(2+1)/2 * (2+2)/2 .... y(n)= ((n+1)*(n+2)*......)/(n^n) 这个y(n) 是楼主想要 “无穷个无穷小乘积的函数”吗 当我是个傻子阿 ———————————————————————————— 我不知道你这个东西是从哪里来的，如果是从我所给的式子y(n)= ((n+1)*(n+2)*......)/(n^n)里得出，那我只能说你的阅读能力或者数学能力很糟糕。 在我的式子里，y(1)=(*3*4*5......*n*......)/1。请你看仔细了再反驳，毕竟那么多朋友在这里盯着，这种低级错误不太可能出现这么久都没被人发现。
更正一下，y(1)=(2*3*4*5......*n*......)/1，刚才漏打了一个2。
有限个无穷小的乘积是无穷小量，但你给的叫什么东西？ ------------------------------------------ P(1) = Product [X_1(1,n)] = 1/n P(2) = Product [X_2(2,n)] = 1/n * 2/n P(3) = Product [X_3(3,n)] = 1/n * 2/n *3/n leynice,请问P(1)、P(2)、P(3)那个结果不是无穷小 当n-&无穷大 就是把P(1)*P(2)*P(3)在累乘一遍，也NND是无穷小 请问乘积是什么概念
作者：leynice
回复日期： 09:54:00
更正一下，y(1)=(2*3*4*5......*n*......)/1，刚才漏打了一个2。 -------------------------------- 请问是这是无穷小的乘积嘛
作者：leynice
回复日期： 09:43:00
Xm(n)是所谓的无穷小量，这是在n趋近于无穷大时才能够这样说的，若是把n固定了，那还能叫无穷小量吗？ ----------------------------------------------- Absolutely,所以不要在P(n)用n变化，而是用P(m,n)并且讨论m-&无穷
无穷个无穷小的乘积的极限是0吗？ 无穷个无穷小的乘积的极限是0吗？ 重新来一遍，重审命题“无穷个无穷小的乘积的极限是0吗？” 关键词: 无穷个、无穷小、乘积、极限 1.“无穷个” 很简单 定义m 为变量 并且趋向+∞无穷 2.“无穷小” 比较麻烦 是吧，要有函数的概念，无穷小是个数估计大家有争议，用个函数表达无穷小，应该没有争议吧。而且这个函数可以任意定义，只要符合无穷小要求，暂时用n变化来达到无穷小。 3. 乘积
就是把 无穷小 一个一个乘起来，TMD，乘他一万个不同定义的无穷小，还是不够啊，要无穷个，所以要用刚刚定义变量m来控制 4. 极限 注意了，何谓极限，应该指整个函数P的极限，但谁是变量啊，极限是有变量变化，才有极限这一说吧。m还是n，还是都是。 NND，一起讨论。来个P(m,n) 发给教授看看，这个理解有没问题，唉，我要成弱智了，现在连题意都理解不了
那位大佬能不能说说无穷个0.1的乘积和无穷个0.01的乘积是什么吗？纠缠那么多无穷小量的问题也没看纠缠清楚，先把这两个非无穷量的问题能说清楚才是正道，只有先把这俩个搞明白了，再探讨无穷个无穷小量不是更好一些吗？
楼上的，0&q&1,则lim(q的n次方)（n→∞）＝0。
无穷小如果是数，是否也是在0&q&1的范围之内？如果无穷小不是数，那它就的无穷乘积在实数范围内还有讨论的意义吗？
axiaozi009 : 你认为什么是无穷小？所谓的无穷小是指这样一个函数F（x）（一元情况下），当x趋近于某个数a的时候，该函数的值无限趋近于0。如果该函数为数列，则参数x=自然数n，而当n—〉infinity时该数列无限趋近于0。这点我已经重申过许多次。 再说明一点，我们所说的无穷个无穷小量的乘积，最后得出来的并不是某个数，而是一个函数，一个有极限的函数。现在我们就是在讨论这个函数的极限是否为0，还有这个函数的参数究竟是什么。 在反例中，Xm（n）对n就是这样一个无限趋近于0的数列，也可以说是以0位极限的数列，它就是一簇无穷小量。 这点没有疑问吧？ 现在我们讨论的是无穷小量的乘积，假设是5个无穷小量的乘积（即m从1取到5），我们可以得出一个新的无穷小量，例如 Y(n)=X1（n）*X2(n)*X3(n)*X4(n)*X5(n) 我们讨论Y(n)为无穷小量，那是以n为参数讨论，此时，已经没有了m的事情，因为所谓的Y(n)已经是Xm（n）按m从1取到5的乘积，m的作用到这里已经结束了，它只是一个中间变量而已。这点有疑问吗？ 