1.1.3导数的几何意义(完成)_图文_百度文库
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1.1.3导数的几何意义(完成)
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师先生，你好！
你的信我没有看完，就断定我们没有必要再扯下去了。你车轱辘话来回说，真不知道你为什么居然写出如此长的信。凡是我回答你，你答不出来的地方，你就装傻，说我是“喊口号”，有些你不会看书啊？你还让我给你把书打一遍是怎么地？呵呵，我没有必要再跟你喊什么口号了。
&你很多基本概念不懂。我不得不说。这不是什么口号。理由前信都说了。没必要重复。
&你此信中错误比比皆是。比如，你说贝柯莱悖论是左边无穷小，右边有限值，是吗？你自己看书去！贝柯莱悖论是左边0/0，右边非零。你要搞清楚。你对极限法的理解也无厘头。极限法是摈弃无穷小的，也就是标准分析是排除无穷小的，非标准分析才是引进无穷小的。你居然连这个也不知道。还跟你啰嗦什么？此外，你说极限就是导数，看不出来这里需要定义。足见你的水平了。你参看徐利治的“论无限”去。此外，你自己在信中也说，现有极限法，后有微分定义出来的“导数”。后者依赖前者。既然如此，我不就是这个意思？足以判断你根本不是在做学问，讨论问题，是为了反对而反对。所以没有必要再与你交流下去。我正在写东西，没功夫了。
最后再点拨你下，算对你负责。究竟导数可不可以是有限量之比，你去翻”微积分概念发展史“159，268。268，209，10-11，6-7等页。关于无穷小等在标准分析中的地位，去看”什么是数学“543等页。
我们的交流就此为止。以后不必来信。各走各路吧。
& & & 夏安！
----- 原始邮件 -----
发件人：shijm618
主题：Re:回复：Re:回复：Re:回复：Re:沈卫国信
日期：日 11点47分
02:19:50， 写道：
师先生，您好！
&来信收悉。感谢讨论。
&不过我还得继续“点拨”你，呵呵。
1、我的传统导数意义下的斜率，就是无穷小的“微分三角形”意义上的，不是个宏观的东西。你其实心里明白，因为你也是认为贝柯莱悖论没有解决的，如果是宏观的，则什么问题没有，你为什么还忙活几十年搞创新？
& & 2、你属于饶舌，不回。
3、你所谓的第一代，第二代微积分，其实本质一样。你心里其实明白。由于你我其实都认为第二代微积分没有解决第一代的问题，（贝柯莱悖论），所以二者本质一样。不一样的只是表述不同。所以，我把二者看成一回事，你其实也一样。
4、传统导数当然与切线斜率有关，因为数值相等。就此，有些人非严格地说导数就是切斜斜率。或和缓一点，说起几何意义是切线斜率。但如果真是如此，求导方法就应该如我此文中的，求曲线在某点的切线就可以了。何必大费周章地搞什么牛顿法、极限法？何况切线斜率是两个宏观量之比，传统导数如果也是，还有什么贝柯莱悖论需要你去解决？牛顿，莱布尼兹研究过切线，不等于他们就认为导数就是切线。导数是以极限法定义的。没有用切线斜率直接定义导数。否则根本就不需要极限求法和定义。二者不等价。从极限法，可以推出导数数值上等于切线斜率。但不能是分数，特别是宏观的两个量的分数。因为一旦如此，理论上就不需要再搞什么极限法了。而我所做的正是如此。直接把导数定义成切线的斜率，而且是宏观两个量的比值，所以再也不需要求什么极限。而且可以很贴切地说明极限法为什么成立的理由。教科书上，只是揭示了事实上如此，但没有说明为什么会如此。而且一旦真的把导数看成两个宏观量之比，立刻就不再需要极限法的导数定义和求法。（不是必要的了），你仔细体会吧。此外，就从极限的求法，也不可能认为导数是两个宏观量之比。理由简单之极：在曲线上两个点无限接近时，割线的斜率虽是宏观量，但却是两个越来越小（随二点无限接近）以致甚至可看成无限小的量的比值。那么，怎么可能其极限倒成了两个宏观量的比值？所以，我的所谓切线斜率（二宏观量之比）与传统意义的切线斜率有本质不同。
5、极限法的导数补充定义，你居然不知道？把极限值作为导数，就是一个定义。因为极限点函数本身可以没有定义或者“值”，需要把它定义成函数本身的值，以使函数在该点连续。点拨一下你。
&至于割线、切线问题，我文章第五、第六页写的明明白白的。你自己去看。带撇号的直线斜率，在割线时不是导数，在移动成切线时就是导数。
