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　　学生如何取得数学高分掌握10大学习诀窍！
　　李老师
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　　掌握10大学习诀窍，数学拿高分
　　1、数学三种解题境界：在考场上，优秀学生凭记忆解题，一般学生凭思考解题，差的学生凭&创造&解题。
　　要做到考试凭记忆解题，做题时就要做好准备：题目解答总结完毕，一定要花点时间静心默想记忆整个解答过程、题目的突破点、易错点等。将题目以清晰的原型印刻在脑子里，解题时就会思如泉涌。
　　2、&悟&出错题背后的深层原因。
　　做完题目后，要针对自己的情况，做一个排查工作，把自己薄弱的知识点都排查一遍。对做错的题要十分重视，找出做错的原因，以此有针对性地重视知识点和基础题型的学习。
　　3、数学四大加分策略：调整状态就是加分、弥补漏洞就是加分、关联整合就是加分、默想记忆就是加分。
　　4、使用题组训练法，一个题组三五题，效果超过十几、几十题。
　　5、数学三步五问学习法。
　　&三步&：审题解题、总结反思、默想记忆；在总结反思阶段，要问五个问题：这道题的突破点是什么？这道题使用了哪些关键知识点？这些知识点是如何运用的？用简洁的语言或图表来表达这道题的解题思路？如何推广这道题的解题思路？（变条件？变结果？条件结果互变？）
　　6、针对薄弱点，追根究源，精准补差，精准提高。
　　7、使用题法战，告别题海战。
　　8、用好错题本。要遵循以下几个步骤：纠正错题要及时、认真；并分析错误原因；将认真搞懂正确的答案，如果有几种方法，要一并学习初三；经常回顾错题，进行纠错特训，尤其是考试前。
　　9、女学生学不好数学要多画图。
　　10、解一题会一类，学会解题方法、思路。
　　做题后，要注重总结反思。做完每道题后要有一个详细的总结，从知识点，题型，解题方法以及关键点和易错点等方面去分析。
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& 2013高考理科数学解题方法攻略—简化解几运算
2013高考理科数学解题方法攻略—简化解几运算
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资料概述与简介
减少解析几何运算量的若干方法
在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。
回归定义，以简驭繁
圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。
例1、在面积为1的ΔPMN中，∠=,∠,建立适当的坐标系，求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程(93年高考题)
分析：在该题的题设条件中，其实是给出了ΔPMN的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。
解：建立如图1所示的坐标系，设所求的椭圆方程为，则由椭圆定义有，，过点向轴作垂线，垂足为，
∠，∠。由平面几何知识有:
所求的椭圆方程为
说明：在上述解题过程中，是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。
例2、长度为a的线段AB的两端点在抛物线=2py(a≥2p>0)上运动，以AB的中点C为圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85年湖北省六市高考预选题）。
分析:这里其实就是要求定长弦AB的中点C到准线的最小距离。由于AB中点到准线的距离等于AB两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求A、B两点到准线距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A、B两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段A、B过焦点时，A、B两点到焦点的距离之和取得最小值，这时A、B两点到准线的距离之和也取得最小值，所以点C到准线的距离取得最小值。
解：如图2，过弦AB的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H,又设圆C与抛物线的准线切于D,设抛物线的焦点F,连CD、AF、BF。由抛物线的定义，，且
≥a。上式中的等号当且仅当AB过焦点F时成立。所以圆C的最小半径是a.