我们说Y（n）是无穷小量，那就是说Y(1),Y（2），Y(3),Y(4),......这个数列以0为极限。 这点有没有疑问？ 假若没有疑问，我们可以来讨论下一个问题，那就是m为无穷大 的情况，我们可以根据前一段讨论，设m趋向于无穷大，那么，此时的Y(n)就是Xm(n)按m从1取到无穷大的连乘的极限。为方便理解，我们可以假定一个参数M，M趋向于无穷大，对于固定的n，Y（n）就等于Xm(n)按m从M取到无穷大的连乘的结果，由于M趋向于无穷大，所以Y（n）是一个极限，请注意，是极限，即Y（n)=lim_(M-&infinity)[TT_(m=1)^(M)Xm(n)]。 这点有疑问吗？ 现在我们讨论一下极限的一些性质。 我们以无穷个0.1相乘为例，无穷个0.1相乘的结果是什么？大部分人肯定说是0。 错了。 穷个0.1相乘的结果是是一个无穷小量，它无限趋近于0。若问无穷个0.1相乘的极限是什么，那才是0。 再举一个例子，我们有一个双参数的函数f(x,y)，当x趋近某个数a的时候，f(x,y)趋近于F(y)，即x趋近某个数a的时候，f(x,y)的极限为F（y），这是高等数学里常见的一个问题，不知axiaozi009学过没有。 一个函数的极限跟这个函数的“显性参数”没有任何关系，例如任何一个数列Xm，当以m为参数讨论极限时，所得的极限已经跟m没有任何关系。 回到我们的问题来。 我们说过，Y(n),或者写成Y(m,n)，它等于Xm(n)按m从1取到无穷大的连乘的极限。 根据上面我们讨论的函数极限的性质，Y(m,n)的极限到最后已经跟参数m没有任何的关系。这点可以想明白吗？ 所以，我们可以单参数函数Y（n）来表示Y（m，n）。 从Y（n）的构造过程来看，它就是无穷个无穷小量的乘积，当然，这并不是特指任何一个n，而是对所有的Y(n)而言，换言之Y(n)是一个数列，而这个数列并不是无穷小量。
netcommune： 无穷个0.1的乘积是一个无穷小量（假设为a），不是0，无穷个0.1的乘积的极限才是0。 同样，无穷个0.01的乘积也是一个无穷小量（假设为b），不过是一个比a高阶的无穷小量，也就是说b/a也是一个无穷小量。
所谓的无穷小量无穷大量并不是指特定的某个数，而是满足某种性质的函数或变量，所以它们的乘积也是函数或变量，而不是固定的实数。
再看了一下回复，似乎发现了axiaozi009 思路中的主要问题，关键就是下面这段话： ------------------------------------------------------------ 考察教授的 P(n) = Product [X_m(m,n)] 函数意为 所谓的无穷个无穷小乘积的函数咯 其中m 定义from_1_to_infinity . 其意为:所谓的无穷个 X_m(m,n) 就是刚刚前面定义无穷小的函数咯 P(1) = Product [X_m(m,1)] = m/1 P(2) = Product [X_m(m,2)] = m/1 * m/2 .......... P(n) = Product [X_m(m,n)] = m/1 * m/2 * ...... * m/n 显然结果为无穷大， 慢，见下面分析 看到m 定义无穷个 跟 n 没有关系， 由于定义无穷小需要使用n变化为无穷大，但n同时为P(n) 的函数的变量时n为定值 结果P(n)就不是无穷个无穷小乘积的函数， m/1 显然不是无穷小， P(n) 显然不是楼主想要 “无穷个无穷小乘积的函数” 这个就是所谓大学教授的偷梁换柱 m ,n 的概念 ------------------------------------------------------------ 还是我在前两篇回复中提到的分析，假设有5个无穷小量X1（n）、X2(n)、X3(n)、X4(n)、X5(n)，这5个无穷小量的乘积是数列Y(n),而Y(n)的每一项Y(k)=X1（k）*X2(k)*X3(k)*X4(k)*X5(k)， —————————————————————————————— ......看到m 定义无穷个 跟 n 没有关系， 由于定义无穷小需要使用n变化为无穷大，但n同时为P(n) 的函数的变量时n为定值，结果P(n)就不是无穷个无穷小乘积的函数...... ___________________________________________________________ 实际上m定义多少个跟n都没有任何关系，所以我们不如设m为5，按照上边的逻辑，由于定义无穷小需要n变化为无穷大，但n同时为Y（n）的函数的变量时n为定值，结果Y(n)就不是5个无穷小乘积的函数...... 无语了......