6、你说我就是喊了一句口号，传统的极限法导数不是比值。我还要什么都点拨你？我以为你明白这个基本常识的。这里还不得不继续点拨你：如果是比值，它就只能是0/0。而绝对不会是切线斜率了。之所以是数值上是切线斜率，正因为不能将其再看成两个宏观量的比值。为了回避这一点，把该点导数定义成极限值。也就是未达到该点时的值。明白了吗？其实上信中我也写了，不使劲点拨你看来还真不行。
下面，是真正比较重要的东西。你举出菲氏著作，说导数就是切线斜率，也就是一个宏观量的比值。说明你对微积分基本的东西不清楚，正是你引的这段话中，菲氏明明白白说“以前把导数看成一个整个符号”的。什么意思？你不明白?为什么以前要这么看？你为什么不直接引用他书中求导的部分，而专门引用微分部分？菲氏这里是等于从微分的定义，重新定义了导数，也就是在微分定义的基础上，可以把微分（此时已经是宏观的）当作分母。这与导数的原始定义风马牛不相及。只是数值一样。这里的“导数”可以是分数，并不能就说原始的、极限法等求出的导数就可以使分数，否则就此不就没有贝柯莱悖论了？事实上，对于你引菲书2到6式，一直就存在争论。数学大家南京大学的莫紹揆就写过文章，丁小平也有文章，这些不去说了。就按菲书的意思，6式是从2式以下求出来的。而2式中的导数是原始的。如果6式就是原始的，何必去求？将6带入2，直接得到dx=大戴尔他x。也就是4式。但谁都知道，4式是把dx代入2式左边的dy而得到的。也就是一个特殊的自函数，水平的x轴的方程。此时导数为1。得到4式。这也是有人诟病此方法的原因。如果6式的导数就是2式中的，还用如此得到4式吗？（当然，4式也有强行如此定义的，这就更没有道理。）我的文章，正是要说明某些结果为什么成立的理由，而你却用原本来路有疑问的结论来反对我的论点。说我的这些观点已经有了。你这是逻辑倒置）。再跟你强调下：传统导数，如果说比值，只能是0/0。也就是dx=0时。所以其不可能等于什么比值。当重新定义极限点的值即为导数值后，由于此时它已经是一个宏观有限值了，而这个值当然可以“再”被表示成一个分数。但必须记住，这是那个定义之后的，不是求出来的。这个分数不是求出来的。本质上是规定出来的。所以它解决不了贝柯莱悖论的问题。你自己完全清楚此点。否则传统理论根本没有问题需要你再费神了。
传统理论，极限理论，离不开dx的趋于0，但又不可等于0。而导数又必须是等于0时的值，所以只有定义。我的理论其实很简单，就是从一开始导数就是切线的斜率。宏观量，所以根本就不用什么极限、趋于0，之类。这是我与传统理论不同的地方。就从菲书你引的公式看，如果6式就是导数的原始含义，也就是两个宏观量的比值，那么，为什么不把2式直接写成6式？还那么啰嗦干什么？可见他还是心虚。此外，从2式到6式，纯粹是认为凑出来的，是大有疑问的，很有人早就提出来了，在我的理论中，2到6的“推导”纯粹多余，（而且这种推导其实也不成立，属于循环论证）。你却用2式到6式来反驳我。
&此外，丁小平指出，dx=大戴尔他x根本就不成立。原因是已经定义dy为微分了，也就是大戴尔他y的线性部分了，于是，同理，dx也只能是大戴尔他x的线性部分，因为在复合函数下（微分必须要允许），比如还有一个t参数时，dx与大戴尔他x不可能相等。定义必须统一。因为没有任何理由把x看成绝对自变量，不允许x是其它参数比如t的函数。你那里从2式到6式的推导暗含矛盾，所以根本就不成立。况且极限法是不承认无穷小量的，但这里又有可以看成无穷小的dy、dx，本质上也矛盾。等于有人说的，前面摈弃了无穷小量，后门又重新引入无穷小量。说dy、dx可以是宏观量，但也没有排除其为无穷小量或趋向于0。而一旦达到0，老问题又出来了。所以这个方法根本就不行。我批的就是它（不止我），你却用它反驳我。
你还反驳我说的“一般认为微分是宏观量”，还举出菲书论点。你自己看看，他不是说的完全没有必要假设微分时无穷小量？至于趋于0时的情况，是特例，不属于“一般情况”，也就没有什么一般认为。极限情况只有一个，宏观量有无穷，请问，哪个更“一般”？
&至于关于微分的争论，你网上去搜，武汉大学原校长齐民友的“重温微积分”一书，提到。还有莫紹揆，丁小平等。你研究微积分多年，居然会不知道。我只是这几年才研究，都知道的。
&在以上讨论基础上，你下面的关于我的“导数=5”的讨论，也就明白了吧？传统的导数严格说不能写成dy/dx之类的分数，因为dx=0时那是0/0。但为了方便，往往教科书中还是那么写，其实是需要另一个定义的。你可看徐利治的“论无限”一书的25页前后讨论。其实你也未必就不知道。
