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化工热力学-第四章
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化工热力学答案
导读：4-6.试推导服从vanderwaals方程的气体的逸度表达式。4-9.344.75K时，由氢和丙烷组成的二元气体混合物，其中丙烷的摩尔分数为0.792，混合物的压力为?的3.7974MPa。试用RK方程和相应的混合规则计算混合物中氢的逸度系数。已知氢-丙烷系的kij=0.07,?H2实验值为1.439。解：已知混合气体的T=344.75KP=3.7974M
4-6.试推导服从van der waals 方程的气体的逸度表达式。
4-9.344.75K时，由氢和丙烷组成的二元气体混合物，其中丙烷的摩尔分数为0.792，混合物的压力为
?的3.7974MPa。试用RK方程和相应的混合规则计算混合物中氢的逸度系数。已知氢-丙烷系的kij=0.07, ?H
实验值为1.439。
解：已知混合气体的T=344.75K
P=3.7974MPa，查附录二得两组分的临界参数 氢（1）：
Pc=1.297MPa
Vc=65.0 cm3/mol
ω=-0.22 丙烷（2）：y1=0.792
Pc=4.246MPa
Vc=203 cm3/mol
ω=0.152 ∴a11?0.42748
8.314?33.21.297?10
?0.1447Pa?m?K
a22?0.42748
8.314?369.84.246?10
?18.30Pa?m?K
∵aij?aiaj
∴a12??a1a2?
?1?k12???0.??1?0.07??1.513Pa?m6?K0.5?mol?2
am?y1a11?2y1y2a12?y2a22
?0.208?0..208?0.792?1.513?0.792?18.30?11.98Pa?m?K
8.314?33.21.297?10
b1?0.08664
?0.?10m?mol
b2?0.08664
8.314?369.84.246?10
?6.274?10m?mol
?0.208?1.844?10
?0.792?6.274?10
?5.3526?10m?mol
?8.314?344.75
?3.7974?10
Z?8.314?344.75
??4.206????
B?1?h?1?h1?h??
联立①、②两式，迭代求解得：Z=0.7375
h=0.09615 所以，混合气体的摩尔体积为：
???ln?Vln????1
?b1?2?y1a11?y2a12??V?bm?amb1
ln??????21.51.5
bmRT?V?bmRT?V?bm???V?bm??bm???PV?
?ln????ln?????
??V?bm???RT???V
???ln?Vln????2
?b2?2?y1a21?y2a22??V?bm?amb2??V?bm??bm???PV?
ln?ln??ln?????????????1.521.5
bmRT?V?bmRT??V??V?bm???RT??V?bm?
分别代入数据计算得：
4-10.某二元液体混合物在固定T和P下其超额焓可用下列方程来表示：HE=x1x2(40x1+20x2).其中HE的单位为J/mol。试求H1和H2（用x1表示）。
4-12.473K、5MPa下两气体混合物的逸度系数可表示为：ln??y1y2?1?y2?。式中y1和y2为组分1
?、f?的表达式，并求出当y1 =y2=0.5时，f?、f?各为多少？ 和组分2 的摩尔分率，试求f1212ln?1?4-13.在一固定T、P下，测得某二元体系的活度系数值可用下列方程表示：
?x2??x2?3x1?x2?
?x1??x1?x1?3x2?
的表达式；并问（a）、（b）方程式是否满足Gibbs-Duhem方程？若用（c）、（d）方程式表示该
二元体系的活度数值时，则是否也满足Gibbs-Duhem方程？
ln?1?x2?a?bx2?
（c） ln?2?x1?a?bx1?
4-17.测得乙腈（1）―乙醛（2）体系在50℃到100℃的第二维里系数可近似地用下式表示：
??8.55??10?
??21.5??10?
??1.74??10?
式中，T的单位是K，B的单位是cm3mol。试计算乙腈和乙醛两组分的等分子蒸气混合物在0.8×105Pa和
?与f?。 80℃时的f12
例1.某二元混合物在一定T、P下焓可用下式表示：H?x1?a1?b1x1??x2?a2?b2x2?。其中a、b为常数，试求组分1的偏摩尔焓H1的表示式。
解：根据片摩尔性质的定义式
??ni?T、P、nj?i
nH?n1?a1?b1
?na?b2?22?? n?n??