这个问题现在的讨论已经完全偏离。 无非是怎么理解楼主的那句话的意思嘛，自然语言本来就有很大的歧义性，使用数学语言就根本没有问题了。 别说这样一道题了，就是反复斟酌过的高考题，一样也会出现一些因为叙述语言而产生歧义的问题。
To: leynice ------------------------------------------------ leynice ：5个无穷小量的乘积 ....... 我们讨论Y(n)为无穷小量，那是以n为参数讨论，此时，已经没有了m的事情，因为所谓的Y(n)已经是Xm（n）按m从1取到5的乘积，m的作用到这里已经结束了，它只是一个中间变量而已。这点有疑问吗？ 我们说Y（n）是无穷小量，那就是说Y(1),Y（2），Y(3),Y(4),......这个数列以0为极限。 这点有没有疑问？ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 你的论述到这里一点都没有问题， 但你也承认这个数列以0为极限，而且是建立n为参数的基础上 而且是每一个Y(1),Y(2),Y(3),Y(4),Y(5)都是以0为极限,当n为参数 ------------------------------------------------------------------------ leynice ：假若没有疑问，我们可以来讨论下一个问题，那就是m为无穷大 ... ... 从Y（n）的构造过程来看，它就是无穷个无穷小量的乘积，当然，这并不是特指任何一个n，而是对所有的Y(n)而言，换言之Y(n)是一个数列，而这个数列并不是无穷小量。 根据上面我们讨论的函数极限的性质，Y(m,n)的极限到最后已经跟参数m没有任何的关系。这点可以想明白吗？ ----------------------------------------------- 你的论述到这里有很大的问题，你注意到没有, 如果m是以常量进入Xm（n），Xm（n）= m/n 是无穷小没错 但是当m是以变量进入Xm（n），比如现在的m趋于无穷大，Xm（n）=m/n
是不是还是无穷小？ 只要随便用个关系把m和n联系起来，比如m＝2n，m=n, or m=1/2n.....anyway 看看你的无穷小是个什么玩意儿，跟楼主的命题相差十万八千里 这个问题有个关键，任何情况下，无穷小函数都要成立，你同意吗？ 你构建的函数要经的起考验，不要随便搞个函数就是反例，反例这么容易想到，我都是教授了 不要问我高数如何，当时整个学校，考试能够考得过我的没几个 我也见过很多博士教授，不过尔尔，当然泱泱中华，能人是很多，不然神六也上不了天。 不过天涯上能不能碰到，是个问题？？
___________________________________________________________ 你的论述到这里有很大的问题，你注意到没有, 如果m是以常量进入Xm（n），Xm（n）= m/n 是无穷小没错 但是当m是以变量进入Xm（n），比如现在的m趋于无穷大，Xm（n）=m/n 是不是还是无穷小？ 只要随便用个关系把m和n联系起来，比如m＝2n，m=n, or m=1/2n.....anyway 看看你的无穷小是个什么玩意儿，跟楼主的命题相差十万八千里 ___________________________________________________________ 你提出的这个问题前面也已经有人提出过，我把回复复制给你看看。 作者：leynice
回复日期： 11:27:00
看来伯顿1217兄对我和江教授构造的两个无穷小量理解有误，“当m是n的多项式表达”这句话就说明了这个问题。 我们说X_m(n)是无穷小量，是在m固定而n变动的情况下才能这样说的，虽然X_m(n)是一个二元函数，但我们是将两个自变量分开考虑的，数学系的课程里就有这种研究方法，而且还极为重要，因为重极限的研究依靠的就是这种方法，要置疑这种研究方法的合理性就等同于置疑现行的高等数学基础。本人还没有这个精力去做这样艰巨的工作。 研究X_m(n)时，我们不能做“当m是n的多项式表达”这样的假设，因为当m不同时，X_m(n)代表的就是不同的两列数列，而且是两列不断趋于0的数列。