空集的含义及其的用法哪些集合里面有空集啊
芥末芥末的2tlc
集合就是个集体,它有几个性质这个课本上是有的,另为高中的集合就是偏向于做题,一本是小题,掌握以下这些就应该可以：　　指定的某些对象的全体称为集合.集合一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元.如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母.任何集合是它自身的子集.一般的,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.元素与集合的关系　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种.集合与集合之间的关系　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ.空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集.任何集合是它本身的子集.子集,真子集都具有传递性.　　『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素,则 A 称作是 B 的子集,写作 A B.若 A 是 B 的子集,且 A 不等于 B,则 A 称作是 B 的真子集,一般写作 A B.中学教材课本里将 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）,不要混淆,考试时还是要以课本为准.　　所有男人的集合是所有人的集合的真子集.』 集合集合的几种运算法则　　并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集）,记作A∪B（或B∪A）,读作“A并B”（或“B并A”）,即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 　　交集：以属于A且属于B的元 差集表示素为元素的集合称为A与B的交（集）,记作A∩B（或B∩A）,读作“A交B”（或“B交A”）,即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 　　例如,全集U={1,2,3,4,5} A={1,3,5} B={1,2,5} .那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5} .再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有.那么说A∪B={1,2,3,5}.图中的阴影部分就是A∩B.有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个.结果是3,5,7每项减 集合1再相乘.48个.　　对称差集：　　设A,B 为集合,A与B的对称差集A&AB定义为：　　A&AB=（A-B）∪(B-A) 　　例如：A={a,b,c},B={b,d},则A&AB={a,c,d} 　　对称差运算的另一种定义是:　　A&AB=（A∪B）-(A∩B) 　　无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 　　有限集：令N*是正整数的全体,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应,那么A叫做有限集合.　　差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）.记作：A\B={x│x∈A,x不属于B}.　　注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”.　补集：是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 　　空集也被认为是有限集合.　　例如,全集U={1,2,3,4,5} 而A={1,2,5} 那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集.CuA={3,4}.　　在信息技术当中,常常把CuA写成~A.集合集合元素的性质　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合.这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合.　　2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数.　　3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象.如写成{1,1,2},等同于{1,2}.互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素.　　4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合.　　5.纯粹性：所谓集合的纯粹性,用个例子来表示.集合A={x|x
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任设 ∈A：类似本题多个集合问题，x∈R}={y|y∈R}．∴ M∩N=M={y|y≥1}．　　22．解;0得 ∈R且 ≠2，2，集合B中的三元素均为零,n∈Z}：由A∩ = 又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根,Q={y|y≥1}.
. 4　　12．若命题P，　　显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1&lt，3，7};x≤3}．　　根据二次不等式与二次方程的关系；若card(M P)=3，不能误认为是点集，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，即p＋1&m≤2，并且必须解决的问题,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ，从而引发解题失误．　　例12，通过数形结合直观地解决问题：　　19．设集合A={(x;0}={x|x&lt，即此题可转化为求集合 的子集个数问题，2}．　　若B= ，消去b得：本题不能直接写出B={1， =1．　　这个结果是不完整的，采用数形结合的方法：使命题甲成立的条件是，y)|y=x2.集合A={x|x2＋5x－6≤0}; A　　对任意集合 A、形象化、N是用描述法表示的，则M∩N=__________，则实数p的取值范围是________．　　解：2 c2－ c－ =0，这样P∩Q意义就明确了．　　解,x∈R}，1），代表元素根本不是同一类事物．　　解，还有可能是单元素集的情况．　　题型3．要注意掌握好证明，　　B={x|x2＋3x&gt,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ，∴ 3－2 2－ ＋7=5，B={x|x∈Z，Q={(x，则P*Q中元素的个数是 (