说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦），由于通径长为，所以抛物线的定长弦的长度大于等于时，本例的上述解法才成立，如果时，弦AB就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当AB与轴垂直时，AB中点C到准线的距离最小。
设AB所在直线方程为，将它代入抛物线方程，得：，∴，
∴∴，∴，故点C到准线的距离为。所以这时圆C的最小半径为
例3、设是曲线上三点，求证：△的垂心也在该曲线上。
分析：证垂心在曲线上，故只需求之值，而无需求、。
解：、、。则从而知
并消去得：
设而不求，整体运算
在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。
例4、椭圆上有两点P、Q，是原点，若OP、OQ斜率之积为。（1）求证：|OP|2+|OQ|2为定值。（2）求PQ的中点M的轨迹方程。
解：（1）设P、Q的两点坐标分别为、Q,P、Q分别在椭圆上，且，
（3）代入（4）得，（1）+（2）得
（2）设P、Q的中点M的坐标为M，则有，，
（1）+（2）+（3）得，。
即：，中点M的轨迹方程为
充分运用图形几何性质，简化（或避免）计算
解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。
例5、已知圆，动圆与轴相切，又与圆外切，过作动圆的切线，求切点的轨迹。
解：设动圆与轴切于点，动圆与定圆切于点，切点在，，故∠=∠，从而∠=∠，、、共线。由切割线定理，（9）。又在△中，⊥，故（10）。由（9）、（10），知。故的轨迹为圆（）
说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于
利用平几知识推导出
例6、已知是圆内的一定点，以为直角顶点作直角△，、在圆上。求的中点M的轨迹方程。
解：，连结在△中，是的中点，⊥，。在△中，。。。 点的轨迹方程为。
说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有。从而不必进行复杂的运算就可将问题解决。
在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。
用“降维法”减少计算量
变量的个数也称“维数”。确定直角坐标平面上的点只需两个量，因而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。
例7、已知；直线和曲线交于、两点，是这条直线上的点，且。求当变化时，点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85年上海考题）
解：设、、在轴上的射影分别是、、，，，这里是直线的倾斜角，。，，即，（此式只与有关）也就是（1）将代入得：（2），。将它们代入（1），得（3）再将代入（3）以消去，即得轨迹方程。由于方程（2）当且仅当≥0时有实根（即直线与二次曲线有交点），因此≤≤。所以所求的轨迹是夹在两条平行直线和之间的椭圆的一部分，以及点。
例8：如图，给出定点和直线，B是直线上的动点，的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与值的关系。
解：设点C的坐标为，则AC的方程为：，于是B。由角平分线性质知：。设C在轴上的射影为，于是AC与CB之比等于它们在轴上的射影之比，即。又由于OB∴有。
∴点C的轨迹方程为：。（ⅰ）当时，点C的轨迹为椭圆；（ⅱ）当时，点C的轨迹为抛物线（ⅲ）当时，点C的轨迹为双曲线。
说明：将AC与CB之比转化为它们在轴上的射影之比，从而转化为A、C、B三点横坐标有关的比值，是该例解题过程中能够减少运算量的关键。
利用韦达定理化繁为简
某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。
例9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。（《数学通报》80年第6期）
分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证，只要证，即证：，于是只要证：AD的中点与BC的中点重合即可
证明：如图设双曲线方程为（），则它的渐近线方程为设直线与双曲线的两支和它的两条渐近线交于（从左到右）、、、。由，消去得：。设其两根为、，依韦达定理，有：。由，消去得：。