&5、前面已经可以说回答了。导数与切线斜率数值相等，这个意义上，说的导数是切线斜率，比如切线斜率是5，导数也是5，5与5当然一样。但就数学意义，二者完全不一样。请问，求切线的斜率，需要求极限吗？涉及什么无穷小之类吗？你要敢说不求极限，不涉及无穷小，一根直线甚至就是切线的斜率，二者就没有区别。事实上，求切线的斜率根本就不用极限，而这正是我的结论，而不是传统导数的结论。你把二者混为一谈了。
6、如此小事，你也要反复跟我理论。告诉你，原先论文中使用word打的，而且是请人家打的。现在我直接在邮箱回信中打字，没有找到大戴尔他。明白了吗？我告诉你不会打，就是不会打，我还能骗你不成？
下面关于割线、切线的事，本信一开始已经告诉你了。这里不重复。此外，你说切线绝对不是原来的割线。我举你老与年轻的例子。按你的说法，你现在是师教民，你年轻时就不是师教民而是另一个人了？你还不是你嘛。切线与割线当然不同，就如你现在与你年轻时不同一样，但你还是你吧？切线割线，都是那个移动的线，只因其位置不同而不同。明白没有？
7、你给的那几个函数，只要你还会解析几何，就应该会求一条曲线与一条直线的切线。否则就不叫解析几何了。我已经告诉你方法了，你真感兴趣，自己去求。我这里只解决贝柯莱悖论这样原则性的问题，只提供思路。目的当然不是重新推导各种函数的导数，因为推出来结果也一样。我的目的是说明为什么现有理论会由看似矛盾的东西中得到正确的结论。你只要知道函数在某点的导数，就是该点切线的斜率，而且不仅仅数值一样，数学意义也一样。也就是两个宏观量的比值。不用什么极限、无穷小之类。就这么简单。它在我的理论中，不是必要条件。如果非要如此，当然也可以，但过去模糊不清的概念就完全清楚了。也就是定义在点上的导数究竟是什么，还有瞬时速度，点速度究竟是什么。极限法甚至不能得到一条直线的斜率。比如直线"大戴尔他y=5大戴尔他x"，显然
大戴尔他y/大戴尔他x=5，当大戴尔他x等于0时，会得到什么？不是0/0=5？你只能强行定义该点的斜率也为5。这是定义，不是求出来的。而且与斜率的原始定义冲突。因为根本就没有本源意义的一个点的斜率。或定义在一个点的本源意义的斜率。斜率本质上必然定义在两个点上，因为它的原始定义就是如此，所谓“斜”而有“率”，必然要取直线上的两个点才能确定。如果强行定义直线上某点的斜率，那它也只能就是该直线的定义在两点的斜率。我们就把这个本源的定义看成或再定义成一个点的定义。这是一个次生的定义。而且根本就不需要直线上的两个点无限接近之类的极限。
林群的评价，你也要否认。说是客气。他又不认识我，干什么客气？你似乎也与他讨论过，跟你客气没有？对你是怎么评价的？你标榜你讨论问题实事求是，人家就虚伪、客气？
& & & 夏安！
& & &沈卫国
----- 原始邮件 -----
发件人：shijm618 &&A style="COLOR: rgb(24,67,130);
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主题：Re:回复：Re:回复：Re:沈卫国信
日期：日 11点36分
10:24:43，&写道：
师先生，您好！
& 来信收到，现在逐条回复你的质疑。
&1、我的导数的斜率，是指传统上的导数意义下的那个斜率。这要根据上下文来理解。以对比于切线的斜率。我以为你能够明白，所以没有啰嗦。你研究微积分多年，应该很熟悉牛顿和现代求导数的方法及过程。但从你的回信中，给人的印象是你根本就不了解似的。当然，我并不认为你不了解。传统的导数，当然不是两个宏观量之比。否则还要如此纠结吗？所以，它也不可能等价于切线的斜率。只是数值上相等而已。比如，牛顿法离不开两个无穷小量之比，还有贝柯莱悖论。现代极限法，是个极限，要补充定义。而此时的导数就是一个数值，它不可能是有分子分母的一个比值，如果有，它是0/0，无意义。这些你不懂？一个不能分开成分子分母的数值，当然不可能等价于可以有分子分母的数值，尽管二者数值相等，但实际数学意义是不同的。这些你也许不是不知道。
& & 2、此点根本没必要饶舌了吧？咬文嚼字，是你的风格？
&3、此点实际第一点已经回答了。数值当然相等，但意义绝对不同。否则不会有任何疑问了。切线的斜率是两个宏观量的比值，而导数不是。我这里指的是传统理论求出的导数，不是我理论中的导数。你不要又弄混了。