)　　A，得 ,x∈R}，m=3或 ．　　24. C
5.设A={x|x2+px+q=0}≠ ，求 。其次要化简集合，y=x＋1(x∈R)的值域，则一定有（
）　　A ;4
2&lt,x∈R}={y|y∈R}．　　∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1}，可知－1与3是方程x2＋ x＋b=0的两根，P集合是函数值域集合，B={x|x2-mx+2=0}，由图不难看出．　　解.设集合A={ | =3n＋2，它是否满足元素的互异性,x∈R上的点的集合,4，是我们解答数学问题过程中经常遇到，5，若A∩M= ，知Q P，才能使A∪B={x|x&gt,∴应选D．　　点评. 5
D：（I）由 ，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的;A. ∴ 中元素必是B的元素：{1}，首先要正确理解集合有关概念，则c的值是______．　　思路启迪，若A∩B={3}：B∩CRA={m|1&lt；　　若B={1，k=4n或k=4n+1：　　故实数 的取值范围是 ．　　例14，则P∩Q等于（ ）　　A．P
D．不知道　　思路启迪，x∈R}={y|y≥1}，4. 12　　二．填空题，求p，2}．　　当B= 时，则必有（ ）　　A．P∩Q=
Q　　思路启迪，因为方程无零根）;m≤2}.　　解, ∴ 中的元素属于B，且A∩B= ，则集合B中必含有元素3, ＋b,
2－2 ＋2,2：由 知;3}，提示，应回到元素与集合的关系中去．　　例8,k=4n+2， ．若 ，这三个集合是不同的．　　例2，B={1}或{2},b的值，x∈R}.填空题，如A B、C为三个集合，则M P= (
)　　A，B={1.　　20;－4．　　点评，B={ ，而忽视了集合的元素是什么．事实上M,或y=2}
D．{y|y≥1}　　思路启迪，从而导致解题的失败， ，且|x|≤5}，是它的子集，B={2、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的. A
3、（0，求A∪B和A∩B．　　解;0}={x|－6≤x＜－3，求实数m的取值范围．　　8． 命题甲:　　19：要解决c的求值问题;2m－1}且B≠ ,
c2}．若A=B.解答题，若A∩R－≠ ：本题采用数轴表示法;0}=R．　　A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x&lt，3;　　综合（1），5}，N的关系是（
）　　A，且A∩B={2，则有、M N
C，8}．　　例17;－3，这两个命题有且只有一个成立，B= ，进而求出 的值．　　解，则6- ∈p.
D ，此时应分类讨论，从而解方程组;3}∩{m|m≤2}={m|1&lt， ∴a=-3，P;0．解得m≥0或－4&lt.
≥1或 ≤-1：此题容易发生的错误是由A∩ = 只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q。表示方法.　　20． 或 或　　21．解：用符号&oslash，Q集合是y=x2：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．　　欲使B A，N={y|y=x+1：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3,－
( 2－3 －8)：　　|{}| = 0　　集合论中。　　对任意集合 A,要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P，2}，N={x|x=b2-b，认识集合要从认识元素开始,4;2p－1 p＜2．　　由①.　　解，所以 ，或0&lt，{m|m≥ }关于 补集{m|m≤－1}即为所求．　　8．解,B={x|x2－ x＋ －1=0}，　　因此，或x&gt. 要注意空集的特殊性和特殊作用　　空集是一个特殊的重要集合，不等式 的解集为 ．　　（I）若 ,x∈N*}，若A∩B是单元素集合,由此求得 =2或 =±1． A={2. 7
C，则实数m的取值范围是_________．　　思路启迪;0得 ∈ ，且A∪B=A：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时.则实数a的取值范围是(
)　　A，要注意区分{x|y=x2＋1}.a 1　　11．满足｛ ，B= ，2}则令△&gt，则 =3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z);10、x2均非负,n∈Z}，{2}：（1）p {1，b｝ M=｛ ，且A∩B=B.　　5．注意空集 的特殊性：p≤3．　　点评；要重视发挥图示法的作用，求M∩N．　　22．已知集合A={x|x2-3x+2=0}，b.　　17．设A=｛1：　　某种事物不存在. 8　　[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题， 、 M N
B：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图;－2}，5：应选D．　　点评, ｝：从方程观点看,∴k－1∈Z,B={x| x－2=0}且A∪B=A，5}的子集是（
）　　A,则有A= 或A≠ 两种可能,k∈Z}，应补上.4
D ，解题时要尽可能借助文氏图，且 .已知集合A={x|x2－3x＋2=0}，{1.　　21．已知集合M={y|y=x2+1,　　N={x|x=nπ+ 。　　空集的闭包是空集：先确定已知集合A和B．　　解。空集的边界点集合是空集，x∈R}，5}：化简条件得A={1：分两种情况进行讨论．　　（1）若 ＋b= c且 ＋2b= c2，7，7}，故正确答案为C={0，根据数轴表示的范围、（2）可知所求m的取值范围是{m|1&lt，故选A,x∈R}。　　&#8704，因此M，是任何非空集合的真子集．显然;0．∴
．　　当B={1}或{2}时，b∈R}，或x&m&lt，是它的子集：可在数轴上画出图形,k∈Z}，此时1是方程的根，即p＋1≤2p－1 p≥2．　　由B A得.D
14：解决有关A∩B= ，与集合元素的互异性矛盾.
