知识点梳理
以经过两焦点{{F}_{1}}，{{F}_{2}}的直线为x轴，线段{{F}_{1}}{{F}_{2}}的为y轴，建立直角坐标系xOy．设M\left({x,y}\right)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为&2c（c>0），那么焦点&{{F}_{1}}，{{F}_{2}}&的坐标分别为&\left({-c,0}\right)，\left({c,0}\right)．又设&M&与&{{F}_{1}}，{{F}_{2}}&的距离的和等于&2a．因为{{|MF}_{1}}|=\sqrt[]{\left({x+c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}{{,|MF}_{2}}|=\sqrt[]{\left({x-c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}.由椭圆的定义得{{|MF}_{1}}{{|+|MF}_{2}}|=2a,所以\sqrt[]{\left({x+c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}+\sqrt[]{\left({x-c}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}=2a,整理得{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}+{\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}{{-c}^{2}}}}=1①由椭圆的定义可知，2a>2c，即&a>c，所以，{{a}^{2}}{{-c}^{2}}>0．当点M的横坐标为0时，即点在y轴上，此时|OM|=\sqrt[]{{{a}^{2}}{{-c}^{2}}}，令b=|OM|=\sqrt[]{{{a}^{2}}{{-c}^{2}}}，那么①式就是{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}+{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>b>0}\right)②&从上述过程可以看到，椭圆上任意一都满足方程②，以方程②的解\left({x,y}\right)为坐标的点到椭圆的两焦点{{F}_{1}}\left({-c,0}\right)，{{F}_{2}}\left({c,0}\right)&的距离之和为&2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．它的焦点分别是{{F}_{1}}\left({-c,0}\right)，{{F}_{2}}\left({c,0}\right)，这里{{c}^{2}}{{=a}^{2}}{{-b}^{2}}．若椭圆的焦点在y轴上，此时椭圆的方程是{\frac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}}+{\frac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>b>0}\right)，这个方程也是椭圆的标准方程．
【的几何性质】我们利用椭圆的标准{\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}}+{\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}}=1\left({a>b>0}\right)来研究椭圆的几何性质．1.范围：椭圆上的点横坐标的范围是-a≤x≤a&，纵坐标的取值范围是-b≤y≤b．&&&2.对称性：椭圆关于x轴、&y轴都对称，坐标轴是椭圆的，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．3.顶点：椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．线段{{A}_{1}}{{A}_{2}}，{{B}_{1}}{{B}_{2}}分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4.离心率：椭圆的焦距和长轴长的比{\frac{c}{a}}称为椭圆的离心率，用e表示，即e={\frac{c}{a}}，离心率的取值范围为0<e<1．
取经过点F且垂直于l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立直角坐标系xOy．设|KF|=p&\left({p>0}\right)，那么焦点F的坐标为\left({{\frac{p}{2}},0}\right)，准线l的方程为x=-{\frac{p}{2}}．设点M\left({x,y}\right)是上任意一点，点M到l的距离为d．由抛物线的定义得&|MF|=\sqrt[]{\left({x-{\frac{p}{2}}}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}，d=|x+{\frac{p}{2}}|，所以&\sqrt[]{\left({x-{\frac{p}{2}}}\right){{}^{2}}{{+y}^{2}}}=|x+{\frac{p}{2}}|．将式子化简得&{{y}^{2}}=2px（p>0）①．抛物线上任意一都满足方程①；以方程①的解\left({x,y}\right)&为坐标的点到抛物线的焦点F\left({{\frac{p}{2}},0}\right)的距离与到准线x=-{\frac{p}{2}}的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，这样，我们把方程①叫做抛物线的标准方程．它所表示的抛物线的焦点坐标是\left({{\frac{p}{2}},0}\right)，准线方程是x=-{\frac{p}{2}}．&选择不同的坐标系，就得到不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有4种形式，如下：①标准方程为{{y}^{2}}=2px，焦点坐标为\left({{\frac{p}{2}},0}\right)，准线方程为x=-{\frac{p}{2}}．②标准方程为{{y}^{2}}=-2px，焦点坐标为\left({-{\frac{p}{2}},0}\right)，准线方程为x={\frac{p}{2}}．③标准方程为{{x}^{2}}=2py，焦点坐标为\left({0,{\frac{p}{2}}}\right)，准线方程为y=-{\frac{p}{2}}．④标准方程为{{x}^{2}}=-2py&，焦点坐标为\left({0,-{\frac{p}{2}}}\right)，准线方程为y={\frac{p}{2}}．
【的几何意义】若抛物线的标准方程为{{y}^{2}}=2px（p>0），则它的几何性质如下：①范围因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，抛物线向右上方和右下方无限延伸，开口向右．②对称性以-y代替y，方程不变，因此这条抛物线是以x轴为的图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．③顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0&时，x=0，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点．④开口大小在{{y}^{2}}=2px（p>0）中，对于x一个确定的值，p越大，则|y|也越大，就是对应的点离对称轴越远，也可以说开口越大，反之，p越小，开口也越小．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线...”，相似的试题还有：