4、此段中，你居然把微分的定义混同于导数，你真的不知道此二点不同？一直以来，就有微分究竟是无穷小量还是宏观量的争论。后来一般认为微分是宏观量，但这与导数中的dx根本是两回事。你竟然把这二者看成一回事，说明你很多基本的东西没有搞懂。请你仔细去看教科书相关段落。这里小小地点拨你下：正是因为传统导数不可能是个分数，有分母分子，所以微分中的dx与导数中的dx不是一个概念。顺便说下，传统导数严格地也不能用dy/dx表示。除非分子分母不可分开。也就是如果dy/dx=5，我们不能直接写成dy=5dx。如果这么写了。这里的dx与dy/dx中的dx根本就不是一回事。而这正是因为在微分定义中dx可以被定义成宏观的增量（大戴尔他x），而导数绝对不可以（指传统认为）。所以，微积分在这里是打了马虎眼。详细的你自己看书吧。
5、此问题前面实际回答了。你理解传统导数就是切线上二点的增量之比，为宏观量。这是错的。只是数值相等。我对你的观点不太了解，所以说“你们”是不对的。
&6、所谓“错误之一”，是大戴尔他（三角形）我不会打，所以只好写小戴尔他。但没有什么本质不同。结论都一样。错误之二，没有矛盾。是切线，当然就是导数，是割线，当然就不是。你举的是切线情况，但我没有说不能是割线吧？谁告诉你说只能是切线了？你没有细看我的文章。难道我说“你老了”，你就不能年轻过了？这是简单的形式逻辑问题。
7、新求法应该是第4页第三章。如此写的明明白白，你居然说没有看见。你视力几何？白内障吗？如果有赶紧去治治。现在有办法，可以动手术的。我母亲手术就很成功的。
&顺便跟你通报一下，此文我给林群院士看过，他的回信的评论是“很有创见，观点很新”。你这个“改革派”反倒看不出我与传统理论的区别。
此外，给你提个小小的建议：讨论问题要大处着眼，自己已经明白的，没有必要死扣个别词句。比如，我说长宽比，是因为戴尔他不好打，要转换。所以图个省事，想你的智力也没有什么不明白的。会知道我说的是什么。可你已经知道我的意思了，却还要说什么纵坐标横坐标的。有意思吗？你老这样，给人的印象就是此人“矫情”，吹毛求疵。我开个玩笑猜一猜：你生活中也是这样的人吗？
& &夏安！ &
----- 原始邮件 -----
发件人：shijm618 &&A style="COLOR: rgb(24,67,130);
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主题：Re:回复：Re:沈卫国信
日期：日 10点44分
03:15:22，&写道：
师先生，您好！
&首先感谢您的讨论。但我不得不说，很遗憾，您没有搞清我的意思。你说任何人都知道导数是切线的斜率，既然如此，你还搞什么新东西，按教科书不就行了？导数的斜率是不同的。都知道，传统微积分所谓的导数斜率，是所谓无穷小的微分三角形的长宽比，而不是一般的切线斜率。它只是数值上与切线斜率一样罢了。请问，微分导数中的dx,dy,是宏观量吗？而我的文章中指的是宏观量，与无穷小没有关系。在你们的导数中，两个点都是曲线上的，而我的理论中，两个点事切线上的，与曲线无关。只是曲线与切线有一个交点而已。这就是我与你们的区别。由于这一点你没有理解，下面你的几点质疑也不成立。
你在第二点质疑中，认为在dx不等于0时，带撇的导数也成立。实际你误解了。那是切线还没有达到，是曲线上二点的割线。此时当然不是导数。只有在割线运动，曲线上二点重合时，割线成切线，切线上二点与曲线上二点才彻底脱离。在此之前，二点可以认为重合。即割线上二点与曲线上二点重合。
对于我的解方程法，你也没有看出名堂。此方法过去有吗？有了此方法，还用传统牛顿等的方法吗？望你再仔细研读我的文章。或可有些新的看法。
& 其他你的质疑就不一一作答了。你理解了我的意思，自然全消。
& & 沈卫国
----- 原始邮件 -----
发件人：shijm618 &&A style="COLOR: rgb(24,67,130);
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主题：Re:沈卫国信
日期：日 10点35分
11:56:53，&写道：
师老师，您好！
很高兴在会上见到您。现遵嘱发去我的微积分文。我最近还准备写一些。欢迎切磋讨论。
& & 夏安！
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参数方程：y=y(t),x=x(t)；
求导得：（dy/dx|t=to）=(dy/dt)/(dx/dt)|t=to
这样求出了to对应的yo=y(to),x...
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这里r=1为已知圆的半径。
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