?n1??T、P、n2
?a1?2b1x1?b1x1?b2x2
??6x?9x2?4x3，式中x1是组分1的摩尔分例2.312K、20MPa条件下二元溶液中组分1的逸度为f1111?的单位为MPa。试求在上述温度和压力下（1）纯组分1 的逸度和逸度系数；率，f（2）组分1 的亨利常1
数k1；（3）活度系数?1与x1的关系式（组分1的标准状态时以Lewis-Randall定则为基准）。 解：在给定T、P下，当x1=1时
f1?limf??1MPa
（2）根据公式
6x1?9x1?4x1
?6?9x1?4x1
例3.在一定的T、P下，某二元混合溶液的超额自由焓模型为
???1.5x1?1.8x2?x1x2（A）式中x
为摩尔分数，试求：（1）ln?1及ln?2的表达式；（2）ln?1、ln?2的值；（3）将（1）所求出的表达
。 ln?i?相结合，证明可重新得到式（A）
nn?nn?1.5n1n2?1.8n2n1?
解：（1）n ?n??1.51?1.82?12?2
??T、P、n2
n??-3.0n1n2?1.8n2???1.5n1n2?1.8n2n1??2n
?0.6x1x2?1.8x2 同理得ln?2??1.5x1?0.6x1x2
（2）当x1→0时得
当x2→0时得
ln?i??x1ln?1?x2ln?2
?x10.6x1x2?1.8x2?x2?1.x51?
x1??1.5?1.x82?x1x 2
例4已知在298K时乙醇（1）与甲基叔丁基醚（2）二元体系的超额体积为
?x1x2???1.026?0.22?x1?x2???cm?mol
，纯物质的体积
V1=58.63cm3?mol-1,
V2=118.46cm3?mol-1,试问当1000 cm3的乙醇与500 cm3的甲基叔丁基醚在298K下混合时其体积为多少？ 解：依题意可得
n1==17.056mol
n2=500/118.46=4.221mol
n=n1+n2=17.056+4.221=21.227mol ∴
x1= n1/n=17.056/21.227=0.802
x2= n2/n=4.221/21.227=0.198 由于x1+x2=1，所以
?x1x2???1.026?x1?x2??0.22?x1?x2????x1x2??0.806x1?1.264x2?
=0.802×0.198×[-0.806×0.802-1.264×0.198]
=-0.142 cm3?mol-1 混合时体积Vt=n1V1+n2V2+nVE
=.227× (-0.142) = cm3
若将两种组分的体积简单加和，将为1500 cm3，而形成溶液时则为 cm3，体积要缩小0.202%。
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天津大学化工热力学试卷二
导读：20～20学年第学期期末考试试卷，学院化工学院专业化学工程与工艺班，1．写出稳定流动系统热力学第一定律的一般形式，试从热力学的角度分析这些方程是否合理4．写出局部组成的概念，答：稳定流动系统的热力学第一定律表达式为：?H?，稳流系统热力学第一定律可化简为：?H?Q，试从热力学的角度分析这些方程是否合理？答：，20～20学年第学期期末考试试卷学院化工学院专业化学工程与工艺班一、判断题：试判断对错
学期期末考试试卷
化学工程与工艺
一、判断题：试判断对错，并写出原因或相应的公式（2分×5＝10分）
1． 熵增原理的表达式为：?S?0（
2．二阶舍项维里方程可用于计算纯物质的逸度系数（
） 3． RK方程中，常数a,b的混合规则分别为
4．无论以Henry定律为基准，还是以Lewis-Randall规则为基准定义活度，活度和逸度的值不变。（
） 5．烃类物系汽液平衡计算可以使用K值法。 （
二、简答题 （5分×7＝35分）
1． 写出稳定流动系统热力学第一定律的一般形式，并对流体流经泵和流经换热器的系统进行适当的简化。 2． 写出水在一定温度下的饱和蒸气压的获得方法。
3．有人提出用下列方程组来表示恒温、恒压下简单二元体系的偏摩尔体积
V1?V1?a?(b?a)x1?bx1V2?V2?a?(b?a)x2?bx
式中：V1和V2是纯组分的摩尔体积，a、 b 只是T、P的函数。试从热力学的角度分析这些方程是否合理 4． 写出局部组成的概念，并说明Wilson方程和NRTL方程的适用条件。
5． 请写出中低压下汽液相平衡的关系式。（其中：液相用活度系数表示，以 Lewis-Randall规则为基准；汽相用逸度系数表示）。
6． 说明基团贡献法的出发点、优点及局限性 7． 简述估算沸点下蒸发焓的方法 三、计算题（共55分）
1． （1）已知某饱和液体在273K时，Hm=0, Sm=0，饱和蒸气压为1.27×105Pa，若求478K，68.9×105Pa时该物质
蒸汽的Hm和Sm，请设计出计算路径，并画出图。 （2）请写出各步骤的焓和熵的计算公式。已知：该物质的饱和蒸气压方程为：lnP?A?