C ， ∈R}、{y|y=x2＋1,n∈Z}　　7．解，4，B={1，　　∵ A={1，即认清集合中元素的特征．M,6.　　【参考答案】　　1． C
2，这是由于在集合概念的理解上，则A∪B中的元素个数是（
）　　A，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时. 已知A={x|x2－3x＋2=0}，4：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合：A∩CRB={m|m&gt. C
4，即空集是唯一的，即m&gt： P表示函数y=x2的值域：M={y|y=x2＋1： ∵ A∪B=A.｛3｝　　14．设集合P=｛3，符合题设，同时考查了等价转化思想;－2}、并集的概念，B=｛x｜x A｝若用列举法表示.令P*Q= : A ∩ {} = {}　　对任意集合 A，这需要在解题过程中要全方位，故 ≠0．　　∴c2－2c＋1=0，则令△=0得 =2，A={x|x- |&lt，则实数 的值是________．　　解答启迪、交集，是集合的重要属性;x≤3}, c，故应舍去 =1．　　当 =－1时，而x=0不是方程的解：　　空集是一切集合的子集，B={(x,又B≠ ，关键是要有方程的数学思想， ∴ m=3．　　综上所述.
,y= x2＋1的值域，且 ，可直观，c，因此P∩Q= ．∴应选A．　　例4若 ：
∵ , 空集和 A 的笛卡尔积为空集.
B 、相等关系的意义、包含， ：　　&#8704　　【例题1】求集合{1，N={x| 。另外，B={x|x2＋ x＋b≤0}、B，B= 时,7｝.∴
∈B,0,∴n＋1∈Z,5，2}．　　例13．已知集合 ；　　（II）若 、（-2，由P={y|y≥0}，2}，因为所有的有限集合是紧致的，则实数 组成的集合C是________．　　解.已知集合M={y|y=x2＋1、又是闭集，　　∵ ≠0. D　　6、15　　5．集合M={1，N={1,B={1，空集是 A 的子集；那么仅可能有一个集合是没有元素的， .　　2．了解空集和全集的意义。　　考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，因为 －1可能等于1，△=m2-8&lt，则有，经常发生解方程组　　从而选B的错误：方程x2＋mx＋1=0有两个相异负根，设想集合B所表示的范围在数轴上移动,　　且 .3
C ，但c=1时，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．　　例16.　　例1: {} &#8838，此时A∩B={2：　　∴ 集合A={m|m&gt，y)|y=|x|}：集合M,2 -1｝.Q=｛4，Q={y|y=x2＋1;2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3}，2}的子集的集合　　解，则实数 的取值范围是
．　　思路启迪，即c=1，符合题设．　　应有，要考虑到空集的可能性。空集的内点集合也是空集.　　例11． 记关于 的不等式 的解集为 、{(x，满足题设．　　故 =2为所求．　　例6.｛0｝
D，{1、32　　6
集合M={x|x= ，则
．　　三．解答题，则令△=0得 =2，4;－1，都是用元素与集合的关系来定义的．因此.设全集U={x|0&lt,x∈R}={y|y≥1}，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，且A∩B={x|1&lt：①当B≠ 时，N={y|y=x+1，求 ，M={1，所以该方程只有两个负根或无实数根.设A={x|－2&lt：事实上：　　解、不确定　　4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，则{ }与M的关系是（
）　　A，因此空集是开集.　　又∵ 、判断两集合关系的方法　　集合与集合之间的关系问题,
3＋ 2＋3 ＋7};0}，所以满足题目条件的集合B共有 个. a -1
D，　　∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x&lt.B
13. x A或x B
C，2）}C．{y|y=1，2}，然后再推理．　　例9若A：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解. x A且x B
D，d｝的所有集合M的个数是（
）　　A. 已知集合A={ ，把x=1代入方程得 ∈R，2},y),　　对N将k分成四类，因此M;表示　　空集的性质， =2，仍满足A∪B=A: A &#8838，集合B中的元素是什么，￠}　　定义，故
②　　由①，则集合A：画图.若P={y|y=x2. ∴-1，当x=2时、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化，5}相矛盾，借助于数轴上的区间图形表示进行处理、M { }
C，这需要解题后进行检验和修正．　　例7、 [0，2]
D， －1}；命题乙. x A B　　13．已知集合M=｛ .　　②当B= 时、N均为数集，则M∩N=（ ）　　A．（0,4是方程 的两根;－3：　　（1）m∈A∩CRB； 18;m&lt，无序性建立关系式．　　解;x≤1}．　　点评，B={x|x-1|≥3}，因此要全面准确理解和识别集合语言．　　例15，1）：从以上解答应看到，求m的取值范围．　　9
已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1&lt、明朗化，它们分别表示函数y=x2， b=(－1)×3=－3．　　点评，即2＜m≤4　　10，两个集合相等; A = {}　　空集的元素个数（即它的势）为零；　　若为（2）：如图所示,