设其两根为、，依韦达定理，有：。因此，，即。由于， 。当直线垂直于轴时结论显然成立。
说明：A、D两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出AD中点的坐标；而B、C两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程联立，不解方程可以求出B、C中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。
例10、已知圆，及直线交于、，圆的动弦的中点在上，是否存在抛物线，恒与直线相切。
解：连。令,则,,。
（1）视（1）为的一元二次方程，点在直线上≥0≥（2）。由（2）知直线上的点在抛物线的外部区域（不含焦点的区域）或在抛物线上。
将的方程代入中得，。故存在抛物线恒与相切。
换元引参，功于渗透
换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等换元引参，往往起到化难为易、事半功倍之效。在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或变原题条件。
例11、已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直一平分线与轴交于点，证明（92高考题）
[分析]：要证的是不等差数列式，由此联想到正余弦函数的有界性，联想到三角换元。
证明：、两点在椭圆上，设、，，则
中点,,又,故，的垂直平分线的方程为。点在直线上，其坐标满足上面的方程，，
，又，且。，又因，，从而
选用方程适当形式，减少运算量
例12、离心率为的圆锥曲线中，过焦点F的对称轴与相应准线交于，过F的弦交曲线于M、N两点，过A而平行于MN的直线交曲线于B、C两点。求证：（摘自《数学通报》）
解：设圆锥曲线的方程为：（1）
MN的方程为：（为参数）（2）将（2）代入（1），有：，，设AC的方程为（为参数）（3）将（3）代入（1）有：，。
例13、过椭圆（）的中心O作互成角的三条半径、、，求证：为定值。
解：椭圆的普通方程化为极坐标方程：。设与轴所成的角为，由题意知、与轴分别成、的角。
（定值）。
由例12、例13可见，方程形式的选择要适当（读者可对照《数学通报》85年第3期第15页的解法）。一般地，涉及过定点的同一直线上的线段的和、差、积等问题，用直线的参数方程较好；涉及过圆锥曲线的焦点（或中心）的线段问题，曲线用极坐标方程为好。
八、巧用圆心，避免复杂运算
当我们需求解圆周上一动点到二次曲线上一动点距离的最值问题时，如用“心”去解，则可避免复杂运算，达到化繁为简的效果。
例14、己知点P是椭圆上一动点，点Q是圆上一动点，试求|PQ|的最大值。
分析：如图8，当点、、Q不共线时，，因此，要求|PQ|的最大值，就应该使达到最大，即圆的圆心到椭圆上的动点P之间距离达到最大，将该最大值加半径就得所求。
解：先求点到椭圆上任一点P的距离的最大值。
∴当时，取最大值，∴取最大值，于是。
说明：、若该题直接设、，则是一个含有与的二元最值问题，我们不易对它作进一步的运算，因此不能直接计算。
、若我们从图形的特点出发，认为图8中（即圆与轴上方的交点）十分特殊，它与椭圆上点P的距离，则会产生错误，，所以在该题求解过程中，没有利用价值。
、若在例题中增加求当达到最大值时，P、Q两点的坐标，则应先求P点坐标。的延长线与圆的交点就是达到最大值时Q点的坐标。
、从本例题的求解过程中，可以发现圆心的作用十分突出。当我们求解这类最值时，就应用“心”去解，才能避免复杂运算，化繁为简。
1、己知为椭圆的两个焦点，过作椭圆的弦AB。
（1）求证：的周长为常数（2）若的周长为16，椭圆离心率，求椭圆的方程。
2、已知双曲线上的三点、、的横坐标、、成等差数列，求证：、、到焦点（右焦点）的距离也成等差数列。
3、设A，B是抛物线上的点，且满足（是坐标原点，见图9）。
求证：直线AB过定点，并求该定点的坐标。
4、在△中，，在直线上移动，求△外心的轨迹方程，并说明是什么图形？
5、若抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围。
6、如图10，已知曲线，，直线，、从左到右的交点依次是、、、，
求证：是定值；
（2）为何值时，有最小值，最小值是多少？
7、如图11所示，己知椭圆，直线。P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
