java高斯赛德尔迭代法 计算器能不能算

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-05-24 05:23 标签： 高斯赛德尔迭代法原理
雅克比迭代法的迭代矩阵J是Bx+f中的B,那高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵G,好像和J是一样的?是怎么算出来的?_百度知道
雅克比迭代法的迭代矩阵J是Bx+f中的B,那高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵G,好像和J是一样的?是怎么算出来的?
提问者采纳
迭代法写成x&-Bx+f之后迭代矩阵当然是B不过问题在于不同的迭代法产生的B和f是不同的在Jacobi迭代中A=D-L-U，Ax=b &=& Dx=(L+U)x+b &=& x=D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b所以B=D^{-1}(L+U)在Gauss-Seidel迭代中同样A=D-L-U，但是Ax=b &=& (D-L)x=Ux+b &=& x=(D-L)^{-1}Ux+(D-L)^{-1}穿籂扁饺壮祭憋熄铂陇b所以B=(D-L)^{-1}U
提问者评价
虽然还不是太明白，还是谢谢！还是要再去看看书。
来自团队：
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出门在外也不愁如何判断雅各比迭代法、高斯赛德尔迭代法是否收敛_百度知道
如何判断雅各比迭代法、高斯赛德尔迭代法是否收敛
提问者采纳
，否则不收敛计算谱半径，不能说明其发散，则收敛!！也可用列范数或行范数判断。但范数大于1时，还要通过计算谱半径来确定其收敛性,列范数或者行范数小于1!望采纳！不懂再问。其中谱半径就是迭代矩阵J或者G的最大特征值，谱半径小于1，则收敛
提问者评价
虽然已经看书查了。。看你打了这么多字。。。。
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其他1条回答
看A矩阵是不是严格主对角占优，弱不可约矩阵
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&&&主编推荐
&&&&&&&&&&&&&&&
希赛网 版权所有 & &&第五节 迭代法的收敛性
&&&&&&&&&&&&&& 第五节 迭代法的收敛性
&&& 定义2 设有矩阵序列
个数列极限存在且有
则称{Ak }收敛于A，记为
&&& 定理2 其中‖?‖为矩阵的任
意一种算子范数。
&&&& 定理3 是对任何向量x∈Rn
&&&& 定理4 设B=[bij ]∈Rn×n
，则（零矩阵）的充分必要条件是矩阵B的谱半径ρ(B)1.&
&&&& 定理5 (迭代法基本原理) 设有方程组x = Bx+f及一阶定常迭代法
&&&&&&& &x(k+1) = Bx(k)+f
对任意选取初始向量x(0)
, 迭代法收敛的充要条件是矩阵B的谱半径ρ(B)1
&&&& 证明 充分性
设ρ(B)1，易知Ax=f(其中A=I-B)有唯一解, 记为x* , 则
x* = Bx* + f ，注意到
- x* = Bx(k-1)
+ f - (Bx* + f) = B(x(k-1)
- x* ) = Bk (x(0)
-x* )&所以，误差向量&
= Bk ε(0)
由ρ(B)1，应用定理4，有.
于是对任意的X(0) 有
必要性 设对任意X(0) 有
其中x(k+1) = Bx(k) + f.&
显然，极限x* 是方程组
x=Bx+f 的解，且对任意x(0) 有由定理3知
再由定理4，即得ρ(B)1.
推论 设Ax=b，其中A=D+L+U为非奇异矩阵且D非奇异，则
& (1) 解方程组的雅可比迭代收敛的充要条件是ρ(J)1，其中
J = D-1(L+U).
& (2) 解方程组的高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件是ρ(G)1,其中
G = (D+L)-1U.
(3) 解方程组的SOR方法收敛的充要条件是ρ(Lω
)1, 其中Lω
= (D-ωL)-1
((1- ω)D+ ωU)
考察用雅可比方法解方程组得收敛性
解：迭代矩阵J的特征方程为
det(λI-J)=λ2 +0.λ+0.
&&&& λ1 =-0.3082，λ2 =0.5，λ3 =0.5
&&&& |λ2|=|λ3|=0.35921, |λ1|1,
即ρ(J)1，所以用雅可比迭代法解方程组(1.2)是收敛的.
例6 考察用迭代法解方程组x(k+1)
+ f的收敛性，其中
解 特征方程为det(λI-B)=λ2 -6=0, 特征根λ1,2
, 即&ρ(B)>1. 这说明用迭代法解此方程组不收敛.
定理6(迭代法收敛的充分条件) 设有方程组x= Bx+f,B ∈Rn×n
及&一阶定常迭代法x(k+1)
+f. 如果有B的某种算子范数‖B‖=q1,则
&&&&& (1)迭代法收敛，即对任取x(0)
x* =Bx* +f.
(1)有基本定理4结论(1)是显然的.
(2)显然有关系式&
x* -x(k+1) = B(x *-x(k) )及&
反复利用(b) 即得(2).&
(4) 反复利用(a), 则得到(4).&
&& 定理7: 对于方程组Ax=b,
&& (1) 若A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和G-S迭代均收敛。
&& (2) 若A是严格对角占优矩阵,0&ω≤1,则松弛法收敛。
&& (3) 若A是对称正定矩阵,1&ω&2,则松弛法收敛。 即若A为对称正定矩阵，则松弛法收敛的充分必要条件是：0&ω&2&
例7 方程组Ax=b的系数
试分析收敛性。
&解：A 的一阶、二阶、主子式分别为
&&&&&&&&&&&&
故A是正定矩阵且对称, 因而松弛法收敛; 但A不是严格对角占优矩阵,因而不能保证Jacobi迭代和G-S迭代收敛。

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