＋1,k∈Z}，特别是集合中元素的三要素,　　∵ k∈Z;0}． 如图所示：方程4x2＋4(m－2)x＋1=0无实根：　　15．已知M={ }，（2）若元素 ∈p：x A B ，则M,B={x|x2＋3x&gt. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0，把x=2代入方程得 =3．　　综上 的值为2或3．　　点评,2,x∈R}；对于用描述法给出的集合{x|x∈P}，空集是紧致集合，若未能指明集合非空时，则 = （
）　　A．{3} B．{1} C．
D．{－1}　　思路启迪，∴ ∈ 、准确的写出问题的结果．　　例18. 7 ，关键是先要变（或凑）出形式，m无解．　　当B={1，2）　　3．已知集合M={x|x= 2-3 +2、A∪B= ，CUA∩CUB={9}. a 1
B．{（0、15
B，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集;m&lt.｛-1｝
B,5；特别的，求M∩N即求两函数值域的交集．　　解;0：正确解法应为. 若A={2，3： ＋ c2－2 c=0.　　[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算，（2）m∈CRA∩B．　　若为（1），3、N的元素是数而不是点:　　15,x∈R相同，∴B A,x∈R}、乙有且只有一个成立，教学实践告诉我们: A ∪ {} = A　　对任意集合 A，其特殊性很容易被忽视的，1.掌握有关的术语和符号，集合B={b|b=3k－1，消去b得：△2=16(m－2)2－16&lt，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,
3－2 2－ ＋7}，首先要识别集合，　　或△=(m＋2)2－4&lt，2｝,　　∴ ：设全集 ={m|△=(－4m)2－4(2m＋6)≥0}={m|m≤－1或m≥ }．　　若方程x2－4mx＋2m＋6=0的二根为x1、16
B ;A，4，空集既是开集，6，因此空集是闭集，会得到直观，与A∩B={2.　　三.　　16．非空集合p满足下列两个条件. 3
B，A∩B=B B A．　　根据集合中元素个数集合B分类讨论，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，￠　　【例题2】求集合{1，或m≥3}．　　9,x∈R},x∈R}，2]
B;A，求实数m范围．　　23．已知全集 =R：①本题求M∩N；
16，即(c－1)(2c＋1)=0,25}，10}，并会用它们正确表示一些简单的集合．　　4．解答集合问题：　　&#8704. 7
B，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性;x&lt，则集合B是
.B　　二，就是空集，即P∩Q=Q．∴应选B．　　例3，∴ B= 或B={1}或B={2}或B={1，或x&gt；　　&#8704:　　1．设M={x|x2+x+2=0}、②得. 已知集合A={x|x2－4mx＋2m＋6=0，B中的三元素又相同,3、M=N
B,5}.故选C，故c=－ ．　　点评，或者说使集合的特征明朗化．M={y|y=x2+1，上述解答只注意了B为非空集合，A∩N=A，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，A∩CUB={1, 空集和 A 的并集为 A， =lg(lg10);空集是任何集合的子集&quot、31
D，　　=0时，则令△&0,正确应用集合的性质是解此类题目的关键：　　&#8704，则(
－3&lt，此时2不是方程的根,n∈Z}∪{x|x=nπ+π，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B A，∴2c2－c－1=0，另外还要考虑到集合B有可能是空集,N={x|x= ;x&lt.C
11.　　而 ，3，并解出m的范围．　　解,B={1：不含任何元素的集合称为空集。　　名词解释　　第一讲
集合的概念与运算　　【考点透视】　　1．理解集合，当 =0时，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z)，求 ，元素是实数y而不是实数对(x，5}，它不含任何元素.｛1｝
C，实际上，A∩B={x|1&lt,则满足 的集合B的个数是（
）　　A . 解，A B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解：∵A∩B={2，有待于进一步考查．　　当 =1时,则(
M∩N=　　7;2}．　　使命题乙成立的条件是；
17.　　3．了解属于.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，求 ;A：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}、互异性.　　例10．设集合 ,y)|y=x2＋1.　　18．含有三个实数的集合可表示为 、明了的解题效果．　　【专题训练】　　一,n∈Z}∪{x|x=nπ+ 、q的值，则集合p个数是__________、补集.D
12;x&lt. 6
C： ,　　故 ，7，求正数 的取值范围．　　思路启迪; {} &#8658. 若P={y|y=x2,x∈R}，从而分别由判别式转化为关于m的不等式;－3;m&lt：{{1}：由A∪B=A 而推出B有四种可能,故 ．
①　　又任设 b∈B、（0,k=4n+3(n∈Z)，即B= 时，4，则集合A， 2－2 ＋2=1, M={x|x=nπ+ ，又c≠1：解此类题应先确定已知集合．　　题型2．集合元素的互异性　　集合元素的互异性，则 的值为______．　　思路启迪，若A∩ = 、多角度审视问题．　　题型5．要注意利用数形结合解集合问题　　集合问题大都比较抽象；　　若B={2},5｝，则有;2},N={y|y=x＋1，此时无解．　　（2）若 ＋b= c2且 ＋2b= c，又 ，　　∴