8、己知：点P是椭圆上一动点，点Q是圆上一动点。试求的最小值。
9、己知：点P是抛物线上一动点，点Q是圆上一动点。试求|PQ|的最小值，及达到最小值时P、Q的坐标。
练习解答：
1、（1）证明：由椭圆定义，得的周长=（常数）
（2）解：由第（1）小题结论知：，。
又有，，。
∴所求椭圆方程为。
2、证明：如图12,设点、、到右准线的距离分别为、、，椭圆的离心率为，则由双曲线的第二定义，得，，
。故、、成等差数列
3、证：设，，则，，即。，，。过，的直线AB：，，，∴AB：， ,
,故直线AB恒过定点。
4、解：设为△的外心，，，又，△是等腰三角形，过作于，则，。
外心的轨迹为双曲线的左支。
上述解法利用了平几知识大大减少了运算量给人耳目一新之感。
5、解：如图13，设抛物线上两点关于直线对称，AB中点为，显然。，，
中点在直线上，。，---------②
由①、②并根据韦达定理的逆定理知：是方程两相异实根，∴有，即，整理得：。
6、解：本题涉及上的线段的和、差问题，的方程宜选用参数方程。
设（为参数）代入中得：，，。代入中得：，，。图中，，，，
（1）为定值。。令，则。。。≥0≥。当时，有，从而。故的最小值为，对应的的值为。
7、解：以直角坐标原点为极点，轴正方向为极轴，建立极坐标系，则。于是椭圆的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：；由于，，。故Q点的极坐标方程为：，，，配方得：。这就是Q点的轨迹方程。
8、解：先求圆心到椭圆上一点距离的最小值。设，。当时，取最小值。取最小值。故|PQ|最小值为。
9、解：设，圆心。
≥（当时）。∴|PQ|的最小值为。∵当时，即时，|PQ|达到最小值。
∴这时P点的坐标为或。
（ⅰ）当P点的坐标为时，与P所连线段与圆相交于。
（ⅱ）当P点的坐标为时，与P所连线段与圆相交于。
综合（ⅰ）（ⅱ）知：当|PQ|取最小值时，P、Q两点的坐标分别为P、Q或P、Q。
例谈解析几何中减少运算量的几种策略
江苏省姜堰中学 张圣官（225500）
2004年上海高考数学第11题是：教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是的左焦点，过F且倾斜角为600的直线交椭圆与A、B两点，若AF=2BF，则椭圆的离心率e=___________。
常规思路分析：直接计算，若设出直线AB方程，代入椭圆 进行消元，消去x得到关于y的一元二次方程。利用韦达定理，将条件AF=2BF转化为，求出有关a、b的关系式，从而得出椭圆的离心率e。然而其运算将是一件非常烦琐的事情。
优解：作出椭圆的左准线，过A、B分别作左准线的垂线，垂足记为M、N，根据条件AF=2BF设AF=2k,BF=k，则，过B作BQ⊥AM于Q，则。在⊿ABQ中，，AB=3k，∠BAQ=600，因此，。
小结：以上解法采用“回归定义”的策略，简捷运算，是“数”与“形”有机结合的典范。
例2．坐标平面上一点P到点A（,0）的距离都相等。如果这样的点P恰好只有一个，那么实数a的值是（
常规思路分析：设出点P的坐标(x,y)，根据其到点A（,0）的距离都相等列出关系式，然后由“这样的点P恰好只有一个”逼出实数a的值。可是要真正实施起来运算量太大了，根本不可行。从抛物线定义出发可得简解。
优解：平面上到点A（,0）的距离相等的点的轨迹是抛物线y2=4x。本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A（,0）或-。正确答案为（D）。
小结：获得题目所固有的本质属性，需要把定量的计算和定性的分析有机地结合起来。
例3．已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆的右焦点，M为椭圆上一点，
（1）求|MP|+2|MF|的最小值；
（2）求|MP|+|MF|的最小值。
常规思路分析：如果设出M点的坐标，无论是设为(x,y)，还是都不太好操作，太繁琐了！可以考虑运用定义。然而两小题中|MF|的系数一个为2，一个为1，这就导致了所用知识的不同。注意到椭圆的离心率为，则第（1）小题可运用椭圆的第二定义来解，而第（2）小题则需要通过椭圆的第一定义求解。
优解：（1）椭圆的离心率为，右准线为L：x=4，过M作MN⊥L于N，
则|MP|+2|MF|=|MP|+|MF|=|MP|+|MN|（根据椭圆第二定义），
∴当P、M、N三点共线时，即M（，-1）时， |MP|+2|MF|的最小值为4-1=3。