，状态方程
为:pVm?RT?Cp, 理想气体热容为：Cp,m?D?ET，式中各物理量均为国际单位制标准单位，A、B、C、D、E为常数。
2． 某二元溶液，Lewis-Randall 规则标准态的超额Gibbs自由能可由下式给出：G式中：?为常数，两纯组元逸度分别为f1和f2，单位为Pa, G
（1） 以Lewis-Randall 规则为标准态的活度系数?1与?2的表达式。 （2） 以Henry定律为标准态的活度系数?1与?气压方程如下：
的表达式。
3．低压下丙酮（1）―乙腈（2）二元体系的汽液平衡中，汽液两相假定均可视为理想体系，查得丙酮、乙腈的饱和蒸
ln[7.502p1]?16.6513?ln[7.502p2]?16.2874?
ps, ps的单位为KPa， T的单位为K。试求：
（1） 当p为85KPa, t为55?C，该体系的汽液平衡组成y1, x1
（2） 溶液中总组成为z1=0.8，当p为85KPa, t为55?C，该体系的液相分率以及汽液相组成y1, x1 （3） 当t为55?C，汽相组成y1=0.5时相平衡压力与液相组成x1 （4） 当t为55?C，液相组成x1=0.35时的相平衡压力与汽相组成y1
4．某蒸汽压缩制冷装置，采用氨作制冷剂，制冷能力为105kJ/h，蒸发温度为－15℃，冷凝温度为30℃，设压缩机作可逆绝热压缩，试求：
（1）压缩单位制冷剂所消耗的功。（2）制冷剂每小时的循环量。（3）该制冷装置所提供的单位制冷量。 （4）循环的制冷系数。
5．写出已知压力（p）和液相组成（x1,x2,?,xn），求泡点温度（T）及与之相平衡的汽相组成（y1,y2,?,yn）的计算过程（可以写计算框图，也可以叙述计算过程）。 答案：
判断题：试判断对错，并写出原因或相应的公式（3分×5＝15分）
3． 熵增原理的表达式为：?S?0（ × ） 熵增原理的表达式应该为：?S隔离系统?0 或者写为：?S系统＋?S环境?0，（其中等号在可逆条件下成立） 2．二阶舍项维里方程可用于计算纯物质的逸度系数（√）
二阶舍项维里方程可以适用于压力不高的气体的pVT关系计算，由于逸度系数的计算需要使用相应条件下的状态方程，因此二阶舍项维里方程可以用于压力不高（小于1.5MPa）情况下的纯物质逸度系数的计算。
8． RK方程中，常数a,b的混合规则分别为
习惯上，用于RK方程中常数a,b的混合规则分别为
4．无论以Henry定律为基准，还是以Lewis-Randall规则为基准定义活度，活度和逸度的值不变。（×）
以Henry定律为基准和以Lewis-Randall规则为基准定义的活度选用的逸度标准态不同，因此相应的活度和活度系
数值会发生相应的变化，但是逸度值不变。
5．烃类物系汽液平衡计算可以使用K值法。 （
） 烃类物系可以近似为理想混合物，因此其相平衡常数Ki?
，式中的变量均只为温度T、压力p的函数，
与汽相组成和液相组成均无关，可以使用P－T－K图进行计算，简称K值法。
四、简答题 （5分×5＝25分）
1． 写出稳定流动系统热力学第一定律的一般形式，并对流体流经泵和流经换热器的系统进行适当的简化。 答：稳定流动系统的热力学第一定律表达式为：?H?