例如： X_1(1) X_1(2) X_1(3) X_1(4) X_1(5) X_1(6) X_1(7)...... X_2(1) X_2(2) X_2(3) X_2(4) X_2(5) X_2(6) X_2(7)...... X_3(1) X_3(2) X_3(3) X_3(4) X_3(5) X_3(6) X_3(7)...... X_4(1) X_4(2) X_4(3) X_4(4) X_4(5) X_4(6) X_4(7)...... ...... 上表中，我们从横向来看，这是无数组无穷小量，也就是我们所研究的对象，那么从纵向来看又是什么？只能说是无穷个趋于0的数列中角标相同的项，我们无法靠研究它们来判断它们各自所在的行是否为无穷小量，所以，即使有某个X_m(1)为无穷大又怎样呢？只要它所在的行是一组趋于0的无穷小量不就可以了吗？这样不就符合题意了吗？ 而要X_m(n)为无穷小量也很简单。因为在考虑“行”的收敛性时我们反倒可以令n为m的多项式，因为这时候m是固定的，而n趋向于无穷大。例如任给e〉0，若要使得X_m(n)&e,即m/n&e,只需要令n&m/e即可，这种不等式右端不确定甚至趋向于无穷大的情况在高等数学求极限时没少遇到吧？ 虽然m—〉infinity时的情况理解起来有些困难，但我们可以换一个问法：对于任给的自然数m和任给的e&0，我们能否找到这样一个自然数N，使得当n〉N时，m/n&e？ 这样的自然数N是可以找到的，只不过它是一个以m和e为参数的函数，但就任意一行而言，因为m的固定性（否则就不是同一个对象数列了），变动的参数也就只有e而已，但无论如何N是可以确定下来的，再由n可以取遍自然数域的性质，我们可以得出这样一个结论： 任意给定m（这个任意给定其实已经包含了m可以取遍整个自然数域的意思），X_m(n)对n—〉infinity时都是无穷小量（请注意，是对n—〉infinity） 罗罗嗦嗦说了这么多，其实江老师的解答过程中还有一个式子已经充分揭示了m-&infinity时的过程，即 P(n) = limit_M_goes_to_infinity Product_m_from_1_to_M X_m(n). 就是说P(n)=lim_(M—〉infinity） TT_(1)^M X_m(n) 即P(n)为X_m(n)按照m从1到M的连乘，其中M—〉infinity。 只要理解了这个式子，要明白这个过程就不是那么困难的了。 —————————————————————————————— 唉！真是想不明白了，不就是一个重极限概念问题吗？怎么绕来绕去就绕出那么多问题来了，不过可能这种问题只有在数学系的课程里提到过，外系的课程不太涉及这方面。另外，数学系和外系的课程难度是不一样的，我还记得当时只是为了极限的概念问题老师就把我们操练得死去活来的，所以对这方面也比较敏感。 反例的构造也不是那样困难，不一定要教授的水平，不然现在的本科生都可以当教授了，不要把问题想得那样复杂就好了。
不就是无穷小的无穷次方吗？底数小于1大于0，指数越大，幂越小，且必定小于底数是吗？那么，其极限不是0又会是什么呢？——初中生思维，见笑了。
重新看了一遍贴子，我支持 三岛由纪夫
和 伯顿1217 的观点。 其中还是三岛说的 “问题关键应该不在与这个重极限的计算方法与计算结果是否合理，是这样的取极限运算还能不能理解为无穷个无穷量乘积的 运算。” 我觉得让一个变量等另外一个变量无穷完了，自己再来无穷，重极限 这样研究无可非议。 但要理解为 这个重极限 就是个无穷个无穷量乘积的结果，我不赞同。 因为命题是无穷小，要保证任何情况下都是无穷小啊，不然就不是无穷小了
那么axiaozi009认为所给的Xm(n)在什么情况下不是无穷小量呢？ 反正不能是m是n的多项式的情况。 反驳一个问题不能只凭直觉，至少要拿出有说服力的论证来。
楼主说“无穷多”个“无穷小”，前提都是无穷小了吖~~~~
实在不能理解，这有什么不能说是无穷个无穷量乘积的运算？ 我们先不来讨论m是否是无穷大，单纯看m个无穷小量相乘，那就是 Y(n)=TT_(k=1)^(m)Xk(n),n=1,2,3,4,5,...... 现在再令m趋近于无穷大，那不就是 Y(n)=lim_(m-&infinity){TT_(k=1)^(m)Xk(n)},n=1,2,3,4,5,...... 吗？ 这个过程就那么难理解吗？