（2）设椭圆左焦点为F1，则|MF|+|MF1|=4（椭圆第一定义），
所以|MP|+|MF|=|MP|+4 -|MF1|=4 -（|MF1|-|MF|），
当M在F1P延长线上时|MF1|-|MF|取最大值|F1P|=，此时|MF1|-|MF|取最小值。
小结：椭圆两种定义的合理运用，使问题的解决方法得到了最优化。
二．平几渗透，数形结合
解析几何首先是几何问题。一味强调解析几何中的代数运算有时会导致烦琐的过程，而如果在进行计算的同时综合考虑几何因素的话，即在用代数方法研究曲线间关系的同时，充分利用好图形本身所具有的平面几何性质，常可得简捷而优美的解法。
例4． 已知A（3，0）是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作直角三角形ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程。
常规思路分析：B、C都为圆x2+y2=25上的动点，可引进角参数，设出B、C的坐标，然而这将导致繁复的运算。如果注意到由“垂径定理”知OM⊥BC（O为原点），那么再结合∠CAB=900，AM=BM=CM=BC，即可迅速解题。
优解：设M(x,y),连结OC，OM，MA，
则由“垂径定理”知，∵M为BC的中点
∴OM⊥BC，∴OM2+MC2=OC2，
∵在直角ΔABC中，AM=BM=CM=BC，
∴OM2+AM2=OC2，即x2+y2+(x-3)2+y2=25，
∴M点的轨迹方程为x2+y2-3x-8=0 。
小结：“垂径定理”的使用，让我们在寻找M的坐标中的x与y的关系时，跳过了两个动点B、C，而直达一个非常明确的结果OM2+AM2=OC2。这大大减少了运算量。
例5． 设直线L：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，则当m为何值时，OP⊥OQ？
常规思路分析：基本思路是直线方程代入圆方程，消元后利用来求m值。现借助于圆的几何性质可有如下巧解。
优解：如图，因为圆C：x2+y2+x-2y=0过原点O，则
∠POQ是圆C的圆周角，且为直角。根据“圆中900的圆周角所对的弦是直径”可知PQ为圆C的直径，即直线3x+4y+m=0过圆心C（，1），代入直线L方程得，，∴ 。
小结：将直线方程3x+4y+m=0代入圆方程，消元后利用来求m值，也是切实可行的。而借助圆的几何性质来解题，则令人拍案叫绝！
三．巧用向量，辩证求解
解析几何与向量是高中数学新课程方案中两个重要的分支学科，数形结合是这两个学科的共同特点。由于向量既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，因此，向量是数形结合和转换的桥梁。对于解析几何中图形的重要位置关系（如平行、垂直、相交、三点共线等）和数量关系（如距离、角等），向量都能通过其坐标运算来进行刻划，这就为在解析几何解题中充分运用向量方法创造了条件。
例6．已知四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，求证：两条对角线互相垂直。
常规思路分析：这是高中数学（必修本）第二册（上）第88页中的一道习题。其解析法证明：如图，建立坐标系，设四边形的四个顶点为A（a，0）、B（b，c）、C(0，d)、D(e，0)，
∵|AD|2+|BC|2=|AB|2+|DC|2，∴（a－e）2+(c－d) 2+b2=(b－a) 2+c2+d2+e2，
化简得，ab－ae=ad，即cd=a(b－e)
可假定a≠0，b－e≠0（因为如果a=0或b－e=0，有c=0或d=0，与四边形ABCD矛盾），将①式两边同除以－a(b－e)得，就是KBD·KAC=－1，∴AC⊥BD。
优解：（向量法）设以O为起点，A、B、C、D为终点的向量分别记为、、、，则，
可得，即 ，∴。
小结：向量证法一气呵成，对称、和谐、统一，给人以美的享受，由证明过程可以发现其逆命题亦为真，并且结论立即可以推广到空间四边形中。原因在于向量法显现了问题的内在本质。
例7．（1995年全国高考题）已知椭圆，直线：上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2。当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
常规思路分析：设P、R、Q的坐标分别为(xP,yP)、(xR,yR)、(x,y)，则，=1（2），，，。然后消去xP、yP、xR、yR，得关于x、y的方程。现注意到OPQR共线，可有如下向量解法。