(1) 流体流经换热器传质设备
Ws=0；另外，考虑动能项和势能项与焓变之间的数量级差别，动能项和势能项可以忽略，即因此，稳流系统热力学第一定律可化简为：?H?Q
(2) 流体流经泵、压缩机、透平等设备
在数量级的角度上，动能项和势能项不能与焓变相比较，可以忽略，即
?0，g?z?0；
?0，g?z?0；即：?H?Q?Ws
若这些设备可视为与环境绝热，或传热量与所做功的数值相比可忽略不计，那么进一步可化简为：?H?Ws
2． 写出水在一定温度下的饱和蒸气压的获得方法。 在一定温度下水的蒸气压获得方法可以有以下几种： （1） 通过实验进行测量
（2） 通过数据手册查找到相应的Antoine常数，使用Antoine方程进行计算 （3） 通过饱和水蒸气表查找
V?V1?a?(b?a)x1?bx1
3．有人提出用下列方程组来表示恒温、恒压下简单二元体系的偏摩尔体积1
V2?V2?a?(b?a)x2?bx2
式中：V1和V2是纯组分的摩尔体积，a、 b 只是T、P的函数。试从热力学的角度分析这些方程是否合理？ 答：
根据Gibbs-Duhem方程
得恒温、恒压下x1dV1?x2dV2
由本题所给的方程得到
?(b?a)x1?2bx1
?(b?a)x2?2bx2
比较上述结果，式（A）=（B）得：(b?a)x1?2bx12?(b?a)x2?2bx2
整理此式得：a?b?0或x1?x2?0.5
根据题意，所给出的方程组只有在a?b?0时才满足Gibbs-Duhem方程，方程才合理。
9． 写出局部组成的概念，并说明Wilson方程和NRTL方程的适用条件。
答：局部组成的概念：在某个中心分子i的近邻，出现i分子和出现j分子的几率不仅与分子的组成xi和xj有关，而且与分子间相互作用的强弱有关。
Wilson方程：Wilson方程的突出优点是（1）可以准确地描述极性和非极性混合物的活度系数，例如它可以很好地回归烃醇类物系，而用其它方程回归时效果却很差。（2）Wilson方程对二元溶液是一个两参数方程，且对多元体系的描述也仅用二元参数即可。
Wilson方程也存在一些缺点，（1）当活度系数小于1时，Wilson方程有多个根，在自动计算机程序中进行根的选择比较困难，（2）而且它不能用于液相分层体系。
NRTL方程：也可以用二元溶液的数据推算多元溶液的性质。但它最突出的优点是能用于部分互溶体系，因而特别适用于液液分层物系的计算。
请写出中低压下汽液相平衡的关系式。（其中：液相用活度系数表示，以 Lewis-Randall规则为基准；汽相用逸度系数表示）。
答：中低压下汽液平衡的关系式为：pyi???p?i?ixiexp??RT?
式中，p为相平衡的压力；yi为i组份在汽相中的摩尔分率；??i为i组份在汽相混合物中逸度系数；pi为相平衡温度Tss
下纯物质i的饱和蒸气压；?i为i组份做为纯气体时，在相平衡温度T饱和蒸气压pi下的逸度系数；?i为组份i的活
度系数；xi为i组份在液相中的摩尔分率；Vil为纯物质i的液相摩尔体积；R是摩尔通用气体常数；T是相平衡温度。
11． 说明基团贡献法的出发点、优点及局限性
答：基团贡献法是假定每个基团在不同分子中对某一物性具有同一贡献值，例如临界体积，只要由各个基团的临界体积贡献值之和加上某一常数即可。
优点：更大的通用性及不需要临界参数
局限性：分子交互作用难于校正 发展：目前加上基团交互作用项，但愈来愈复杂，减少通用性
简述估算沸点下蒸发焓的方法
答：（1）从Clausis－Clapeyron方程出发
RT?VZ??Tr?VH?
有一个ps~T方程，就有一套?vH~T关系
难点：要计算?VZ,即pVT关系 （2）半经验关系式
例如Giacalone式、Chen式、Vetere式
（3） 蒸发熵法
最成功的是基团法，例如
?VSb?86.9178?计算更加准确
五、计算题（共60分）
1． （1）已知某饱和液体在273K时，Hm=0, Sm=0，饱和蒸气压为1.27×10Pa，若求478K，68.9×10Pa时该物质
蒸汽的Hm和Sm，请设计出计算路径，并画出图。 （2）请写出各步骤的焓和熵的计算公式。已知：该物质的饱和蒸气压方程为：lnP?A?