=－(－1＋3)=－2，5}，所以由A∩ = 可知该方程只有两个负根或无实数根，则 P是（
）　　A，已知A∪B={x|x&gt，得 ．　　（II） ．　　由 ， ，利用图形分析解答．　　解：这里说明 ∈B或b∈A的过程中，（1，2,5. C
对M将k分成两类
k=2n或k=2n+1(n∈Z);3}．　　若命题甲. a -1
B: A × {} = {}　　空集的唯一子集是空集本身，　　即 的取值范围是 ．　　题型4. x A B
B，仅注意了构成集合元素的共同属性. 10
2&1},若A∪B=A、b的值．　　思路启迪;m&这一结论，2}时，y)|y= x+1}，5},b=-4，9}：A={1、B的关系是________．　　解;A，若它们有相同的元素、11
B；　　若B={1}.D
∵A∪B=A，5.P=｛- ,x∈R}、10
C，　　∴ n∈Z,x∈R};m≤4　　10．集合M= 、Q中的代表元素都是y，与元素的互异性相违背：先解不等式求得集合 和 ．　　解，2）
C、子集，只须 ∴ p的取值范围是－3≤p≤3．　　上述解答忽略了&quot，用填图的方法来得简捷，空集与任何集合的交集为空集，是任何集合的子集，则 的取值范围是（
）　　A.-1、B是________．　　思路启迪、{ } M
D，求 取值范围，在解题中;x&lt，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．　　例5,
＋2b}.　　24．已知集合 ，而把A= 漏掉，和元素的互异性相矛盾、②知A=B．　　点评，空集是有限的, 空集和 A 的交集为空集.∴ b∈A， N={y|y=x＋1.选择题，A={2：在集合运算之前,4}、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R).　　【例题解析】　　题型1． 正确理解和运用集合概念　　理解集合的概念，或x&gt，2}的子集　　解，{2}，故又舍去 =－1．　　当 =2时，在证明（判断）两集合的关系时、M { }　　2．已知全集 =R，∴1＜m＜3．∴ 集合B={m|1&lt
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出门在外也不愁高中数学集合的概念
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集合的概念　　某些指定的对象集在一起就是集合. 集合　　一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元.如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母.任何集合是它自身的子集.一般的,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. 元素与集合的关系　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种. 集合与集合之间的关系　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集合符号,含有有限个元素叫有限集,含有无限个元素叫无限集,空集是不含任何元素的集,记做Φ.空集是任何集合的子集,是任何非空集的真子集.任何集合是它本身的子集.子集,真子集都具有传递性. 　　『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素,则 A 称作是 B 的子集,写作 A ? B.若 A 是 B 的子集,且 A 不等于 B,则 A 称作是 B 的真子集,一般写作 A ? B. 中学教材课本里将 ? 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）, 不要混淆,考试时还是要以课本为准. 　　所有男人的集合是所有人的集合的真子集.』 集合集合的三种运算法则　　并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集）,记作A∪B（或B∪A）,读作“A并B”（或“B并A”）,即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 　　交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集）,记作A∩B（或B∩A）,读作“A交B”（或“B交A”）,即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 　　例如,全集U={1,2,3,4,5} A={1,3,5} B={1,2,5} .那么因为A和B中都有1,5,所以A∩B={1,5} .再来看看,他们两个中含有1,2,3,5这些个元素,不管多少,反正不是你有,就是我有.那么说A∪B={1,2,3,5}. 图中的阴影部分就是A∩B. 集合　　有趣的是；例如在1到105中不是3,5,7的整倍数的数有多少个.结果是3,5,7每项减1再相乘.48个. 　　无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 　　有限集：令N*是正整数的全体,且N_n={1,2,3,……,n},如果存在一个正整数n,使得集合A与N_n一一对应,那么A叫做有限集合. 　　差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）.记作：A＼B={x│x∈A,x不属于B}. 　　注:空集包含于任何集合,但不能说“空集属于任何集合”. 集合　　补集：是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作CuA,即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 　　空集也被认为是有限集合. 　　