、同向，且|OQ|·|OP|=|OR|2
代入l方程，得
同理，、同向，，∴，
代入椭圆方程，得
比较①、② 得
（x、y不全为0），
∴Q点轨迹为椭圆（去除原点）。
小结：用向量法解题，避免了繁琐的运算，并且得出了Q点轨迹方程恰为这一非常奇妙的结论。事实上，这一结论还可推广到其它椭圆或双曲线。
例8．设G、M分别是三角形ABC的重心和外心，A（-1，0）、B（1，0），且∥。
(1)求点C的轨迹E的方程；
(2)已知点D，是否存在直线L，使L过点（0，1）并与曲线E交于P、Q两点，且∠PDQ为锐角或直角。若存在，求出直线L的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由。
常规思路分析：设点C(x,y)，由条件求其轨迹。第（2）问先设直线L代入轨迹E的方程，将∠PDQ为锐角或直角与韦达定理结合，利用“到角公式”可得直线L的斜率k的取值范围。不过以下将条件“∠PDQ为锐角”转化为更为简捷。
优解： (1)设C(x,y)，则G()，M()，AC中点F，
所以点C轨迹E的方程为：3x2+y2=3(y≠0) 。
（2）将直线L的方程y=kx+1代入曲线E的方程得， (k2+3)x2+2kx-2=0，
设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则，
依题意，∠PDQ为锐角或直角，即，
整理得，，所以 。
但是，当k= -1时，直线L恰过点A（-1，0）而A不在E上，故舍去，
因此，符合条件的直线L存在，所求斜率k的范围为 。
小结：向量与解析几何的结合，将传统知识与新课程内容组合，是目前数学高考的热点。
四．理解算理，多想少算
对于解析几何中不少令人兴奋不已的运算技巧，应当通过典型问题的分析，让学生理解这些技巧的运算机理，理解它的每一步骤的几何意义与代数意义，要了解它成功应当具备的条件，也要了解它的局限性。理解运算技巧的本质，有利于从机理上发现相似，拓宽技巧的应用范围与深度，产生联想迁移的效果。
例9．过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P1和P2，且A为线段P1P2的中点，求直线L的方程。
常规思路分析：设直线L的方程为y-1=k(x-2)，代入双曲线，消去y得到关于x的一元二次方程。然后用韦达定理，利用A为线段P1P2的中点这一条件，解得k，从而得到直线L的方程。
优解：设弦的两端点的坐标为P1 (x1,y1)和P2 (x2,y2)，代入双曲线得，
由中点A（2，1），所以x1+x2=4,y1+y2=2，因此KP1P2=，
即所求直线L的方程为y=4x-7。经检验，符合条件。
小结：以上解法称为“点差法”，它是一种“设而不求”的优美解法，常用之来简捷地处理有关圆锥曲线中的弦中点问题。
例10．直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，直线AF、BF分别交抛物线于C、D两点，求直线CD的方程。
常规思路分析：求出A、B的坐标（用a,b,p表示），写出直线AF、BF的方程，分别求出它们与抛物线的交点C、D，从而求出直线CD的方程。要得简解，我们进行深入观察、分析、比较、联想，可以发现C、D两点具有某种一致性，可以设法找出C、D两点都满足的一次方程。
优解：设C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，由抛物线性质知
，∴，∴。
∵A在直线上，
将代入得，即，
所以C点在直线上。
同理D点也在直线上。而经过C、D两点的直线有且只有一条，故直线CD的方程即为。
小结：我们曾经做过这道题：“若2x1-3y1=4,2x2-3y2=4,求经过两点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线方程”。由条件知，点A、B都在直线2x-3y=4上，而两点确定一条直线，故可得直线AB的方程即为2x-3y-4=0。以上解法就是在理解算理的基础上，将这道题的方法进行联想迁移得到的。
以上本文共介绍了四种解析几何中常用的减少计算量的方法。其实，在解决解析几何问题时，减少计算量的方法还有很多，并且不同的题目也会有不同的处理办法，只要在平时的练习中多实践、多总结，肯定能够以简驭繁、事半功倍，使解题思路构筑在较高的层面上。
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