，状态方程为:
pVm?RT?Cp, 理想气体热容为：Cp,m?D?ET，式中各物理量均为国际单位制标准单位，A、B、C、
D、E为常数。
解：（1）相应的计算路径为：
273K, 1.27×105Pa
273K, 1.27×10Pa
478K,68.9×105Pa H2S
273K, 1.27×10Pa
478K,68.9×105Pa
?H?Hm??vH?H1??H?S?Sm??vS?S1??S
（a）?vH,?vS
则：?vH?B*R*?Z?8.314B
?0.03045BJ?mol
（b）H1,S1
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第四章流体混合物的热力学性质
导读：解：由二元溶液的偏摩尔性质与摩尔性质间的关系：，4-2.某二元组分液体混合物在固定T及P下的焓可用下式表示：，试求需要多少体积的25℃的甲醇与水混合，将两种组分的体积简单加和：V1t?V2t?610.29?631.75?1242.，试从热力学角度分析这些方，4-5.试计算甲乙酮（1）和甲苯（2）的等分子混合物在323K和2.5×10Pa，由氢和丙烷组成的二元气体混合物，混合物的压力为3.797
4-1. 在20℃、0.1013MPa时，乙醇（1）与H2O（2）所形成的溶液其体积可用下式表示：
。试将乙醇和水的偏摩尔体积V1、V2V?58.36?32.46x2?42.98x2?58.77x2?23.45x2
表示为浓度x2的函数。
解：由二元溶液的偏摩尔性质与摩尔性质间的关系：
M1?M?x2?M?M?1?x
??x2?T,P??x2?T,P
?x?x?2?T,P?2?T,P
??32.46?85.96x?176.31x?93.8x又
?V1?58.36?32.46x2?42.98x2?58.77x2?23.45x2?x2??32.46?85.96x?176.31x?93.8x222??
?58.36?42.98x2?117.54x2?70.35x2J/mol
2?58.36?32.46x2?42.98x2?58.77x2?23.45x2???1?x2????32.46?85.96x2?176.31x2?93.8x2??
?25.9?85.96x2?219.29x2?211.34x2?70.35x2J/mol
4-2. 某二元组分液体混合物在固定T及P下的焓可用下式表示：
H?400x1?600x2?x1x2?40x1?20x2?。式中，H单位为J/mol。试确定在该温度、压力
状态下（1）用x1表示的H1和H2；（2）纯组分焓H1和H2的数值；（3）无限稀释下液体的偏摩尔焓H1和H2的数值。
解：（1）已知H?400x1?600x2?x1x2?40x1?20x2?
用x2=1- x1带入（A），并化简得：
3H?400x1?600?1?x1??x1?1?x1???40x1?20?1?x1????600?180x1?20x1
由二元溶液的偏摩尔性质与摩尔性质间的关系：
M1?M??1?x1??M?M?x，
?x?x?1?T,P?1?T,P
H1?H??1?x1??
??x1?T,P??x1?T,P
由式（B）得：?
???180?60x1 ??x1?T,P
??180?60x所以 H1?600?180x1?20x1??1?x1???420?60x?40xJ/mol（C）111??
H2?600?180x1?20x13?x1? ??180?60x1???600?40x1J/mol
（2）将x1=1及x1=0分别代入式（B）得纯组分焓H1和H2
H1?400J/mol
H2?600J/mol
（3）H1和H2是指在x1=0及x1=1时的H1和H2，将x1=0代入式（C）中得：
?H1??420J/mol，将x1=1代入式（D）中得：H2?640J/mol。
4-3. 实验室需要配制1200cm3防冻溶液，它由30%的甲醇（1）和70%的H2O（2）（摩尔比）组成。试求需要多少体积的25℃的甲醇与水混合。已知甲醇和水在25℃、30%（摩尔分数）的甲醇溶液的偏摩尔体积：V1?38.632cm3/mol，V2?17.765cm3/mol。25℃下纯物质的体积：V1?40.727cm3/mol，V2?18.068cm3/mol。 解：由M?
??xM?得：V?xV?xV
代入数值得：V=0.3×38.632+0.7×17.765=24.03cm3/mol 配制防冻溶液需物质的量：n?