已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点．(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.&#xa0;
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为4，M、N是椭圆上的的动点.(1)求椭圆标准方程；(2)设动点满足：，直线与的斜率之积为，证明：存在定点使得为定值，并求出的坐标；(3)若在第一象限，且点关于原点对称，垂直于轴于点，连接并延长交椭圆于点，记直线的斜率分别为，证明：.&#xa0;
在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆的左、右焦点，椭圆与抛物线有一个公共的焦点，且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.&#xa0;考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据椭圆C上点（3，32）到两点F1、F2距离和等于4，建立方程，求出a，b，即可写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）确定KF1的中点B（x，y），与点K坐标之间的关系，把K的坐标代入椭圆方程，即可求线段KF1的中点B的轨迹方程；（3）设出M，N，P的坐标，代入方程，由两点式写出PM与PN所在直线的斜率，作积后把点的纵坐标用横坐标表示，整理后可得要证明的结论．
解：（1）∵椭圆C上点（3，32）到两点F1、F2距离和等于4，∴(3)2a2+(32)2b2=1；2a=4，（2分）∴a=2，b=3，∴c=a2-b2=1，∴椭圆C的方程为x24+y23=1；焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）（4分）（2）设KF1的中点为B（x，y），则点K（2x+1，2y）（5分）把K的坐标代入椭圆x24+y23=1中得(2x+1)24+(2y)23=1；（7分）线段KF1的中点B的轨迹方程为(x+12)2+y234=1；（8分）（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，设M（x0，y0）N（-x0，-y0），P（x，y），M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，得x02a2+y02b2=1，x2a2+y2b2=1；（10分）∴KPM&#8226;KPN=y-y0x-x0&#8226;y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=-b2a2（13分）故：kPM&#8226;KPN的值与点P的位置无关，同时与直线L无关，（14分）
点评：本题考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了学生的计算能力，是压轴题．
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科目：高中数学
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2=b（b+c），并且a=3b，判断△ABC的形状．
科目：高中数学
函数f（x）=x2-2x-8的定义域为A，函数g（x）=lg（-x2+2ax+1-a2）的定义域为B，且A∩B≠&#8709;，求实数a的取值范围．
科目：高中数学
在平面直角坐标系xoy中，P（x0，y0）是椭圆C：x26+y22=1上任意一点，F是椭圆C的左焦点，直线l的方程为x0x+3y0y-6=0．（1）求证：直线l与椭圆C有唯一公共点；（2）设点Q与点F关于直线l对称，当点P在椭圆上运动时，判断直线PQ是否过定点，若直线PQ过定点，求出此定点的坐标；若直线PQ不过定点，说明理由．
科目：高中数学
已知在平面内点P满足|PM|-|PN|=22，M（-2，0），N（&2，0&），O（0，0）（1）求点P的轨迹S；（2）直线y=k（x-2）与S交于点A，B，利用k表示△OAB的面积函数表达式．
科目：高中数学
已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，若椭圆上有一定点P，使PF1⊥PF2，试确定ba的取值范围．
科目：高中数学
求证：tan3α2-tanα2=2sinαcosα+cos2α．
科目：高中数学
已知函数f（x）=cos（2x+π3）+cos2（π2+x）．（1）求函数f（x）的单调递增区间．（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且f（c2）=-14，边c=2，∠C为锐角，△ABC的内切圆半径为33，求△ABC的面积．
科目：高中数学
经过点（2，-3）且与椭圆9x2+y2=36共焦点的椭圆方程为．高二数学培优辅导学案：椭圆_百度文库
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高二数学培优辅导学案：椭圆
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过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
9x2+4y2=36化为标准方程为x24+y29=1，其焦点坐标为（0，-5），（0，5），设所求椭圆方程为：x2b2+y2a2=1(a＞b＞0)，由题意知c=5，2a=22+(-3+5)2+22+(-3-5)2=18-65+18+65=(15-3)2+(15+3)2=215，解得a=15，所以b2=a2-c2=(15)2-(5)2=10，所以所求椭圆方程为：y215+x210=1．故答案为：y215+x210=1．
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据魔方格专家权威分析，试题“过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为_..”主要考查你对&&椭圆的标准方程及图象&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
椭圆的标准方程及图象
椭圆的标准方程：
（1）中心在原点，焦点在x轴上：；（2）中心在原点，焦点在y轴上：。椭圆的图像：
（1）焦点在x轴：；（2）焦点在y轴：。巧记椭圆标准方程的形式：
①椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；②椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上；③椭圆的标准方程中，三个参数a，b，c满足a2= b2+ c2；④由椭圆的标准方程可以求出三个参数a，b，c的值．
待定系数法求椭圆的标准方程：
求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题：一是分类讨论，全面考虑问题；二是可把椭圆的方程设为n)用待定系数法求出m，n的值，从而求出标准方程，
发现相似题
与“过点（2，-3）且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点的椭圆的标准方程为_..”考查相似的试题有：
4937175260024568286274834602302816082013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线_百度文库
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2013高中数学精讲精练(新人教A版)第09章 圆锥曲线
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