leynice,你用遍历来取代变量，我领教了，不玩这个了，来个新鲜的 1. 矩阵：由不同定义的无穷小元素组成的多维矩阵
无数个这样多维矩阵相乘的所产生的最终矩阵（当然前提矩阵符合相乘条件）
请问产生的这个最终矩阵的元素还是无穷小的吗？ 2.定义： M：所有包含集合自身的所有的无穷小元素集合； N：所有不包含集合自身的所有的无穷小元素集合；
问：N∈M还是N∈N。 如果N∈M，说明N具备M的特征，根据M的定义，N包含集合自身，但这和N的定义矛盾； 如果N∈N，说明N具备包含自己的特征，这与N的定义矛盾； 但M＋N遍历所有无穷小元素的集合域，所以N也不是空集。 于是，悖论产生。
那么axiaozi009认为 lim_(n-&infinity)lim_(m-&infinity){TT_(k=1)^(m)Xm(n)} 这个重极限代表了什么？
axiaozi009： 我不知道你所说的遍历是指哪段话，但我认为我在论述过程中并没有把“遍历”这个东西带进正规的论述证明，只是在回伯顿兄的帖子时为了方便理解提到了“取遍”这个词，如果你看得足够认真的话，应该可以看出来这并没有什么用“遍历取代变量”的意思，而是指哪个参数更早取到无穷大的问题。 至于你所提的两个问题我承认超出了我的能力范围，若是你能告诉我答案那就最好。
另外，关于第二个问题的提法似乎有问题，该问题的原型是不是： 2.定义： M：所有包含集合自身的集合的集合； N：所有不包含集合自身的集合的集合； 问：N∈M还是N∈N。 这个应该就是著名的罗素悖论。 如果是的话建议你下次复制粘贴要改动的时候注意一点儿语法和词汇。
再说一点，如果axiaozi009兄是打算用这两个问题来说明我的论证方法不可靠，那么请明确叙述出其中的不合理之处，因为我实在看不懂这两个问题跟我的论证方法有什么交集。
明明只是重积分参数次序的问题，可不要开成罗素悖论的讨论贴了。
如果是的话建议你下次复制粘贴要改动的时候注意一点儿语法和词汇。 ---------------------------------------------------------------- 糟糕，忘记大家都是网络高手了，下次注意 呵呵，开个玩笑哦，其实这个矩阵问题也是刚刚想到，没有结论 leynice很认真要辩个明白，我也得奉陪到底阿 我还打算编个搞笑文章描述一下我们讨论问题的经过。^_^
哈哈！那本年度最有文化兼最冷的笑话就要诞生了。
另附南京大学吴朝阳老师给的反例： 反例之二：
/ n^{1/[(m-n)*(m+1-n)]}, n&m 对自然数m, 令 X_m(n) = &
\ n^{-1/[m*(m+1)]},
n&=m 则,对每一个自然数 m, 有:
limit_n_goes_to_infinity X_m(n) = 0. 所以, 对每一个自然数 m, X_m(n) 都是一个( n 趋于无穷时的)无穷小量. 考察 P(n) = Product_m_from_1_to_infinity X_m(n). 其意为: P(n) = limit_M_goes_to_infinity Product_m_from_1_to_M X_m(n). 而 M 充分大时,有 Product_m_from_1_to_M X_m(n)
= Product_m_from_1_to_n X_m(n) * Product_m_from_(n+1)_to_M X_m(n)
= Product_m_from_1_to_n n^{-1/[m*(m+1)]}
* Product_m_from_(n+1)_to_M n^{1/[(m-n)*(m+1-n)]}
= n^[-1 + 1/(n+1)] * Product_k_from_1_to_(M-n) n^{1/[k*(k+1)]}
= n^[-1 + 1/(n+1)] * n^[1 - 1/(M+1-n)]
= n^[1/(n+1) - 1/(M+1-n)] 令 M 趋于无穷,得: P(n) = n^[1/(n+1)] 这个例子, 有( n 趋于无穷时的)P(n)的极限为1,不是无穷小量.
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