?49.95mol 24.03
所需甲醇、水的物质的量分别为：n1?0.3?49.95?14.985mol
n2?0.7?49.95?34.965mol
则所需甲醇、水的体积为：V1t?14.985?40.727?610.29mol
V2t?34.965?18.068?631.75mol
将两种组分的体积简单加和：V1t?V2t?610.29?631.75?1242.04mol 则混合后生成的溶液体积要缩小：
4-4. 有人提出用下列方程组表示恒温、恒压下简单二元体系的偏摩尔体积：
2 V1?V1?a??b?a?x1?bx12
V2?V2?a??b?a?x2?bx2
式中，V1和V2是纯组分的摩尔体积，a、b只是T、P的函数。试从热力学角度分析这些方
程是否合理？
解：根据Gibbs-Duhem方程
恒温、恒压下
x11?x22?0 或
1??x22?x22 dx1dx1dx2
??b?a?x1?2bx12
由题给方程得
（B） ??b?a?x2?2bx2
比较上述结果，式（A）≠式（B），即所给出的方程组在一般情况下不满足Gibbs-Duhem方程，故不合理。
?、??和f。4-5.试计算甲乙酮（1）和甲苯（2）的等分子混合物在323K和2.5×10Pa下的? 12
4-6.试推导服从van der waals 方程的气体的逸度表达式。
4-9.344.75K时，由氢和丙烷组成的二元气体混合物，其中丙烷的摩尔分数为0.792，混合物的压力为3.7974MPa。试用RK方程和相应的混合规则计算混合物中氢的逸度系数。已知氢
?的实验值为1.439。 -丙烷系的kij=0.07, ?H
解：已知混合气体的T=344.75K
P=3.7974MPa，查附录二得两组分的临界参数
Pc=1.297MPa
Vc=65.0 cm3/mol
ω=-0.22 丙烷（2）：y1=0.792
Pc=4.246MPa
Vc=203 cm3/mol
R2Tc2.58..560.5?21∴a11?0.448?0.1447Pa?m?K?mol6
Pc11.297?10R2Tc2.58..52
a22?0.48?18.30Pa?m6?K0.5?mol?2 6
Pc24.246?10
∵aij?aiaj
∴a12??a1a2??1?k12???0.??1?0.07??1.513Pa?m6?K0.5?mol?2
am?y1a11?2y1y2a12?y2a22
?0.7?2?0.208?0.792?1.513?0.?11.98Pa?m6?K0.5?mol?2
b1?0.08664
RTc18.314?33.2
?0.?10?5m3?mol?1 6Pc11.297?10
b2?0.08664
RTc28.314?369.8?53?1
?0.?10m?mol6
Pc24.246?10
bm??yibi?0.208?1.844?10?5?0.792?6.274?10?5
?5.m3?mol?1
???4.206 BbmRT1.55.?8.314?344.751.5
BbmP5.?3.091h????
ZZRTZ?8.314?344.75Z
????4.206???
② 1?hB?1?h?1?h?1?h?
联立①、②两式，迭代求解得：Z=0.7375
h=0.09615 所以，混合气体的摩尔体积为：
ZRT0.?344.75
??5.567?10?4m3?mol?1 6P3.7974?10
??ln?V???b1??2?y1a11?y2a12?ln?V?bm??amb1?ln?V?bm???bm???ln?PVln???????1??????21.5?bmRT1.5?V?bmRT??V??V?bm???RT?V?bm??V?bm?
??ln?V???b2??2?y1a21?y2a22?ln?V?bm??amb2?ln?V?bm???bm???ln?PV? ln???????2???????21.5?bmRT1.5?V?bmRT??V??V?bm???RT??V?bm??V?bm?
分别代入数据计算得：
4-10.某二元液体混合物在固定T和P下其超额焓可用下列方程来表示：HE=x1x2(40x1+20x2).
其中HE的单位为J/mol。试求1E和2（用x1表示）。
4-12.473K、5MPa下两气体混合物的逸度系数可表示为：ln??y1y2?1?y2?。式中y1和
?、f?的表达式，并求出当y1 =y2=0.5时，f?、f?y2为组分1和组分2 的摩尔分率，试求f1212
各为多少？
4-13.在一固定T、P下，测得某二元体系的活度系数值可用下列方程表示：
ln?1??x2??x2?3x1?x2?
ln?2??x1??x1?x1?3x2?
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