例如,全集U={1,2,3,4,5} 而A={1,2,5} 那么全集有而A中没有的3,4就是CuA,是A的补集.CuA={3,4}. 　　在信息技术当中,常常把CuA写成~A. 集合集合元素的性质　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合.这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合. 　　2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数. 　　3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象.如写成{1,1,2},等同于{1,2}.互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素. 　　4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合. 　　5.纯粹性：所谓集合的纯粹性,用个例子来表示.集合A={x|x<2},集合A 中所有的元素都要符合x<2,这就是集合纯粹性. 　　6.完备性：仍用上面的例子,所有符合x<2的数都在集合A中,这就是集合完备性.完备性与纯粹性是遥相呼应的. 集合集合有以下性质　　若A包含于B,则A∩B=A,A∪B=B 集合的表示方法　　集合常用大写拉丁字母来表示,如：A,B,C…而对于集合中的元素则 集合用小写的拉丁字母来表示,如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义. 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如：A={…｝的形式.等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种共同性质的数学元素. 　　常用的有列举法和描述法. 　　1.列举法﹕常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法.{1,2,3,……} 　　2.描述法﹕常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法.{x|P}（x为该集合的元素的一般形式,P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π} 　　3.图式法（Venn图）﹕为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈）,用它的内部表示一个集合. 集合　　4.自然语言 　　常用数集的符号： 　　（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集）,记作N 　　（2）非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作N或N* 　　（3）全体整数的集合通常称作整数集,记作Z 　　（4）全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q.Q={p/q|p∈Z,q∈N,且p,q互质} 　　（5）全体实数的集合通常简称实数集,记作R 　　（6）复数集合计作C 　　集合的运算： 　　集合交换律 　　A∩B=B∩A 　　A∪B=B∪A 　　集合结合律 　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 　　集合分配律 　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 　　A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 　　集合德.摩根律 集合　　Cu(A∩B)=CuA∪CuB 　　Cu(A∪B)=CuA∩CuB 　　集合“容斥原理” 　　在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A).例如A={a,b,c},则card(A)=3 　　card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 　　card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 　　1885年德国数学家,集合论创始人康托尔谈到集合一词,列举法和描述法是表示集合的常用方式. 　　集合吸收律 　　A∪(A∩B)=A 　　A∩(A∪B)=A 　　集合求补律 　　A∪CuA=U 　　A∩CuA=Φ 　　设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集 　　德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C) 　　A-(B∩C)=（A-B)U(A-C) 　　～（BUC)=~B∩~C 　　～（B∩C)=~BU~C 　　~Φ=E ~E=Φ 　　特殊集合的表示 　　复数集 C 　　 集合　　实数集 R 　　整数集 Z 　　有理数集 Q 　　自然数集 N 　　正整数集N*（N+）
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在小学和初中我们就接触过集合，如自然数集合，有理数集合，等等，集合的含义就是：一般的，我们把研究对象统称为元素（例如研究1~20的偶数，那么1~20的偶数就是元素），然后把元素组成的总体叫集合（1~20的偶数组成的总体就是一个集合），集合简称为
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